(共24张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十三章 轴对称
第8课时 等边三角形的性质与判定
1.探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°；2.探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形．(核心素养：几何直观、推理能力、模型观念、应用意识)
课标要求
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
等边三角形的性质 图示 等边三角形的判定
(1)三边都相等； (2)三个内角都相等且都等于__________； (3)三线合一； (4)是轴对称图形，有__________条对称轴． (1)三边都相等的三角形是等边三角形；
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；
(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
60°
3
课堂讲练
等边三角形的性质
例1 如图1，在等边三角形ABC中，AD平分∠BAC，则下列说法正确的是__________.(填序号)
①AB＝BC＝AC；
②∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；
③∠ADC＝90°；
④AB＝2BD.
图1
①②③④
训练 1.如图2，在等边三角形ABC中，CD⊥AB，BC＝2，则BD的长为__________，∠ACD的度数为__________.
图2
1
30°
例2 (人教八上P93 T13)如图3，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD.求证：DB＝DE.
图3
等边三角形的判定
例3 如图4，∠A＝∠B＝60°，CE∥DA，CE交AB于点E.求证：△CEB是等边三角形．
图4
证明：∵CE∥DA，∴∠CEB＝∠A＝60°.
又∠B＝60°，
∴∠BCE＝180°－∠CEB－∠B＝60°.
∴∠CEB＝∠B＝∠BCE.
∴△CEB是等边三角形．
训练 2.如图5，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°.点D，E在BC边上，且AD⊥AC，AE⊥AB.求证：△ADE是等边三角形．
图5
∵AD⊥AC，AE⊥AB，
∴∠CDA＝90°－∠C＝60°，∠BEA＝90°－∠B＝60°.
∴∠DAE＝180°－∠CDA－∠BEA＝60°.
∴∠CDA＝∠BEA＝∠DAE.∴△ADE是等边三角形．
等边三角形的性质与判定的综合
例4 (人教八上P80 例4改编)如图6，△ABC是等边三角形，D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC.求证：
(1)△ADE是等边三角形；
图6
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C.
∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.
∴∠A＝∠ADE＝∠AED.∴△ADE是等边三角形．
(2)BD＝CE.
图6
证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE.
∴AB－AD＝AC－AE，即BD＝CE.
训练 3.如图7，△ABD和△BCD都是等边三角形，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF.求证：
(1)△BDE≌△BCF；
图7
(2)△BEF是等边三角形．
图7
证明：由(1)，得△BDE≌△BCF.
∴∠DBE＝∠CBF，BE＝BF.
∴△BEF是等腰三角形．
∵△BCD是等边三角形，
∴∠DBC＝∠DBF＋∠CBF＝60°.
∴∠DBF＋∠DBE＝60°，即∠EBF＝60°.
∴△BEF是等边三角形．
课堂检测
1．如图8，在等边三角形ABC中，延长BC到点D，使CD＝BC，连接AD，则∠D＝__________°.
图8
30
2．如图9，在四边形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，且AD＝BD.求证：△ABD是等边三角形．
图9
证明：∵AD＝BD，∴∠A＝∠ABD.
∵BD平分∠ADC，∴∠ADB＝∠BDC.
∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC.
∴∠ABD＝∠ADB＝∠A.
∴△ADB为等边三角形．
3．如图10，△ABD与△AEC都是等边三角形，连接DC，BE.求证：DC＝BE.
图10
证明：∵△ABD与△AEC都是等边三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝60°.
∴∠DAB－∠CAB＝∠CAE－∠CAB，
即∠DAC＝∠BAE.
4．(人教八上P93 T11)如图11，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF.求证：△DEF是等边三角形．
图11
证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C.
又AD＝BE＝CF，
∴AB－AD＝BC－BE＝AC－CF，即BD＝CE＝AF.
同理可得DE＝EF.∴DE＝EF＝FD.
∴△DEF是等边三角形．
随堂测
课时练
1．在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝60°，则BC的长为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
A
2．如图1，AB∥CD，AC与BD相交于点O，若OA＝OB，∠A＝60°.求证：△OCD是等边三角形．
图1
证明：∵OA＝OB，∴∠A＝∠B＝60°.
又AB∥DC，∴∠A＝∠C＝60°，∠B＝∠D＝60°.
∴∠COD＝180°－∠C－∠D＝60°.
∴∠COD＝∠D＝∠C.
∴△OCD是等边三角形．
3．如图2，点P在等边三角形ABC内，点D在△ABC外，且∠ABP＝∠ACD，BP＝CD.
(1)求证：△ABP≌△ACD；
图2
(2)请判断△APD的形状，并说明理由．
图2
解：△APD是等边三角形．
理由：∵△ABP≌△ACD，
∴AP＝AD，∠BAP＝∠CAD.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAP＋∠PAC＝∠BAC＝60°.
∴∠CAD＋∠PAC＝∠PAD＝60°.
∴△APD是等边三角形．
循环练
4．在△ABC中，∠A＝80°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B的度数为__________________.
20°或50°或80°(共22张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十三章 轴对称
第2课时 线段的垂直平分线的性质(1)
理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．(核心素养：几何直观、空间观念、推理能力、模型观念)
课标要求
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
文字描述 几何语言 图示
概念 经过线段__________并且__________于这条线段的直线，叫做这条线段的____________. ∵AC＝BC，直线l⊥AB， ∴直线l是线段AB的垂直平分线．
性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离__________. ∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴PA＝PB.
判定 与线段两个端点距离__________的点在这条线段的垂直平分线上． ∵PA＝PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上．
中点
垂直
垂直平分线
相等
相等
课堂讲练
线段的垂直平分线的性质
例1 如图1，在△ABC中，直线AD是BC的垂直平分线，下列结论正确的是____________．(填序号)
①∠AEC＝90°；
②BE＝CE；
③AB＝AC；
④DB＝DC.
图1
①②③④
训练 1.如图2，已知AC垂直平分BD，交BD于点E，下列结论正确的是__________．(填序号)
①△ABE≌△ADE；
②AB＝AD；
③CA平分∠BCD；
④∠ABC＝∠ADC；
⑤∠BAD＝∠BCD.
图2
①②③④
例2 如图3，在△ABC中，边AB的垂直平分线DE分别交AB，AC于点E，D.若AC＝4 cm，BC＝2 cm，则△BCD的周长是__________cm.
图3
6
训练 2.如图4，在△ABC中，边AB的垂直平分线DE分别交AB，BC于点E，D.若BC＝12，AD＝8，则CD的长为__________.
图4
4
线段的垂直平分线的判定
例3 (人教八上P62 T2改编)如图5，已知AB＝AC，MB＝MC.求证：直线AM是线段BC的垂直平分线．
图5
证明：∵AB＝AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上．
∵MB＝MC，
∴点M在线段BC的垂直平分线上．
∴直线AM是线段BC的垂直平分线．
训练 3. 如图6，OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D，连接CD.求证：OE是线段CD的垂直平分线．
图6
证明：∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴CE＝DE.∴点E在线段CD的垂直平分线上．
∴OC＝OD.∴点O在线段CD的垂直平分线上．
∴OE是线段CD的垂直平分线．
课堂检测
1．如图7，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，下列结论不一定成立的是( )
A.AD＝BD
B．∠ADE＝90°
C．BE＝AE
D．DE＝AD
图7
D
2．如图8，若AC＝AD，BC＝BD，则有( )
A．CD平分∠ACB
B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分
D．AB垂直平分CD
图8
D
3．(人教八上P65 T6改编)如图9，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，若△ABC的周长为20 cm，
图9
转化思想：将周长分解为线段之和，根据垂直平分线的定义和性质可得线段相等，再将得到的相等线段进行等量代换．△ABD的周长为12 cm，求AE的长．
解：∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，AE＝CE.
∵△ABC的周长为20 cm，
∴AB＋BC＋AC＝20 cm.
