(共15张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十二章 全等三角形
教材母题回归
1．(人教八上P34 T6)如图1，△AEC≌△ADB，点E和点D是对应顶点．
(1)写出它们的对应边和对应角；
图1
解：∵△AEC≌△ADB，点E和点D是对应顶点，
∴AE＝AD，AC＝AB，EC＝DB，∠AEC＝
∠ADB，∠ACE＝∠ABD.
∴AE和AD是对应边，AC和AB是对应边，EC和DB是对应边，∠AEC和∠ADB是对应角，∠ACE和∠ABD是对应角，∠A和∠A是对应角．
(2)若∠A＝50°，∠ABD＝39°，且∠1＝∠2，求∠1的度数．
图1
解：∵∠A＝50°，∠ABD＝39°，
∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝50°＋39°＝89°.
∵△AEC≌△ADB，∴∠ACE＝∠ABD＝39°.
∴∠1＋∠2＝180°－∠BDC －∠ACE＝180°－89°－39°＝52°.
2．(人教八上P44 T5)如图2，∠1＝∠2，∠B＝∠D.求证：AB＝CD.
图2
3．(人教八上P44 T11)如图3，点B，F，C，E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD.求证：AB＝DE，AC＝DF.
图3
证明：∵FB＝CE，∴FB＋CF＝CE＋CF，即BC＝EF.
∵AB∥ED，AC∥FD，
∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE.
4．(人教八上P45 T13)如图4，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．找出图中的全等三角形，并证明它们全等．
图4
解：图中的全等三角形有：△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE.
图4
5．(人教八上P51 T1)用三角尺可按下面方法画角平分线：如图5，在已知的∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB.为什么？
图5
6．(人教八上P51 T4)如图6，在△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上的一点，PE∥AB，交BC于点E，PF∥AC，交BC于点F.求证：点D到PE和PF的距离相等．
图6
证明：∵PE∥AB，PF∥AC，
∴∠EPD＝∠BAD，∠FPD＝∠CAD.
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD.
∴∠EPD＝∠FPD，即PD平分∠EPF.
∴点D到PE和PF的距离相等．
7．(人教八上P55 T2)如图7，在长方形ABCD中，AF⊥BD，垂足为E，AF交BC于点F，连接DF.
(1)图中有全等三角形吗？
图7
解：有，△ABD≌△CDB.
【提示】在长方形ABCD中，AB＝CD，AD＝CB，∠BAD＝∠C＝90°.
(2)图中有面积相等但不全等的三角形吗？
图7
解：有．△BFD与△BFA，△ABD与△AFD，△ABE与△DFE，△AFD与△BCD面积相等，但不全等．
8．(人教八上P56 T9)如图8，∠ACB ＝ 90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝2.5 cm，DE＝1.7 cm.求BE的长．
图8
解：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°.
∴∠EBC＋∠BCE＝90°.
∵∠BCE＋∠DCA＝∠ACB＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA.
9．(人教八上P56 T10)如图9所示的三角形纸片中，AB＝8 cm，BC＝6 cm，AC＝5 cm.沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD.求△AED的周长．
图9
解：由折叠的性质可知，△BED≌△BCD.
∴BE＝BC，DE＝CD.
∴AE＝AB－BE＝AB－BC＝8－6＝2(cm).
∴△AED的周长为AD＋DE＋AE＝AD＋CD＋AE＝AC＋AE＝5＋2＝7(cm).
10．(人教八上P56 T11)如图10，△ABC≌△A′B′C′，AD，A′D′分别是△ABC，△A′B′C′的对应边上的中线，AD与A′D′有什么关系？证明你的结论．
图10
解： AD ＝A′D′.
证明：∵△ABC≌△A′B′C′，∴ AB＝A′B′，∠B＝∠B′，BC＝B′C′.
图10(共15张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十二章 全等三角形
核心素养专练
1.【模型观念、应用意识】如图1，用螺丝钉将两根小棒AD，BC的中点O固定，利用全等三角形的知识，测得CD的长就是锥形瓶内径AB的长．其中，判定△AOB≌△DOC的方法是( )
A．SSS
B．SAS
C．ASA
D．AAS
图1
B
本题以测量锥形瓶内径为背景，需要学生从中抽象出全等模型，从而得出判定三角形全等的方法，让学生感受数学的应用价值．
2．【几何直观、空间观念】如图2，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝5.延长BC到点E，使CE＝2，连接DE.动点P从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线BCDA向终点A运动．设点P的运动时间为t s，当t的值为__________时，△ABP和△DCE全等．
图2
1或6
本题属于动点问题，需要学生对动点在三边运动的情况进行分类讨论，化动为静，找到两个三角形全等时对应的边角关系，再结合长方形的性质计算t的值．
3．【抽象能力、模型观念、应用意识】油纸伞是我国的一种传统工艺品，使用历史已有1 000多年，是我国非物质文化遗产．如图3，伞圈D沿着伞柄AH滑动时，总有伞骨DE＝DF，AE＝AF，从而使得伞柄AH始终平分同一平面内的两条伞骨所成的∠BAC(即AH平分∠BAC)，试说明理由．
图3
图3
本题以传统工艺品油纸伞为背景，需要学生从伞的结构中抽象出“共边”全等模型，进而推出角平分线，考查学生应用全等知识解决实际问题的能力．
4.【跨学科】【抽象能力、模型观念】小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图4，OA表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小
球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点
B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC位置
时，OB与OC恰好垂直(图中的A，B，O，
C在同一平面内)，过点C 作CE⊥OA于点
E，测得CE＝15 cm，OE＝8 cm.
图4
(1)求证：OE＝BD；
图4
证明：∵OB⊥OC，∴∠BOC＝90°，即∠BOD＋∠COE＝90°.
又CE⊥OA，BD⊥OA，∴∠CEO＝∠ODB＝90°.
∴∠BOD＋∠B＝90°.∴∠COE＝∠B.
