(共20张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十四章 整式的乘法与因式分解
第7课时 同底数幂的除法
了解整数指数幂的意义和基本性质．(核心素养：抽象能力、运算能力)
课标要求
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
注：∵am÷am＝1，am÷am＝am－m＝__________，
∴a0＝__________(a≠0).
规定：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即a0＝__________(a≠0).
举例 法则
同底数幂的乘法 103×104＝__________， a2·a3＝__________． 同底数幂相乘，底数不变，指数__________，即am·an＝__________(m，n都是正整数)．
同底数幂的除法 107÷103＝__________， a5÷a3＝__________． 同底数幂相除，底数_________，指数_________，即am÷an＝_______(a≠0，m，n都是正整数，且m＞n)．
107
a5
相加
am＋n
104
a2
不变
相减
am－n
a0
1
1
课堂讲练
同底数幂的除法
例1 计算：
(1)35÷32＝__________；
(2)a6÷a3＝__________；
(3)x3÷x＝__________；
(4)m4÷m4＝__________；
(5)(xy)4÷(xy)2＝__________；
(6)a9÷a3÷a＝__________．
33
a3
x2
1
x2y2
a5
训练 1.计算：
(1)108÷104＝__________；
(2)x7÷x3＝__________；
(3)a8÷a＝__________；
(4)ym÷ym＝__________；
(5)(－m)8÷(－m)3＝__________；
(6)b7÷b2÷b4＝__________．
104
x4
a7
1
－m5
b
例2 计算：(1)20＝__________；
1
1
1
1
混合运算
例3 计算：
(1)a5·a3÷a4；
(2)m7÷(m2)3.
解：(1)原式＝a8÷a4＝a8－4＝a4.
(2)原式＝m7÷m6＝m7－6＝m.
训练 3.计算：
(1)x6÷x2·x2；
(2)(x2 )3÷(x2·x2).
解：(1)原式＝x6－2·x2＝x4·x2＝x6.
(2)原式＝x6÷x4＝x6－4＝x2.
同底数幂的除法的逆运算
例4 已知am＝6，an＝2.
(1)求am＋n与am－n的值；
(2)求a2m－3n的值．
解：(1)am＋n＝am·an＝6×2＝12.
am－n＝am÷an＝6÷2＝3.
训练 4.已知3m＝8，3n＝4.
(1)求3m－2n的值；
(2)求9m÷27n的值．
(2)9m÷27n＝32m÷33n＝(3m)2÷(3n)3＝82÷43＝1.
课堂检测
1．下列运算一定正确的是( )
A．a2·a3＝a6 B．(a2)3＝a5
C．(ab)3＝a3b3 D．a8÷a2＝a4
2．若(x－2)0＝1成立，则x的取值范围是( )
A．x＝－2 B．x＝2 C．x≠0 D．x≠2
3．计算：(1)－30＝__________； (2)(－3)0＝__________；
(3)(2 024－π)0＝__________；
C
D
－1
1
1
3
4．计算：(1)108÷105＝__________；
(2)a7÷a4＝__________；
(3)x11÷x5＝__________；
(4)b10÷b＝__________；
(6)(x－y)7÷(y－x)4＝__________．
103
a3
x6
b9
(x－y)3
5．已知m－n－3＝0，则2m÷2n＝__________．
6．计算：(1)x4·x3÷(x2)3; (2)a3·a＋(－a2)3÷a2.
8
解：(1)原式＝x7÷x6＝x7－6＝x.
(2)原式＝a4＋(－a6)÷a2＝a4－a6÷a2＝a4－a4＝0.
7．【推理能力】已知2a＝4，2b＝6，2c＝12.
(1)求22a＋b－c的值； (2)求证：a＋b－c＝1.
(1)解：22a＋b－c＝22a·2b÷2c＝(2a)2·2b÷2c.
∵2a＝4，2b＝6，2c＝12，∴原式＝42×6÷12＝8.
(2)证明：∵2a＝4，2b＝6，2c＝12，
∴2a＋b－c＝2a·2b÷2c＝4×6÷12＝2＝21.
∴a＋b－c＝1.
随堂测
课时练
1．填空：(1)25÷22＝______； (2)t4÷t3＝______；
(3)(xy)4÷(xy)4＝______； (4)a5÷(－a)3＝______；
(5)y6÷y2÷y3＝______； (6)(π－3.14)0＝______.
2．计算：(1)(a2)3÷(－a)5; (2)(－a)2·a4－a8÷a2.
23
t
1
－a2
y
1
解：(1)原式＝a6÷(－a5)＝－a.
(2)原式＝a2·a4－a8÷a2＝a6－a6＝0.
3．已知10x＝12，10y＝3，则10x－y的值为______.
4．已知m－n＝2，则3m÷3n＝______.
5．已知8m＝6，4n＝3，求23m－2n的值．
4
9
解：原式＝23m÷22n＝8m÷4n＝6÷3＝2.
循环练
6．下列运算不正确的是( )
A．a3·a3＝a6 B．－a2·(－a3)＝－a5
C．2m·2n＝2m＋n D．bm·bm＋1＝b2m＋1
B(共12张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十四章 整式的乘法与因式分解
教材母题回归
1．(人教八上P102 T1节选)计算：
(1)(2x2－1)(x－4)；
(2)(x2＋2x＋3)(2x－5).
解：(1)原式＝2x3－8x2－x＋4.
(2)原式＝2x3－5x2＋4x2－10x＋6x－15
＝2x3－x2－4x－15.
2．(人教八上P104 T3)计算：
(1)(6ab＋5a)÷a；
(2)(15x2y－10xy2)÷5xy.
解：(1)原式＝6b＋5.
(2)原式＝3x－2y.
解：原式＝x3－x2－x3－x2＋x＝－2x2＋x.
4．(人教八上P106 T13)已知2m＝a，32n＝b，m，n为正整数，求23m＋10n.
解：∵2m＝a，32n＝25n＝b，
∴23m＋10n＝23m·210n＝(2m)3·(25n)2＝a3b2.
5．(人教八上P106 T14节选)解不等式：
(3x＋4)(3x－4)<9(x－2)(x＋3).
解：整理，得9x2－16＜9(x2＋x－6).
去括号，得9x2－16＜9x2＋9x－54.
移项，得54－16＜9x2＋9x－9x2.
合并同类项，得38＜9x.
解：原式＝4x2＋12xy＋9y2－4x2＋y2＝12xy＋10y2.
7．(人教八上P112 T7)已知a＋b＝5，ab＝3，求a2＋b2的值．
解：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab
＝52－2×3
＝19.
变式 已知a－b＝5，ab＝3，求(a＋b)2的值．
解：(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab
＝52＋4×3
＝37.
9．(人教八上P120 T8)如图1，某小区规划在边长为x m的正方形场地上，修建两条宽为2 m的甬道，其余部分种草，你能用几种方法计算甬道所占的面积？
图1
解：方法一：根据题意，得每条甬道的长为x m，宽为2 m.
∴每条甬道的面积为2x m2，重合部分的面积为22 m2.
∴2·2x－22＝4x－4.
∴甬道的面积为(4x－4) m2.
图1
方法二：∵正方形场地的面积为x2 m2，种草部分的面积为(x－2)2 m2，
∴x2－(x－2)2＝4x－4.
∴甬道的面积为(4x－4) m2.
10．(人教八上P125 T8)已知(x＋y)2＝25，(x－y)2＝9，求xy与x2＋y2的值．
11．(人教八上P125 T9)如图2，水压机有四根空心钢立柱，每根高都是18 m，外径D为1 m，内径d为0.4 m．每立方米钢的质量为7.8 t，求4根立柱的总质量(π取3.14).
图2
∵每立方米钢的质量为7.8 t，
∴4根立柱的总质量为4×3.78π×7.8≈370.32(t).(共20张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十四章 整式的乘法与因式分解
第11课时 乘法公式(3)——乘法公式综合
理解乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2，(a±b)2＝a2±2ab＋b2，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理．(核心素养：抽象能力、运算能力、几何直观、应用意识、转化思想)
课标要求
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
1.(衔接回顾)填空：(a＋b)(a－b)＝__________；
(a±b)2＝_____________．
2．去括号：(1)a＋(b＋c)＝__________；
(2)a＋(b－c)＝__________；
(3)a－(b＋c)＝__________；
(4)a－(b－c)＝__________．
a2－b2
a2±2ab＋b2
a＋b＋c
a＋b－c
a－b－c
a－b＋c
3．添括号：(1)a＋b＋c＝a＋(__________);
(2)a＋b－c＝a＋(__________)；
(3)a－b－c＝a－(__________);
(4)a－b＋c＝a－(__________).
添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
b＋c
b－c
b＋c
b－c
课堂讲练
混合运算
例1 计算：(2x＋3y)(2x－3y)－(2x＋3y)2.
解：原式＝4x2－9y2－(4x2＋12xy＋9y2)
＝4x2－9y2－4x2－12xy－9y2
＝－18y2－12xy.
训练 1.计算：(2x－3)2＋(x＋4)(x－4)＋5x(2－x).
解：原式＝4x2－12x＋9＋x2－16＋10x－5x2
＝－2x－7.
添括号
例2 在括号内添上适当的项：
(1)m＋2n＋3＝m＋(__________)；
(2)－k2＋1＝－(__________).
训练 2.在括号内添上适当的项：
(1)2a＋b－c＝2a＋(__________)；
(2)m－3n－1＝m－(__________)；
(3)4x－y＋2＝4x－(__________).
2n＋3
k2－1
b－c
3n＋1
y－2
添括号法则在公式中的应用
例3 计算：(1)(x＋y＋2)(x＋y－2)；(2)(2a－b－c)2.
解：(1)原式＝[(x＋y)＋2][(x＋y)－2]＝(x＋y)2－22＝x2＋2xy＋y2－4＝x2＋y2＋2xy－4.
(2)原式＝[(2a－b)－c]2＝(2a－b)2－2(2a－b)c＋c2＝4a2－4ab＋b2－4ac＋2bc＋c2＝4a2＋b2＋c2－4ab－4ac＋2bc.
训练 3.计算：
(1)(x＋y＋1)2；
(2)(2m＋n－p)(2m－n＋p).
解：(1)原式＝[(x＋y)＋1]2＝(x＋y)2＋2(x＋y)＋12＝x2＋2xy＋y2＋2x＋2y＋1＝x2＋y2＋2xy＋2x＋2y＋1.
(2)原式＝[2m＋(n－p)][2m－(n－p)]＝(2m)2－(n－p)2＝4m2－(n2－2np＋p2)＝4m2－n2＋2np－p2＝4m2－n2－p2＋2np.
课堂检测
1．下列添括号正确的是( )
A．a＋b－c＝a－(b－c) B．a＋b－c＝a＋(b－c)
C．a－b－c＝a－(b－c) D．a－b＋c＝a＋(b－c)
B
2．计算：(1)(x－y＋3)2; (2)(a＋b－2)(a－b＋2).
解：(1)原式＝[(x－y)＋3]2
＝(x－y)2＋6(x－y)＋32
＝x2－2xy＋y2＋6x－6y＋9
＝x2＋y2－2xy＋6x－6y＋9.
(2)原式＝[a＋(b－2)][a－(b－2)]
＝a2－(b－2)2＝a2－(b2－4b＋22)
＝a2－b2＋4b－4.
3．计算：(1)(2x－3)2－(x－2)(x＋2);
(2)a(3a＋1)－(2a＋1)(2a－1)＋(a－1)2.
解：(1)原式＝4x2－12x＋9－(x2－4)
＝4x2－12x＋9－x2＋4
＝3x2－12x＋13.
(2)原式＝3a2＋a－(4a2－1)＋a2－2a＋1
＝3a2＋a－4a2＋1＋a2－2a＋1
＝－a＋2.
解：原式＝a2＋4ab＋4b2＋a2－4b2＝2a2＋4ab.
解：根据题意，得4(x＋1)2－(2x＋1)(2x－1)＝21.
∴4(x2＋2x＋1)－(4x2－1)＝4x2＋8x＋4－4x2＋1＝21.
解得x＝2.
随堂测
课时练
1．在括号内添上适当的项：
(1)2x＋y－3z＝2x＋(__________)；
(2)x2－5x－1＝x2－(__________)；
(3)3n－2a＋b＝3n－(__________).
y－3z
5x＋1
2a－b
2．计算：
(1)(a＋b－c)2；
(2)(m＋2n＋3)(m－2n－3).
解：(1)原式＝[(a＋b)－c]2＝(a＋b)2－2(a＋b)c＋c2＝a2＋2ab＋b2－2ac－2bc＋c2＝a2＋b2＋c2＋2ab－2ac－2bc.
(2)原式＝[m＋(2n＋3)][m－(2n＋3)]＝m2－(2n＋3)2＝m2－4n2－12n－9.
3．先化简，再求值：(2x＋1)2－(2x－3)(2x＋3)，其中x＝－2.
解：原式＝4x2＋4x＋1－4x2＋9＝4x＋10.
当x＝－2时，原式＝4×(－2)＋10＝2.
