单元测试(三) 全等三角形
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列语句是命题的是( )
A．延长线段AB B．你吃过午饭了吗
C．连结A，B两点 D．直角都相等
2．已知△ABC≌△FED，若∠E＝37°，∠C＝100°，则∠A的度数是( )
A．100° B．80° C．43° D．37°
3．(德州中考)在△ABC中，根据下列尺规作图的痕迹，不能判断AB与AC大小关系的是( )
4．如图，a，b，c分别表示△ABC的三边长，下面三角形中与△ABC一定全等的是( )
5．如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于( )
A．10 B．5 C．4 D．3
6．(2023·甘孜州)如图，AB与CD相交于点O，AC∥BD，只添加一个条件，能判定△AOC≌△BOD的是( )
A．∠A＝∠D B．AO＝BO
C．AC＝BO D．AB＝CD
7．(梧州中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是( )
A．∠ADC＝90° B．DE＝DF
C．AD＝BC D．BD＝CD
8．同学们都玩过跷跷板的游戏，如图是一个跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，OA＝OB，当跷跷板的一头着地时，∠OAC＝25°，则当跷跷板的另一头B着地时，∠AOA′等于( )
A．25° B．50° C．60° D．130°
9．(2023·衢州)如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E.分别以点D，E为圆心，大于DE长为半径画弧，交于∠BAC内一点F.连结AF并延长，交BC于点G.连结DG，EG.添加下列条件，不能使BG＝CG成立的是( )
A．AB＝AC B．AG⊥BC
C．∠DGB＝∠EGC D．AG＝AC
10．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此作法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是( )
A．()n·75° B．()n－1·65° C．()n－1·75° D．()n·85°
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．(湖州中考)命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b.”的逆命题是__ __．
12．如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是__ __．
13．(2023·锦州)如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连接CE.若CE＝CA，∠ACE＝40°，则∠B的度数为 __ __．
14．如图，△ACM和△BCN分别是以△ABC的边AC，BC向外侧作的两个等边三角形，则∠1＋∠2＝__ __．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝115°，BD＝BC，AE＝AC，则∠ECD的度数为__ __．
三、解答题(共75分)
16．(8分)(2023·宜宾)已知：如图，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC.求证：∠B＝∠E.
17．(8分)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，EF∥AD，交AC于点E，交BA的延长线于点F，求证：△AEF为等腰三角形．
18．(9分)(襄阳中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．
(1)作∠ACB的角平分线，交AB于点E(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)求证：AD＝AE.
19．(9分)(2023·苏州)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF.
(1)求证：△ADE≌△ADF；
(2)若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．
20．(9分)(2023·南通)如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于点O，OB＝OC.
求证：∠1＝∠2.
小虎同学的证明过程如下：
证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠DOB＋∠B＝∠EOC＋∠C＝90°.
∵∠DOB＝∠EOC，
∴∠B＝∠C.……第一步
又OA＝OA，OB＝OC，
∴△ABO≌△ACO.……第二步
∴∠1＝∠2.……第三步
(1)小虎同学的证明过程中，第 __ __步出现错误；
(2)请写出正确的证明过程．
21．(10分)如图所示的A，B是两根呈南北方向排列的电线杆，A，B之间有一条小河，小刚想估测这两根电线杆之间的距离，于是小刚从A点开始向正西方向走了20步到达一棵大树C处，接着又向前走了20步到达D处，然后他左转90°直行，当他看到电线杆B、大树C和他自己现在所处的位置E恰在同一条直线上时，他从D位置走到E处恰好走了100步，利用上述数据，小刚测出了A，B两根电线杆之间的距离．
(1)请你根据上述的测量方法在原图上画出示意图；
(2)如果小刚一步大约60 cm，请你求A，B两根电线杆之间的距离．
22．(10分)(怀化中考)如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H.
(1)求证：MP＝NP；
(2)若AB＝a，求线段PH的长(结果用含a的代数式表示).
23．(12分)如图，在等边三角形ABC中，E是边AC上一定点，D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连结CF.