(2)求DE的长．
图4
解：由(1)知，△COE≌△OBD，
∴CE＝OD＝15 cm.
∴DE＝OD－OE＝15－8＝7(cm).
本题以物理实验为背景，需要学生在直观感知小球运动的基础上，得到小球运动前后细绳长度不变(即OB＝OC)的条件，再利用全等三角形的判定与性质进行证明和求解，让学生在实践中应用全等模型，体会数学在其他学科中的应用价值．
5．【空间观念、模型观念、创新意识】已知∠AOB＝90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与点C重合，它的两条直角边分别与OA，OB相交于点D，E.
(1)如图5①，当CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E时，CD和CE之间的数量关系为__________.
(2)如图5②，当三角板
绕点C旋转到CD与OA不垂
直时，上述结论是否仍然成
立？请说明理由．
图5
CD＝CE
解：上述结论仍然成立．
答图1
理由：如答图1，过点C分别作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G.
∴∠CFD＝∠CGE＝90°.∴∠FCG＝90°.
∵OM为∠AOB的平分线， ∴CF＝CG.
∵三角板的直角顶点与点C重合，∴∠DCE＝90°＝∠FCG.
∴∠FCG－∠DCG＝∠DCE－∠DCG，即∠FCD＝∠GCE.
本题属于综合实践类题目，需要学生明确在三角板的旋转过程中直角不变，再通过作辅助线构造直角，进而推理得到角度相等，再利用角的平分线的性质得出线段相等，从而得到旋转全等模型．本题旨在让学生经历实验操作、观察分析、建立模型、解决问题的过程，培养学生的推理能力和创新意识．(共21张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十二章 全等三角形
第3课时 全等三角形的判定(2)——SAS
1.掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；2.能用尺规作图：已知两边及其夹角作三角形．(核心素养：几何直观、推理能力、模型观念、应用意识)
课标要求
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
1.(衔接回顾)(1)全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；
(2)全等三角形的判定：边边边(SSS).
2．全等三角形的判定2
∠A＝∠A′
课堂讲练
运用“SAS”判定两个三角形全等
例1 如图1，AB＝AC，点D，E分别在AC，AB上，且AD＝AE.求证：BD＝CE.
图1
训练 1.如图2，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD.求证：∠A＝∠C.
图2
例2 如图3，已知OC平分∠MON，点A，B分别在射线OM，ON上，且OA＝OB.求证：△AOC≌△BOC.
图3
训练 2.如图4，已知AB∥CD，AB＝CD.求证：AD＝CB.
图4
例3 如图5，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2.求证：∠B＝∠C.
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋__________＝∠2＋__________，
即∠BAD＝__________．
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(__________).
∴∠B＝∠C(________________________).
图5
∠CAD
∠CAD
∠CAE
AD
AE
SAS
全等三角形的对应角相等
训练 3.如图6，已知AB＝AD，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC.求证：△ACD≌△AEB.
图6
寻找证明全等的条件时有以下两种情况：
(1)找线段相等：公共边、中点、线段的和差等；
(2)找角相等：公共角、对顶角、角平分线、平行线、角的和差(垂线、三角形内角和)等．
课堂检测
1．如图7，把两根长度相等的钢条AA′，BB′的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳)．若测得AB＝5 cm，则槽宽A′B′为( )
A．3 cm
B．4 cm
C．5 cm
D．6 cm
图7
C
2．如图8，点C，D在线段AB上，AC＝BD，CE＝DF，CE∥DF.
(1)求证：△ADF≌△BCE；
图8
证明：∵AC＝BD，
∴AC＋CD＝BD＋CD，即AD＝BC.
∵CE∥DF，∴∠ADF＝∠BCE.
(2)若∠B＝30°，∠F＝60°，求∠BDF的度数．
图8
解：∵△ADF≌△BCE，
∴∠A＝∠B＝30°.
∴∠BDF＝∠A＋∠F＝90°.
3．【易错】如图9，把一长一短的两根木
棍AB，AC的一端固定在一起，可得到△ABC.
将木棍AB固定，转动木棍AC，可得到△ABD
(B，C，D三点在同一条直线上)．
(1)①在△ABC和△ABD中，相等的边为
AB＝__________，AC＝__________，相等的
角为∠B＝__________.
图9
使用“SAS”判定三角形全等时，注意相等的角必须是相等的两边的夹角；而“SSA”不能直接判定两个三角形全等．
AB
AD
∠B
②△ABC和△ABD是否全等？__________.(填“是”或“否”)
(2)这个实验说明____________________________________________
____________．
图9
否
有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等
随堂测
课时练
1．如图1, AB，CD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD.求证：△AOD≌△COB.
图1
2．如图2，点B，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，且AB＝CD，BF＝CE.求证：∠AEB＝∠DFC.
图2
证明：∵BF＝CE，∴BF＋EF＝CE＋EF，即BE＝CF.
∵AB∥CD，∴∠B＝∠C.
循环练
3．如图3，点A，D，B，E在同一直线上，AD＝BE，AC＝DF，BC＝EF.若∠A＝70°，则∠EDF的度数为__________.
图3
70°(共12张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十二章 全等三角形
微专题2 全等三角形的常考模型
模型 平移模型
模型特征：沿某一直线平移可使两个三角形重合．
解题思路：①加(减)共线部分得到一组对应边相等；②利用平行线的性质找对应角相等．
1.如图1，点A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD，AE∥BF，CE∥DF.求证：△AEC≌△BFD.
图1
证明：∵AB＝CD，∴AB＋BC＝CD＋BC，即AC＝BD.
∵AE∥BF，CE∥DF，
∴∠A＝∠FBD，∠ECA＝∠D.
模型 翻折模型
模型特征：所给图形沿某一直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．
解题思路：①利用公共边、线段的和(差)、中点等得到对应边相等；②利用对顶角、公共角、角的和(差)、垂直的定义等得到对应角相等．
2.如图2，C是线段AB的中点，AD＝BE，CD＝CE.求证：△ACD≌△BCE.