循环练
4．已知x＋y＝5，xy＝6，则x2＋y2的值是( )
A．1 B．13
C．17 D．25
B(共20张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十四章 整式的乘法与因式分解
第3课时 积的乘方
了解整数指数幂的意义和基本性质．(核心素养：抽象能力、运算能力)
课标要求
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
1.根据乘方的意义和同底数幂的乘法填空：
(1)(2a)2＝(2a)·(2a)＝(2×2)·(a·a)＝__________；
(2)(ab)3＝(ab)·(ab)·(ab)＝(a·a·a)·(b·b·b)＝__________．
归纳：一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，(ab)n＝
（ab）·（ab）·…·（ab）＝a·a·…·a·b·b·…·b＝__________，即(ab)n＝
__________(n为正整数).
积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别__________，再把所得的幂相乘．
n个ab
n个a
n个b
4a2
a3b3
anbn
anbn
乘方
课堂讲练
积的乘方
例1 计算：(1)(2a)4＝__________；
(2)(－3x)3＝__________；
(3)(5m2)2＝__________；
(4)(ab4)5＝__________；
(5)(2x2y)3＝__________；
(6)(－2×104)2＝__________．
推广：(abc)n＝anbncn.
16a4
－27x3
25m4
a5b20
8x6y3
4×108
训练 1.计算：(1)(3n)2＝__________；
(2)(－x3)4＝__________；
(4)(a2b3)2＝__________；
(5)(3m3n2)2＝__________；
(6)(3×104)3＝__________．
注：(－xm)n＝(－1)nxmn.
9n2
x12
a4b6
9m6n4
2.7×1013
幂的混合运算
例2 计算：(1)(－a3)4·a3；
(2)(4x6)2＋(－2x4)3.
解：(1)原式＝(－1)4·(a3)4·a3＝a12·a3＝a15.
(2)原式＝42·(x6)2＋(－2)3·(x4)3＝16x12－8x12＝8x12.
训练 2.计算：(1)(－x3)2·(－x2)3；
(2)(2x2y)4＋(－x4y2)2.
解：(1)原式＝(－1)2·(x3)2·(－1)3·(x2)3
＝x6·(－x6)
＝－x12.
(2)原式＝24·(x2)4·y4＋(－1)2·(x4)2·(y2)2
＝16x8y4＋x8y4
＝17x8y4.
积的乘方的逆运算
训练 3.计算：2100×0.5101.
解：原式＝2100×0.5100×0.5＝(2×0.5)100×0.5＝1100×0.5＝0.5.
把积的乘方法则逆应用，可以得到anbn＝(ab)n.
运算 法则 推广 逆运算
同底数幂的乘法 am·an＝am＋n am·an·aq＝am＋n＋q am＋n＝am·an
幂的乘方 (am)n＝amn [(am)n]q＝amnq amn＝(am)n＝(an)m
积的乘方 (ab)n＝anbn (abc)n＝anbncn anbn＝(ab)n
幂的混合运算顺序一般为：先乘方，再乘除，最后加减．
课堂检测
1．下列运算一定正确的是( )
A．a3·a3＝a9 B．(a4)2＝a6
C．(ab2)2＝ab4 D．(a3b2)2＝a6b4
2．填空：(1)(3a)3＝________； (2)(－2b)5＝__________；
(3)(－4x3)2＝__________； (4)(m3n2)3＝__________；
(6)(－5×105)3＝______________.
D
27a3
－32b5
16x6
m9n6
－1.25×1017
－1.5
8.64×1011
5．计算：(1)(2m2)3·(－m)2;
(2)(－3x3)2－[(2x)2]3.
解：(1)原式＝23·(m2)3·(－1)2·m2
＝8m6·m2
＝8m8.
(2)原式＝(－3)2·(x3)2－(2x)6
＝9x6－26·x6
＝9x6－64x6
＝－55x6.
6．(1)若am＝4，bm＝3，求(ab)m的值；
(2)若－a2b3＝4，求a4b6的值．
解：(1)(ab)m＝ambm＝4×3＝12.
(2)a4b6＝(－a2b3)2＝42＝16.
7．若2n＋7·3n＋7＝63n－1，求n的值．
解：∵2n＋7·3n＋7＝(2×3)n＋7＝63n－1，
∴6n＋7＝63n－1.∴n＋7＝3n－1.解得n＝4.
随堂测
课时练
1．计算(3m3)2的结果为( )
A．9m6 B．6m6 C．3m6 D．3m5
2．计算：(a·a3)2＝a2·(a3)2＝a2·a6＝a8，其中第一步运算的依据是
( )
A．积的乘方法则 B．幂的乘方法则
C．乘法分配律 D．同底数幂的乘法法则
A
A
(2)(－mn)4＝__________；
(3)－(a3b4)2＝__________；
(4)(3a3b2)3＝__________.
m4n4
－a6b8
27a9b6
4．计算：(1)(2a2)4·(a3)2; (2)(2x3y6)2－(x2y4)3.
解：(1)原式＝16a8·a6＝16a14.
(2)原式＝4x6y12－x6y12＝3x6y12.
5．填空：(－4×104)3＝__________.
6．若4m＝a，5m＝b，则20m＝__________.
7．计算：0.42 024×2.52 024＝__________.
－6.4×1013
ab
1
循环练
8．计算：(3x4)3－x5·x7－(x2)6.
解：原式＝27x12－x12－x12＝25x12.(共22张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十四章 整式的乘法与因式分解
*第15课时 因式分解(4)——十字相乘法
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
1.(衔接回顾)分解因式：
(1)6m－3m2＝______________；
(2)9a2－1＝______________；
(3)a2－4a＋4＝______________；
(4)3x2－12xy＋12y2＝______________．
3m(2－m)
(3a＋1)(3a－1)
(a－2)2
3(x－2y)2
2．整式乘法：(x＋p)(x＋q)＝_________________．
分解因式：x2＋(p＋q)x＋pq＝______________．
十字相乘法：首分解，尾分解，交叉相乘再相加要等于中间项，分解所得项横着写(如下).
注：不是所有的二次三项式都可以进行因式分解．
x2＋(p＋q)x＋pq
(x＋p)(x＋q)
课堂讲练
例1 分解因式：
(1)x2＋3x＋2; (2)x2－5x＋6.
解：(1)原式＝x2＋(1＋2)x＋1×2
＝(x＋1)(x＋2).
(2)原式＝x2＋[(－2)＋(－3)]x＋(－2)×(－3)
＝(x－2)(x－3).
训练 1.分解因式：
(1)a2＋4a＋3; (2)x2－7x＋12.
解：(1)原式＝a2＋(1＋3)a＋1×3
＝(a＋1)(a＋3).
(2)原式＝x2＋[(－3)＋(－4)]x＋(－3)×(－4)
＝(x－3)(x－4).
例2 分解因式：
(1)x2＋x－2; (2)x2－2x－15.
解：(1)原式＝x2＋[(－1)＋2]x＋(－1)×2
＝(x－1)(x＋2).
(2)原式＝x2＋[(－5)＋3]x＋(－5)×3
＝(x－5)(x＋3).
训练 2.分解因式：
(1)x2－2x－3; (2)x2＋4x－12.
解：(1)原式＝x2＋[(－3)＋1]x＋(－3)×1
＝(x－3)(x＋1).
(2)原式＝x2＋[(－2)＋6]x＋(－2)×6
＝(x－2)(x＋6).
例3 分解因式：
(1)2x2＋5x－3; (2)x2－5xy＋6y2.
解：(1)原式＝2x·x＋[2×3＋1×(－1)]x＋(－1)×3
＝(2x－1)(x＋3).
(2)原式＝x2＋[(－2)＋(－3)]xy＋(－2y)·(－3y)
＝(x－2y)(x－3y).
训练 3.分解因式：
(1)3x2－8x＋4; (2)x2－xy－12y2.
解：(1)原式＝3x·x＋[3×(－2)＋1×(－2)]x＋(－2)×(－2)
＝(3x－2)(x－2).
(2)原式＝x2＋[(－4)＋3]·xy＋(－4y)·3y
＝(x－4y)(x＋3y).
课堂检测
1．下列因式分解中，错误的是( )
A．1－a2＝(1＋a)(1－a) B．－2y2＋4y＝－2y(y＋2)
C．a2＋4a＋4＝(a＋2)2 D．x2－x－2＝(x－2)(x＋1)
2．分解因式：x2－9x＋14＝(x＋□)(x－7)，其中“□”表示一个常数，则这个常数是( )
A．7 B．2 C．－2 D．－7
B
C
3．分解因式：
(1)m2＋7m＋10； (2)a2＋9a－10； (3)y2－y－6.
解：(1)原式＝m2＋(2＋5)m＋2×5
＝(m＋2)(m＋5).
(2)原式＝a2＋[(－1)＋10]a＋(－1)×10
＝(a－1)(a＋10).
(3)原式＝y2＋[2＋(－3)]y＋2×(－3)
＝(y＋2)(y－3).
4．分解因式：
(1)x2＋7xy＋12y2； (2)2x2＋5x－12； (3)(p－4)(p＋1)＋6.
解：(1)原式＝x2＋(3＋4)xy＋3y·4y＝(x＋3y)(x＋4y).
(2)原式＝2x·x＋[2×4＋1×(－3)]x＋4×(－3)＝(2x－3)(x＋4).
(3)原式＝p2＋p－4p－4＋6
＝p2－3p＋2
＝p2＋[(－1)＋(－2)]p＋(－1)×(－2)
＝(p－1)(p－2).
5．【应用意识】阅读材料．
分解因式：x2＋12x－189.
分析：由于常数项数值较大，可以先运用完全平方公式将x2＋12x－189变形，再运用平方差公式进行分解，具体做法如下：
解：原式＝x2＋2·6x＋62－62－189＝(x＋6)2－225＝(x＋6)2－152＝(x＋6＋15)(x＋6－15)＝(x＋21)(x－9).
请按照上面的方法分解因式：x2－60x＋884.
解：原式＝x2－2·30x＋302－302＋884
＝(x－30)2－16
＝(x－30)2－42
＝(x－30＋4)(x－30－4)
＝(x－26)(x－34).
随堂测
课时练
1．已知x2＋x－6＝(x＋a)(x＋b)，则下列式子正确的是( )
A．ab＝6 B．ab＝－6
C．a＋b＝6 D．a＋b＝－6
2．下列因式分解正确的是( )
A．x2＋3x＋2＝(x＋1)(x－2) B．x2＋5x＋4＝(x＋1)(x＋4)
C．x2－3x＋2＝(x－1)(x＋2) D．x2－5x＋4＝(x＋1)(x＋4)
B
B
3．分解因式：x2－6x＋8＝______________.
4．分解因式：x2－x－20＝______________.
(x－2)(x－4)
(x＋4)(x－5)
5．分解因式：
(1)x2＋11x＋24; (2)x2＋6x－27；
(3)x2－3x－18; (4)2x2＋x－6.
解：(1)原式＝x2＋(3＋8)x＋3×8＝(x＋3)(x＋8).
(2)原式＝x2＋(－3＋9)x＋(－3)×9＝(x－3)(x＋9).
(3)原式＝x2＋(－6＋3)x＋(－6)×3＝(x－6)(x＋3).
(4)原式＝2x·x＋(2×2－3)x－3×2＝(2x－3)(x＋2).
循环练
6．分解因式：
(1)m2－3m＝__________；
(2)a2＋8a＋16＝__________；
(3)3a2－27＝_______________.
m(m－3)
(a＋4)2
3(a＋3)(a－3)(共21张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十四章 整式的乘法与因式分解
第5课时 单项式乘多项式
能进行简单的整式乘法运算．(核心素养：抽象能力、运算能力、几何直观、应用意识)
课标要求
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
1.如图1.(1)大长方形的长为(a＋b＋c)，
宽为p，则面积为______________；
(2)将大长方形看成由三个小长方形组成，
则面积为______________；
(3)观察(1)(2)中大长方形的面积的表示形式，写出你的发现：
________________________．
单项式与多项式相乘：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
图1
p(a＋b＋c)
pa＋pb＋pc
p(a＋b＋c)＝pa＋pb＋pc
课堂讲练
单项式乘多项式
例1 计算：(1)3x(2x＋5)＝______________；
(2)(3a＋1)(－6a)＝__________；
训练 1.计算：
(1)(4a－b)·2a＝______________；
(2)(5x－x2)·(－4x)＝____________；
(3)－xy2(6x＋xy)＝____________________＝______________．
6x2＋15x
－18a2－6a
8a2－2ab
－20x2＋4x3
－xy2·6x＋(－xy2)·xy
－6x2y2－x2y3
例2 计算：(1)5x(3x2－x－0.2)；
(2)(b2－ab)·(－2a)3.
解：(1)原式＝5x·3x2－5x·x－5x×0.2
＝15x3－5x2－x.
(2)原式＝(b2－ab)·(－8a3)
＝－8a3b2＋8a4b.
训练 2.计算：(1)(a＋2ab－1)·(－3a)；
解：(1)原式＝a·(－3a)＋2ab·(－3a)－1×(－3a)
＝－3a2－6a2b＋3a.
单项式乘多项式的运用
解：原式＝x3＋x2－x3－3x2＋x＝－2x2＋x.
训练 3.先化简，再求值：2x2－x(2x－5y)＋y(2x－y)，其中x＝2， y＝－1.