【问题解决】如图①，若点D在边BC上，求证：CE＋CF＝CD；
【类比探究】如图②，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．单元测试(三) 全等三角形
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列语句是命题的是( D )
A．延长线段AB B．你吃过午饭了吗
C．连结A，B两点 D．直角都相等
2．已知△ABC≌△FED，若∠E＝37°，∠C＝100°，则∠A的度数是( C )
A．100° B．80° C．43° D．37°
3．(德州中考)在△ABC中，根据下列尺规作图的痕迹，不能判断AB与AC大小关系的是( D )
4．如图，a，b，c分别表示△ABC的三边长，下面三角形中与△ABC一定全等的是( C )
5．如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于( B )
A．10 B．5 C．4 D．3
6．(2023·甘孜州)如图，AB与CD相交于点O，AC∥BD，只添加一个条件，能判定△AOC≌△BOD的是( B )
A．∠A＝∠D B．AO＝BO
C．AC＝BO D．AB＝CD
7．(梧州中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是( C )
A．∠ADC＝90° B．DE＝DF
C．AD＝BC D．BD＝CD
8．同学们都玩过跷跷板的游戏，如图是一个跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，OA＝OB，当跷跷板的一头着地时，∠OAC＝25°，则当跷跷板的另一头B着地时，∠AOA′等于( B )
A．25° B．50° C．60° D．130°
9．(2023·衢州)如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E.分别以点D，E为圆心，大于DE长为半径画弧，交于∠BAC内一点F.连结AF并延长，交BC于点G.连结DG，EG.添加下列条件，不能使BG＝CG成立的是( D )
A．AB＝AC B．AG⊥BC
C．∠DGB＝∠EGC D．AG＝AC
10．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此作法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是( C )
A．()n·75° B．()n－1·65° C．()n－1·75° D．()n·85°
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．(湖州中考)命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b.”的逆命题是__如果a＝b，那么|a|＝|b|__．
12．如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是__H.L.__．
13．(2023·锦州)如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连接CE.若CE＝CA，∠ACE＝40°，则∠B的度数为 __35°__．
14．如图，△ACM和△BCN分别是以△ABC的边AC，BC向外侧作的两个等边三角形，则∠1＋∠2＝__60°__．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝115°，BD＝BC，AE＝AC，则∠ECD的度数为__32.5°__．
三、解答题(共75分)
16．(8分)(2023·宜宾)已知：如图，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC.求证：∠B＝∠E.
证明：∵AF＝DC，∴AF＋CF＝DC＋CF，即AC＝DF，∵AB∥DE，∴∠A＝∠D，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF(S.A.S.)，
∴∠B＝∠E
17．(8分)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，EF∥AD，交AC于点E，交BA的延长线于点F，求证：△AEF为等腰三角形．
证明：∵EF∥AD，∴∠F＝∠BAD，∠AEF＝∠DAC，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∴∠F＝∠AEF，∴AE＝AF，即△AEF为等腰三角形
18．(9分)(襄阳中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．
(1)作∠ACB的角平分线，交AB于点E(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)求证：AD＝AE.
解：(1)如图所示
(2)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD是∠ABC的角平分线，CE是∠ACB的角平分线，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ABD≌△ACE(A.S.A.)，∴AD＝AE
19．(9分)(2023·苏州)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF.
(1)求证：△ADE≌△ADF；
(2)若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．
解：(1)∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD.由作图知：AE＝AF.在△ADE和△ADF中，∴△ADE≌△ADF(S.A.S.) (2)∵∠BAC＝80°，AD为△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠BAC＝40°，由作图知：AE＝AD.∴∠AED＝∠ADE＝×(180°－40°)＝70°，∵AB＝AC，AD为△ABC的角平分线，∴AD⊥BC.∴∠BDE＝90°－∠ADE＝20°
20．(9分)(2023·南通)如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于点O，OB＝OC.
求证：∠1＝∠2.