图2
3.如图3，已知AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC.求证：∠B＝∠E.
图3
证明：∵∠BAD＝∠EAC，
∴∠BAD＋∠DAC＝∠EAC＋∠DAC，
即∠BAC＝∠EAD.
模型 旋转模型
模型特征：沿某一点旋转(或旋转后再平移)可使两个三角形重合．
解题思路：①共顶点：对顶角相等，或加(减)公共角得一组对应角相等；②不共顶点：加(减)公共线段得一组对应边相等，或利用平行线的性质找对应角相等．
4.如图4，已知AC＝AF，∠C＝∠F，∠1＝∠2.求证：△ABC≌
△AEF.
图4
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠CAE＝∠2＋∠CAE，
即∠BAC＝∠EAF.
5.如图5，点E，F在线段BC上，AB∥CD，AB＝DC，BF＝CE.求证：△ABF≌△DCE.
图5
模型 一线三等角模型
一线三等角模型：
模型特征：一条线上有三个角相等(∠1＝∠2＝∠3).特别地，当三个等角为直角时，称之为一线三垂直模型．
结论：△APC≌△BDP，AB＝AC＋BD.
变形：
模型特征：把一线三等角模型平移一定的距离得到．
结论：△APC≌△BDA，BP＝AC－BD.
解题思路：由三角形的外角的性质可得一组角相等，再结合已知的一角和一边对应相等证明全等．
6.如图6，已知B，C，E三点在同一直线上，AC＝CD，∠B＝∠E＝90°，AC⊥CD.求证：(1)△ABC≌△CED；(2)BE＝AB＋DE.
图6
证明：(1)∵∠B＝90°，∴∠A＋∠1＝90°.
∵AC⊥CD，∴∠ACD＝90°.∴∠1＋∠2＝90°.∴∠A＝∠2.
(2)∵△ABC≌△CED，∴AB＝CE，CB＝DE.
∴BE＝CE＋CB＝AB＋DE.(共21张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十二章 全等三角形
第5课时 全等三角形的判定(4)——HL
1.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理；2.能用尺规作图：已知一直角边和斜边作直角三角形．(核心素养：推理能力、几何直观、模型观念、应用意识)
课标要求
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
1.(衔接回顾)(1)全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
(2)全等三角形的判定：边边边(SSS)，边角边(SAS)，角边角(ASA)，角角边(AAS).
2．全等三角形的判定5
AB＝A′B′
课堂讲练
运用“HL”判定两个直角三角形全等
例1 如图1，已知AB＝AD，∠B＝∠D＝90°.
求证：△ABC≌△ADC.
图1
训练 1.如图2，AD⊥AB，EB⊥AB，C是AB的中点，CD＝CE.求证：AD＝BE.
图2
证明：∵AD⊥AB，EB⊥AB，
∴∠A＝∠B＝90°.
∵C是AB的中点，∴AC＝BC.
例2 (人教八上P43 T2)如图3，AB＝CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE＝BF.求证：AE＝DF.
图3
证明：∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEB＝∠DFC＝90°.
∵CE＝BF，∴CE－EF＝BF－EF，即CF＝BE.
训练 2.如图4，点B，E，C，F在同一直线上，∠A＝∠D＝90°，AC＝DF，BE＝CF.求证：AC∥DF.
图4
证明：∵BE＝CF，
∴BE＋CE＝CF＋CE，即BC＝EF.
课堂检测
1．如图5，在△ABC中，AD⊥BC，若要根据“HL”来证明△ABD≌
△ACD，则需要补充的一个条件为( )
A．BD＝CD
B．∠BAD＝∠CAD
C．∠B＝∠C
D．AB＝AC
图5
D
2．(北师八下P21 T2改编)如图6，AB＝CD，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，DE＝BF.求证：AE＝CF.
图6
证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEC＝∠BFA＝90°.
3．如图7，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且AD＝CB.求证：AD∥CB.
图7
4．如图8，在△ABC中，AC＝CB，点D，C，E在同一直线上，AD⊥DE，BE⊥DE，且CD＝BE.
(1)求证：∠CAD＝∠BCE；
图8
(2)求证：△ABC是直角三角形；
图8
证明：由(1)知∠CAD＝∠BCE.
∵∠CAD＋∠ACD＝180°－∠D＝90°，
∴∠BCE＋∠ACD＝90°.
∴∠ACB＝180°－(∠BCE＋∠ACD)＝90°.
∴△ABC是直角三角形．
(3)试判断AD，DE，BE之间的数量关系，并说明理由．
解：AD＋BE＝DE.
理由：由(1)知Rt△ADC≌Rt△CEB，
∴AD＝CE.
又CD＝BE，
∴DE＝CD＋CE＝BE＋AD，即AD＋BE＝DE.
图8
5．【分类讨论】如图9，∠C＝∠CAM＝90°，AC＝8 cm，BC＝4 cm，点P从点A出发，沿AC方向以2 cm/s的速度向点C运动，到点C时停止运动；点Q在射线AM上，且PQ＝AB.当点P的运动时间为__________s时，△ABC和△PQA全等．
图9
2或4
随堂测
课时练
1．如图1，已知∠C＝∠D＝90°，AC＝BD，则能直接判定△ABC≌△BAD的方法是( )
A．HL
B．SAS
C．AAS
D．ASA
图1
A
2．如图2，已知DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，AD＝CB，DE＝BF.求证：AD∥BC.
图2
循环练
3．如图3，∠A＝∠D，∠B＝∠E，AF＝CD.
求证：△ABC≌△DEF.