图9
4．(人教八上P66 T9)如图10，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE.求证：OE垂直平分BD.
图10
又BE＝DE，∴点E在线段BD的垂直平分线上．
∴OE是线段BD的垂直平分线，即OE垂直平分BD.
5．如图11，DE是AB的垂直平分线，GF是AC的垂直平分线，点B，E，G，C在同一直线上．若BC＝8，则△AEG的周长为__________．
图11
8
6．(人教八上P66 T13)如图12，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P.
(1)求证：PA＝PB＝PC.
(2)点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你
还能得出什么结论？
图12
(1)证明：∵边AB，BC的垂直平分线交于点P，
∴PA＝PB，PB＝PC.∴PA＝PB＝PC.
(2)解：∵PA＝PC，∴点P也在边AC的垂直平分线上．
结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这个点到三角形三个顶点的距离相等．
随堂测
课时练
1．如图1，直线CD是线段AB的垂直平分线，若AC＝3 cm，则BC的长为__________cm.
2．如图2，AC垂直平分BD，AB＝1，CD＝3，则四边形ABCD的周长为__________.
图1
图2
3
8
3．如图3，在△ABC中，直线DE垂直平分BC，分别交AC，BC于点D，E，连接BD.若CE＝4，△BDC的周长为18，求BD的长．
图3
解：∵DE垂直平分BC，∴CD＝BD，CE＝BE.
又CE＝4，∴BE＝4.
∴BC＝BE＋CE＝8.
∵△BDC的周长＝BD＋CD＋BC＝18，
∴BD＋CD＝10.
∴BD＝5.
循环练
4．下面4个汉字图形中，可以看作是轴对称图形的是( )
A(共21张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十三章 轴对称
第1课时 轴对称
1.理解轴对称图形的概念；2.认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形；3.通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分．(核心素养：几何直观、空间观念、推理能力、应用意识)
课标要求
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
轴对称图形 成轴对称
概念 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做____________，这条直线就是它的__________. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线_____________，这条直线叫做___________，折叠后重合的点是对应点，叫做__________.
性质 轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
轴对称图形
对称轴
(成轴)对称
对称轴
对称点
轴对称图形 成轴对称
举例 如图，正五边 形__________ (填“是”或 “不是”)轴对 称图形，直线l___________线段AA′，BB′. 如图，△ABC沿直
线MN折叠后与
△DEF重合，则
△ABC和△DEF
成_________，直线MN是_______，且点A的对称点是点________，点B的对称点是点________.直线MN是线段AD，BE，CF的_____________.
是
垂直平分
轴对称
对称轴
D
E
垂直平分线
课堂讲练
轴对称图形
例1 剪纸是我国历史悠久的民间艺术，下列四个剪纸图案为轴对称图形的是( )
训练 1.下列交通标志中，是轴对称图形的是( )
C
D
两个图形成轴对称
例2 视力表中的字母“E”有各种不同的摆放方向，下列图中的两个“E”不能关于某一条直线成轴对称的是( )
D
训练 2.下列图形中，△A′B′C′与△ABC关于直线MN成轴对称的是
( )
B
轴对称的性质
例3 如图1，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列结论不一定正确的是( )
A.AC＝A′C′
B.BO＝B′O
C.AA′⊥MN
D.AB∥B′C′
图1
D
训练 3.如图2，△ABC与△ADE关于直线l对称，下列结论：
①△ABC≌△ADE；
②∠B＝∠D；
③BC＝DE；
④l垂直平分CE；
⑤BC与DE的延长线的交点一定在直线l上．
其中正确的有____________．(填序号)
图2
①②③④⑤
轴对称图形 成轴对称
区别 一个图形 两个图形
联系 1.沿一条直线(对称轴)折叠，直线两旁的部分能够互相重合(即直线两旁的部分全等)； 2．把成轴对称的两个图形看成一个整体，这个图形就是轴对称图形；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称．
课堂检测
1．(2023广东)下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为( )
2．如图3，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
若∠A＝50°，∠C′＝30°，则∠B的度数为________.
图3
A
100°
3．如图4，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．若DE＝4 cm，CF＝1 cm，则BF的长为__________cm.
图4
3
4．如图5，在Rt△ACB中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，△ABD与△AB′D关于直线AD对称，点B的对称点是点B′.若∠B′AC＝14°，则∠B的度数为__________．
图5
找到几何图形中关于直线对称的部分，根据轴对称的性质得到角度相等，再结合三角形内角和定理进行计算．
52°
5．【空间观念】如图6，将一张正方形纸片对折两次，并剪去一个小正方形，打开后的图形是( )
图6
A
随堂测
课时练
1．(2023深圳)下列图形中，为轴对称的图形的是( )
D
2．下列说法正确的是( )
A．能够完全重合的两个图形成轴对称
B．全等的两个图形成轴对称
C．形状相同的两个图形成轴对称
D．沿一条直线对折后能够重合的两个图形成轴对称
D
3．如图1，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，下列结论中正确的有
__________.(填序号)
①AB＝A′C′；
②∠A＝∠A′；
③点B与点B′到直线l的距离相等；
④S△ABC＝S△A′B′C′.
图1
②③④
循环练
4．如图2，已知△ABC≌△ADC，∠B＝30°，∠BAC＝23°，则∠ACD的度数为( )
A．120°
B．125°
C．127°
D．104°
图2
C(共19张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十三章 轴对称
第9课时 含30°角的直角三角形
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
几何语言：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴AC＝__________AB(或AB＝2 )．
AC
课堂讲练
含30°角的直角三角形的性质
例1 如图1 ，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，BC＝10，则AC＝__________.
训练 1. 如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，则AB的长为__________.
图1
图2
5
6
含30°角的直角三角形的简单应用
例2 如图3，用一条钢丝绳固定竖杆BC，钢丝绳与地面的夹角为30°，若竖杆BC的高为12 m，则所需钢丝绳AC的长为__________m.
图3
24
训练 2.图4是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h为__________m．
图4
4
含30°角的直角三角形的综合运用
例3 如图5，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AD⊥AB，交BC于点D，AD＝4.求：
(1)BD的长；
(2)BC的长．
图5
解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°.
又AB⊥AD，∴BD＝2AD＝2×4＝8.
(2)∵AB⊥AD，∴∠ADB＝90°－∠B＝60°.
∴∠DAC＝∠ADB－∠C＝30°.∴∠DAC＝∠C.
∴CD＝AD＝4.∴BC＝BD＋CD＝8＋4＝12.
训练 3.如图6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AM平分∠BAC，AM＝15，求BC的长．
图6
解：∵∠C＝90°，∠BAC＝60°，
∴∠B＝180°－∠C－∠BAC＝30°.
例4 如图7，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥
AB于点D，AD＝2.求：
(1)AC的长；(2)AB的长．
图7
解：(1)∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝180°－∠B－∠ACB＝60°.
∵CD⊥AB，∴∠ACD＝90°－∠A＝30°.
∴AC＝2AD＝4.
(2)在Rt△ABC中，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝8.
课堂检测
1．如图8，等边三角形ABC的边长为4，AD是△ABC的边BC上的高，过点D作DE⊥AC于点E，则CD的长为__________，CE的长为__________.
2．如图9，一棵树在一次强台风中于离地面4 m处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，则这棵树在折断前的高度为__________m.
图8
图9
2
1
12
3．(人教八上P81 例5改编)图10是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝7.4 m，∠A＝30°.求：
(1)立柱BC的长；
(2)立柱DE的长．
图10
4．如图11，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交AB于点D，交BC于点E，BE＝6 cm.求AC的长．
图11
5．【分类讨论】如图12，△ABC是边长为3 cm的等边三角形，动点P，Q分别从A，B两点同时出发，沿AB，BC方向以1 cm/s的速度移动，当点P到达点B时，P，Q两点都停止运动．设点P的运动时间为t s．
(1)当动点P，Q运动2 s时，BP＝__________cm，
BQ＝__________cm；
(2)当动点P，Q运动t s时，BP＝__________cm，
BQ＝__________cm；(用含t的式子表示)
(3)当t＝__________时，△PBQ是直角三角形．
图12
1
2
(3－t)
t
1或2
随堂测
课时练
1．如图1，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，则BC＝__________.