解：原式＝2x2－2x2＋5xy＋2xy－y2＝7xy－y2.
当x＝2，y＝－1时，原式＝7×2×(－1)－(－1)2＝－15.
1.一般来说，单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同．
2．计算过程中要注意符号问题，每一项的计算都包括它前面的符号．
3．混合运算应注意运算顺序，有同类项时要合并．
课堂检测
1．计算a2(a－2b)的结果是( )
A．a3－a2b B．a3－2a2b
C．a3－2ab2 D．a3－a2b2
2．填空：(1)m(2－m)＝______________；
(2)(3a－4b)·3a＝______________；
(3)(x－3y)·(－6x)＝______________；
(4)(－5a2)·(2a＋3b)＝______________.
2m－m2
B
9a2－12ab
－6x2＋18xy
－10a3－15a2b
5．【实际应用】如图2，为改善业主的居住环境，某小区物业准备在一个长为(4a＋2b) m，宽为(3a＋2b) m的长方形草坪上修建两条宽为 b m的小路，求小路的面积．(要求化成最简形式)
图2
解：b(3a＋2b)＋b(4a＋2b)－b2
＝3ab＋2b2＋4ab＋2b2－b2
＝7ab＋3b2(m2).
答：小路的面积为(7ab＋3b2) m2.
6．【推理能力】观察以下等式：
第1个等式：2×1－12＝1；第2个等式：3×2－22＝2；
第3个等式：4×3－32＝3；第4个等式：5×4－42＝4；
第5个等式：6×5－52＝5……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：______________；
(2)写出你猜想的第n个等式：__________________(用含n的等式表示)，并证明．
7×6－62＝6
(n＋1)·n－n2＝n
证明：∵(n＋1)·n－n2＝n2＋n－n2＝n，∴等式成立．
随堂测
课时练
1．计算：a(a2＋2)＝( )
A．a3＋a B．a3＋2a
C．a2＋2a D．a3＋2a2
2．填空：(1)(y＋2x)·x＝______________；
(2)(4x－3)·(－2x)＝______________；
(3)－m(3m－mn)＝______________；
(4)a2b(－2a＋3b)＝______________.
B
xy＋2x2
－8x2＋6x
－3m2＋m2n
－2a3b＋3a2b2
3．计算：
(2)xy(x2y5＋3xy3－2y).
(2)原式＝xy·x2y5＋xy·3xy3－xy·2y
＝x3y6＋3x2y4－2xy2.
4．已知2m－3n＝－4，求式子m(n－2)－n(m－3)的值．
解：原式＝mn－2m－mn＋3n＝－2m＋3n.
∵2m－3n＝－4，∴－2m＋3n＝4.
∴原式＝4.
循环练
5．下列式子不成立的是( )
A．3y3·5y4＝15y7 B．(ab5)2＝a2b10
C．(a3)2＝(a2)3 D．(－x)4·(－x)6＝－x10
D(共21张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十四章 整式的乘法与因式分解
第8课时 整式的除法
课堂检测
课堂讲练
随堂测
知识导学
知识导学
1.(1)(衔接回顾)4b·2b＝______，3mn·2m＝______；
(2)8b2÷2b＝________，6m2n÷2m＝________．
单项式除以单项式：一般地，单项式相除，把________与________分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
8b2
6m2n
4b
3mn
系数
同底数幂
2.(1)(衔接回顾)(3x＋xy)·x＝__________；
(2)(3x2＋x2y)÷x＝__________________＝__________．
多项式除以单项式：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的__________除以这个__________，再把所得的商相加．
3x2＋x2y
3x2÷x＋x2y÷x
3x＋xy
每一项
单项式
课堂讲练
单项式除以单项式
例1 计算：
(1)6a5÷2a2； (2)－10m3n2÷5m3n；
(4)x2 y5÷(3x)2.
解：(1)原式＝(6÷2)·a5－2＝3a3.
(2)原式＝(－10÷5)·m3－3·n2－1＝－2n.
训练 1.计算：
(1)5x2÷3x2; (2)3x6÷(－6x4)；
(3)－12a4b2c2÷4a2b2; (4)(2ab2)3÷(－ab)2.
(3)原式＝[(－12)÷4]·a4－2·b2－2·c2＝－3a2c2.
(4)原式＝8a3b6÷a2b2＝8·a3－2·b6－2＝8ab4.
多项式除以单项式
例2 计算：(1)(8a3b－4a2)÷2a；
(2)(－7x3－14x2y＋7x)÷7x.
解：(1)原式＝8a3b÷2a－4a2÷2a
＝4a2b－2a.
(2)原式＝－7x3÷7x－14x2y÷7x＋7x÷7x
＝－x2－2xy＋1.
训练 2.计算：(1)(x3＋2x2y)÷x2；
(2)(4a3b2－2a2b＋6a)÷2a.
解：(1)原式＝x3÷x2＋2x2y÷x2
＝x＋2y.
(2)原式＝4a3b2÷2a－2a2b÷2a＋6a÷2a
＝2a2b2－ab＋3.
整式的混合运用
例3 化简：(2a＋b)(a－b)－(8a3b－4a2b2)÷4ab.
解：原式＝2a2－2ab＋ab－b2－(8a3b÷4ab－4a2b2÷4ab)
＝2a2－ab－b2－(2a2－ab)
＝2a2－ab－b2－2a2＋ab
＝－b2.
1.运算顺序：先算乘方，再算乘除；2.注意单项式和多项式中每一项前面的符号．
课堂检测
1．下列运算一定正确的是( )
A．a3·a＝a3 B．(－2a2)3＝－6a5
C．8a5÷2a3＝4a2 D．(2ab－a)÷a＝2b
2．计算(－4x3＋2x)÷2x的结果正确的是( )
A．－8x4＋4x2 B．－4x3
C．－2x2 D．－2x2＋1
C
D
3．填空：
(1)42m3n3÷(－7n3)＝__________；
(2)－8x2y3÷2xy＝__________；
(3)(x4－3x2)÷x＝__________；
(4)(xy2＋3y)÷3y＝__________．
－6m3
－4xy2
x3－3x
4．计算：(1)(－2a3b2)3÷8a2b6; (2)(0.5x4－x2＋0.25x)÷0.25x.
解：(1)原式＝－8a9b6÷8a2b6＝－a7.
5．【实际应用】一次旧城改造过程中，某市计划在市内一块长方形空地上种植草皮，以美化环境．已知该长方形空地的面积是6a3＋9a2－3ab，其中一边长是3a，则它的邻边长是______________．
2a2＋3a－b
6．先化简，再求值：[x(xy－x2y)－y(x3－x2y)]÷5x2y，其中x＝－1，y＝1.
随堂测
课时练
1．填空：(1)－16x5÷8x＝__________；
(2)3m2n2÷(－mn)＝__________；
(3)12a3b2c÷4a2b＝__________；
(4)(10×106)÷(2×103)＝__________.
2．填空：
(1)(14a6－7a)÷7a＝__________；
(2)(－5xy＋4y2)÷(－y)＝__________；
－2x4
－3mn
3abc
5×103
2a5－1
5x－4y
a5b＋2b4
3．计算：(1)(2xy2)3÷2x2y3;
解：(1)原式＝8x3y6÷2x2y3
＝4xy3.
4．先化简，再求值：x(x－3y)＋(6x2y＋2xy2)÷2x，其中x2＋y2－2＝0.
解：原式＝x2－3xy＋3xy＋y2＝x2＋y2.
∵x2＋y2－2＝0，∴x2＋y2＝2.
∴原式＝2.
循环练
5．已知am＝4，an＝2，则am－n的值为______.
2(共16张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十四章 整式的乘法与因式分解
微专题5 因式分解
注：分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．
因式分解
类型 直接考查
因式分解1 一次运算
1．分解因式：
(1)x2－5x＝______________；
(2)m2－16＝______________；
(3)4x2－9y2＝_________________；
(4)m2＋12m＋36＝______________；
(5)4a2－4a＋1＝______________；
(6)x2－5x＋4＝______________．
x(x－5)
(m＋4)(m－4)
(2x＋3y)(2x－3y)
(m＋6)2
(2a－1)2
(x－4)(x－1)
2．分解因式：
(1)－4m2＋n2； (2)16x2＋8xy＋y2；
(3)2a(b＋c)－3(b＋c)； (4)(3m－1)2－(2m－3)2.
解：(1)原式＝n2－4m2＝(n＋2m)(n－2m).
(2)原式＝(4x)2＋2·4x·y＋y2＝(4x＋y)2.
(3)原式＝(b＋c)(2a－3).
(4)原式＝[(3m－1)＋(2m－3)][(3m－1)－(2m－3)]
＝(5m－4)(m＋2).
因式分解2 二次运算
3．分解因式：
(1)a3－4a＝______________；
(2)x2y＋4xy＋4y＝______________；
(3)a3＋2a2＋a＝______________．
a(a＋2)(a－2)
y(x＋2)2
a(a＋1)2
4．分解因式：
(1)m4－1； (2)2m3n－32mn；
(3)－3x3＋6x2y－3xy2； (4)a4－2a2b2＋b4.
解：(1)原式＝(m2＋1)(m2－1)＝(m2＋1)(m＋1)(m－1).
(2)原式＝2mn(m2－16)＝2mn(m＋4)(m－4).
(3)原式＝－3x(x2－2xy＋y2)＝－3x(x－y)2.
(4)原式＝(a2－b2)2＝[(a＋b)(a－b)]2＝(a＋b)2(a－b)2.
类型 综合应用
应用1 求值
5．若3a＋4b－2＝0，则6a＋8b＝__________．
6．若2a＋b＝－5，2a－b＝3，则4a2－b2的值为__________．
7．若a－b＝2，ab＝－3，则a3b－2a2b2＋ab3的值为__________．
4
－15
－12
8．先分解因式，再求值：(x＋y)(x2＋3xy＋y2)－5xy(x＋y)，其中x＝6，y＝－4.
解：原式＝(x＋y)(x2＋3xy＋y2－5xy)
＝(x＋y)(x2－2xy＋y2)
＝(x＋y)(x－y)2.
当x＝6，y＝－4时，
原式＝[6＋(－4)]×[6－(－4)]2＝2×100＝200.
应用2 简便计算
9．用简便方法计算：
(1)3.142＋3.14×6.86； (2)5.72－4.32.
解：(1)原式＝3.14×(3.14＋6.86)＝3.14×10＝31.4.
(2)原式＝(5.7＋4.3)×(5.7－4.3)＝10×1.4＝14.
类型 方法拓展
拓展1 配方法
10．阅读材料：
如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．
配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求式子的最大值、最小值等．
例1：分解因式x2＋2x－3.
解：原式＝(x2＋2x＋1)－1－3＝(x＋1)2－4＝(x＋1＋2)(x＋1－2)＝(x＋3)(x－1).
例2：求式子x2＋4x＋6的最小值．
解：原式＝(x2＋4x＋4)＋2＝(x＋2)2＋2.
∵(x＋2)2≥0，
∴当x＝－2时，x2＋4x＋6有最小值2.
结合上述阅读材料，解决下列问题：
(1)分解因式：m2－4m－5；
(2)求式子x2－6x＋12的最小值．
解：(1)原式＝(m2－4m＋4)－4－5＝(m－2)2－9＝(m－2＋3)(m－2－3)＝(m＋1)(m－5).
(2)原式＝(x2－6x＋9)＋3＝(x－3)2＋3.
∵(x－3)2≥0，∴当x＝3时，x2－6x＋12有最小值3.
拓展2 分组分解法
11．八年级课外兴趣小组进行活动时，老师提出了如下问题：
将m2－mn＋2m－2n因式分解．
经过小组合作交流，得到了如下的解决方法：
解法一：
原式＝(m2－mn)＋(2m－2n)＝m(m－n)＋2(m－n)＝(m－n)(m＋2).
解法二：
原式＝(m2＋2m)－(mn＋2n)＝m(m＋2)－n(m＋2)＝(m＋2)(m－n).
由此可以体会到，项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法等达到因式分解的目的，这种方法称为分组分解法．
请利用分组分解法解决下列问题：
(1)分解因式：a3－3a2＋6a－18；
(2)已知m＋n＝5，m－n＝1，求m2－n2＋2m－2n的值；
解：(1)原式＝a2(a－3)＋6(a－3)＝(a－3)(a2＋6).
(2)原式＝(m2－n2)＋(2m－2n)＝(m＋n)(m－n)＋2(m－n)＝(m－n)(m＋n＋2).
∵m＋n＝5，m－n＝1，∴原式＝1×(5＋2)＝7.
解：△ABC是等边三角形．理由如下：
∵2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，
∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2ac－2bc＝0.
∴(a2－2ab＋b2)＋(a2－2ac＋c2)＋(b2－2bc＋c2)＝0，
即(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2＝0.
∴a－b＝0，a－c＝0，b－c＝0.