图3(共16张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十二章 全等三角形
微专题3 构造全等三角形常用的辅助线
类型 巧用“公共边”构造全等三角形
特点：已知条件中给出了两组对应边相等，连接对应点构成的公共边，即可得到第三组对应边相等，从而利用“SSS”判定三角形全等．
1.如图1，C，E分别为△ABD的边BD，AB上两点，且AE＝AD，CE＝CD.若∠D＝75°，∠ECD＝145°，求∠B的度数．
图1
答图1
解：如答图1，连接AC.
∴∠AEC＝∠D＝75°.
∴∠BEC＝180°－∠AEC＝105°.
∴∠B＝∠ECD－∠BEC＝145°－105°＝40°.
类型 “倍长中线法”构造全等三角形
特点：已知条件中涉及“中点”“中线”时，可考虑倍长中线法构造全等三角形．
解题思路：将中线(或过中点的线段)延长一倍，然后利用“SAS”判定三角形全等．
已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线．
作法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接CE.
结论：△ABD≌△ECD(SAS).
2.如图2，在△ABC中，D为BC的中点．求证：AB＋AC＞2AD.
图2
答图2
证明：如答图2，延长AD至点E，使DE＝DA，连接BE.
在△ABE中，AB＋EB＞AE，
∴AB＋AC＞2AD.
3.如图3，AE是△ABD的中线，∠BAD＝∠BDA，C是BD延长线上的一点，且CD＝AB.求证：AC＝2AE.
图3
答图3
证明：如答图3，延长AE至点F，使FE＝AE，连接DF.
又CD＝AB，∴CD＝FD.
∵∠BAD＝∠ADB，
∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠EDF＋∠ADB＝∠ADF.
答图3
类型 “截长补短法”构造全等三角形
特点：在某一条线段上截取一条线段与特定线段相等，或将某条线段延长，使之与特定线段相等，常用于线段的和差倍分问题．
4.如图4，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC.求证：AB＝AD＋BC.
图4
答图4
证明：如答图4，在AB上取点F，使AF＝AD，连接EF.
∵AD∥BC，∴∠D＋∠C＝180°.
又∠AFE＋∠BFE＝180°，
∴∠BFE＝∠C.
答图4
类型 利用“角平分线”构造全等三角形
特点：角平分线本身已经具备全等三角形的三个条件中的两个(一组角相等和公共边相等)，所以在处理角平分线的问题时，常通过过角平分线上的点作角两边的垂线、延长线段、截取线段等方法，构造全等三角形．
作垂线 延长法 截取法
已知：点P在∠AOB的平分线OC上，PE⊥OA于点E. 作法：过点P作PF⊥OB于点F.结论：△POE≌△POF. 已知：点P在∠AOB的平分线OC上，PE⊥OC，交OA于点E. 作法：延长EP交OB于点F. 结论：△POE≌△POF. 已知：点P在∠AOB的平分线OC上，点E在射线OA上，连接PE.
作法：在OB上取点F，使OF＝OE，连接PF.
结论：△POE≌△POF.
5.如图5，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A＋∠C＝180°.求证：AD＝CD.
图5
答图5
证明：如答图5，过点D分别作DN⊥BC于点N，DM⊥BA交BA的延长线于点M，则∠DMA＝∠DNC＝90°.
∵BD平分∠ABC，∴DM＝DN.
∵∠BAD＋∠C＝180°，∠BAD＋∠DAM＝180°，
∴∠C＝∠DAM.
答图5
6.如图6，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，交AC于点E，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2＝∠1＋∠C.
图6
答图6
证明：如答图6，延长AD交BC于点F.
∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠FBD.
∵AD⊥BE，∴∠ADB＝∠FDB＝90°.
又∠DFB＝∠1＋∠C，∴∠2＝∠1＋∠C.(共22张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十二章 全等三角形
第4课时 全等三角形的判定(3)——ASA和AAS
1.掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；2.证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等；3.能用尺规作图：已知两角及其夹边作三角形．(核心素养：几何直观、推理能力、模型观念、应用意识)
课标要求
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
1.(衔接回顾)(1)全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
(2)全等三角形的判定：边边边(SSS)，边角边(SAS).
2．全等三角形的判定3，4
AC＝A′C′
BC＝B′C′
课堂讲练
运用“ASA”判定两个三角形全等
例1 如图1，点D，C分别在线段AB，AE上，ED与BC相交于点O，已知AD＝AC，∠ADE＝∠ACB.求证：△ABC≌△AED.
图1
训练 1.如图2，已知AD平分∠BAC，AD⊥BC.求证：△ABD≌△ACD.
图2
证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.
∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
运用“AAS”判定两个三角形全等
例2 如图3，AC＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠D.
求证：△ABC≌△ADE.
图3
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠EAB＝∠2＋∠EAB，即∠CAB＝∠EAD.
训练 2.如图4，AB＝BE，AB∥DE，∠D＝∠ACB.求证：AC＝BD.
图4
满足三个条件证明两个三角形全等时，共有四种判定方法：SSS(边边边)，SAS(边角边)，ASA(角边角)和AAS(角角边).注：SSA(边边角)和AAA(角角角)均不能证明两个三角形全等，即有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等；三角分别相等的两个三角形不一定全等．
课堂检测
1.(人教八上P44 T4改编)如图5，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：BD＝BC.
图5
“ASA”和“AAS”两种方法都可以证明这两个三角形全等，选其中一种即可．
图5
证明：∵∠3＝∠4，
∴180°－∠3＝180°－∠4，即∠ABD＝∠ABC.
(或通过∠D＝∠C，用“AAS”证明全等．)
2．(人教八上P44 T6)如图6，从C地看A，B两地的视角∠C是锐角，从C地到A，B两地的距离相等．A地到路段BC的距离AD与B地到路段AC的距离BE相等吗？为什么？
图6
解：A地到路段BC的距离AD与B地到路段AC的距离BE相等．
理由：由题意，得AC＝BC，AD⊥BC，BE⊥AC.
∴∠CDA＝∠CEB＝90°.
图6
3．【转化思想】如图7，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AE＝CE，BD＝DC，AD与CE相交于点F.