小虎同学的证明过程如下：
证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠DOB＋∠B＝∠EOC＋∠C＝90°.
∵∠DOB＝∠EOC，
∴∠B＝∠C.……第一步
又OA＝OA，OB＝OC，
∴△ABO≌△ACO.……第二步
∴∠1＝∠2.……第三步
(1)小虎同学的证明过程中，第 __二__步出现错误；
(2)请写出正确的证明过程．
解：(2)方法一：∵∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠BDC＝∠CEB＝90°，在△DOB和△EOC中，∴△DOB≌△EOC(A.A.S.)，∴OD＝OE，在Rt△ADO和Rt△AEO中，∴Rt△ADO≌Rt△AEO(H.L.)，∴∠1＝∠2
方法二：∵OD＝OE，∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠1＝∠2
21．(10分)如图所示的A，B是两根呈南北方向排列的电线杆，A，B之间有一条小河，小刚想估测这两根电线杆之间的距离，于是小刚从A点开始向正西方向走了20步到达一棵大树C处，接着又向前走了20步到达D处，然后他左转90°直行，当他看到电线杆B、大树C和他自己现在所处的位置E恰在同一条直线上时，他从D位置走到E处恰好走了100步，利用上述数据，小刚测出了A，B两根电线杆之间的距离．
(1)请你根据上述的测量方法在原图上画出示意图；
(2)如果小刚一步大约60 cm，请你求A，B两根电线杆之间的距离．
解：(1)根据题意画出图形，如图所示
(2)由题可知∠BAC＝∠EDC＝90°，60 cm＝0.6 m，AC＝20×0.6＝12(m)，DC＝20×0.6＝12(m)，DE＝100×0.6＝60(m).∵点E，C，B在一条直线上，∴∠DCE＝∠ACB.在△ABC和△DEC中，∴△ABC≌△DEC(A.S.A.)，∴AB＝DE.∵DE＝60 m，∴AB＝60 m．答：A，B两根电线杆之间的距离大约为60 m
22．(10分)(怀化中考)如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H.
(1)求证：MP＝NP；
(2)若AB＝a，求线段PH的长(结果用含a的代数式表示).
解：(1)过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，如图所示，在等边△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵MQ∥BC，∴∠AMQ＝∠B＝60°，∠AQM＝∠ACB＝60°，∠QMP＝∠N，∴△AMQ是等边三角形，∴AM＝QM，∵AM＝CN，∴QM＝CN，在△QMP和△CNP中，∴△QMP≌△CNP(A.A.S.)，∴MP＝NP (2)∵△AMQ是等边三角形，且MH⊥AC，∴AH＝HQ，∵△QMP≌△CNP，∴QP＝CP，∴PH＝HQ＋QP＝AC，∵AB＝a，AB＝AC，∴PH＝a
23．(12分)如图，在等边三角形ABC中，E是边AC上一定点，D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连结CF.
【问题解决】如图①，若点D在边BC上，求证：CE＋CF＝CD；
【类比探究】如图②，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
解：【问题解决】在CD上截取CH＝CE，∵△ABC是等边三角形，∴∠ECH＝60°，∴△CEH是等边三角形，∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，∵△DEF是等边三角形，∴DE＝FE，∠DEF＝60°，∴∠DEH＋∠HEF＝∠FEC＋HEF＝60°，∴∠DEH＝∠FEC，在△DEH和△FEC中，∴△DEH≌△FEC(S.A.S.)，∴DH＝CF，∴CD＝CH＋DH＝CE＋CF，∴CE＋CF＝CD 【类比探究】CF＝CD＋CE.理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，∵GD∥AB，∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，∴∠GDC＝∠DGC＝60°，∴△GCD为等边三角形，∴DG＝CD＝CG，∵△EDF为等边三角形，∴ED＝FD，∠EDF＝∠GDC＝60°，∴∠EDG＝∠FDC，在△EGD和△FCD中，∴△EGD≌△FCD(S.A.S.)，∴EG＝FC，∴CF＝EG＝CG＋CE＝CD＋CE