∴a＝b且a＝c且b＝c.∴a＝b＝c.∴△ABC是等边三角形．
(3)已知a，b，c分别为△ABC的三边长，且2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，试判断△ABC的形状，并说明理由．(共23张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十四章 整式的乘法与因式分解
第14课时 因式分解(3)——公式法(完全平方公式)
能用公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数为正整数).(核心素养：抽象能力、运算能力)
课标要求
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
1.(衔接回顾)分解因式：
(1)a2＋4a＝______________；
(2)a2－9＝______________．
2.乘法公式：
(1)(a＋b)2＝______________；
(2)(a－b)2＝______________．
完全平方式：形如a2＋2ab＋b2和a2－2ab＋b2，即两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍的式子．
a(a＋4)
(a＋3)(a－3)
a2＋2ab＋b2
a2－2ab＋b2
3．因式分解：
(1)a2＋2ab＋b2＝__________；
(2)a2－2ab＋b2＝__________．
利用完全平方公式分解因式：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的________倍，等于这两个数的和(或差)的________，即a2±2ab＋b2＝__________．
(a＋b)2
(a－b)2
2
平方
(a±b)2
课堂讲练
完全平方式
例1 下列各式：①x2＋2x＋1；②1＋4b2；③a2－4ab＋4b2；④x2＋2xy－y2；⑤a2－ab＋b2.其中是完全平方式的有__________.(填序号)
训练 1.填空，使下列各式成为完全平方式．
(1)x2＋__________＋y2；
(2)__________＋4ab＋4b2；
(3)a2－10a＋__________；
(4)4a2－__________＋9b2.
①③
2xy
a2
25
12ab
直接运用完全平方公式分解因式
例2 分解因式：
(1)a2＋4a＋4＝a2＋2·a·2＋22＝_________；
(2)x2－10x＋25＝_______________＝__________；
(3)36－12x＋x2＝_______________＝__________．
(a＋2)2
x2－2·x·5＋52
(x－5)2
62－2×6·x＋x2
(6－x)2
训练 2.分解因式：
(1)m2－6m＋9＝__________；
(2)x2＋14x＋49＝__________；
(3)16＋8x＋x2＝_________________＝__________；
(m－3)2
(x＋7)2
42＋2×4·x＋x2
(4＋x)2
例3 分解因式：
(1)4b2＋4b＋1； (2)x2－6xy＋9y2.
解：(1)原式＝(2b)2＋2·2b·1＋12
＝(2b＋1)2.
(2)原式＝x2－2·x·3y＋(3y)2
＝(x－3y)2.
训练 3.分解因式：
(1)1－10x＋25x2； (2)9a2＋24ab＋16b2.
解：(1)原式＝12－2×1·5x＋(5x)2
＝(1－5x)2.
(2)原式＝(3a)2＋2·3a·4b＋(4b)2
＝(3a＋4b)2.
能用完全平方公式分解因式的条件：多项式为完全平方式，即有三项，首、末两项和是两个数的平方和的形式，中间项是这两个数的积的2倍．
综合运用提公因式法和公式法分解因式
例4 分解因式：
(1)2x2＋16x＋32； (2)－3y2＋18y－27.
解：(1)原式＝2(x2＋8x＋16)
＝2(x＋4)2.
(2)原式＝－3(y2－6y＋9)
＝－3(y－3)2.
训练 4.分解因式：
(1)2ab2＋4ab＋2a； (2)－9x2y＋6xy2－y3.
解：(1)原式＝2a(b2＋2b＋1)
＝2a(b＋1)2.
(2)原式＝－y(9x2－6xy＋y2)
＝－y(3x－y)2.
综合运用提公因式法和公式法(完全平方公式)分解因式的步骤： 1.提公因式；2.套完全平方公式；3.分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．
课堂检测
1．下列各式是完全平方式的是( )
A．x2＋2x＋y2 B．x2－4x＋4
C．x2－3x＋9 D．x2＋xy＋y2
2．分解因式：
(1)1－2m＋m2＝____________； (2)9x2－6x＋1＝___________；
(3)4a2＋12ab＋9b2＝_________； (4)2x2－16xy＋32y2＝_________.
3．若x2－mx＋25是完全平方式，则m的值为__________.
B
(1－m)2
(3x－1)2
(2a＋3b)2
2(x－4y)2
±10
4．分解因式：
(1)－3ax2＋18axy－27ay2; (2)a2＋2a(b＋c)＋(b＋c)2.
解：(1)原式＝－3a(x2－6xy＋9y2)
＝－3a(x－3y)2.
(2)原式＝[a＋(b＋c)]2
＝(a＋b＋c)2.
5．已知一个长方形的长和宽分别为a，b，周长为12，面积为5，求ab3＋2a2b2＋a3b的值．
∴ab3＋2a2b2＋a3b＝ab(b2＋2ab＋a2)＝ab(a＋b)2＝5×62＝180.
6．【数形结合】已知△ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2＋2b2＋c2＝2b(a＋c)，试判断△ABC的形状，并说明理由．
解：△ABC是等边三角形．理由如下：
∵a2＋2b2＋c2＝2b(a＋c)，∴a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0.
∴(a2－2ab＋b2)＋(b2－2bc＋c2)＝0.
∴(a－b)2＋(b－c)2＝0.
∵(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，∴a－b＝0，b－c＝0.
∴a＝b＝c.∴△ABC是等边三角形．
随堂测
课时练
1．下列因式分解错误的是( )
A．2a2＋4a＝2a(a＋2) B．a2－9＝(a＋3)(a－3)
C．a2＋2a＋1＝(a＋1)2 D．x2－2x＋4＝(x－2)2
2．因式分解：x2－6x＋9＝__________.
3．分解因式：3a2＋12a＋12＝__________.
4．因式分解：－a3＋2a2－a＝__________.
5．若a－b－3＝0，则a2－2ab＋b2＝__________.
6．若x2＋2mx＋9是一个完全平方式，则m的值是__________.
D
(x－3)2
3(a＋2)2
－a(a－1)2
9
±3
7．分解因式：
(1)－x2＋6xy－9y2； (2)(m＋n)2－10(m＋n)＋25.
解：(1)原式＝－(x2－6xy＋9y2)
＝－[x2－2·x·3y＋(3y)2]
＝－(x－3y)2.
(2)原式＝(m＋n)2－2·(m＋n)·5＋52
＝(m＋n－5)2.
循环练
8．计算：(x＋5)2－(x－2)(x－3).
解：原式＝x2＋10x＋25－(x2－5x＋6)
＝x2＋10x＋25－x2＋5x－6
＝15x＋19.(共24张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十四章 整式的乘法与因式分解
第1课时 同底数幂的乘法
了解整数指数幂的意义和基本性质．(核心素养：抽象能力、运算能力)
课标要求
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
1.根据乘方的意义填空：
(1)104×102＝(10×10×10×10)×(10×10)
＝______________________
＝__________；
(2)a2·a5＝(a·a)·(a·a·a·a·a)＝______________＝__________；
(3)2m×2n＝(2×2×…×2) ×(2×2×…×2)＝(2×2×…×2)＝______.
10×10×10×10×10×10
106
a·a·a·a·a·a·a
a7
m个2
n个2
(m＋n)个2
2m＋n
归纳：一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an＝
(a·a·…·a)·(a·a·…·a)＝(a·a·…·a)＝__________，即am·an＝__________(m，
n都是正整数)．
同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数_______，指数_______.
m个a
n个a
(m＋n)个a
am＋n
am＋n
不变
相加
课堂讲练
同底数幂的乘法
例1 计算：(1)x4·x4＝__________；
(2)b·b3＝__________；
(3)(－3)×(－3)5＝__________；
(4)am·a2＝__________；
(5)(a＋b)3·(a＋b)2＝__________；
(6)m3·m2·m4＝__________．
注：(1)a＝a1；(2)am·an·ap＝am＋n＋p.
x8
b4
36
am＋2
(a＋b)5
m9
训练 1.计算：(1)y4·y2＝__________；
(2)a5·a＝__________；
(3)2a×2b＝__________；
(5)x2m·xm－1＝__________；
(6)(x－y)·(x－y)3＝__________；
(7)(－4)5×(－4)×(－4)3＝__________．
y6
a6
2a＋b
x3m－1
(x－y)4
－49
例2 计算：a3·a4＋a5·a2.
解：原式＝a3＋4＋a5＋2＝a7＋a7＝2a7.
训练 2.计算：x·x2·x4－x4·x3.
解：原式＝x1＋2＋4－x4＋3＝x7－x7＝0.
同底数幂的乘法的运用
例3 【方程思想】若a4·am－2＝a8，求m的值．
解：∵a4·am－2＝a4＋m－2＝am＋2＝a8，
∴m＋2＝8.解得m＝6.
训练 3.若27×3n＝39，求n的值．
解：∵27×3n＝33×3n＝3n＋3＝39，
∴n＋3＝9.解得n＝6.
通过同底数幂的乘法法则，得到含未知数的方程，解方程即可求得未知数的值．
同底数幂的乘法的逆运算
例4 【整体思想】已知10m＝4，10n＝5，求10m＋n的值．
解：10m＋n＝10m×10n＝4×5＝20.
训练 4.已知xm＝5，xn＝3，求xm＋n的值．
解：xm＋n＝xm·xn＝5×3＝15.
把同底数幂的乘法法则逆应用，可以得到am＋n＝am·an(m，n都是正整数)．
课堂检测
1．下列各式中计算结果为x5的是( )
A.x3＋x2 B．x3·x2
C．x5·x D．x7－x2
B
2．填空：(1)x2·x7＝__________；
(2)－m3·m＝__________；
(3)am·am＋1＝__________；
(4)(x－y)3·(x－y)2＝__________；
(6)(－t)3·(－t)2·(－t)＝__________．
x9
－m4
a2m＋1
(x－y)5
t6
3．(1)已知am＝7，an＝5，则am＋n的值为__________；
(2)若m2·m2x－1＝m7(m≠0，且m≠1)，则x的值为__________．
35
3
4.计算：a3·a5－a·(－a)7.
当底数互为相反数时，先用下列方法变形，化为相同底数，再运用法则进行运算．
解：原式＝a3·a5＋a·a7
＝a3＋5＋a1＋7
＝a8＋a8
＝2a8.
5．计算：(m－n)3·(n－m)5.
解：原式＝(m－n)3·[－(m－n)5]
＝－(m－n)8.
6．已知2a＝5，2b＝3.2，求a＋b的值.
a，b分别为已知条件中同底数幂的指数，“a＋b”即为指数之和，运用同底数幂的乘法法则列出等式，进而求值．
解：∵2a＝5，2b＝3.2，
∴2a×2b＝2a＋b＝5×3.2＝16＝24.
∴a＋b＝4.
7．【跨学科】(北师七下P4 T5改编)W细菌为二分裂增殖(1个细菌分裂成2个细菌)，10 min分裂一次．
(1)经过1 h，1个W细菌分裂成__________个；
(2)这些细菌继续分裂，再过t h后共分裂成__________个．
26
26＋6t
随堂测
课时练
1．填空：(1)42×43＝______；
(2)b2×b3＝______；
(4)(－m)3·(－m)5＝______；
(5)y2n·yn－1＝______；
(6)(a－b)4·(a－b)5＝______.
45
b5
m8
y3n－1
(a－b)9
2．计算：(1)x2·x4＋x3·x2·x； (2)(a－2)2·(2－a)7.
解：(1)原式＝x6＋x6＝2x6.
(2)原式＝(2－a)2·(2－a)7＝(2－a)9.
3．已知a＋b＝2，则3a·3b的值是______.
4．已知ax＝5，ax＋y＝25，则ay的值是______.
5．若2×2m×22m＋3＝210，求m的值．
9
5
解：∵2×2m×22m＋3＝21＋m＋2m＋3＝23m＋4＝210，
∴3m＋4＝10.
解得m＝2.
6．【跨学科、实际应用】1 kg镭完全衰变后，放出的热量大约相当于105 kg煤燃烧放出的热量，据估计地壳里含1010 kg镭，则这些镭完全衰变后放出的热量大约相当于多少千克煤燃烧放出的热量？
解：105×1010＝1015.
答：大约相当于1015 kg煤燃烧放出的热量．
循环练
7．计算：(1)－(－2)3＝______；
(2)(－2)2×(－3)2＝______.
8
36(共6张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十四章 整式的乘法与因式分解
微专题6 乘法公式及其变形的应用(几何背景)
类型 平方差公式
1．实践与探索
如图1，在边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1①中的阴影部分裁剪后拼成一个长方形(如图1②所示).
(1)上述操作能验证的等式是______.(填选项)
A．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
B．a2－2ab＋b2＝(a－b)2
C．a2＋ab＝a(a＋b)
图1
A
图2
类型 完全平方公式
2．把一个长为2m、宽为2n的长方形沿图2①中虚线剪成四个完全相同的小长方形，然后拼成一个大正方形(如图2②所示)．
(1)请用两种不同的方法表示图2②中
阴影部分的面积．(用含m，n的式子表示)
方法一：______________，
方法二：______________.
(2)根据(1)中的结果，请你写出(m＋n)2，(m－n)2，mn这三个式子之间的等量关系：______________________.
(m－n)2
(m＋n)2－4mn
(m＋n)2＝(m－n)2＋4mn
(3)根据(2)中的等量关系，解决下列问题：已知实数x，y满足xy＝5，x－y＝4，求x＋y的值．
解：∵(x＋y)2＝(x－y)2＋4xy＝42＋4×5＝36，
∴x＋y＝±6.(共22张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十四章 整式的乘法与因式分解
第9课时 乘法公式(1)——平方差公式
理解乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理．(核心素养：抽象能力、运算能力、几何直观)
课标要求
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
1.填空：(1)(a＋1)(a－1)＝a2－a＋a－1＝__________；
(2)(a＋2)(a－2)＝a2－2a＋2a－4＝__________；
(3)(2x＋1)(2x－1)＝4x2－2x＋2x－1＝__________．
平方差公式：两个数的______与这两个数的______的积，等于这两个数的__________，即(a＋b)(a－b)＝__________．
a2－1
a2－4
4x2－1
和
差
平方差
a2－b2
2.用几何方法验证平方差公式：
如图1，在边长为a的正方形中裁去
边长为b的小正方形．小颖将阴影部分
裁开，拼成了一个长方形(如图2)，这个
长方形的长为________，宽为________，
它的面积为____________.将长方形的面
积和原图形的面积进行比较，可以得到____________________.
图1
图2
a＋b
a－b
(a＋b)(a－b)
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
课堂讲练
平方差公式的直接运用
例1 计算：(1)(m＋3)(m－3)；
(2)(m＋2n)(m－2n).
解：(1)原式＝m2－32＝m2－9.
(2)原式＝m2－(2n)2＝m2－4n2.
训练 1.计算：(1)(4＋a)(4－a)；
解：(1)原式＝42－a2＝16－a2.
平方差公式的常见变形
例2 计算：(1)(－x－3y)(－x＋3y)；
(2)(3＋2a)(－2a＋3).
解：(1)原式＝(－x)2－(3y)2＝x2－9y2.
(2)原式＝(3＋2a)(3－2a)＝32－(2a)2＝9－4a2.
训练 2.计算：(1)(2x2＋1)(2x2－1)；
(2)(－3m＋2n)(3m＋2n).
解：(1)原式＝(2x2)2－12＝4x4－1.
(2)原式＝(2n＋3m)(2n－3m)
＝(2n)2－(3m)2
＝4n2－9m2.
1.平方差公式中的a , b可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式、多项式等式子．
2.只要符合平方差公式的结构特征，就可以运用平方差公式．
平方差公式的混合运算
例3 计算：(a＋b)(a－b)＋(b－1)(2＋b).
解：原式＝a2－b2＋2b＋b2－2－b
＝a2＋b－2.
训练 3.计算：(3x＋1)(3x－1)－(3－2x)(3x＋2).
解：原式＝9x2－1－(9x＋6－6x2－4x)
＝9x2－1－9x－6＋6x2＋4x
＝15x2－5x－7.
用平方差公式进行简便计算
例4 计算：99×101.
解：原式＝(100－1)×(100＋1)
＝10 000－1
＝9 999.
训练 4.计算：53×47.
解：原式＝(50＋3)×(50－3)
＝2 500－9
＝2 491.
课堂检测
1．下列各式中，不能利用平方差公式进行计算的是( )
A．(x＋1)(x－1) B．(x－1)(－x－1)
C．(x－1)(－x＋1) D．(x＋1)(1－x)
2．填空：(1)(5－2x)(5＋2x)＝__________；
(2)(3a＋b)(3a－b)＝__________；
(4)(4m－3n)(4m＋3n)＝__________.
C
25－4x2
9a2－b2
16m2－9n2
3．计算：(1)(xy＋2)(2－xy); (2)(－a－3b)(a－3b).
解：(1)原式＝(2＋xy)(2－xy)
＝22－(xy)2
＝4－x2y2.
(2)原式＝(－3b＋a)(－3b－a)
＝(－3b)2－a2
＝9b2－a2.
解：原式＝4x2－1＋3x－4x2＝3x－1.
5．【数形结合】【探究活动】如图3①，在边长为a的正方形中裁去边长为b的小正方形．
(1)图3①中阴影部分的面积
是__________；
(2)图3②是将图3①中的阴影
部分沿AB裁开重新拼成的梯形，
这个梯形的面积为_____________，比较两个图形面积可以得到乘法公式__________________；
【知识应用】(3)计算：(m－n)(m＋n)(m2＋n2).
图3
图3
a2－b2
(a＋b)(a－b)
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
解：原式＝(m2－n2 )(m2＋n2)＝m4－n4.
随堂测
课时练
1．计算：(1)(m＋1)(m－1)＝__________；
(3)(1＋3a)(1－3a)＝__________；
(4)(2x－5y)(2x＋5y)＝__________.
2．若a＋2b＝3，a－2b＝2，则a2－4b2的值为__________.
3．计算：999×1 001＝__________.
m2－1
1－9a2
4x2－25y2
6
999 999
4．计算：(1)(－1＋4x)(4x＋1); (2)(－n＋3m)(－3m－n).
解：(1)原式＝(4x－1)(4x＋1)
＝(4x)2－12
＝16x2－1.
(2)原式＝(－n＋3m)(－n－3m)
＝(－n)2－(3m)2
＝n2－9m2.
5．计算：(1)(2＋a)(2－a)(a2＋4)；
(2)(a－3b)(a＋3b)＋(2a－b)(3a－2b).
解：(1)原式＝(4－a2)(4＋a2)
＝42－(a2)2
＝16－a4.
(2)原式＝a2－9b2＋6a2－4ab－3ab＋2b2
＝7a2－7ab－7b2.
循环练
6．先化简，再求值：(x＋2)(x－3)－x(x－2)，其中x＝2.
解：原式＝x2－3x＋2x－6－x2＋2x＝x－6.
当x＝2时，原式＝2－6＝－4.(共13张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十四章 整式的乘法与因式分解
核心素养专练
1．【运算能力、几何直观、应用意识】(北师七下P15 T2改编)一套住房的结构如图1所示(单位：m)，房主打算将所有房间都铺上某种地砖，如果这种地砖的价格是a 元/m2，那么购买所需地砖至少需要多少元？
图1
解：(x·y＋2y·x＋2x·4y＋2y·2x)·a＝15axy(元).
答：购买所需地砖至少需要15axy 元．
本题以铺地砖为背景，需要学生分析住房结构示意图的图形构成，从而计算出整套房屋的面积，进而求出购买地砖所需的费用．
2．【跨学科】【运算能力】(人教八上P119 T6)如图2，把R1，R2，R3三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则U＝IR1＋IR2＋IR3.当R1＝19.7，R2＝32.4，R3＝35.9，I＝2.5时，求U的值．
图2
解：由题意，得U＝IR1＋IR2＋IR3＝I(R1＋R2＋R3).
当R1＝19.7，R2＝32.4，R3＝35.9，I＝2.5时，
U＝2.5×(19.7＋32.4＋35.9)＝220.
本题考查数学知识在跨学科情境中的综合应用，以物理中的串联电路为背景，在计算电压时可利用提公因式法简化运算，让学生感悟数学与其他学科的关联，发展创新意识．
3．【几何直观、推理能力】如图3，现有甲、乙、丙三种大小不同的纸板若干张(甲、乙均为正方形纸板，丙为长方形纸板).嘉嘉要用这三种纸板拼接成一个大正方形(不留空隙)，她先取1 块甲纸板，再取4 块乙纸板，则还需取__________块丙纸板．
图3
4
本题属于综合实践类题目，考查完全平方公式的几何意义，需要学生用多个不同的纸板拼接成一个大正方形，将完全平方公式的结构特征和正方形的面积联系起来，增强学生的几何直观和推理能力．
(1)①用含a，b的式子表示剩余部分的面积；
②当a＝6.4，b＝1.8时，计算剩余部分的面积．
图4
解：①由题意，得剩余部分的面积为(a2－4b2) cm2.
②当a＝6.4，b＝1.8时，剩余部分的面积为a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)＝(6.4＋2×1.8)×(6.4－2×1.8)＝10×2.8＝28(cm2).
(2)当a＋2b＝8，ab＝2时，求折成的长方体纸盒的底面积．
图4
解：当a＋2b＝8，ab＝2时，
折成的长方体纸盒的底面积为(a－2b)2＝a2－4ab＋4b2＝(a＋2b)2－8ab＝82－8×2＝48(cm2).
本题属于综合实践类题目，以制作无盖长方体纸盒为背景，需要学生用含a，b的式子分别表示出阴影部分的面积和纸盒的底面积，考查因式分解和完全平方公式的常见变形，体现了数形结合的数学思想．
5．【运算能力、推理能力】在日历中，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，图5①是2023年11月份的日历，我们用如图②所示的“Z”字型框架任意框住日历中的5个数(如图5①中的阴影部分)，先将位置b，d上的数相乘，再将位置a，e上
的数相乘，最后把他们的积相减，例
如：6×20－5×21＝15，3×17－2×
18＝15，不难发现，结果都是7.设“Z”
字型框架中位置c上的数为x.
图5
(1)填空：a＝_______，b＝________，d＝________，e＝_______；(用含x的式子表示)
(2)猜测：bd－ae＝__________，请你加以证明．
图5
x－8
x－7
x＋8
x＋7
15
证明：由题意，得a＝x－8，b＝x－7，d＝x＋7，e＝x＋8.
∴bd－ae＝(x－7)(x＋7)－(x－8)(x＋8)＝x2－49－x2＋64＝15.
本题属于规律探究类题目，需要学生通过观察日历中的“Z”字形框架，发现给定位置的数字间存在一定的数量关系，归纳得到一般结论，并利用平方差公式证明该结论正确，让学生经历观察、发现、归纳并加以验证的代数推理过程．(共24张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十四章 整式的乘法与因式分解
第6课时 多项式乘多项式
能进行简单的整式乘法运算(多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法).(核心素养：抽象能力、运算能力、几何直观、应用意识)
课标要求
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
1.(1)(衔接回顾)a(b＋c)＝__________；
(2)(类比计算)(a＋b)(p＋q)＝a(p＋q)＋b(p＋q)＝_______________．
ab＋ac
ap＋aq＋bp＋bq
2.如图1.(1)原长方形的长为a，宽为p，若它的长增加b，宽增加q，则扩大后的长方形的长为__________，宽为
__________，面积为______________；
(2)扩大后的长方形还可看作由四个小长方形
组成，其面积可以表示为__________________；
(3)由(1)(2)可得________________＝________________．
多项式乘多项式：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个
多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，如
图1
a＋b
p＋q
(a＋b)(p＋q)
ap＋aq＋bp＋bq
(a＋b)(p＋q)
ap＋aq＋bp＋bq
课堂讲练
多项式乘多项式
例1 计算：(1)(x＋2)(x＋3)； (2)(x＋1)(x－4).
解：(1)原式＝x·x＋x×3＋2·x＋2×3
＝x2＋3x＋2x＋6
＝x2＋5x＋6.
(2)原式＝x·x－x×4＋1·x－1×4
＝x2－4x＋x－4
＝x2－3x－4.
训练 1.计算：(1)(x－2)(x－4)；(2)(m－3)(m－3).
解：(1)原式＝x·x－x×4－2·x＋2×4
＝x2－4x－2x＋8
＝x2－6x＋8.
(2)原式＝m·m－m×3－3·m＋3×3
＝m2－3m－3m＋9
＝m2－6m＋9.
例2 计算：(1)(2x＋1)(x＋3)；
(2)(5x＋2y)(3x－2y)；
(3)(2x2－1)(x＋3).
解：(1)原式＝2x2＋6x＋x＋3＝2x2＋7x＋3.
(2)原式＝15x2－10xy＋6xy－4y2＝15x2－4xy－4y2.
(3)原式＝2x3＋6x2－x－3.
训练 2.计算：(1)(2a＋3)(2a－3)；(2)(4a－b)(3a－2b)；
(3)(x＋3)(x2＋3x－9).
解：(1)原式＝4a2－6a＋6a－9＝4a2－9.
(2)原式＝12a2－8ab－3ab＋2b2＝12a2－11ab＋2b2.
(3)原式＝x3＋3x2－9x＋3x2＋9x－27＝x3＋6x2－27.
1.多项式乘多项式的解题关键：将多项式相乘转化为单项式与多项式相乘．
2．多项式乘多项式时，应注意：(1)不重复不遗漏；(2)每一项的计算都包括它前面的符号；(3)有同类项的要合并．
多项式乘多项式的运用
例3 化简：(3a－b)(a＋b)＋(2a－b)(2a－7b).
解：原式＝3a2＋3ab－ab－b2＋4a2－14ab－2ab＋7b2
＝7a2－14ab＋6b2.
解：原式＝x2－xy＋2xy－2y2－(x2－2xy＋xy－2y2)
＝x2＋xy－2y2－x2＋xy＋2y2
＝2xy.
课堂检测
1．计算(x＋5)(x－3)的结果是( )
A．x2－15 B．x2＋15
C．x2＋2x－15 D．x2－2x－15
2．将(x＋3)(x＋m)展开合并后，若x的一次项系数为－1，则m的值为( )
A．－4 B．4
C．－2 D．2
C
A
3．计算：(1)(2a＋1)(a＋2); (2)(2x－1)(2－3x)；
(3)(3m－n)(5m＋2n);
解：(1)原式＝2a2＋4a＋a＋2＝2a2＋5a＋2.
(2)原式＝4x－6x2－2＋3x＝－6x2＋7x－2.
(3)原式＝15m2＋6mn－5mn－2n2＝15m2＋mn－2n2.
4．【整体思想】已知x－y＝7，xy＝5，求(x＋1)(1－y)的值．
解：(x＋1)(1－y)＝x－xy＋1－y＝x－y－xy＋1.
∵x－y＝7，xy＝5，∴原式＝7－5＋1＝3.
5．先化简，再求值：(2x＋1)(x－3)－(x＋1)(x2－2x)，其中x＝2.
解：原式＝2x2－6x＋x－3－(x3－2x2＋x2－2x)
＝2x2－5x－3－x3＋2x2－x2＋2x
＝－x3＋3x2－3x－3.
当x＝2时，原式＝－23＋3×22－3×2－3＝－5.
6．【规律探究】计算下列各式，然后回答问题．
(a＋4)(a＋3)＝______________；(a＋4)(a－3)＝______________；
(a－4)(a＋3)＝______________；(a－4)(a－3)＝______________．
(1)观察以上各式，可总结归纳得：
(x＋a)(x＋b)＝________________．
(2)运用(1)中的结论，直接写出下列各式的结果：
①(x＋22)(x－10)＝______________；
②(x－25)(x－20)＝______________．
a2＋7a＋12
a2＋a－12
a2－a－12
a2－7a＋12
x2＋(a＋b)x＋ab
x2＋12x－220
x2－45x＋500
随堂测
课时练
1．计算：
(1)(x＋2)(x－3)＝______________；
(2)(m＋3)(m－5)＝______________；
(3)(2x＋1)(1－x)＝______________；
(4)(3x＋2y)(2x－y)＝______________.
x2－x－6
m2－2m－15
－2x2＋x＋1
6x2＋xy－2y2
2．计算：
(1)(2m＋3)(m2－4m); (2)(x2－x＋1)(x＋1).
解：(1)原式＝2m3－8m2＋3m2－12m
＝2m3－5m2－12m.
(2)原式＝x3＋x2－x2－x＋x＋1
＝x3＋1.
3．若(x＋2)(x－1)＝x2＋mx＋n，则m＋n＝( )
A．1 B．－2
C．－1 D．2
4．【整体思想】已知ab＝a＋b＋1，则(a－1)(b－1)＝______.
C
2
5．先化简，再求值：(a＋b)(a－2b)－a(a－2b)＋(3b)2，其中a＝3，b＝2.
解：原式＝a2－2ab＋ab－2b2－a2＋2ab＋9b2
＝ab＋7b2.
当a＝3，b＝2时，原式＝3×2＋7×22＝34.
循环练
6．(2023泸州)下列运算正确的是( )
A．m3－m2＝m B．3m2·2m3＝6m5
C．3m2＋2m3＝5m5 D．(2m2)3＝8m5
B(共27张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十四章 整式的乘法与因式分解
第十四章 章末复习
全国视野
基础练习
综合运用
幂的运算
1．同底数幂的乘法：am·an＝am＋n(m，n都是正整数)．
2．幂的乘方：(am)n＝amn(m，n都是正整数)．
3．积的乘方：(ab)n＝anbn(n为正整数)．
4．同底数幂的除法：
am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整数，且m＞n)．
注：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即a0＝1(a≠0).
1．计算：
(1)x5·x2＝__________； (2)(m4)3＝__________；
(3)(2ab3)3＝__________； (4)y8÷y2＝__________；
(5)－50＝__________．
2．(2023山西)下列计算正确的是( )
A．a2·a3＝a6 B．(－a3b)2＝－a6b2
C．a6÷a3＝a2 D．(a2)3＝a6
x7
m12
8a3b9
y6
－1
D
整式的运算
1．单项式乘单项式：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
2．单项式乘多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
3．多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
4．单项式除以单项式：把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
5．多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
注：整式的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的．
3.计算：
(1)x3y·3y2＝__________；
(2)2x(3x2－x)＝__________；
(3)8a5b3÷(－4a2b)＝__________．
3x3y3
6x3－2x2
－2a3b2
4．计算：
(1)2a2·ab2＋ab·(－a2b)；
(2)(3x－4y)(x＋2y)；
(3)(6m4－8m2n2)÷2m2.
解：(1)原式＝2a3b2－a3b2＝a3b2.
(2)原式＝3x2＋6xy－4xy－8y2＝3x2＋2xy－8y2.
(3)原式＝6m4÷2m2－8m2n2÷2m2＝3m2－4n2.
乘法公式
1．平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
2．完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.
5.计算：
(1)(3m－1)(3m＋1)＝______________；
(2)(a＋4b)(a－4b)＝______________；
(4)(2x－5y)2＝__________________．
9m2－1
a2－16b2
4x2－20xy＋25y2
因式分解
1．提公因式法：pa＋pb＋pc＝p(a＋b＋c).
2．公式法：a2－b2＝(a＋b)(a－b)，a2±2ab＋b2＝(a±b)2.
*3.十字相乘法：x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q).
注：分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．
6.分解因式：
(1)(2023广西)a2＋5a＝__________；
(2)(2023上海)n2－9＝____________；
(3)x2＋4x＋4＝__________；
(4)3x2－12＝______________；
(5)ab2－2ab＋a＝____________；
(6)x2＋x－2＝______________．
a(a＋5)
(n＋3)(n－3)
(x＋2)2
3(x＋2)(x－2)
a(b－1)2
(x－1)(x＋2)
基础练习
1．(2023吉林)下列各式运算结果为a5的是( )
A．a2＋a3 B．a2·a3
C．(a2)3 D．a10÷a2
2．(2023赤峰)下列运算正确的是( )
A．(a2b3)2＝a4b6 B．3ab－2ab＝1
C．(－a)3·a＝a4 D．(a＋b)2＝a2＋b2
B
A
3．(2023济宁)下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是( )
A．(a＋3)2＝a2＋6a＋9
B．a2－4a＋4＝a(a－4)＋4
C．5ax2－5ay2＝5a(x＋y)(x－y)
D．a2－2a－8＝(a－2)(a＋4)
4．(2023新疆)计算4a·3a2b÷2ab的结果是( )
A．6a B．6ab
C．6a2 D．6a2b2
C
C
5．计算：－42＋(3.14－π)0＝__________．
6．计算：(－3x)2·2x＝__________．
7．分解因式：
(1)4x2－1＝_______________；
(2)m2＋10mn＋25n2＝__________；
(3)xy2－x＝______________.
8．若x2＋kx－10＝(x－5)(x＋2)，则k的值为__________．
9．已知m＋3n＝5，则2m＋6n＋2＝________．
－15
18x3
(2x＋1)(2x－1)
(m＋5n)2
x(y＋1)(y－1)
－3
12
10．计算：
(1)(2a＋3b)(2a－b)；
(2)(12x3＋6x2 )÷3x.
解：(1)原式＝4a2－2ab＋6ab－3b2
＝4a2－3b2＋4ab.
(2)原式＝12x3÷3x＋6x2÷3x
＝4x2＋2x.
11．已知a·am·a3m＋1＝a10，求m的值．
解：∵a·am·a3m＋1＝a1＋m＋3m＋1＝a4m＋2＝a10，
∴4m＋2＝10.∴m＝2.
解：原式＝x2－4－x2＋x＝x－4.
综合运用
13．分解因式：x4－1＝_____________________．
14．计算：
(1)103×97＝__________；
15．若a－b＝2，则3a2＋3b2－6ab的值为__________．
16．若3y＋2x－2＝0，则9x·27y的值为________．
(x2＋1)(x＋1)(x－1)
9 991
－5
12
9
17．已知a2－2a＋1＝0，求a(a－4)＋(a＋1)(a－1)＋1的值．
解：原式＝a2－4a＋a2－1＋1
＝2a2－4a
＝2(a2－2a).
∵a2－2a＋1＝0，∴a2－2a＝－1.
∴原式＝2×(－1)＝－2.
18．先化简，再求值：[(x＋2y)(x－2y)－(x＋4y)2]÷4y，其中x＝－5，y＝－2.
解：原式＝[x2－4y2－(x2＋8xy＋16y2 )]÷4y
＝(x2－4y2－x2－8xy－16y2 )÷4y
＝(－8xy－20y2 )÷4y
＝－2x－5y.
当x＝－5，y＝－2时，原式＝－2×(－5)－5×(－2)＝20.
19．数形结合是一种重要的解决数学问题的思想方法，借助图形的直观性可以帮助我们理解数学问题．
(1)图1①，②，③中阴影部分的面
积可以分别用两种不同的方法表示，请
分别用等式表示出来．
图1①：_____________________；
图1②：_____________________；
图1③：_____________________．
图1
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
(a－b)2＝a2－2ab＋b2
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
图1
(2)用4个长、宽分别为a，b的长方形拼成一个如图1④所示的正方形，图中阴影部分的面积可以用不同的方法表示，写出能验证的等式：
______________________．
(a－b)2＝(a＋b)2－4ab
(3)根据(1)，(2)中的结论，解决下列问题：
已知a－b＝5，ab＝－4，求：
①a2＋b2的值；②a＋b的值．
解：①∵(a－b)2＝a2－2ab＋b2，∴a2＋b2＝(a－b)2＋2ab.
∵a－b＝5，ab＝－4，∴a2＋b2＝52＋2×(－4)＝17.
②∵(a－b)2＝(a＋b)2－4ab，∴(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab.
∵a－b＝5，ab＝－4，∴(a＋b)2＝52＋4×(－4)＝9.
∴a＋b＝±3.
全国视野
20．(2023深圳)下列运算正确的是( )
A．a3·a2＝a6 B．4ab－ab＝4
C．(a＋1)2＝a2＋1 D．(－a3)2＝a6
21．(2023苏州)因式分解：a2＋ab＝____________．
22．(2023恩施州)因式分解：a(a－2)＋1＝__________．
23．(2023东营)因式分解：3ma2－6mab＋3mb2＝__________．
24．(2023嘉兴)一个多项式，把它因式分解后有一个因式为(x＋1)，请你写出一个符合条件的多项式：___________________.
D
a(a＋b)
(a－1)2
3m(a－b)2
x2－1(答案不唯一)
解：原式＝4－a2－2a2－6a＋3a2＝4－6a.(共21张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十四章 整式的乘法与因式分解
第4课时 单项式乘单项式
能进行简单的整式乘法运算．(核心素养：抽象能力、运算能力、几何直观、应用意识)
课标要求
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
1.(衔接回顾)由数与字母的积组成的式子称为单项式；单独的一个数或一个字母也是单项式；单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，如－2a2b3的系数是__________．
2．(衔接回顾)(1)am·an＝__________；
(2)(am)n＝__________；
(3)(ab)n＝__________．
－2
am＋n
amn
anbn
3．根据乘法交换律、结合律及同底数幂的运算性质计算：
(1)(2×103)×(4×105)＝(2×4)×(103×105)＝__________；
(2)5a2·(－6a4)＝[5×(－6)]·(a2·a4)＝__________；
(3)3x2·4xy2＝(3×4)·(x2·x)·y2＝__________．
单项式与单项式相乘：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的
________________分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
8×108
－30a6
12x3y2
系数、同底数幂
课堂讲练
单项式乘单项式
例1 计算：
(1)3x2·4x＝____________＝__________；
(2)－a3·5a2＝____________________＝__________；
(3)2m·(－3mn)＝___________________＝__________；
(4)(－2xy2)·(－4x2y)＝_________________________＝__________．
注：单项式乘单项式的结果仍是单项式．
(3×4)(x2·x)
12x3
(－1×5)(a3·a2)
－5a5
[2×(－3)](m·m)·n
－6m2n
[(－2)×(－4)](x·x2)·(y2·y)
8x3y3
训练 1.计算：
(2)(－2b3)·3b4＝__________；
(3)4xy3·y2＝__________；
(5)－3m2n3·4m3n2＝__________；
(6)(－2a2b2)·(－a2c2)＝__________．
a5
－6b7
4xy5
－12m5n5
2a4b2c2
混合运算
例2 计算：(1)(－2x)3·5x2；
(2)(－2x2)3＋6x4·2x2.
解：(1)原式＝－8x3·5x2＝－40x5.
(2)原式＝－8x6＋12x6＝4x6.
(2)(5m2n)2－3m3·7mn2.
(2)原式＝25m4n2－21m4n2＝4m4n2.
混合运算的顺序：先乘方，再乘法，最后加减．
单项式乘单项式的应用
例3 一台电子计算机每秒可做4×109次运算，则它工作5×102 s可做多少次运算？
解：4×109×5×102＝(4×5)×(109×102)＝20×1011＝2×1012(次).
答：它工作5×102 s可做2×1012次运算．
训练 3.已知一个长方体的长是3a cm，宽是2b2 cm，高是ab cm，求这个长方体的体积．
解：∵长方体的长是3a cm，宽是2b2 cm，高是ab cm，
∴这个长方体的体积为3a·2b2·ab＝6a2b3(cm3).
答：这个长方体的体积是6a2b3 cm3.
课堂检测
1．下列运算一定正确的是( )
A．3a3·2a2＝6a6 B．2a2·3a2＝6a4
C．3a2·4a2＝12a2 D．5a3·3a5＝15a15
2．填空：(1)6a3·5a2＝__________；(2)(－7x)·3x3＝__________；
3．如图1，一个长方形场地由三块小长方形草
坪组成，则根据图中数据计算该长方形场地的面积
为__________．
图1
B
30a5
－21x4
8a2b2
(2) (－5x2y)·(－3xy3)；
(3)2t·(－3t)2·(－2t)3; (4)x3y·x3y2－(－2x2y)3.
(2)原式＝[(－5)×(－3)](x2·x)·(y·y3)＝15x3y4.
(3)原式＝2t·9t2·(－8t3)＝－144t6.
(4)原式＝x6y3－(－8x6y3)＝x6y3＋8x6y3＝9x6y3.
5．光的速度约是3×105 km/s，太阳光照射到地球上需要的时间约是5×102 s，则地球与太阳的距离约是多少千米？
解：3×105×5×102＝15×107＝1.5×108 (km).
答：地球与太阳的距离约是1.5×108 km.
6．已知－2xmy2与4x2yn－1的积与－x4y3是同类项，求mn的值．
解：－2xmy2·4x2yn－1＝－8xm＋2yn＋1.
∵－2xmy2与4x2yn－1的积与－x4y3是同类项，
∴m＋2＝4，n＋1＝3.解得m＝2，n＝2.
∴mn＝2×2＝4.
随堂测
课时练
1．计算2x2·(－3x2)的结果是( )
A．－6x4 B．6x5
C．－2x5 D．2x6
2．若单项式3x2y3与－2xy2的积为mx3yn，则m－n的值为( )
A．－11 B．5
C．1 D．－1
A
A
3．计算：
(1)x2y·2y2＝__________； (2)2m2n·3mn＝__________；
(3)a3b·(－ab2)＝__________.
4．光的速度约为3×108 m/s，从太阳系外距离地球最近的一颗恒星(比邻星)发出的光，需要4年的时间才能到达地球．若一年以3×107 s计算，则这颗恒星到地球的距离约是__________m.
2x2y3
6m3n2
－a4b3
3.6×1016
5．计算：
(1)(－3m2n2)·(－4nm2); (2)(2a)3·3a2；
(3)－3xy2·2x2y＋(xy)3.
解：(1)原式＝[(－3)×(－4)](m2·m2)·(n2·n)＝12m4n3.
(2)原式＝8a3·3a2＝24a5.
(3)原式＝－6x3y3＋x3y3＝－5x3y3.
循环练
6．下列运算错误的是( )
A．a2·a3＝a5 B．(a3)2＝a6
C．(ab)2＝ab2 D．2a5＋3a5＝5a5
C(共23张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十四章 整式的乘法与因式分解
第2课时 幂的乘方
了解整数指数幂的意义和基本性质．(核心素养：抽象能力、运算能力)
课标要求
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
1.根据乘方的意义和同底数幂的乘法填空：
(1)(22)3＝22×22×22＝22＋2＋2＝22×3＝__________；
(2)(a4)3＝a4·a4·a4＝a4＋4＋4＝a4×3＝__________；
(3)(an)4＝an·an·an·an＝an＋n＋n＋n＝an×4＝__________．
归纳：一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，(am)n＝
am·am·…·am＝am＋m＋m＋…＋m＝__________，即(am)n＝__________(m，n都是正整数).
幂的乘方法则：幂的乘方，底数__________，指数__________．
n个am
n个m
26
a12
a4n
amn
amn
不变
相乘
课堂讲练
幂的乘方
例1 计算：
(1)(105)2＝__________；
(2)(a4)5＝__________；
(3)(x3)m＝__________；
(4)(xm)6＝__________；
(5)[(t3)2]4＝__________．
推广：[(am)n]q＝amnq.
1010
a20
x3m
x6m
t24
训练 1.计算：
(1)(b3)3＝__________；
(2)(t4)2＝__________；
(3)(10x)4＝__________；
(4)(am)5＝__________；
(5)－(m2)4＝__________；
(6)(x3)2n＝__________；
(7)[(m2)5]2＝__________．
b9
t8
104x
a5m
－m8
x6n
m20
混合运算
例2 计算：
(1)(y2)6·y4；
(2)(a3)4＋(a6)2.
解：(1)原式＝y2×6·y4＝y12·y4＝y12＋4＝y16.
(2)原式＝a3×4＋a6×2＝a12＋a12＝2a12.
训练 2.计算：
(1)(x3)2·(x2)4； (2)(b3)4－b7·b5.
解：(1)原式＝x3×2·x2×4＝x6·x8＝x6＋8＝x14.
(2)原式＝b3×4－b7＋5＝b12－b12＝0.
幂的乘方的逆运算
例3 (1)若mx＝3，则m3x＝(mx)3＝__________；
(2)若mx＝3，my＝2，求m2x＋y的值．
27
解：m2x＋y＝m2x·my＝(mx)2·my＝32×2＝18.
训练 3.(1)若10a＝2，则103a＝__________；
(2)若10a＝4，10b＝3，求10a＋2b的值．
8
解：10a＋2b＝10a·102b＝10a·(10b)2＝4×32＝36.
把幂的乘方法则逆应用，可以得到amn＝(am)n＝(an)m(m，n都是正整数)．
课堂检测
1．下列运算一定正确的是( )
A．x＋x＝x2 B．x2·x3＝x6
C．(x2)3＝x6 D．(x3)3＝x6
2．填空：(1)(a4)4＝________；
(2)(m5)3＝________；
(3)－(x3)4＝________；
(4)(t2)m＝________.
C
a16
m15
－x12
t2m
3．计算：(1)(t4·t2)2； (2)(x2)6·(x3)3； (3)2(a4)2·a－(a3)3.
解：(1)原式＝(t4＋2)2＝(t6)2＝t6×2＝t12.
(2)原式＝x2×6＋x3×3＝x12·x9＝x12＋9＝x21.
(3)原式＝2a4×2·a－a3×3＝2a8·a－a9＝2a9－a9＝a9.
4．若am＝5，an＝2，求a2m＋3n的值．
解：∵am＝5，an＝2，
∴a2m＋3n＝a2m·a3n＝(am)2·(an)3＝52×23＝200.
5．【方程思想】(1)若3m＝4，则9m＝(32)m＝__________，则27m＝
(__________)m＝__________；
(2)若3×92m×27m＝315，求m的值．
因为9＝32，27＝33，再结合幂的乘方的逆运算，可以将92m和27m转化为同底数幂，再进行求解．
16
33
64
解：∵3×92m×27m＝3×(32)2m×(33)m＝3×34m×33m＝31＋4m＋3m＝315，
∴1＋4m＋3m＝15.解得m＝2.
6．【迁移应用】阅读：已知正整数a，b，c，对于同底数、不同指数的两个幂ab和ac(a≠1)，若b＞c，则ab＞ac；对于同指数、不同底数的两个幂ab和cb，若a＞c，则ab＞cb.根据上述材料，回答下列问题．
(1)比较大小：28__________82；(填“＞”“＜”或“＝”)
(2)比较233与322的大小，并说明理由．
＞
解：233＜322.理由如下：
∵233＝(23)11＝811，322＝(32)11＝911，且8<9，
∴811＜911，即233＜322.
随堂测
课时练
1．若k为正整数，则(k2)3表示的是( )
A．3个k2相加 B．2个k3相加
C．3个k2相乘 D．5个k相乘
2．下列算式中，结果为a6的是( )
A．a2·a3 B．(a3)2
C．a3＋a3 D．(a3)3
C
B
3．填空：(1)(63)5＝__________；
(2)(x5)4＝__________；
(3)(x2m)2＝__________；
(4)－(m4)3＝__________；
615
x20
x4m
－m12
b24
4．计算：(1)(y3)4·(y5)2; (2)a2·a4＋3(a3)2.
解：(1)原式＝y3×4·y5×2＝y12·y10＝y22.
(2)原式＝a2＋4＋3a3×2＝a6＋3a6＝4a6.
5．若a4·(am)2＝a16，则m的值为__________.
6．若x2m＝10，则x6m的值为__________.
6
1 000
7．已知10a＝2，10b＝3，求下列式子的值：
(1)102a＋103b ； (2)102a＋3b.
解：(1)原式＝(10a)2＋(10b)3＝22＋33＝4＋27＝31.
(2)原式＝102a×103b＝(10a)2×(10b)3＝22×33＝4×27＝108.
循环练
8．若4x＝5，4y＝8，则4x＋y＝__________.
40(共23张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十四章 整式的乘法与因式分解
第10课时 乘法公式(2)——完全平方公式
理解乘法公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理．(核心素养：抽象能力、运算能力、几何直观)
课标要求
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
1.填空：
(1)(p＋1)2＝(p＋1)(p＋1)＝____________；
(2)(p－1)2＝(p－1)(p－1)＝____________；
(3)(m＋2)2＝(m＋2)(m＋2)＝____________；
(4)(m－2)2＝(m－2)(m－2)＝____________．
完全平方公式：两个数的和(或差)的平方，等于它们的_________，加上(或减去)它们的__________，即(a＋b)2＝____________，或(a－b)2＝____________．
p2＋2p＋1
p2－2p＋1
m2＋4m＋4
m2－4m＋4
平方和
积的2倍
a2＋2ab＋b2
a2－2ab＋b2
2．用几何方法验证完全平方公式：
(1)计算图1正方形ABCD的面积得到等式_____________________；
(2)计算图2正方形EFGH的面积得到等式_____________________．
图1 图2
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
(a－b)2＝a2－2ab＋b2
课堂讲练
完全平方公式的直接运用
例1 计算：
(1)(m－3)2； (2)(3x－2)2； (3)(2－3x)2； (4)(2a＋5b)2.
思考：比较(2)和(3)，你能发现什么？
解：(1)原式＝m2－2·m·3＋32＝m2－6m＋9.
(2)原式＝(3x)2－2·3x·2＋22＝9x2－12x＋4.
(3)原式＝22－2×2·3x＋(3x)2＝9x2－12x＋4.
(4)原式＝(2a)2＋2·2a·5b＋(5b)2＝4a2＋20ab＋25b2.
训练 1.计算：
(1)(5＋a)2 ； (3)(4a＋3b)2 ； (4)(－4a－3b)2.
思考：比较(3)和(4)，你能发现什么？
解：(1)原式＝52＋2×5·a＋a2＝a2＋10a＋25.
(3)原式＝(4a)2＋2·4a·3b＋(3b)2＝16a2＋24ab＋9b2.
(4)原式＝(－4a)2＋2·(－4a)·(－3b)＋(－3b)2＝16a2＋24ab＋9b2.
1.完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，2倍乘积在中央．
2．完全平方公式的变形：
(1)(a－b)2＝(b－a)2；
(2)(－a－b)2＝(a＋b)2 .
用完全平方公式进行简便计算
例2 计算：1012.
训练 2.计算：972.
解：原式＝(100＋1)2＝1002＋2×100×1＋12＝10 000＋200＋1＝
10 201.
解：原式＝(100－3)2＝1002－2×100×3＋32＝10 000－600＋9＝
9 409.
完全平方公式的常见变形
例3 已知a－b＝10，ab＝20，求a2＋b2的值．
解：∵a－b＝10，ab＝20，
∴a2＋b2＝(a－b)2＋2ab＝102＋2×20＝140.
训练 3.已知2m＋n＝3，mn＝－1，求(2m－n)2的值．
解：∵2m＋n＝3，mn＝－1，
∴(2m－n)2＝(2m＋n)2－8mn＝32－8×(－1)＝17.
完全平方公式的常见变形：
(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；
(2)(a＋b)2－(a－b)2＝4ab；
(3)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2).
课堂检测
1．填空：(1)(1－2a)2＝______________；
(2)(mn＋3)2＝______________．
2．若(x＋2)2＝x2＋mx＋4，则m的值为__________.
1－4a＋4a2
m2n2＋6mn＋9
4
(2)(－5x＋2y)2.
(2)原式＝(－5x)2＋2·(－5x)·2y＋(2y)2＝25x2－20xy＋4y2.
4．先化简，再求值：(2y＋1)2－(y－1)(y＋5)，其中y＝2.
解：原式＝4y2＋4y＋1－(y2＋5y－y－5)
＝4y2＋4y＋1－y2－4y＋5
＝3y2＋6.
当y＝2时，原式＝3×22＋6＝18.
5．已知(x－y)2＝4，(x＋y)2＝64，求下列各式的值：(1)x2＋y2；(2)xy.
解：(x－y)2＝x2－2xy＋y2＝4，①
(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2＝64.②
(1)①＋②，得2x2＋2y2＝68.∴x2＋y2＝34.
(2)②－①，得4xy＝60.∴xy＝15.
6．【数学文化】我国南宋数学家杨辉发现的“杨辉三角”揭示了(a＋b)n(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的项数及各项系数的有关规律．如图3，在“杨辉三角”中第3行的三个数1，2，1恰好对应(a＋b)2的展开式的系数．
请根据“杨辉三角”的规律，
回答下列问题：
(1)(a＋b)n的展开式共有
__________项；
(2)请写出多项式(a＋b)5的展开式．
图3
(n＋1)
解：(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5.
随堂测
课时练
1．计算：(1)(a＋2)2＝__________；
(2)(3x－y)2＝______________；
(4)(－4x＋2y)2＝_________________.
2．若(x－4)2＝x2＋kx＋16，则k的值是______.
a2＋4a＋4
9x2－6xy＋y2
16x2－16xy＋4y2
－8
3．计算：(1)(x－y)2＋x(x＋2y)；
(2)(2x－y)2－(x＋2y)(x－2y)－(3x＋y)(x＋y).
解：(1)原式＝x2－2xy＋y2＋x2＋2xy
＝2x2＋y2.
(2)原式＝4x2－4xy＋y2－(x2－4y2)－(3x2＋4xy＋y2)
＝4x2－x2－3x2－4xy－4xy＋y2＋4y2－y2
＝－8xy＋4y2.
4．简便计算：1032.
解：原式＝(100＋3)2
＝1002＋2×100×3＋32
＝10 000＋600＋9
＝10 609.
5．已知(a＋b)2＝49，a2＋b2＝25，求下列各式的值：
(1)ab; (2)(a－b)2.
解：(1)∵(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝25＋2ab＝49，
∴ab＝12.
(2)(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝25－2ab＝25－24＝1.
循环练
6．计算：(2a－1)(a＋2)－6a3b÷3ab.
解：原式＝2a2＋4a－a－2－2a2
＝3a－2.(共23张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十四章 整式的乘法与因式分解
第12课时 因式分解(1)——提公因式法
能用提公因式法进行因式分解(指数为正整数).(核心素养：运算能力、抽象能力)
课标要求
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
1.整式乘法：(1)a(b＋c)＝__________；
(2)(x＋y)(x－y)＝__________．
2．因式分解：(1)ab＋ac＝__________；
(2)x2－y2＝____________．
因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的__________的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的__________，也叫做把这个多项式
__________.
ab＋ac
x2－y2
a(b＋c)
(x＋y)(x－y)
积
因式分解
分解因式
3．填空：pa＋pb＋pc＝p(__________).
公因式：一个多项式各项都有的____________，例如p是多项式pa＋pb＋pc各项的公因式．
提公因式法：一般地，如果多项式的各项有__________，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的__________的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
a＋b＋c
公共的因式
公因式
乘积
课堂讲练
因式分解
例1 下列从左到右的变形：①(x＋3)(x－3)＝x2－9；②x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1；③x－3xy＝x(1－3y)；④2ax－4ay＝2a(x－2y).其中属于因式分解的是__________.(填序号)
训练 1.下列从左到右的变形属于因式分解的是( )
A.6ab＝2a·3b B.(a－b)m＝am－bm
C.4b2－2b＝2b(2b－1) D.2a2－2a＋1＝2a(a－1)＋1
③④
C
公因式
例2 写出下列多项式分解因式时应提取的公因式．
(1)多项式9ax＋3ay：__________；
(2)多项式4ab＋2ab2：__________；
(3)多项式3x2y3z－6x2yz：__________．
训练 2.写出下列多项式分解因式时应提取的公因式．
(1)多项式4ma＋6mb：__________；
(2)多项式8m3n2－4m2n：__________；
(3)多项式12a2b2c－9ab2c2：__________．
3a
2ab
3x2yz
2m
4m2n
3ab2c
把多项式分解因式时，确定各项的公因式的方法：1.定系数：取多项式各项系数的最大公约数；2.定字母：取各项相同的字母；3.定指数：取各项相同字母的最低次数．
利用提公因式法分解因式
例3 分解因式：
(1)a2＋a＝__________；
(2)4mx－8my＝__________；
(3)6a2b－3a3b2＝____________；
(4)－3x2yz－12yz2＝_____________.
a(a＋1)
4m(x－2y)
3a2b(2－ab)
－3yz(x2＋4z)
训练 3.分解因式：
(1)3a－9＝__________；
(2)10m2n＋15mn2＝______________；
(3)－3a2b2＋9ab2c＝______________；
(4)2x2－12xy2＋8xy3＝_________________.
3(a－3)
5mn(2m＋3n)
－3ab2 (a－3c)
2x(x－6y2＋4y3)
例4 分解因式：(1)2(a＋2)＋3b(a＋2)；
(2)【易错】4(a－b)＋m(b－a).
解：(1)原式＝(a＋2)(2＋3b).
(2)原式＝4(a－b)－m(a－b)＝(a－b)(4－m).
训练 4.分解因式：(1)2x(a－3)－4y(a－3)；
(2)【易错】(m－n)2＋4(n－m).
解：(1)原式＝2(a－3)·x－2(a－3)·2y
＝2(a－3)(x－2y).
(2)原式＝(m－n)2－4(m－n)
＝(m－n)(m－n－4).
1.利用提公因式法分解因式时应注意：(1)公因式要提尽；(2)整项提出留下1；(3)提出负号要变号．
2.在分解因式完成后，按照整式乘法把因式再乘回去，检查结果是否与原式相等．
课堂检测
1．把多项式2x2－4x分解因式，应提取的公因式是( )
A．x B．2 C．2x D．x2
2．分解因式：(1)xy－x＝____________；
(2)4m2－10m＝____________；
(3)3a2－21ab＝____________；
(4)6x2y3＋15xy2z＝____________．
C
x(y－1)
2m(2m－5)
3a(a－7b)
3xy2(2xy＋5z)
3．【整体思想】(1)若3a－b＝2，则6a－2b－7的值为__________；
(2)(2023深圳)已知实数a，b，满足a＋b＝6，ab＝7，则a2b＋ab2的值为__________.
－3
42
4．分解因式：(2x＋1)(3x－2)－(2x＋1)2.
解：原式＝(2x＋1)(3x－2－2x－1)
＝(2x＋1)(x－3).
5.计算：29×19.99＋82×19.99－11×19.99.
解：原式＝19.99×(29＋82－11)
＝19.99×100
＝1 999.
6．【数形结合】已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且2a＋ab＝2c＋bc，请判断△ABC的形状，并说明理由．
解：△ABC是等腰三角形．理由如下：
∵2a＋ab＝2c＋bc，∴(2a－2c)＋(ab－bc)＝0.
∴2(a－c)＋b(a－c)＝0.∴(a－c)(2＋b)＝0.
∴a－c＝0或2＋b＝0.
∵b>0，∴a－c＝0.∴a＝c.∴△ABC是等腰三角形．
随堂测
课时练
1．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( )
2．利用提公因式法将多项式a2b－2b分解因式，提取的公因式为
( )
A．a2b B．ab C．a D．b
A
D
3．分解因式：a2＋7a＝__________.
4．(2023鞍山)因式分解：3x2－9x＝__________.
5．因式分解：x2y＋xy2＝__________.
6．当a＝3，a－b＝－1时，式子a2－ab的值是__________.
a(a＋7)
3x(x－3)
xy(x＋y)
－3
7．分解因式：(1)2ax3－6a2x2；
(2)x(y＋z)2－y(y＋z)2；
(3)a(a－b)－(b－a).
解：(1)原式＝2ax2(x－3a).
(2)原式＝(y＋z)2(x－y).
(3)原式＝a(a－b)＋(a－b)＝(a－b)(a＋1).
循环练
8．化简：(x＋2)(x＋3)＋x(2－x).
解：原式＝x2＋5x＋6＋2x－x2
＝7x＋6.(共21张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十四章 整式的乘法与因式分解
第13课时 因式分解(2)——公式法(平方差公式)
能用公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数为正整数).(核心素养：运算能力、抽象能力)
课标要求
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
1．(衔接回顾)分解因式：(1)a2＋2a＝____________；
(2)8a2－2a＝____________．
2．乘法公式：(a＋b)(a－b)＝___________．
3．分解因式：a2－b2＝________________．
利用平方差公式分解因式：两个数的平方差等于这两个数的______与这两个数的__________的积，即a2－b2＝______________．
a(a＋2)
2a(4a－1)
a2－b2
(a＋b)(a－b)
和
差
(a＋b)(a－b)
课堂讲练
直接运用平方差公式分解因式
例1 分解因式：
(1)m2－4＝(________)2－(________)2
＝________________；
(2)9－t2＝(________)2－(________)2
＝______________；
(3)4x2－25＝__________＝______________；
(4)9a2－16b2＝____________＝________________．
m
2
(m＋2)(m－2)
3
t
(3＋t)(3－t)
(2x)2－52
(2x＋5)(2x－5)
(3a)2－(4b)2
(3a＋4b)(3a－4b)
训练 1.分解因式：
(1)x2－16＝_____________；
(2)25－m2＝_____________；
(3)0.16a2－1＝__________＝___________________；
(4)49m2－4n2＝____________＝__________________；
(5)9x2－4y2＝___________＝_________________；
(6)－y2＋36x2＝__________＝_______________.
(x＋4)(x－4)
(5＋m)(5－m)
(0.4a)2－12
(0.4a＋1)(0.4a－1)
(7m)2－(2n)2
(7m＋2n)(7m－2n)
(3x)2－(2y)2
(3x＋2y)(3x－2y)
(6x)2－y2
(6x＋y)(6x－y)
综合运用提公因式法和公式法分解因式
例2 分解因式：
(1)ma2－mb2＝m(________)＝________________；
(2)m3－9m＝m(_______)＝_________________；
(3)2x2－32＝2(________)＝_________________；
(4)4ax2－16ay2＝____________＝__________________．
a2－b2
m(a＋b)(a－b)
m2－9
m(m＋3)(m－3)
x2－16
2(x＋4)(x－4)
4a(x2－4y2)
4a(x＋2y)(x－2y)
训练 2.分解因式：
(1)x3－25x; (2)32－8a2；
(3)36m2－4n2; (4)－3xy3＋12xy.
解：(1)原式＝x(x2－25)＝x(x＋5)(x－5).
(2)原式＝8(4－a2)＝8(2＋a)(2－a).
(3)原式＝4(9m2－n2)＝4(3m＋n)(3m－n).
(4)原式＝－3xy(y2－4)＝－3xy(y＋2)(y－2).
整体思想在公式法分解因式中的应用
例3 分解因式：(1)(2x＋y)2－(x＋2y)2；(2)m4－n4.
解：(1)原式＝(2x＋y＋x＋2y)[2x＋y－(x＋2y)]
＝(3x＋3y)(x－y)
＝3(x＋y)(x－y).
(2)原式＝(m2)2－(n2)2
＝(m2＋n2)(m2－n2)
＝(m2＋n2)(m＋n)(m－n).
训练 3.分解因式：
(1)4x2－(y－2)2； (2)x4－81.
解：(1)原式＝(2x)2－(y－2)2
＝(2x＋y－2)[2x－(y－2)]
＝(2x＋y－2)(2x－y＋2).
(2)原式＝(x2)2－92
＝(x2＋9)(x2－9)
＝(x2＋9)(x＋3)(x－3).
综合运用提公因式法和公式法(平方差公式)进行因式分解的步骤：1.提公因式；2.套平方差公式；3.分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．
课堂检测
1．下列多项式能用平方差公式进行因式分解的是( )
A．x2＋y2 B．－x2＋y2 C．－x2－y2 D．x2－2xy＋y2
2．分解因式：
(1)(2023长沙)a2－100＝______________；
(2)(2023兰州)x2－25y2＝______________；
(3)(2023淄博)2a2－8b2＝_______________；
(4)(2023日照)a3b－ab＝_______________.
3．(2023雅安)若a＋b＝2，a－b＝1，则a2－b2的值为__________.
B
(a＋10)(a－10)
(x＋5y)(x－5y)
2(a＋2b)(a－2b)
ab(a＋1)(a－1)
2
4．分解因式：x2(a－b)－y2(a－b).
解：原式＝(a－b)(x2－y2)
＝(a－b)(x＋y)(x－y).
5.计算：52.82－47.22.
解：原式＝(52.8＋47.2)×(52.8－47.2)
＝100×5.6
＝560.
随堂测
课时练
1．下列等式成立的是( )
A．x2＋y2＝(x＋y)(x＋y) B．－x2＋y2＝(－x＋y)(－x－y)
C．x2－y2＝(x＋y)(x－y) D．－x2－y2＝－(x＋y)(x－y)
2．分解因式：9a2－1＝( )
A．(3a－1)(3a＋1) B．(a－3)(a＋3)
C．(a－9)(a＋1) D．(9a－1)(a＋1)
C
A
3．因式分解：a2－16＝_____________.
4．因式分解：x2－4y2＝______________.
5．(2023常州)分解因式：x2y－4y＝______________.
(a＋4)(a－4)
(x＋2y)(x－2y)
y(x＋2)(x－2)
6．分解因式：
(1)12x2－3y2 ；
(3)(x－1)2－(x＋2)2 ； (4)16m4－n4.
解：(1)原式＝3(4x2－y2)＝3(2x＋y)(2x－y).
(3)原式＝[(x－1)＋(x＋2)][(x－1)－(x＋2)]＝(x－1＋x＋2)(x－1－x－2)＝－3(2x＋1).
(4)原式＝(4m)2－(n2)2＝(4m2＋n2)(4m2－n2)＝(4m2＋n2)(2m＋n)(2m－n).
循环练
7．计算：(2x－1)(2x＋1)－(x－6)(4x＋3).
解：原式＝4x2－1－(4x2＋3x－24x－18)
＝4x2－1－4x2－3x＋24x＋18
＝21x＋17.