求证：(1)△AEF≌△CEB；(2)AF＝2BD.
图7
证明：(1)∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.∴∠B＋∠BAD＝90°.
∵CE⊥AB，∴∠AEF＝∠CEB＝90°.
∴∠B＋∠BCE＝90°.
∴∠BAD＝∠BCE，即∠EAF＝∠ECB.
图7
(2)∵△AEF≌△CEB，∴AF＝CB.
又BD＝DC，∴CB＝2BD.∴AF＝2BD.
随堂测
课时练
1．如图1，点B，E，C，F在同一直线上，BE＝FC，∠A＝∠D，∠ACB＝∠DEF.求证：△ABC≌△DFE.
图1
2．如图2，已知AB∥DE，∠ACB＝∠D，AC＝ED.求证：△ABC≌△EAD.
图2
循环练
3．如图3，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝35°，∠D＝100°，求∠ACB的度数．
图3(共21张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十二章 全等三角形
第6课时 角的平分线的性质(1)
1.能用尺规作图：作一个角的平分线；2.探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．(核心素养：几何直观、模型观念、推理能力、应用意识)
课标要求
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
1.(衔接回顾)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
如图1，P是直线l外一点，A，B，C，D均为直线l上的点，则点P到直线l的距离为线段__________的长．
图1
PC
2．角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离
__________．
如图2，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD＝PE.
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴__________＝__________＝90°.
∴△PDO≌△PEO(__________).∴PD＝PE.
图2
相等
∠PDO
∠PEO
∠PEO
OP
AAS
课堂讲练
尺规作图：作一个角的平分线
例1 尺规作图：如图3，作∠AOB的平分线．(保留作图痕迹)
作法：(1)以点O为圆心，__________为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
(2)分别以点__________为圆心，__________________为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
(3)画射线OC.
图3
适当长
M，N
答图1
解：如答图1，射线OC即为所求．
训练 1.尺规作图：如图4，在△ABC的边AB上作点P，使得∠ACP＝∠PCB.(不写作法，保留作图痕迹)
图4
答图2
解：如答图2，∠ACB的平分线与AB的交点P即为所求．
角的平分线的性质
例2 如图5，已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，PD＝10，则PE的长为__________.
图5
10
训练 2.如图6，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE⊥AB于点E.若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积为( )
A.15
B.13
C.12
D.10
图6
A
例3 (人教八上P51 T2改编)如图7，在△ABC中，AD平分∠BAC，D是BC边的中点，且DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：∠B＝∠C.
图7
证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.
∵D是BC边的中点，∴BD＝CD.
训练 3.(北师八下P32 T3改编)如图8，P，E是∠AOB的平分线上的点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D.求证：CE＝DE.
图8
证明：∵P是∠AOB的平分线上的点，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC＝PD，∠POC＝∠POD.
∵∠POC＋∠CPE＝90°，∠POD＋∠DPE＝90°，
∴∠CPE＝∠DPE.
课堂检测
1．如图9，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于点E.若BC＝7，BD＝4，则DE的长为( )
A．5
B．4
C．3
D．2
图9
C
2．(人教八上P50 T2改编)如图10，△ABC的两个外角的平分线BD与CE相交于点P.若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为_______．
图10
3
3．如图11，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF.求证：CF＝EB.
图11
证明：∵∠C＝90°，∴DC⊥AC.
又AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DE＝DC.
4．【模型观念】如图12，已知∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，P是射线OM上一动点，C，D分别为OA，OB上的点，且PC⊥PD，试猜想PC和PD之间的数量关系，并说明理由．
图12
答图3
解：PC＝PD.理由如下：
如答图3，过点P分别作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F.
∵OM平分∠AOB，∴PE＝PF.
∵∠AOB＝90°，∠PEO＝∠PFO＝90°，∴∠EPF＝90°.
又PC⊥PD，∴∠CPD＝90°.
∴∠EPF－∠CPF＝∠CPD－∠CPF，
即∠EPC＝∠FPD.
答图3
随堂测
课时练
1．如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝8，△ABD的面积为16，求DF的长．
图1
2．如图2，在△ABC中，∠A＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥BC于点D，DE＝DC.求证：BC＝AB＋AE.
图2
证明：∵BE平分∠ABC，AE⊥AB，ED⊥BC，
∴AE＝DE，∠A＝∠BDE＝90°.
∵BC＝DB＋DC，DE＝DC，∴BC＝AB＋AE.
循环练
3．如图3，AC与BD相交于点O，AD＝BC，添加一个条件：
______________________，使得△AOD≌△COB.(写出一个即可)
图3
∠A＝∠C(答案不唯一)(共21张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十二章 全等三角形
第2课时 全等三角形的判定(1)——SSS
1.掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等；2.能用尺规作图：作一个角等于已知角；已知三边作三角形．(核心素养：几何直观、推理能力、模型观念、空间观念)
课标要求
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
1.(衔接回顾)全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
2．全等三角形的判定1
AB＝A′B′
BC＝B′C′
AC＝A′C′
课堂讲练
运用“SSS”判定两个三角形全等
例1 如图1，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点．求证：△ABD≌△ACD.
图1
训练 1.(人教八上P37 T1改编)如图2，C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE.求证：∠D＝∠E.
图2
例2 (人教八上P44 T9改编)如图3，点E，C在线段BF上，且AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.求证：(1)△ABC≌△DEF；(2)AB∥DE.
图3
(2)∵△ABC≌△DEF，∴∠B＝∠DEF.∴AB∥DE.
训练 2.如图4，ED＝BF，AD＝CB，AF＝CE，点E，B，D，F在同一直线上．求证：AF∥CE.