2．如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D，BD＝3 cm，则CD的长为( )
A．3 cm B．6 cm
C．9 cm D．12 cm
图1
图2
2
B
3．如图3，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D.若CD＝3，求AD，BC的长．
图3
解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD.
∴∠BAD＝∠B＝30°.
∵∠C＝90°，∴∠CAB＝90°－∠B＝60°.
∴∠DAC＝∠CAB－∠BAD＝30°.
∴AD＝2CD＝6.
∴BD＝AD＝6.∴BC＝BD＋CD＝6＋3＝9.
循环练
4．如图4，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝AC，若BC＝6，则△ABC的周长为( )
A．12
B．15
C．18
D．14
图4
C(共18张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十三章 轴对称
微专题4 特殊三角形中常用的辅助线
类型 利用等腰三角形“三线合一”作辅助线
方法点拨：当题干中出现等腰三角形(有两边相等的三角形)时，常采用过顶点作高(垂线段)或连接顶点和底边中点(中线)的方式作辅助线，从而利用等腰三角形三线合一的性质进行解题．
1.如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D为BC的中点，DE⊥AC于点E，AE＝2，求CE的长．
图1
答图1
解：如答图1，连接AD.
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，∠B＝∠C.
∵DE⊥AC，∴∠ADE＝90°－∠DAC＝30°.
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，
∴AD＝2AE＝4.
在Rt△ACD中，∠C＝30°，
∴AC＝2AD＝8.
∴CE＝AC－AE＝8－2＝6.
答图1
2.如图2，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC，交BC于点D，E是AD上一点，连接BE，CE，AE＝CE.求证：BE⊥AB.
图2
答图2
证明：如答图2，过点E作EF⊥AC于点F，则∠AFE＝90°.
∵AE＝CE，EF⊥AC，
∴F为AC的中点，即AC＝2AF.
又AC＝2AB，∴AB＝AF.
∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE.
答图2
类型 利用特殊角构造含30°角的直角三角形
方法点拨：当题干中出现30°或与之有关的角(如15°，60°等)时，可以构造含30°角的直角三角形，从而利用含30°角的直角三角形的性质(30°角所对的直角边等于斜边的一半)，解决求线段长度或证明线段数量关系等问题．
3.如图3，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝∠C＝15°，求△ABC的面积．
图3
答图3
解：如答图3，过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D.
4.如图4，在四边形ABCD中，∠A＝30°，∠B＝90°，∠D＝120°.若AD＝8，BC＝2，求CD的长．
图4
答图4
解：如答图4，延长AD，BC交于点E.
在△ABE中，∠A＝30°，∠B＝90°，
∴∠E＝90°－∠A＝60°，AE＝2BE.
∵∠ADC＝120°，∴∠EDC＝180°－∠ADC＝60°.
∴∠ECD＝180°－∠E－∠EDC＝60°.∴∠E＝∠EDC＝∠ECD.
∴△EDC是等边三角形．∴CE＝DE＝CD.
设CD＝CE＝DE＝x，
则BE＝BC＋CE＝2＋x，AE＝AD＋DE＝8＋x.
∵AE＝2BE，
∴8＋x＝2(2＋x).
解得x＝4.
∴CD＝4.
答图4
类型 利用“倍角关系”构造等腰三角形
方法点拨：当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，可以通过“截长补短法”作辅助线，将倍角转化，构造出新的等腰三角形，再进行线段的等量代换．
5.如图5，在△ABC中，∠C＝2∠B，AD是BC边上的高．求证：AC＋CD＝BD.
下面是甲、乙两位同学的思路，请你选择其中一种思路进行证明．
甲：截长法，在BD上截取DE＝CD，连接AE……
乙：补短法，延长BC至点F，使得CF＝AC，
连接AF……
图5
解：选择甲：截长法．
证明：如答图5，在BD上截取DE＝CD，连接AE.
答图5
∵DE＝CD，AD⊥BC，∴AD垂直平分CE.
∴AE＝AC.∴∠AEC＝∠C.
又∠C＝2∠B，
∴∠AEC＝∠B＋∠BAE＝2∠B.
∴∠B＝∠BAE.∴BE＝AE.∴BE＝AC.
∴BD＝BE＋DE＝AC＋CD，即AC＋CD＝BD.
(或选择乙：补短法．
证明：如答图6，延长BC至点F，使得CF＝AC，连接AF，则∠F＝∠CAF.
答图6
∴∠ACB＝∠F＋∠CAF＝2∠F＝2∠B.
∴∠B＝∠F.∴AB＝AF.
又AD⊥BC，
∴BD＝DF＝CD＋CF＝CD＋AC，
即AC＋CD＝BD.)
6.如图6，在△ABC中，∠C＝2∠A，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：AB＝CD＋BC.
图6
答图7
证明：如答图7，在AB上截取BE＝BC，连接DE.
又∠C＝2∠A，∴∠BED＝2∠A.
又∠BED＝∠A＋∠ADE，∴∠A＝∠ADE.∴AE＝DE＝CD.
∴AB＝AE＋BE＝CD＋BC.
[或：如答图8，延长BC至点F，使得CF＝CD，连接DF，则∠F＝∠CDF.
∴∠ACB＝∠F＋∠CDF＝2∠F.
答图8
又∠ACB＝2∠A，∴∠A＝∠F.
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠FBD.
类型 利用垂直平分线的性质作辅助线
方法点拨：当题干中出现已知线段的垂直平分线时，常需要连接垂直平分线上的点和已知线段的端点，根据线段的垂直平分线的性质，即可得到一组相等线段，进而求解．
7.如图7，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，连接AD，∠C＝70°，∠CAD＝20°.求证：BE＝AC.
图7
答图9
证明：如答图9，连接AE.
∵EF垂直平分AB，∴AE＝BE.
∵∠C＝70°，∠CAD＝20°，
∴∠ADC＝90°，即AD⊥BC.
又D是线段CE的中点，∴AD垂直平分CE.
∴AE＝AC.∴BE＝AC.(共21张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十三章 轴对称
第6课时 等腰三角形的性质
1.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合；2.探索等腰三角形的轴对称性质．(核心素养：几何直观、推理能力、模型观念、应用意识)
课标要求
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
等腰三角形的性质 几何语言 图示
性质1：等腰三角形的两个底角__________(简写成“等边对等角”)． 在△ABC中，AB＝AC， ∴∠B＝________.
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)． 如：在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，BD＝________.
相等
∠C
CD
课堂讲练
等腰三角形“等边对等角”的性质
例1 在下列等腰三角形中(图1)，已知AB＝AC，请写出x的值．
(1)x＝__________； (2)x＝__________.
图1
50
30
训练 1.在下列等腰三角形中(图2)，已知AB＝AC，请写出x的值．
(1)x＝__________； (2)x＝__________.
图2
45
80
例2 如图3，在△ABC中，D是AC边上一点，连接BD.已知AB＝BD＝CD，∠C＝40°，求∠A的度数．
图3
解：∵BD＝CD，∴∠DBC＝∠C＝40°.
∴∠BDA＝∠DBC＋∠C＝80°.
∵AB＝BD，∴∠A＝∠BDA＝80°.
训练 2.如图4，在△ABC中，点D在AC边上，且AD＝BD＝BC.已知∠A＝35°，求∠CBD的度数．
图4
解：∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝35°.
∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝70°.
∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝70°.
∴∠CBD＝180°－∠C－∠BDC＝40°.
等腰三角形“三线合一”的性质
例3 如图5，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D.若∠BAC＝108°，求∠BAD的度数．
图5
训练 3.如图6，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE＝∠BAD.
