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重庆市2024-2025学年八年级数学上学期
能力测评卷（人教版）
第十五章 分式
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．若分式无意义，则x的值为（ ）
A．2或 B．0 C．2 D．
2．下列各式：，，，，，其中分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列式子从左到右的变形不正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．化简：（ ）
A．1 B． C．0 D．
5．若，则的值是（ ）
A．1 B．3 C． D．-1
6．若关于x的方程的解为，则a应取值（ ）
A．4 B．3 C． D．
7．若常数M，N满足，则（ ）
A． B． C．2 D．3
8．若关于x的方程产生增根，则m的值是（ ）
A． B． C．2 D．0
9．小明对比两款新能源汽车，A款新能源汽车比B款新能源汽车每百千米行驶所消耗的电量多度．两款汽车跑某一段路程时，A比B少跑了千米，且A款一共消耗了度电，B款一共消耗了度电，求A款新能源汽车和B款新能源汽车每百千米各消耗多少电量？设A款新能源汽车每百千米消耗的电量是x度，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知两个分式：，进行以下运算操作：（为方便描述，将记作，将记作）
操作一：将两分式相加结果记作，相减结果记作；（即，）
操作二：将，相加结果记作；，相减结果记作（即，）；
操作三：将，相加结果记作；，相减结果记作…（以此类推）
将每一次的操作结果再不断进行相加、相减操作，通过操作，有以下结论：
①；②恒成立；③恒成立；④，⑤当时，；（注：以上结论中n均为正整数）·
以上说法中，正确的个数为（ ）·
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）
11．计算： ．
12．一个铜原子的质量为克，请你用科学记数法表示出来为 克
13．已知，则
14．计算：
15．用a，b，c表示的三边，若的周长是8，，则 ．
16．定义一种新运算：对于任意的非零实数，．若，则的值为 ．
17．如果关于的分式方程有非负整数解，且关于的不等式组的解集是，那么符合条件的所有整数的值之和为 ．
18．已知，，则的值为 （用含m，n的式子表示）．
三、解答题（本题共8小题，共78分，其中第19题8分，第20-26题各10分）
19．计算．
(1)；
(2)．
20．解方程：
(1)
(2)
21．广东省第十六届运动会于2022年11月在清远市举办，吉祥物为“清清”，某商家用1200元购进了一批运动会吉祥物，上市后供不应求，商家又用2800元购进了第二批运动会吉祥物，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了5元．求该商家购进的第一批吉祥物多少个？
22．请阅读下列材料并回答问题：
在解分式方程时，小明的解法如下：
解：方程两边同乘以，得①
去括号，得②
解得
检验：当时，③
所以是原分式方程的解④
(1)你认为小明在哪里出现了错误_______（只填序号）
(2)针对小明解分式方程出现的错误和解分式方程中的其他重要步骤，请你提出三条解分式方程时的注意事项；
(3)写出上述分式方程的正确解法．
23．先化简，再求值： ，再从，0，1这三个数中选择一个你认为合适的数作为x的值代入求值．
24．课堂上，李老师出了这样一道题：
已知 求整式 A，B．
本题是这样思考的：已知是等式，首先对等式的右边进行通分，可得 已知两个分式相等，分母相等，则分子也相等，即：，利用多项式相等则对应的系数相等可求得A，B．
请你根据上面的思路解决下列问题：
已知 ，求 A，B 的值．
25．冰城某店欲购进和两种品牌的雪地胎，已知种的进价比种进价每条少元，经计算，用万元购进的种雪地胎的数量与万元购进的种雪地胎的数量相同，请解答下列问题：
(1)这两种雪地胎每个进价多少元？
(2)若该店欲购进两种品牌雪地胎共个，投入的总资金不超过元，且种品牌雪地胎不超过个（假设每辆车一次换个雪地胎），则该店有哪几种进货方案？
(3)在()条件下，若和两种雪地胎的售价分别是每个元和元，该店从这个雪地胎中拿出个两种雪地胎奖励优秀员工，其余雪地胎全部售出后仍获利元，请直接写出这个雪地胎中种雪地胎的个数．
26．我们定义：形如（m，n不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．
例如为十字分式方程，可化为，∴，．
再如为十字分式方程，可化为．∴，．
应用上面的结论解答下列问题：
(1)若为十字分式方程，则______，______．
(2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值．
(3)若关于x的十字分式方程的两个解分别为，（，），求的值．
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能力测评卷（人教版）
第十五章 分式
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．若分式无意义，则x的值为（ ）
A．2或 B．0 C．2 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，根据分式无意义的条件是分母为0进行求解即可．
【详解】解：∵分式无意义，
∴，
∴，
故选：D．
2．下列各式：，，，，，其中分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义是解此题的关键，式子、是整式）中，分母中含有字母，则叫分式．根据分式的定义逐个判断即可．
【详解】解：在，，，，中，其中分式有，，共2个，
故选：B
3．下列式子从左到右的变形不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质是分式的分子和分母同时乘以(或除以)同一个不等于零的整式， 分式的值不变．
【详解】解：A、变形正确，不符合题意；
B、，变形正确，不符合题意；
C、变形正确，不符合题意；
D、，故变形不正确，符合题意；
故选：D．
4．化简：（ ）
A．1 B． C．0 D．
【答案】B
【分析】本题考查了分式的加减，解题关键是熟练运用分式加减法则进行计算，注意：最终结果要化为最简分式．
【详解】解：，
故选B．
5．若，则的值是（ ）
A．1 B．3 C． D．-1
【答案】A
【分析】本题考查分式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
∴，
故选A．
6．若关于x的方程的解为，则a应取值（ ）
A．4 B．3 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式方程的解及解分式方程，根据方程的解的定义，把代入方程，即可得到一个关于a的分式方程，求解检验即可．
【详解】解：根据题意得：，
去分母得：，
解得：．
经检验是原方程的解，
，
故选：A．
7．若常数M，N满足，则（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】本题考查分式的加减运算、解二元一次方程组、代数式求值，先利用分式的加减运算法则，将已知等式的右边化简，进而取得M、N，然后代入求解即可．
【详解】解：∵
，
∴，解得，
∴，
故选：A．
8．若关于x的方程产生增根，则m的值是（ ）
A． B． C．2 D．0
【答案】B
【分析】本题主要考查分式方程有增根的情况下求参数，理解分式方程的增根情况是解题关键．先去分母化简，然后根据题意得出，将其代入方程求解即可．
【详解】解：
方程两边同乘以，得
∵原方程有增根，
∴，即，
把代入，得，
故选：B．
9．小明对比两款新能源汽车，A款新能源汽车比B款新能源汽车每百千米行驶所消耗的电量多度．两款汽车跑某一段路程时，A比B少跑了千米，且A款一共消耗了度电，B款一共消耗了度电，求A款新能源汽车和B款新能源汽车每百千米各消耗多少电量？设A款新能源汽车每百千米消耗的电量是x度，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式方程的应用．熟练掌握分式方程的应用是解题的关键．
设A款新能源汽车每百千米消耗的电量是x度，则B款新能源汽车每百千米消耗的电量是度，依题意得，，然后判断作答即可．
【详解】解：设A款新能源汽车每百千米消耗的电量是x度，则B款新能源汽车每百千米消耗的电量是度，
依题意得，，
故选：D．
10．已知两个分式：，进行以下运算操作：（为方便描述，将记作，将记作）
操作一：将两分式相加结果记作，相减结果记作；（即，）
操作二：将，相加结果记作；，相减结果记作（即，）；
操作三：将，相加结果记作；，相减结果记作…（以此类推）
将每一次的操作结果再不断进行相加、相减操作，通过操作，有以下结论：
①；②恒成立；③恒成立；④，⑤当时，；（注：以上结论中n均为正整数）·
以上说法中，正确的个数为（ ）·
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题主要考查了与分式有关的规律探索，根据题意分别求出，，，，，……，进而得到规律，，，，据此规律逐一判断即可．
【详解】解：由题意得，，，
∴，，
∴，，
……，
以此类推可得，，，，
∴，
∴，故①错误；
∵，，
∴恒成立，故②正确；
，
∵分式要有意义，
∴，
∴且，
∴且，即，
∴恒成立，故③正确；
∵，，
∴，故④正确；
当时，则，
∴，
∴，
经检验，是原方程的解，故⑤正确；
综上所述，正确的有4个，
故选：C．
填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）
11．计算： ．
【答案】
【分析】此题考查了单项式除以单项式的运算，解题的关键是掌握运算法则．
根据单项式除以单项式的计算法则进行计算，单项式除以单项式：系数与系数相除，同底数幂相除（底数不变，指数相减），只在被除数中出现的字母连同它的指数，作为商的一个因式．
【详解】解：
故答案为：
12．一个铜原子的质量为克，请你用科学记数法表示出来为 克
【答案】
【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
【详解】解：．
故答案为：．
13．已知，则
【答案】/
【分析】本题主要考查了分式的求值，先根据已知条件式得到，再根据进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．计算：
【答案】
【分析】本题考查了零指数幂与负整数指数幂，熟练掌握零指数幂与负整数指数幂的法则是解题关键．根据零指数幂与负整数指数幂法则计算即可得．
【详解】解：，
故答案为：．
15．用a，b，c表示的三边，若的周长是8，，则 ．
【答案】3
【分析】本题考查了求分式的值．两边同时乘以可得，化简即可得到答案．
【详解】解：∵的周长是8，
∴，
，
两边同时乘以得：
，
，
，
，
故答案为：3．
16．定义一种新运算：对于任意的非零实数，．若，则的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了定义新运算，解分式方程，理解新运算的计算法则，掌握分式方程的运算方法是解题的关键．
根据定义新运算的规则展开，再根据分式方程的计算方法即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
去分母得，，
解得，，
检验，当时，原分式方程的分母不为零，
∴是原分式方程的解，
故答案为：1 ．
17．如果关于的分式方程有非负整数解，且关于的不等式组的解集是，那么符合条件的所有整数的值之和为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查分式方程的解、一元一次不等式组的整数解等知识点，理解分式方程增根的定义以及一元一次不等式组的整数解的意义是正确解答的关键．
根据分式方程的解法以及增根的定义确定a的取值范围，再根据不等式组的解集进一步确定a的取值范围，最后确定符合条件的所有整数a的和即可．
【详解】解：将关于x的分式方程的两边都乘以可得：,解得：，
∵关于x的分式方程有非负整数解，
∴且a为偶数，即的偶数，
由于分式方程的增根为，
当时，即，解得，因此，
解关于y的不等式得：，
解关于y的不等式得：，
由于关于y的不等式组的解集是，
所以，即，
所以的偶数且，
所以符合条件的所有整数a的值之和．
故答案为：．
18．已知，，则的值为 （用含m，n的式子表示）．
【答案】
【分析】本题考查了分式混合运算．先化简原式，再根据，，求出，最后整体代入进行化简即可．
【详解】解：
，
∵，，
故，
，
∴，，，
将，，，代入原式，得：
原式．
故答案为：．
三、解答题（本题共8小题，共78分，其中第19题8分，第20-26题各10分）
19．计算．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查实数的运算，分式的运算．
（1）先算乘方，零指数幂，负整数指数幂，再算加减，即可求解；
（2）先算括号里面的减法，再算括号外的除法，即可求解．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
．
20．解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握计算步骤是解题的关键．
（1）（2）分别先去分母，转化为解一元整式方程，再检验是否有增根即可．
【详解】（1）解：
，
，
经检验：是原方程的解，
∴ 原方程的解为；
（2）解：
，
经检验：时，
∴原方程的解为．
21．广东省第十六届运动会于2022年11月在清远市举办，吉祥物为“清清”，某商家用1200元购进了一批运动会吉祥物，上市后供不应求，商家又用2800元购进了第二批运动会吉祥物，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了5元．求该商家购进的第一批吉祥物多少个？
【答案】该商家第一批购进40个吉祥物．
【分析】设该商家第一批购进个吉祥物，则第二批购进个吉祥物，利用单价总价数量，结合第二批购进吉祥物的单价比第一批贵了5元，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，根据各数量之间的关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【详解】解：设该商家第一批购进个吉祥物，则第二批购进个吉祥物，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：该商家第一批购进40个吉祥物．
22．请阅读下列材料并回答问题：
在解分式方程时，小明的解法如下：
解：方程两边同乘以，得①
去括号，得②
解得
检验：当时，③
所以是原分式方程的解④
(1)你认为小明在哪里出现了错误_______（只填序号）
(2)针对小明解分式方程出现的错误和解分式方程中的其他重要步骤，请你提出三条解分式方程时的注意事项；
(3)写出上述分式方程的正确解法．
【答案】(1)①②
(2)三条注意事项：去分母时，注意方程中的每项都要乘以最简公分母；去括号时，注意正确运用去括号法则；解整式方程求出要进行检验
(3)
【分析】此题考查了解分式方程；
（1）观察解方程过程，找出错误步骤即可；
（2）针对小明解分式方程出现的错误和解分式方程中的其他重要步骤，写出三条注意事项即可；
（3）写出正确的解答过程即可．
【详解】（1）解：第①步去分母错误，应该为
第②步移项后变号和去括号错误，应该为
小明在①②出现了错误；
故答案为：①②；
（2）解：三条注意事项：去分母时，注意方程中的每项都要乘以最简公分母；去括号时，注意正确运用去括号法则；解整式方程求出要进行检验；
（3）解：正确解法为：
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
23．先化简，再求值： ，再从，0，1这三个数中选择一个你认为合适的数作为x的值代入求值．
【答案】，时，原式
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式有意义的条件选择合适的值代值计算即可．
【详解】解：
，
∵分式要有意义，
∴，
∴，
∴当时，原式．
24．课堂上，李老师出了这样一道题：
已知 求整式 A，B．
本题是这样思考的：已知是等式，首先对等式的右边进行通分，可得 已知两个分式相等，分母相等，则分子也相等，即：，利用多项式相等则对应的系数相等可求得A，B．
请你根据上面的思路解决下列问题：
已知 ，求 A，B 的值．
【答案】，
【分析】本题考查的是分式的加减法，根据题意得出、的二元一次方程组是解答此题的关键．先把分式右边通分，再根据题意得出关于的方程组，求出、的值即可．
【详解】解：原分式可化为，
，即，
，
解得．
25．冰城某店欲购进和两种品牌的雪地胎，已知种的进价比种进价每条少元，经计算，用万元购进的种雪地胎的数量与万元购进的种雪地胎的数量相同，请解答下列问题：
(1)这两种雪地胎每个进价多少元？
(2)若该店欲购进两种品牌雪地胎共个，投入的总资金不超过元，且种品牌雪地胎不超过个（假设每辆车一次换个雪地胎），则该店有哪几种进货方案？
(3)在()条件下，若和两种雪地胎的售价分别是每个元和元，该店从这个雪地胎中拿出个两种雪地胎奖励优秀员工，其余雪地胎全部售出后仍获利元，请直接写出这个雪地胎中种雪地胎的个数．
【答案】(1)品牌的雪地胎每条的进价为元，品牌的雪地胎每条的进价为元
(2)共有三种进货方案．方案一：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个；方案二：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个；方案三：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个；
(3)．
【分析】（）设种雪地胎每个进价元，则种雪地胎每个进价元，根据题意列出方程即可求解；
（）设购进种雪地胎个，则购进种雪地胎个，根据题意列出不等式组求出的取值范围，再根据每辆车一次换个雪地胎得到为的倍数，即得的值，据此即可求解；
（）设从种雪地胎拿出个奖励优秀员工，则从种雪地胎拿出个奖励优秀员工，根据（）中的方案分别计算即可求解；
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．
【详解】（1）解：设种雪地胎每个进价元，则种雪地胎每个进价元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意；
∴，
答：种雪地胎每个进价元，则种雪地胎每个进价元；
（2）解：设购进种雪地胎个，则购进种雪地胎个，
由题意得，
解得，
∵每辆车一次换个雪地胎，
∴为的倍数，
∴或或，
∴共有三种进货方案．方案一：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个；方案二：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个；方案三：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个；
（3）解：设从种雪地胎拿出个奖励优秀员工，则从种雪地胎拿出个奖励优秀员工，
当购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个时，
由题意得，，
整理得，，
解得，不合题意，舍去；
当购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个时，
由题意得，，
整理得，，
解得；
当购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个时，
由题意得，
整理得，，
解得，不合题意，舍去；
综上，的值为，
答：这个雪地胎中种雪地胎的个数为．
26．我们定义：形如（m，n不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．
例如为十字分式方程，可化为，∴，．
再如为十字分式方程，可化为．∴，．
应用上面的结论解答下列问题：
(1)若为十字分式方程，则______，______．
(2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值．
(3)若关于x的十字分式方程的两个解分别为，（，），求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)2022
【分析】（1）将方程改写成，再根据十字分式方程的定义作答即可；
（2）先根据十字分式方程的定义求出，再化简得，最后代入计算求解即可；
（3）先根据十字分式方程的定义以及、、的取值范围求出，，即，，然后代入求解即可．
【详解】（1）解：方程是十字分式方程，可化为，
，
故答案为：，．
（2）解：十字分式方程的两个解分别为，，
，
∵ ，
∴原式 ．
（3）解：方程是十字分式方程，可化为，
∴，，
∵，，
∴，，即，，
代入得，，
∴的值为2022．
【点睛】本题考查了新定义运算，利用完全平方公式求值、因式分解的应用等知识点，理解十字分式方程的定义是解题关键．
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