图4
图5
尺规作图：作一个角等于已知角
例3 用直尺和圆规作一个角等于已知角．
如图5，已知∠AOB.求作：∠A′O′B′＝∠AOB.(不写作法，保留作图痕迹)
答图1
解：如答图1、答图2，∠A′O′B′即为所求．
答图2
训练 3.如图6，D为△ABC的边AB上一点．用直尺和圆规作∠ADE，交边AC于点E，使得∠ADE＝∠B.(不写作法，保留作图痕迹)
图6
答图3
解：如答图3，∠ADE即为所求．
课堂检测
1．如图7，已知AB＝DC，则要用“SSS”证明△ABC≌△DCB，还需添加的条件是__________.
图7
AC＝DB
2．(人教八上P37 T2改编)工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图8，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC，即可得∠AOC＝∠BOC.请说明理由．
图8
3．如图9，B是线段AC的中点，BE＝BD，AE＝CD.求证：(1)△ABE≌△CBD；(2)∠ABD＝∠CBE.
图9
(2)∵△ABE≌△CBD，∴∠ABE＝∠CBD.
∴∠ABE－∠DBE＝∠CBD－∠DBE，即∠ABD＝∠CBE.
4．【模型观念】如图10，AB＝CD，CB＝AD.求证：∠A＋∠B＝180°.
图10
连接AC，构造全等三角形．利用全等三角形的性质得到一组等角，再结合平行线进行证明．
答图4
随堂测
课时练
1．图1是用无刻度的直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，要说明∠A′O′B′＝∠AOB，需要证明△C′O′D′≌△COD，则判定这两个三角形全等的方法是__________.
图1
SSS
2．如图2，已知AC＝AD，BC＝BD.求证：△ABC≌△ABD.
图2
3．如图3，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，且AB＝DE，BF＝CE，AC＝DF.求证：AC∥DF .
图3
循环练
4．如图3，△ABC≌△DEF，点B，F，C，E在同一直线上．若CF＝8 cm，EF＝10 cm，则BF＝__________cm.
图3
2(共22张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十二章 全等三角形
第1课时 全等三角形
理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角．(核心素养：抽象能力、几何直观、空间观念、模型观念)
课标要求
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
概念
能够__________的两个图形叫做全等形．
能够__________的两个三角形叫做全等三角形．
注：1.全等用符号“________”表示，读作“全等于”；
2．全等形的特征：形状、大小都相同；
3．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上；
4．把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做__________，重合的边叫做__________，重合的角叫做__________.
完全重合
完全重合
≌
对应顶点
对应边
对应角
性质 举例
全等三角形的对应边__________， 全等三角形的对应角__________. 如图，△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌__________，其中点A和点D，点B和点E，点C 和点F是对应顶点；AB＝__________，BC＝__________，AC＝__________；∠A＝_________，∠B＝__________，∠C＝__________.
相等
相等
△DEF
DE
EF
DF
∠D
∠E
∠F
课堂讲练
全等形的概念
例1 下列各组中的两个图形属于全等形的是( )
训练 1.下列说法错误的是( )
A.能够完全重合的两个图形是全等形
B.面积相等的两个图形是全等形
C.形状、大小相同的两个图形是全等形
D.平移前后的两个图形全等
C
B
全等三角形的概念
例2 如图1，△ADC是由△ABC沿AC边所在的直线翻折得到的．
(1)△ABC≌__________；
(2)AB的对应边为______，BC的对应边为______；
(3)∠BAC的对应角为__________，∠B的对应角
为__________.
图1
△ADC
AD
DC
∠DAC
∠D
训练 2.如图2，△AOB绕点O旋转后与△COD重合．
(1)△AOB≌__________；
(2)对应边有_____________________________；
(3)对应角有_______________________________
________.
1.平移、翻折、旋转前后的图形全等．
2.找全等三角形对应边或对应角的方法：(1)“大对大，小对小”；(2)利用“≌”两边字母的对应关系找；(3)有公共边(角)的，公共边(角)一定是对应边(角).
图2
△COD
AB和CD，AO和CO，BO和DO
∠A和∠C，∠B和∠D，∠AOB和
∠COD
全等三角形的性质
例3 如图3，△ABC≌△DEF，点B，E，C，F在同一直线上．求证：(1)AB∥DE；(2)BE＝CF.
图3
证明：(1)∵△ABC≌△DEF，∴∠B＝∠DEF.
∴AB∥DE.
(2)∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF.
∴BC－EC＝EF－EC，即BE＝CF.
训练 3.(人教八上P33 T2改编)如图4，△ABE≌△ACD，点B，D，E，C在同一直线上．
(1)求证：∠BAD＝∠CAE；
(2)若BE＝8，CE＝3，求DE的长．
图4
(1)证明：∵△ABE≌△ACD，
∴∠BAE＝∠CAD.
∴∠BAE－∠DAE＝∠CAD－∠DAE，即∠BAD＝∠CAE.
(2)解：∵△ABE≌△ACD，∴CD＝BE＝8.
∴DE＝CD－CE＝8－3＝5.
课堂检测
1．如图5，已知△ABO≌△CDO，则下列结论不正确的是( )
A.AB＝OD
B．∠A＝∠C
C．AD＝CB
D．∠AOB＝∠COD
图5
A
2．(人教八上P33 T3改编)已知图6中的两个三角形全等，则∠α的度数是__________.
3．如图7，已知△ABC≌△DCB，AC＝7，BE＝5，则DE的长为__________.
图7
图6
72°
2
4．如图8，已知△ABC≌△FED，AF＝8，BE＝2.
(1)判断AC与DF的位置关系，并说明理由；
(2)求AB的长．
图8
解：(1)AC∥DF.理由如下：
∵△ABC≌△FED，∴∠A＝∠F.∴AC∥DF.
(2)∵△ABC≌△FED，∴AB＝FE.
∴AF＝AB＋FE－BE＝2AB－BE.
∵AF＝8，BE＝2，∴8＝2AB－2.∴AB＝5.
5．(人教八上P33 T5改编)如图9，△ABC≌△ADE，点E在边BC上，AB与DE相交于点F.求证：(1)∠CAE＝∠BAD；(2)∠BED＝∠BAD.