图6
证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD.
∴∠CAD＝90°－∠C.
∵BE⊥AC，∴∠CBE＝90°－∠C.
∴∠CBE＝∠CAD.∴∠CBE＝∠BAD.
课堂检测
1．如图7，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，则下列结论不正确的是( )
A．∠B＝∠C
B．AD⊥BC
C．BD＝CD
D．AB＝2BD
图7
D
2.【易错】(1)若等腰三角形的顶角为80°，则其底角的度数是__________；
(2)若等腰三角形中有一个内角为80°，则其底角的度数是__________.
当不确定已知角为顶角或底角时，要进行分类讨论．
50°
50°或80°
3．(人教八上P82 T7)如图8，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D.求∠DBC的度数．
图8
∵MN垂直平分AB，∴AD＝BD.
∴∠ABD＝∠A＝40°.
∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝70°－40°＝30°.
4．如图9，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E在线段AD上．求证：BE＝CE.
图9
证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD.∴AD垂直平分BC.
又点E在线段AD上，∴BE＝CE.
5．如图10，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，连接AD，过点D作DE⊥AB于点E.求证：∠BAC＝2∠EDB.
图10
证明：∵AB＝AC，D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，∠BAC＝2∠BAD.
∴∠B＋∠BAD＝90°.
又DE⊥AB，∴∠B＋∠EDB＝90°.
∴∠EDB＝∠BAD.∴∠BAC＝2∠EDB.
随堂测
课时练
1．已知一个等腰三角形的顶角为140°，则它的底角为( )
A．10° B．20°
C．30° D．40°
2．如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，BD＝6，则BC＝
__________．
图1
B
12
3．如图2，在△ABC中，AB＝BC，∠C＝50°，延长CB至点D，使BD＝AB，连接AD，则∠D的度数为__________.
图2
40°
4．如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠ADC＝90°，DE⊥AC，垂足为E.若∠BAD＝50°，求∠CDE的度数．
图3
解：∵AB＝AC，∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝∠BAD＝50°.
∴∠C＝180°－∠CAD－∠ADC＝40°.
∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°.
∴∠CDE＝180°－∠CED－∠C＝50°.
循环练
5．已知点A(2，a)与点B(b，－3)关于x轴对称，则ab的值为_______.
6(共21张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十三章 轴对称
第7课时 等腰三角形的判定
1.探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形；2.能用尺规作图：已知底边及底边上的高线作等腰三角形．(核心素养：几何直观、推理能力、模型观念、应用意识)
课标要求
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
1．(衔接回顾)等腰三角形的性质：(1)等边对等角；(2)三线合一．
2．等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)．
几何语言：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，∴AB＝AC.
课堂讲练
等腰三角形的判定
例1 如图1，已知∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠CAE，AD∥BC.求证：△ABC是等腰三角形．
图1
证明：∵AD平分∠CAE，∴∠EAD＝∠CAD.
∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B，∠CAD＝∠C.
∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.
∴△ABC是等腰三角形．
训练 1.(人教八上P82 T2)如图2，AD∥BC，BD平分∠ABC.求证：AB＝AD.
图2
证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC.
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC.
∴∠ADB＝∠ABD.∴AB＝AD.
例2 如图3，把一张长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处，AB′交CD于点E.试判断重叠部分△AEC的形状，并证明你的结论．
图3
解：△AEC是等腰三角形．证明如下：
由题意，得△ABC≌△AB′C.
∴∠BAC＝∠EAC.
∵四边形ABCD是长方形，∴CD∥AB.
∴∠ECA＝∠BAC.∴∠ECA＝∠EAC.
∴AE＝CE.∴△AEC是等腰三角形．
例3 如图4，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等腰三角形．
图4
证明：∵D是BC边的中点，∴BD＝CD.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°.
通过“等角对等边”判定等腰三角形的关键是得出一对相等的内角，其方法有：①直接计算(常利用三角形内角和定理)；②等量代换(结合角平分线、平行线等)；③全等三角形的性质．
课堂检测
1．下列三角形中，不是等腰三角形的是( )
2．已知三角形三个内角的度数之比为3∶3∶4，则这个三角形是
( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法判断
A
A
3．如图5，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，交AC于D，请写出图中所有的等腰三角形：_______________________.
图5
△ABC，△ABD，△BCD
4．(人教八上P79 T4)如图6，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA＝OB.求证：OC＝OD.
图6
证明：∵OA＝OB，∴∠A＝∠B.
∵AB∥DC，∴∠D＝∠B，∠C＝∠A.
∴∠C＝∠D.∴OC＝OD.
5．如图7，已知：线段a，b.求作：等腰三角形ABC，使AB＝AC，BC＝a，BC边上的高为b.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
图7
答图1
解：如答图1，△ABC即为所求．
6．如图8，AD＝BC，AC＝BD，AC与BD相交于点E.求证：△EAB是等腰三角形．
图8
7．如图9，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，EF经过点O且平行于BC.求证：EF＝BE＋CF.
图9
证明：∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB.
又EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB.
∴∠EBO＝∠EOB，∠FCO＝∠FOC.
∴OE＝BE，OF＝CF.∴EF＝OE＋OF＝BE＋CF.
随堂测
课时练
1．下列条件中，能确定△ABC为等腰三角形的是( )
A．∠A＝50°，∠B＝80° B．∠A＝42°，∠B＝48°
C．∠A＝2∠B＝70° D．AB＝4，BC＝5，周长为15
A
2．如图1，∠AOP＝∠BOP，CP∥OB，CP＝4，求OC的长．
图1
解：∵CP∥OB，∴∠CPO＝∠BOP.
∵∠AOP＝∠BOP，∴∠CPO＝∠AOP.
∴CP＝OC.
∵CP＝4，∴OC＝4.
3．如图2，在△ABC中，∠ABC＝90°，点E在BC上，点F在AB的延长线上，连接AE，CF，且AE＝CF，BE＝BF.求证：△ABC是等腰三角形．
图2
循环练
4．如图3，在△ABC中，AB＝AC，AB边的垂直平分线分别交AB，BC于点E，D.若∠C＝52°，则∠CAD的度数是( )
A．22°
B．24°
C．26°
D．28°
图3
B(共9张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十三章 轴对称
核心素养专练
1．【几何直观、抽象能力、应用意识】(2023临沂)某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图1所示．若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为(－6，2)，则点B的坐标为
( )
A．(6，2)
B．(－6，－2)
C．(2，6)
D．(2，－6)
图1
A
本题从日常生活中的对称现象出发，需要学生抽象出物体在平面直角坐标系中对应的点坐标，考查关于y轴对称的点的坐标特征，引导学生发现生活中的对称美，激发学生对数学学习的兴趣．
2．【抽象能力、模型观念、应用意识】如图2，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当地面的固定点B，C到电线杆底部E点的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于地面．工程人员这种操作方法的依据是( )
A．等边对等角
B．三线合一
C．垂线段最短
D．线段的垂直平分线的性质
图2
B
本题需要学生思考操作方法背后的数学原理，考查等腰三角形“三线合一”的性质，让学生感悟数学知识在实际生活中的应用价值．
3．【数学文化】【空间观念】剪纸是我国传统的民间艺术．将一张正方形纸片按如图3①、图3②所示的方式依次对折后，再沿图3③中的虚线裁剪得到如图3④所示的纸片，将纸片打开铺平，所得图案是
( )
图3
A
本题以我国传统的民间艺术——剪纸为背景，需要学生熟知轴对称图形的特点，培养学生的动手能力及空间想象能力．
4．【应用意识、推理能力】(人教八上P82 T9)某地地震过后，河沿村中学的同学用下面的方法检测教室的房梁是否水平：在等腰直角三角尺斜边中点拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果线绳经过三角尺的直角顶点，同学们由此确信房梁是水平的．他们的判断对吗？为什么？
图4
解：他们的判断正确．理由如下：
由题意，得在等腰三角形ABC中，AC＝BC，O是AB的中点．
∴OC⊥AB.
∵OC是铅垂线，∴OC与地面垂直．
∴AB与地面平行，即房梁是水平的．
本题考查等腰三角形“三线合一”的性质，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力．(共20张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十三章 轴对称
第4课时 画轴对称图形(1)
1.能画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴的对称图形；2.运用图形的轴对称进行图案设计．(核心素养：几何直观、空间观念、推理能力、应用意识)
课标要求
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的__________、__________完全相同；新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的__________；连接任意一对对应点的线段被对称轴__________.
形状
大小
对称点
垂直平分
课堂讲练
画出已知图形的轴对称图形
例1 如图1，画出与点A关于直线l的对称点A′.
画法：过点A画直线l的__________，__________为O，在垂线上截取__________＝OA，__________就是点A关于直线l的对称点．
图1
答图1
垂线
垂足
OA′
A′
解：关于直线l的对称点A′如答图1所示．
训练 1.如图2，画出与线段AB关于直线l对称的图形．
画法：分别画出点A，B关于_______的对称点A′，B′；连接_______，__________即为与线段AB关于直线l对称的图形．
图2
答图2
直线l
A′B′
线段A′B′
解：关于直线l对称的图形如答图2所示．
例2 如图3，画出与△ABC关于直线l对称的图形．
图3
答图3
解：如答图3，△A′B′C′即为所求．
【提示】分别画出点A，B，C关于直线l的对称点A′，B′，C′；连接A′B′，B′C′，C′A′，则△A′B′C′即为所求．
训练 2.如图4，已知△ABC和直线l，画出与△ABC关于直线l对称的图形．
图4
答图4
解：如答图4，△A′B′C′即为所求．
1.几何图形都可以看作由点组成，画已知图形的轴对称图形，实质就是画这个图形中所有点的对称点．
2.画已知图形的轴对称图形的步骤：
①找出原图形中的一些特殊点(如线段端点)；
②画出这些点关于对称轴的对称点；
③根据原图形依次连接这些对称点，即可得到原图形的轴对称图形．
网格中的轴对称作图
例3 如图5，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出△ABC(顶点是网格的格点).请画出与△ABC关于直线l对称的△A1B1C1.
图5
答图5
解：如答图5，△A1B1C1即为所求．
训练 3.如图6，请在网格中画出四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′和四边形ABCD关于直线l对称．
图6
答图6
解：如答图6，四边形A′B′C′D′即为所求．
课堂检测
1．如图7，将下列图形补成关于直线l对称的图形．
图7
答图7
解：补全图形如答图7所示．
2．如图8，给出一个图案的左半部分，其中虚线是这个图案的对称轴，请你补全图形．
图8
答图8
解：补全图形如答图8所示．
3．如图9，在边长为1的小正方形组成的正方形网格中，点A，B，C都在小正方形的顶点上．请画出与△ABC关于直线l对称的△A′B′C′，并求出△ABC的面积．
图9
答图9
解：如答图9，△A′B′C′即为所求．
4．在由四个相同的小正方形组成的“7”字形图案中，添加一个小正方形，使它成为轴对称图形，并用虚线画出它的对称轴．请在图10中画出三种不同的设计图案．
图10
答图10
解：三种不同的设计图案如答图10所示．
随堂测
课时练
1．作出下列图形关于直线l对称的图形．
答图1
解：作图如答图1所示．
2．如图1，每个小方格的边长都是1个单位长度，分别将下列图形补成关于直线l对称的图形．
图1
答图2
解：补全图形如答图2所示．
循环练
3．尺规作图：如图2，在△ABC中，在边AC上找一点D，使得BD＝CD.(不写作法，保留作图痕迹)
图2
答图3
解：如答图3，点D即为所求．(共10张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十三章 轴对称
题型拓展 最短路径问题中的相关计算
类型 有关角度的计算
1．如图1，村庄A，B位于一条河的两岸，河岸a，b为直线且互相平行，当在CD处建一座与河岸垂直的桥时，从村庄A到村庄B的路径ACDB最短．若∠1＝70°，则∠2的度数为( )
A. 100°
B．110°
C．120°
D．130°
图1
B
2．如图2，等边三角形ABC的边长为2，过点B作直线l⊥AB，△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为直线l上一动点，当AD＋CD的值最小时，∠DAB的度数为__________.
图2
30°
3．如图3，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，∠B＝70°，D为BC的中点，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F.M为直线EF上一动点，当CM＋DM的值最小时，∠ACM的度数为__________.
图3
20°
4．如图4，已知∠A＝30°，AB＝BC，D是射线AE上一动点，当BD＋CD的值最小时，∠ABD的度数为__________.(提示：作点C关于AE的对称点C′，连接BC′，交AE于点D，则此时BD＋CD的值最小．)
图4
90°
类型 有关长度的计算
5．如图5，在△ABC中，AB＝10，AC＝5，BC＝8，直线l垂直平分AB，分别交BC，AB于点D，E，点F在直线l上，则AF＋CF的最小值是( )
A．6
B．8
C．10
D．14
图5
B
6．如图6，已知等边三角形ABC，AD是BC边上的高，若AD＝4，M，P分别是线段AB，AD上的动点，则MP＋BP的最小值为( )
A．2
B．3
C．4
D．6
图6
C
7．如图7，在△ABC中，AB＝AC，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一动点，△ABC的面积为12，BC＝4，则△BDM周长的最小值为__________.
图7
8
8．如图8，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AC＝24，BD平分∠ABC，E，F分别是线段AB，BD上的动点，则AF＋EF的最小值为__________.
图8
12
9．如图9，∠AOB＝30°，P为∠AOB内一点，OP＝8.点M，N分别在射线OA，OB上，则△PMN周长的最小值为__________.
图9
8(共21张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十三章 轴对称
第10课时 最短路径问题
课堂检测
课堂讲练
随堂测
课堂讲练
两点在直线异侧时的最短距离
例1 如图1，点A，B在直线l的异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小．
图1
答图1
解：如答图1，连接AB，交直线l于点P，此时PA＋PB＝AB，值最小(两点之间，线段最短)．
训练 1.如图2，在公路AB上建一车站C，使它到E，F两村庄的距离之和最短．
图2
答图2
解：如答图2，连接EF，交AB于点C，则点C即为所求．
两点在直线同侧时的最短距离
例2 如图3，点A，B在直线l的同侧，在直线上找一点P，使PA＋PB的值最小．
图3
答图3
解：如答图3，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，交直线l于点P，此时PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B，值最小(轴对称的性质，转化思想)．
训练 2.如图4，小明在A处放牛，要到河边(直线l)给牛喝水，喝完水把牛赶回家中B处．要使路程最短，应该在河边哪处给牛喝水？
图4
答图4
解：如答图4，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，交直线l于点P.要使路程最短，应该在河边点P处给牛喝水．
一定点两动点型最值
例3 如图5，点P在∠AOB的内部，在射线OA上找出一点M，在射线OB上找出一点N，使PM＋MN＋NP的值最小．(提示：作点P关于OA，OB的对称点．)
图5
答图5
解：如答图5，作点P关于OA的对称点P1，作点P关于OB的对称点P2，连接P1P2，分别交OA，OB于点M，N，连接PM，PN，则此时PM＋MN＋NP＝P1M＋MN＋NP2＝P1P2，值最小．
拓展 3.如图6，∠AOB＝30°，∠AOB内有一定点P，且OP＝15.若点M，N分别为射线OA，OB上的动点，求PM＋MN＋NP的最小值．(提示：作点P关于OA，OB的对称点．)
图6
答图6
解：如答图6，作点P关于OA的对称点D，作点P关于OB的对称点E，连接DE，分别交OA，OB于点M，N，连接PM，PN，则此时△PMN的周长最小，最小值为PM＋MN＋PN＝DM＋MN＋EN＝DE.连接OD，OE.
∵点P，D关于OA对称，∴OD＝OP，PM＝DM，∠DOA＝∠POA.
答图6
∵点P，E关于OB对称，
∴OE＝OP，PN＝EN，∠POB＝∠EOB.
∴OD＝OE＝OP＝15，∠DOE＝∠DOA＋∠POA＋∠POB＋∠EOB＝2(∠POA＋∠POB)＝2∠AOB＝2×30°＝60°.
∴△DOE是等边三角形．∴DE＝OD＝15.
∴PM＋MN＋NP＝DM＋MN＋NE＝DE＝15.
∴PM＋MN＋NP的最小值为15.
两定点一定长型最值(造桥选址问题)
例4 如图7，在一条河的两岸有A和B两个村庄，现要在河上建一座桥，桥的方向与河岸垂直．若河的宽度不变，则桥建在何处，才能使从村庄A到村庄B的路程最短？
图7
答图7
解：如答图7，作BB′垂直于河岸GH，使BB′等于河宽，连接AB′，与河岸EF相交于点P，作PD⊥GH，交GH于点D，连接BD，则桥应建在PD处．
在解决最短路径问题时，通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，再根据“两点之间，线段最短”等定理进行最短路径的选择．
课堂检测
1．如图8，P，Q两地在一条河的同侧，欲在河边l上修建一个水泵站M，通过管道分别向P，Q两地供水．现有如下四种管道铺设方案，则铺设管道最短的方案是( )
图8
B
2．现准备在一条公路旁修建一个仓储基地，分别给A，B两个超市配货．
(1)如图9①，这个仓储基地建在什么位置，能使它到两个超市的距离相等？(要求：尺规作图)
图9①
答图8①
解：如答图8①，点P即为所求．
(2)如图9②，这个仓储基地建在什么位置，能使它到两个超市的距离之和最小？
(保留作图痕迹，不用写出作图过程)
图9②
答图8②
解：如答图8②，点C即为所求．
3．如图10，在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AB的中点，AD＝5，在AD上找一点P，使得EP＋BP的值最小，并直接写出其最小值．
图10
答图9
解：如答图9，连接CE，交AD于点P，点P即为所求．
EP＋BP的最小值为5.
随堂测
课时练
1．如图1，一只蚂蚁要从正方体的顶点A处沿着表面爬到顶点C处，则下列展开图中的最短爬行路线是( )
图1
A
2．如图2，A，B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上的点P处建一个服务中心，使PA＋PB最短．下面四种选址方案符合要求的是
( )
图2
A
3．如图3，村庄A，B在一条河的两侧，直线l1，l2分别表示这条河的两岸，且l1∥l2，现要在这条河上建一座桥(桥与河岸垂直).桥建在何处才能使村民从村庄A经过桥到村庄B的路径长最短？请画出示意图．
图3
答图1
解：如答图1，桥建在DE处才能使村民从村庄A经过村庄B的路径长最短．
循环练
4．如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠1＝30°，BD＝2，则AD的长为( )
A．4
B．6
C．8
D．10
图4
B(共38张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十三章 轴对称
第十三章 章末复习
全国视野
基础练习
综合运用
轴对称的相关概念及性质
1．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．
2．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．
3．轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
1．(2023长沙)下列图形中，是轴对称图形的是( )
2．如图1，△ABC与△DEF关于直线l对称，若∠A＝65°，∠B＝80°，则∠F＝( )
A．80° B．65°
C．45° D．35°
图1
D
D
关于坐标轴对称的点的坐标特征
1．点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，－y).
2．点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(－x，y).
简记：x轴x相等，y轴y相等．
3.在平面直角坐标系中，点P(3，4)关于x轴对称的点的坐标为
__________.
4．在平面直角坐标系中，点P(2，－3)关于y轴对称的点的坐标为
__________.
(3，－4)
(－2，－3)
线段的垂直平分线的性质与判定
1．性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
2．判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
5.如图2，在△ABC中，AC＝10，BC＝8，MN是AB的垂直平分线，交AC于点D，则△BDC的周长为__________.
图2
18
6．如图3，P是△ABC内的一点，若PB＝PC，则点P一定在( )
A．∠ABC的平分线上
B．∠ACB的平分线上
C．AB的垂直平分线上
D．BC的垂直平分线上
图3
D
尺规作图
作线段的垂直平分线
作垂线 过直线外一点
过直线上一点
7.尺规作图：如图4，在△ABC的边AB上求作一点D，使得点D到点B，C的距离相等．(保留作图痕迹，不写作法)
图4
答图1
解：如答图1，点D即为所求．
等腰三角形的性质和判定
1.等腰三角形的性质：(1)等边对等角；(2)三线合一．
2.等腰三角形的判定：(1)等角对等边；(2)有两边相等(定义)．
8.若一个三角形有两个角分别为80°，50°，则这个三角形是( )
A.等腰三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
9.若等腰三角形的一条边长为6，另一条边长为14，则它的周长为
__________.
A
34
等边三角形的性质和判定
1.等边三角形的性质：(1)三边相等；(2)三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；(3)三线合一．
2.等边三角形的判定：(1)三条边都相等的三角形是等边三角形(定义)；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
10.如图5，已知等边三角形ABC.
(1)若AB＝3，则AC＝__________；
(2)若AD⊥BC于点D，则∠BAD＝__________.
11.在△ABC中，如果AB＝AC，∠A＝∠C，那么△ABC的形状为_____________.
图5
3
30°
等边三角形
含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
12.如图6，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，若AB＝8，则BD的长为_______．
图6
2
基础练习
1．下列图形中属于轴对称图形的是( )
2．下列条件不能判定等边三角形的是( )
A. 有两个内角是60°的三角形
B．有一个内角是60°的等腰三角形
C．有两个内角相等的等腰三角形
D．有一条腰和底边相等的等腰三角形
B
C
3．如图7，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝6，则CD的长为__________.
4．如图8，D为△ABC的边AC上一点，点B与点C关于DE所在的直线对称，若AC＝6，AD＝2，则BD的长为__________.
图7
图8
3
4
5．在平面直角坐标系中，已知点P(a，1)与点Q(2，b)关于x轴对称，则a＋b＝__________.
6．若等腰三角形的一个内角为70°，则它的顶角的度数为
__________.
1
40°或70°
7．如图9，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝34°，BC的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，连接EC，则∠ACE的度数为__________.
8．如图10，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AD⊥AB，交BC于点D.若CD＝1，则BD的长为__________．
图9
图10
42°
2
图11
14°
图12
答图2
10．在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的位置如图12所示．
(1)请画出与△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，
并写出点A′，B′，C′的坐标；
(2)在y轴上找一点P，使得PA＋PB的值最小．
解：(1)如答图2，△A′B′C′即为所求．
点A′(2，3)，B′(3，1)，C′(－1，－2).
(2)如答图2，点P即为所求．
11．如图13，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E是BA延长线上一点，F是AC上一点，且AE＝AF，连接EF并延长，交BC于点G.
(1)若∠B＝50°，求∠E的度数；
图13
解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝50°.
∴∠EAF＝∠B＋∠C＝100°.
(2)求证：AD∥EG.
图13
12．如图14，在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，且AE＝CD，AD与BE相交于点F.
(1)求证：BE＝AD；
图14
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAE＝∠C＝60°.
(2)过点B作BG⊥AD于点G.求证：BF＝2FG.
图14
证明：∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE＝∠CAD.
∴∠BFG＝∠ABF＋∠BAF＝∠CAD＋∠BAF＝∠BAC＝60°.
∵BG⊥AD，∴∠BGF＝90°.
∴∠FBG＝90°－∠BFG＝90°－60°＝30°.
∴BF＝2FG.
综合运用
13．如图15，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB，交AB于点D.若AC＝9，则AE的长为__________.
图15
6
14．如图16，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，E为边AC的中点，点D在边BC的延长线上，且CD＝CE，连接DE并延长，交AB于点F，若EF＝2，则DF的长为__________.
图16
6
图17
又∠B＝2∠C，∴∠B＝∠ADB.
∴AD＝AB＝5.∴CD＝AD＝5.
又BC＝13，∴BD＝BC－CD＝8.
解：如答图3，连接AD.
答图3
由题意，得PQ垂直平分AC.
∴AD＝CD.∴∠C＝∠DAC.
∴∠ADB＝∠C＋∠DAC＝2∠C.
16．如图18，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，点E，F分别在BC，AC上，且BE＝CF.
(1)求∠ACD的度数；
(2)求证：点D在EF的垂直平分线上．
图18
(1)解：∵AC＝BC，CD是AB边上的中线，
∴∠BCD＝∠ACD.
(2)证明：如答图4，连接DE，DF.
答图4
全国视野
17．(2023益阳)下列正方体的展开图中，是轴对称图形的是( )
18．(2023包头)如图19，直线a∥b，直线l与直线a，b分别相交于点A，B，点C在直线b上，且CA＝CB.若∠1＝32°，则
∠2的度数为( )
A．32° B．58°
C．74° D．75°
图19
D
C
19．(2023金昌)如图20，BD是等边三角形ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC＝( )
A．20°
B．25°
C．30°
D．35°
图20
C
20．(2023新疆)如图21，在△ABC 中，若AB＝AC，AD＝BD，∠CAD＝24°，则∠C＝__________°.
21．(2023丽水)如图22，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB.若AB＝4，则DC的长是__________.
图21
图22
52
4
22．(2023江西)将含30°角的直角三角板和直尺按如图23所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1 cm，3 cm，则线段AB的长为__________cm.
图23
2(共19张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十三章 轴对称
第3课时 线段的垂直平分线的性质(2)
能用尺规作图：作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线．(核心素养：几何直观、空间观念、模型观念、应用意识)
课标要求
课堂检测
课堂讲练
随堂测
课堂讲练
过一点作已知直线的垂线(作高)
例1 尺规作图：如图1，过点C作直线AB的垂线．
图1
答图1
AB
CK
点D
点E
解：如答图1，直线CF即为所求．
训练 1.(1)尺规作图：如图2，在△ABC中，过点C作CD⊥AB，垂足为D.(不要求写作法，保留作图痕迹)
(2)尺规作图：如图3，过点A作直线l的垂线．(不写作法，保留作图痕迹)
图2
图3
答图2
答图3
解：(1)如答图2，线段CD即为所求．
(2)过点A作直线l的垂线如答图3所示．
作已知线段的垂直平分线
例2 尺规作图：如图4，作线段AB的垂直平分线．
作法：(1)分别以__________和__________为圆心，大于__________的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；(2)作直线CD.
图4
答图4
点A
点B
解：如答图4，直线CD即为所求．
训练 2.如图5，已知△ABC.按下列要求作图．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(1)作AC边上的垂直平分线EF，交AC于点E，交BC于点F；
(2)作AB边的中线CG，交AB于点G.
图5
(1) (2)
答图5
答图6
解：(1)如答图5，直线EF即为所求．
(2)如答图6，作AB的垂直平分线，交AB于点G.线段CG即为所求．
作对称轴
例3 尺规作图：如图6，已知扇形AOB与扇形A′O′B′关于某条直线成轴对称，请你作出这条直线．
图6
答图7
解：如答图7，直线MN即为所求．
训练 3.如图7，△ABC与△DEF关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺，在下面两个图中分别作出直线l.
图7
答图8
解：如答图8，直线l即为所求．
课堂检测
A．25
B．22
C．19
D．18
图8
C
2．如图9，若△ABC和△DEF关于直线l成轴对称，请作出直线l.(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
图9
答图9
解：如答图9，直线l即为所求．
3．如图10，公路l一侧有A，B两个小区，为了
方便居民出行要在公路l上增加一个公共汽车站．
(1)若要使A小区到车站距离最近，确定公共汽
车站P1的位置；
(2)若要使A，B两个小区到车站的距离相等，
确定这个公共汽车站P2的位置．
(要求尺规作图并保留作图痕迹，不写作法)
图10
答图10
解：(1)公共汽车站P1的位置如答图10所示．
(2)公共汽车站P2的位置如答图10所示．
4．如图11，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点E.
(1)尺规作图：作线段BC的垂直平分线，交BC于点D，交BE于点F，连接CF；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，若∠ABC＝50°，∠A＝70°，
则∠ECF的度数为__________．
图11
答图11
解：(1)如答图11，直线DF，线段CF即为所求．
35°
5．【创新意识】如图12，已知线段AB及线段AB外一点C，过点C作直线CD，使得CD⊥直线AB.
小欣的作法：①以点B为圆心，BC长为半径作
弧；②以点A为圆心，AC长为半径作弧，两弧相交
于点D；③作直线CD.直线CD即为所求．
(1)根据小欣的作法补全图形；
图12
答图12
解：补全图形如答图12所示．
(2)在(1)的基础上，完成下面的证明．
证明：连接AC，AD，BC，BD.
∵BC＝BD，
∴点B在线段CD的垂直平分线上
(__________________________________
__________________).(填推理的依据)
∵AC＝__________，∴点A在线段CD的垂直平分线上．
∴直线AB为线段CD的垂直平分线．∴CD⊥AB.
答图12
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
AD
随堂测
课时练
1．尺规作图：如图1，在△ABC中，在BC上找一点D，使得∠ADC＝90°.(保留作图痕迹，不写作法)
图1
答图1
解：如答图1，点D即为所求．
2．如图2，已知△ABC.
(1)尺规作图：求作线段AB的中点O；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)线段BC，AC的大小关系是__________.
图2
答图2
解：(1)如答图2，点O即为所求．
BC>AC
【提示】如答图2，BC与EF相交于点D，连接AD.
由(1)可知，EF为线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD.
∴BC＝BD＋DC＝AD＋DC>AC.
循环练
3．如图3，在△ABC中，已知DE是AB的垂直平分线，BE＝12，CE＝3，则AC＝__________.
图3
15(共21张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十三章 轴对称
第5课时 画轴对称图形(2)
在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系．(核心素养：几何直观、空间观念、模型观念、应用意识)
课标要求
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
1．在图中画出下列已知点关于坐标轴的对称点，并将表格填充完整．
已知点 A(3，2) B(2，4) C(－1，3)
关于x轴 的对称点 A1________ B1________ C1_________
关于y轴 的对称点 A2________ B2________ C2________
(3，－2)
(2，－4)
(－1，－3)
(－3，2)
(－2，4)
(1，3)
答图1
解：如答图1，点A1，A2，B1，B2，C1，C2即为所求．
归纳：
点（a，b）
关于x轴对称点（ ， ），________相同， 互为相反数；
关于y轴对称点（ ， ），纵坐标相同，横坐标 .
a
－b
横坐标
纵坐标
－a
b
互为相反数
课堂讲练
关于坐标轴对称的点的坐标特征
例1 填空：(1)点(5，－3)关于x轴对称的点的坐标为__________；
(2)点(－2，1)与点(2，1)关于__________轴对称．
训练 1.填空：(1)点(－3，4)关于y轴对称的点的坐标为________；
(2)点(6，7)与点(6，－7)关于__________轴对称；
(3)若点A(a，－2)与点B(－5，b)关于y轴对称，则a＝__________，
b＝__________.
(5，3)
y
(3，4)
x
5
－2
画出关于坐标轴对称的图形
例2 如图1，已知△ABC.
(1)作出与△ABC关于x轴对称的△A′B′C′，
并写出△A′B′C′各个顶点的坐标；
(2)△A′B′C′与△ABC的对应顶点的坐标
有何关系？
图1
答图2
解：(1)如答图2，△A′B′C′即为所求．
A′(3，－4)，B′(1，－2)，C′(5，－1).
(2)横坐标相同，纵坐标互为相反数．
训练 2.如图2，已知△ABC.
(1)作出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，
并写出△A1B1C1各个顶点的坐标；
(2)求出△A1B1C1的面积．
图2
答图3
解：(1)如答图3，△A1B1C1即为所求．
A1(1，5)，B1(3，0)，C1(4，3).
要作出一个图形关于坐标轴对称的图形，只要先求出已知图形中的一些特殊点(如多边形的顶点)的对称点的坐标，描出并连接这些点，就可以得到这个图形关于坐标轴对称的图形．
课堂检测
1．在平面直角坐标系中，点M(－1，2)关于x轴对称的点的坐标为
( )
A.(1，2) B．(2，－1) C．(－1，－2) D．(1，－2)
2．在平面直角坐标系中，点(－3，－1)与点(3，－1)关于( )
A．x轴对称 B．y轴对称
C．原点对称 D．以上都不对
3．在平面直角坐标系中，点A(m－1，－2)与点B(3，n)关于x轴对称，则m＋n的值是__________.
C
B
6
4．如图3，已知△ABC.
(1)分别作出与△ABC关于x轴对称的△A′B′C′和关于y轴对称的△A″B″C″；
图3
答图4
解：△A′B′C′和△A″B″C″如答图4所示．
(2)写出△A′B′C′和△A″B″C″各个顶点的坐标；
(3)求△ABC的面积．
答图4
解：(2)A′(－3，－3)，B′(－5，－1)，C′(－1，2)，A″(3，3)，B″(5，1)，C″(1，－2).
5．在平面直角坐标系中，将点A(－7，2)向下平移3个单位长度得到点P1，则点P1关于y轴的对称点P2的坐标是( )
A．(－7，－1) B．(7，－1)
C．(7，5) D．(－7，5)
B
6．【几何直观、推理能力】如图4，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复地轴对称变换．若点A的坐标是(a，b)，经过第1次变换后得到的点A1的坐标是(a，－b)，则经过第2 026次变换后得到的点A2 026的坐标是_____________.
图4
(－a，－b)
7．(人教八上P72 T7改编)如图5，已知△PQR.
(1)作出△PQR关于直线m(直线m上各点的横坐标都为1)对称的△P′Q′R′，并写出点P′的坐标；
(2)作出△PQR关于直线n(直线n上各点的纵坐标都为－1)对称的△P″Q″R″，并写出点P″的坐标．
图5
答图5
解：(1)如答图5，△P′Q′R′即为所求．
点P′的坐标为(3，3).
(2)如答图5，△P″Q″R″即为所求．
点P″的坐标为(－1，－5).
随堂测
课时练
1．在平面直角坐标系中，点A(2，6)关于x轴对称的点的坐标是
( )
A．(－2，6) B．(－6，2)
C．(－2，－6) D．(2，－6)
D
2．在平面直角坐标系中，点A(－1，4)关于y轴对称的点的坐标是
( )
A．(1，4) B．(1，－4)
C．(4，－1) D．(－1，－4)
3．若点A(m，－5)和点B(－2，n)关于x轴对称，则m－n的值为
( )
A．7 B．－7 C．－3 D．2
A
B
4．如图1，已知△PQR.
(1)请作出与△PQR关于y轴对称的
△P1Q1R1；
(2)直接写出点P1，Q1，R1的坐标：
P1________，Q1________，R1________.
图1
答图1
解：(1)如答图1，△P1Q1R1即为所求．
(4，－1)
(1，4)
(－1，1)
循环练
5．把下列图形补成关于直线l对称的图形．(不要求写出作法)
答图2
解：补全图形如答图2所示．(共15张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十三章 轴对称
教材母题回归
1．(人教八上P65 T6)如图1，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3 cm，△ABD的周长为13 cm，求△ABC的周长．
图1
解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，CE＝AE＝3 cm.
∴AC＝AE＋CE＝3＋3＝6(cm).
∵△ABD的周长为13 cm，∴AB＋BD＋DA＝13 cm.
∴AB＋BD＋DC＝13 cm.
∴△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝AB＋BD＋DC＋AC＝13＋6＝19(cm).
2．(人教八上P71 T3)如图2，以正方形ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系．点A的坐标为(1，1)，写出点B，C，D的坐标．
图2
解：B(1，－1)，C(－1，－1)，D(－1，1).
3．(人教八上P72 T6)如图3，小球起始时位于(3，0)处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示，用坐标描述这个运动，找出小球运动的轨迹上几个关于直线l对称的点．如果小球起始时位于(1，0)处，仍按原来方向击球，请你画出这时小球运动的轨迹．
图3 备用图
解：小球运动轨迹是(3，0)→(0，3)→(1，4)→(5，0)→(8，3)→(7，4)→(3，0)；其中关于直线l对称的点有(3，0)与(5，0)，(0，3)与(8，3)，(1，4)与(7，4).
小球起始时位于(1，0)处的运动轨迹如答图1所示．
答图1
4．(人教八上P82 T4)如图4，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，立柱AD⊥BC，且顶角∠BAC＝120°.∠B，∠C，∠BAD，∠CAD各是多少度？
图4
5．(北师八下P10 T4)如图5，一艘船从A处出发，以18 n mile/h的速度向正北航行，经过10 h到达B处．分别从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°.求从B处到灯塔C的距离．
图5
解：∵∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，
∴∠C＝∠NBC－∠NAC＝42°.∴∠C＝∠BAC.
∴BC＝BA＝18×10＝180(n mile).
∴从B处到灯塔C的距离是180 n mile.
6．(人教八上P91 T3)如图6，D，E分别是AB，AC的中点，CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E.求证：AC＝AB.
图6
答图2
证明：如答图2，连接BC.
∵D是AB的中点，CD⊥AB，
∴CD垂直平分AB.∴AC＝BC.
∵E是AC的中点，BE⊥AC，
∴BE垂直平分AC.
∴AB＝BC.∴AC＝AB.
7．(人教八上P83 T15)如图7，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户．如果∠C＝90°，∠B＝30°，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请你试着分一分，并在图上画出来．
图7
答图3
解：如答图3，作∠BAC的平分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，则△ACD≌△AED≌△BED，此时这三家农户所得土地的大小、形状都相同．
证明：∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，AB＝2AC.
答图3
答图3
8．(人教八上P93 T14)如图8，△ABC为等腰三角形，AC＝BC，△BDC和△ACE分别为等边三角形，AE与BD相交于点F，连接CF并延长，交AB于点G.求证：G为AB的中点．
图8
证明：∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA.
∵△BDC和△ACE分别为等边三角形，
∴∠CAE＝∠CBD＝60°.
∴∠CAB－∠CAE＝∠CBA－∠CBD，
即∠FAB＝∠FBA.∴FA＝FB.
又AC＝BC，∴CF所在的直线垂直平分AB.∴G为AB的中点．
9．(人教八上P93 T15)如图9，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径．
图9
答图4
解：如答图4，作点A关于MN的对称点A′，作点B关于直线l的对称点B′，连接A′B′，分别交MN，l于点C，D，连接AC，CD，DB，则路径ACDB即为所求．
※10.(北师八下P13 T4)证明：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.
(提示：构建等边三角形，利用等边三角形的判定和性质求证．)
∴BD＝2BC.
又AB＝2BC，∴AB＝BD.
∵BC＝CD，AC⊥BD，∴AC垂直平分BD.
∴AB＝AD.
∴AB＝BD＝AD.∴△ABD是等边三角形．
∴∠B＝60°.∴∠BAC＝90°－60°＝30°.
答图5
解：已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，求证：∠BAC＝30°.
证明：如答图5，延长BC到点D，使CD＝BC，连接AD.