图9
证明：(1)∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE.
∴∠BAC－∠BAE＝∠DAE－∠BAE，
即∠CAE＝∠BAD.
(2)∵△ABC≌△ADE，∴∠B＝∠D.
又∠BFE＝∠AFD，
∴∠BED＝180°－∠B－∠BFE＝180°－∠D－∠AFD＝∠BAD.
6．【空间观念】如图10，点A，B，C在同一直线上，点E在BD上，且△ABD≌△EBC.
(1)请写出AC与BD的位置关系：__________；
(2)请写出AD与CE的位置关系：__________．
图10
AC⊥BD
AD⊥CE
随堂测
课时练
1．下列各选项中的两个图形属于全等形的是( )
C
2．如图1，△ABE≌△ACD.
(1)对应边：AB＝_________，AE＝_________，BE＝_________；
(2)对应角：∠A＝_______，∠B＝________，∠AEB＝________．
图1
AC
AD
CD
∠A
∠C
∠ADC
3．如图2，△ABC≌△DEF，点B，C，E，F在同一直线上．若CF＝4，EC＝1，则BC的长是( )
A．3
B．4
C．5
D．6
图2
A
4．如图3，△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应点．如果∠D＝80°，∠CAB＝40°，那么∠DAB的度数是( )
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
图3
B
循环练
5．正多边形的一个外角的度数为30°，则这个正多边形的边数为
__________.
12(共23张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十二章 全等三角形
第7课时 角的平分线的性质(2)
探索并证明角平分线的性质定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．(核心素养：几何直观、模型观念、推理能力、应用意识)
课标要求
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
1.(衔接回顾)角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
2．角的平分线的判定：角的内部到角的两边的距离__________的点在角的平分线上．
如图，P是∠AOB内一点，PC⊥OA，PD⊥OB，
垂足分别是C，D，PC＝PD.
求证：∠POC＝∠POD.
相等
证明：如图，连接OP.
∵PC⊥OA，PD⊥OB，
∴__________＝__________＝90°.
∴Rt△OPC≌Rt△OPD(__________).∴∠POC＝∠POD.
∠PCO
∠PDO
OP
OP
HL
课堂讲练
角的平分线的判定
例1 如图1，ME⊥AB于点E，MF⊥BC于点F，且ME＝MF，∠ABC＝70°.求∠EBM的度数．
图1
训练 1.如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，ED⊥AB于点D，CE ＝DE.若∠A＝30°，求∠CBE的度数．
图2
解：∵∠C＝90°，∴EC⊥BC.
又ED⊥AB，CE＝DE，∴BE平分∠ABC.
例2 (人教八上P55 T5)如图3，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF.求证：AD是△ABC的角平分线．
图3
证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°.
又DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC，即AD是△ABC的角平分线．
训练 2.如图4，CE⊥AB，BF⊥AC，垂足分别为E，F，BE＝CF，CE和BF相交于点D，连接AD.求证：点D在∠BAC的平分线上．
图4
角的平分线的实际应用
例3 如图5，铁路和公路都经过P地，曲线MN是一条河流，现欲在河上建一个货运码头Q，使其到铁路和公路的距离相等．请用直尺和圆规标出码头Q的位置．(不写作法，保留作图痕迹)
图5
答图1
解：如答图1，点Q即为所求．
训练 3.某国际帆船中心的外形是一个三角形(如图6)，要在它的内部修建一处公共服务设施(用点P表示)，使它到三条路AB，BC，AC的距离相等．试在图中确定公共服务设施P的位置．(不写作法，保留作图痕迹)
图6
答图2
解：如答图2，点P即为所求．
课堂检测
1．在由小正方形组成的网格中，∠AOB的位置如图7所示，到∠AOB两边的距离相等的点是( )
A．点M
B．点N
C．点P
D．点Q
图7
A
2.如图8，某市准备在一块由三条公路围成的△ABC区域内设立一个大型超市，要求超市到三条公路的距离相等，则超市应建立在△ABC的( )
A．三条高线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边垂线的交点
图8
三角形的三条角平分线交于一点，这个点到三角形三边的距离相等．
C
3．如图9，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，∠A＝64°，则∠BOC的度数为__________.
图9
122°
4．如图10，已知AB∥CD，点P到AB，BC，CD的距离相等，则∠P＝__________°.
图10
90
5．(人教八上P52 T7改编)如图11，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC.
(1)求证：AE平分∠BAD；
图11
答图3
证明：如答图3，过点E作EF⊥AD于点F.
又∠C＝90°，DE平分∠ADC，∴CE＝FE.
∵E是BC的中点，∴BE＝CE.∴BE＝FE.
又∠B＝90°，EF⊥AD，∴AE平分∠BAD.
(2)判断AB，CD，AD之间的数量关系，并说明理由．
答图3
解：AD＝AB＋CD.
理由：由(1)知FE＝CE.
同理可得AF＝AB.
∴AD＝AF＋DF＝AB＋CD.
随堂测
课时练
1．如图1，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B，PA＝PB，∠POB＝26°，则∠APO＝__________°.
图1
64
2．如图2，DA＝DB，P是OD上一点，PM⊥BD于点M，PN⊥AD于点N，且PM＝PN.求证：OD平分∠AOB.
图2
证明：∵PM⊥BD，PN⊥AD，PM＝PN，
∴DP平分∠ADB.
∴∠BDO＝∠ADO.
3．如图3，在公路BC上找一点O修建加油站，使加油站到公路AB和公路AC的距离相等，请确定这个加油站O的位置．(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
图3
答图1
解：如答图1，∠BAC的平分线与BC的交点O即为所求．
循环练
4．如图4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为E.若BC＝5，DE＝2，则△BCD的面积为__________.
图4
5(共35张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十二章 全等三角形
第十二章 章末复习
全国视野
基础练习
综合运用
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相等．
拓展：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等；②全等三角形的周长相等、面积相等．
图1
1．已知△ABC≌△DEF，点A和点D，点B和点E是对应顶点，∠A＝50°，∠E＝60°，则∠C的度数为__________.
2.如图1，△ABC≌△DEC，点B，C，D在一条直线上，且CE＝1，CD＝2，则AE的长是__________.
70°
1
全等三角形的判定
判定方法：SSS，SAS，ASA，AAS，HL.
根据已知条件灵活选用判定方法：
(1)已知两边对应相等，找第三边(或它们的夹角)对应相等；
(2)已知一边一角分别对应相等，找另一组角(或这个角的另一组邻边)对应相等；
(3)已知两角对应相等，找任意一组边对应相等．
3.如图2，已知BC＝BD，那么添加下列条件后，仍无法判定△ABC≌△ABD的是( )
A.∠ABC＝∠ABD
B．∠C＝∠D＝90°
C.∠CAB＝∠DAB
D．AC＝AD
图2
C
角的平分线的性质与判定
1．角的平分线的性质：角的平分线上的点到
角的两边的距离相等．
2.角的平分线的判定：角的内部到角的两边的
距离相等的点在角的平分线上．
如图3，已知∠AOB，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M，N.
图3
4.如图4，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB.若AC＝2，DE＝1，则点D到AC的距离是__________，S△ACD＝__________.
图4
1
1
尺规作图
1．作一个角等于已知角(∠AOB)(原理：SSS)：如图5.
2．作一个角(∠AOB)的平分线(原理：SSS)：如图6.
图5
图6
5.(人教八上P50 T1)如图7，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等．(不要求写作法，保留作图痕迹)
图7
答图1
解：如答图1，∠AOB的平分线与MN的交点P即为所求．
基础练习
1．若图8中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数为( )
A.52°
B．60°
C．68°
D．128°
图8
A
2．如图9，若△ABE≌△ACF，且AB＝8，AE＝3，则EC的长为
( )
A．4
B．5
C．6
D．7
图9
B
3．如图10，AC与BD相交于点O，OA＝OD，∠B＝∠C，不添加辅助线，可直接判定△ABO≌△DCO的依据是( )
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．HL
图10
C
4．如图11，AP平分∠CAB，PD⊥AC于点D.若PD＝6，E是边AB上一动点，关于线段PE的长度，下列说法正确的是( )
A．PE＝6
B．PE＞6
C．PE≤6
D．PE≥6
图11
D
5．如图12，在△ABC和△FED中，AC＝FD，AC⊥BC，FD⊥ED，且AE＝FB，∠A＝70°，则∠DEF的度数是( )
A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
图12
B
6．如图13，点B，E，C，F在一条直线上，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE.若要使△ABC≌△DFE，则还需添加一个条件：_____________________.(写出一个即可)
图13
BC＝FE(答案不唯一)
图14
45
8．如图15，△ABC和△ADE有共同的顶点A，AB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠CAE.求证：△ABC≌△ADE.
图15
9．如图16，AC＝BC，点E，C，F在一条直线上，且AE⊥EF，BF⊥EF.若AE＝CF＝3，BF＝4.5，求EF的长．
图16
10.(2023淮安)已知：如图17，点D为线段BC上一点，BD＝AC，∠E＝∠ABC，DE∥AC.求证：DE＝BC.
图17
11．如图18，在△ABC中，D为边AB上一点，E为AC的中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连接CF.
(1)求证：AB∥CF；
图18
(2)若∠B＝50°，AC平分∠BCF，求∠A的度数．
图18
解：∵AB∥CF，∴∠B＋∠BCF＝180°.
又∠B＝50°，
∴∠BCF＝180°－50°＝130°.
综合运用
12．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图19，在△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD.请根据小明的方法思考：
(1)根据题干条件能得到△ADC≌△EDB的方法
是( )
A．SSS B．SAS
C．AAS D．HL
图19
B
(2)求AD的取值范围．
图19
解：由(1)知△ADC≌△EDB，∴EB＝AC＝6.
在△ABE中，由三角形三边关系，
得AB－EB
即8－6＜2AD＜8＋6.
∴1＜AD＜7.
13．如图20，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E在一条直线上，连接BD.
(1)求证：△BAD≌△CAE；
图20
证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE.
(2)试猜想BD与CE之间的位置关系，并进行证明．
图20
解：BD⊥CE.
证明：∵∠DAE＝90°，∴∠E＋∠ADE＝90°.
∵△BAD≌△CAE，∴∠BDA＝∠E.
∴∠BDA＋∠ADE＝90°，即∠BDE＝90°.
∴BD⊥CE.
14.【课本再现】在人教版八年级上册数学教材P53数学活动中有这样一段描述：如图21①，四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB.我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
【性质探究】(1)设AC与BD相交于点O，
试猜想筝形的对角线AC与BD之间有什么位
置关系？并用全等三角形的知识证明你的
猜想．
图21
图21
【拓展探究】(2)如图21②，若D为△ABC内一点，且BD平分∠ABC，AD＝CD，求证：∠BAD＝∠BCD.
图21
答图2
证明：如答图2，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F.
全国视野
15．(2023甘孜州)如图22，AB与CD相交于点O，AC∥BD，只添加一个条件，能判定△AOC≌△BOD的是( )
A．∠A＝∠D
B．AO＝BO
C．AC＝BO
D．AB＝CD
图22
B
16．(2023长春)如图23，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′，BB′的中点，只要量出A′B′的长度，就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是( )
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应
线段成比例
D．两点之间线段最短
图23
A
17．(2023衢州)已知：如图24，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面四个条件：
①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF.
(1)请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF(写出一种情况即可)．
(2)在(1)的条件下，求证：△ABC≌△DEF.
图24
(1)解：选择的三个条件是：①②③.
(或者选择的三个条件是：①③④.)
(2)证明：∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF.
图24
[或选择①③④的证明如下：
∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF.