(共20张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十一章 三角形
第8课时 多边形的内角和
1.了解多边形(指凸多边形)的概念及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线；2.探索并掌握多边形内角和公式．(核心素养：几何直观、空间观念、运算能力、推理能力、模型观念、应用意识)
课标要求
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
1.多边形：在平面内，由一些线段___________相接组成的________图形．
(凸多边形：画出多边形的任何一条边所在直线，整个多边形都在这条直线的同一侧．)
如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形
就叫做__________.
(如图1中的六边形ABCDEF)
图1
首尾顺次
封闭
n边形
2.多边形的内角：多边形__________两边组成的角．
(如图1中的∠1)
3.多边形的外角：多边形的边与它的邻边的_______
组成的角．(如图1中的∠2)
4.多边形的对角线：连接多边形__________的两个顶
点的线段．(如图1中的线段AC，AD)
5.正多边形：各个角都_________，各条边都_________的多边形．
图1
相邻
延长线
不相邻
相等
相等
课堂讲练
多边形的相关概念
例1 在如图2所示的图形中，是多边形的是__________，是凸多边形的是__________.(填序号)
图2
①③⑤
①③
训练 1.下列说法正确的是( )
A.等腰三角形是正多边形
B.各条边都相等的多边形是正多边形
C.各个角都相等的多边形是正多边形
D.各边相等且各角相等的多边形是正多边形
2．下列图形不是凸多边形的是( )
D
A
多边形的内角和
例2 如图3，从多边形的一个顶点引出的对角线把多边形分为若干个三角形，探究多边形的内角和规律．
图3
由此，我们得出：n(n≥3)边形的内角和为______________.
多边形的边数 3 4 5 6 … n
从一个顶点引出 的对角线条数 0 _____ _____ _____ … __________
分成的三 角形个数 1 _____ _____ _____ … __________
多边形的 内角和 180° ____× 180° ____× 180° ____× 180° … ________×180°
1
2
3
n－3
2
3
4
n－2
2
3
4
(n－2)
(n－2)×180°
例3 (1)四边形的内角和为_______°，七边形的内角和为______°；
(2)若一个n边形的内角和为1 080°，求n的值．
360
900
解：根据题意，得(n－2)×180°＝1 080°.解得n＝8.
∴n的值为8.
训练 3.(1)六边形的内角和为__________°，九边形的内角和为
__________°；
(2)一个多边形的内角和为1 800°，求它的边数．
720
1 260
解：设这个多边形的边数为n.
根据题意，得(n－2)×180°＝1 800°.解得n＝12.
∴它的边数为12.
正多边形的内角与边数的关系
例4 (1)正方形的每个内角的度数为__________；
(2)已知一个n边形的每个内角均为135°，则n的值为__________.
训练 4.(1)正五边形的每个内角的度数是__________；
(2)正八边形的每个内角的度数是__________；
(3)一个正多边形的每个内角都均为150°，则该正多边形的边数为
__________.
90°
8
108°
135°
12
课堂检测
1．(1)五边形的内角和为__________；
(2)八边形的内角和为__________；
(3)正十边形的每个内角的度数为__________.
2．求出下列图形中x的值．
x＝__________ x＝__________ x＝__________
540°
1 080°
144°
100
60
95
3．(1)若一个n边形的内角和为1 620°，求n的值；
(2)若正多边形的一个内角的度数是140°，求该正多边形的边数．
解：(1)根据题意，得(n－2)×180°＝1 620°.解得n＝11.
∴n的值为11.
(2)设该正多边形的边数为n.
根据题意，得(n－2)×180°＝140°×n.解得n＝9.
∴该正多边形的边数为9.
4．如图4，画出五边形的所有对角线并填空．
(1)实际操作：五边形一共有_________个顶点，从一个顶点可以作_________条对角线，五边形一共有__________条对角线；
(2)分析探究：n边形一共有_________个顶点，从一个顶点可以作_________条对角线，n边形一共有___________条对角线；
(3)应用：十二边形一共有__________条对角线．
图4
答图1
5
2
5
n
(n－3)
54
解：画出五边形的所有对角线如答图1所示．
随堂测
课时练
1．下列图形中，不是凸多边形的是( )
2．十二边形的内角和是( )
A．1 080° B．1 260°
C．1 440° D．1 800°
D
D
3．若一个多边形的每一个内角都是120°，则这个多边形的边数是
( )
A．6 B．8 C．10 D．12
4．正七边形的每个内角的度数为__________.
5．一个多边形的内角和为540°，则它是__________
边形．
6．如图1，六边形ABCDEF的每个内角都相等，
连接AD.已知AD∥EF，则∠α的度数为__________.
图1
A
五
60°
循环练
7．(2023淮安)将直角三角板和直尺按照如图2位置摆放，若∠1＝56°，则∠2的度数是( )
A．26°
B．30°
C．36°
D．56°
图2
A(共12张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十一章 三角形
教材母题回归
1．(人教八上P7 练习)如图1所示的图形中哪些具有稳定性？
图1
解：具有稳定性的图形有①④⑥.
2．(人教八上P8 T2)长为10，7，5，3的四根木条，选其中三根组成三角形，有几种选法？为什么？
解：有两种选法．理由如下：
长为10，7，5，3的四根木条，选其中三根有以下四种情况：
①10，7，5，符合三角形的三边关系，能组成三角形；
②10，7，3，7＋3＝10，不符合三角形的三边关系，不能组成三角形；
③10，5，3，5＋3<10，不符合三角形的三边关系，不能组成三角形；
④7，5，3，符合三角形的三边关系，能组成三角形；
综上所述，共有两种选法，分别为10，7，5或7，5，3.
3．(人教八上P8 T6)一个等腰三角形的一边长为6 cm，周长为20 cm，求其他两边的长．
解：分两种情况：
①若腰长为6 cm，则底边长为20－6×2＝8(cm).
此时三边长分别为6 cm，6 cm，8 cm，能构成三角形．
②若底边长为6 cm，则腰长为(20－6)÷2＝7(cm).
此时三边长分别为6 cm，7 cm，7 cm，能构成三角形．
综上所述，其他两边的长为6 cm，8 cm或7 cm，7 cm.
4．(人教八上P13 T2)如图2，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B＝∠D＝40°.求∠BCD的度数．
图2
又∠B＝40°，
∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠B＝65°.
∴∠BCD＝2∠ACB＝130°.
(另一种解法：在四边形ABCD中，∠BAD＝150°，∠B＝∠D＝40°，∴∠BCD＝360°－150°－40°－40°＝130°.)
5．(人教八上P16 T3)△ABC中，∠B＝∠A＋10°，∠C＝∠B＋10°.求△ABC的各内角的度数．
解：∵∠B＝∠A＋10°，∠C＝∠B＋10°，
∴∠C＝∠A＋10°＋10°＝∠A＋20°.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠A＋∠A＋10°＋∠A＋20°＝180°.解得∠A＝50°.
∴∠B＝50°＋10°＝60°，∠C＝50°＋20°＝70°.
6．(人教八上P25 T6)(1)一个多边形的内角和是外角和的一半，它是几边形？
(2)一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是几边形？
解：(1)设这个多边形的边数是n.
依题意，得(n－2)×180°＝360°÷2.解得n＝3.
∴这个多边形的边数是3，它是三角形．
(2)设这个多边形的边数是m.
依题意，得(m－2)×180°＝360°×2.解得m＝6.
∴这个多边形的边数是6，它是六边形．
7．(人教八上P28 T6)如图3，∠B＝42°，∠A＋10°＝∠1，∠ACD＝64°.求证AB∥CD.
图3
证明：∵∠1＋∠A＋∠B＝180°，∠B＝42°，∠A＋10°＝∠1，
∴∠A＋10°＋∠A＋42°＝180°.
解得∠A＝64°.
又∠ACD＝64°，
∴∠ACD＝∠A.
∴AB∥CD.
8．(北师七下P84 T5)如图4，一艘轮船按箭头所示方向行驶，C处有一灯塔，轮船行驶到哪一点时距离灯塔最近？当轮船从A点行驶到B点时，∠ACB的度数是多少？当轮船行驶到距离灯塔的最近点时呢？
图4
答图1
解：如答图1，过点C作CD⊥AB，交直线AB于点D，则轮船行驶到点D时距离灯塔最近．
当轮船从A点行驶到B点时，∠ACB＝
∠CBD－∠CAB＝70°－30°＝40°.
当轮船行驶到距离灯塔的最近点(即点D)时，∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°－∠CAD＝90°－30°＝60°.
9．(北师八上P185 T4)如图5，AB⊥BC，BC⊥CD，AC⊥BD，垂足为P.如果∠A＝α，那么∠ABP和∠PCD分别等于多少？
图5
解：∵AC⊥BD，∴∠APB＝90°.
∴∠ABP＝90°－∠A＝90°－α.
∵AB⊥BC，BC⊥CD，∴∠ABC＝∠BCD＝90°.
∴∠PCD＝90°－∠ACB＝∠A＝α.
10．(北师八上P186 T14)某城市几条道路的位置关系如图6所示，道路AB与道路CD平行，道路AB与道路AE的夹角为45°.城市规划部门想新修一条道路CE，要求∠C＝∠E，求∠C的度数．
图6
答图2
解：如答图2，设AE与CD的交点为O.
由题意，得AB∥CD，∠BAE＝45°.
∴∠DOE＝∠BAE＝45°.
∵∠DOE是△OCE的外角，
∴∠C＋∠E＝∠DOE＝45°.
又∠C＝∠E，∴2∠C＝45°.∴∠C＝22.5°.
11．(人教八上P29 T8)如图7，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°.求∠DAC和∠BOA的度数．
图7
解：∵AD是高，∴∠ADC＝90°.
又∠C＝70°，∴∠DAC＝90°－∠C＝20°.
∵∠BAC＝50°，∠C＝70°，
∴∠ABC＝180°－∠BAC－∠C＝60°.(共23张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十一章 三角形
第3课时 三角形的中线、角平分线
1.理解三角形的中线、角平分线的概念；2.了解三角形重心的概念．(核心素养：运算能力、抽象能力、几何直观、模型观念)
课标要求
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
1.三角形的中线：连接三角形的顶点与它所对边的__________的线段，叫做这个三角形的中线．
如图1.∵AD是△ABC的边BC上的中线，
注：任意三角形都有三条中线，三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心．
图1
中点
BD
CD
2.三角形的角平分线：三角形中一个内角的__________与它的对边相交，角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．
如图2.∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠________＝∠________＝________∠BAC.
注：任意三角形都有三条角平分线，三角形的角
平分线是一条线段．
图2
平分线
BAD
CAD
课堂讲练
三角形的中线
例1 如图3，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ACD的面积为8，则△ABC的面积为__________.
图3
16
训练 1.如图4，在△ABC中，BD是AC边上的中线，若△ABC的面积为10，则△ABD的面积为__________，△BCD的面积为__________.
图4
5
5
例2 如图5，在△ABC中，BD是AC边上的中线，AB＝8，BC＝6.求△ABD与△BCD的周长差．
图5
解：∵BD是AC边上的中线，∴AD＝CD.
∴C△ABD－C△BCD＝AB＋AD＋BD－(BC＋CD＋BD)＝AB－BC＝8－6＝2.
训练 2.如图6，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AC＝7.若△ABD的周长比△ACD的周长多5，求AB的长．
图6
解：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD.
又C△ABD－C△ACD＝5，
∴AB＋AD＋BD－(AC＋AD＋CD)＝AB－AC＝5.
∴AB＝AC＋5＝7＋5＝12.
三角形的角平分线
例3 如图7，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，∠CBD＝30°，则∠ABC的度数为__________.
图7
60°
训练 3.如图8，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACE＝40°，AD，CE是△ABC的角平分线．
(1)∠DAC的度数为__________；
(2)∠ACB的度数为__________.
图8
30°
80°
课堂检测
1．三角形的高、中线和角平分线都是( )
A．直线 B．射线
C．线段 D．以上答案都不对
2．如图9，AE是△ABC的中线，D是BE上一点，若BD＝5，CD＝9，则CE的长为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
图9
C
C
3．如图10，AD，AE，AF分别是△ABC的中线、角平分线、高，则下列说法错误的是( )
图10
D
4．如图11，AD是△ABC的中线．
(1)若AB＝5，AC＝4，则△ABD与△ACD的周长之差为__________；
(2)过点A作AE⊥BC，垂足为E，若BC＝10，AE＝6，求△ACD的面积．
图11
答图1
1
解：如答图1.∵AE⊥BC，∴AE为△ACD的高．
5．如图12，AD是△ABC的角平分线，BE是△ABC的中线，AD与BE相交于点O，下列结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线；③DE是△ADC的中线；④ED是△EBC的角平分线．其中正确的有__________.(填序号)
图12
①③
6．如图13，AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于点E.若∠BAC＝100°，则∠ADE＝( )
A．40° B．50°
C．60° D．80°
7．如图14，AD，CE都是△ABC的中线，连接ED，若△BDE的面积是10 cm2，则△ABC的面积是__________.
图14
图13
B
40 cm2
随堂测
课时练
1．三角形一边上的中线把原三角形分成两个( )
A．形状相同的三角形 B．周长相等的三角形
C．面积相等的三角形 D．直角三角形
C
2．如图1，已知∠ACB＝60°，CM平分∠ACB，则∠BCM的度数是( )
A．15°
B．30°
C．35°
D．45°
图1
B
3．如图2，在△ABC中，AD是边BC上的中线，△ABD的周长比△ACD的周长多2，若AB＝6，则AC的长为__________.
图2
4
4．如图3，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，AE＝4，S△ABD＝10，求BC的长．
图3
解：∵AD是△ABC的边BC上的中线，且S△ABD＝10，
∴S△ABC＝2S△ABD＝20.
循环练
5．如图4，在△ABC中，∠ACB是钝角，AD是边BC上的高，若AD＝2，BD＝3，CD＝1，则△ABC的面积为__________.
图4
2(共19张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十一章 三角形
第4课时 三角形的稳定性
1.了解三角形的稳定性；2.了解四边形的不稳定性．(核心素养：几何直观、空间观念、模型观念、应用意识)
课标要求
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
1.(动手实操)(1)如图1①，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状__________发生改变；(填“会”或“不会”)
(2)如图1②，将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状__________发生改变；(填“会”或“不会”)
(3)如图1③，在四边形木架上再钉上一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状__________发生改变．(填“会”或“不会”)
结论：三角形具有__________，四边形具有__________.
图1
不会
会
不会
稳定性
不稳定性
课堂讲练
三角形的稳定性
例1 下列图形中具有稳定性的是( )
B
训练 1.下列图形中具有稳定性的是( )
B
例2 如图2，工人师傅在安装木制门框时，为防止变形，常常钉上两条斜拉的木条，这样做的原理是三角形具有__________性．
图2
稳定
训练 2.如图3，有一个长方形框架，小华发现它很容易变形，以下加固方案最有效的是( )
要使四边形等图形具有稳定性，通过辅助线将图形转化为多个三角形即可．
图3
D
四边形的不稳定性
例3 图4是由三个边长相等的四边形做成的可左右伸缩的挂衣架，这是利用了四边形的____________．
图4
不稳定性
训练 3.图5是某校门口的电动伸缩门，电动伸缩门利用了( )
A.三角形的稳定性
B.三角形的不稳定性
C.四边形的不稳定性
D.四边形的稳定性
图5
C
课堂检测
1．(2022广东)下列图形中有稳定性的是( )
A．三角形 B．平行四边形 C．长方形 D．正方形
2．如图6，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样设计蕴含的数学依据是( )
A．两直线平行，内错角相等
B．垂线段最短
C．两点之间线段最短
D．三角形具有稳定性
图6
A
D
3．如图7，下列图形具有稳定性的有__________.(填序号)
4．四边形具有不稳定性．当四边形的形状发生改变时，不发生变化的是__________.(填序号)
①四边形的边长；②四边形的周长；③四边形的角的大小．
图7
①⑤
①②
5．如图8，已知下列图形．
(1)这些图形中，具有稳定性的是__________；(填序号)
(2)对于图8中不具有稳定性的图形，请你适当地添加线段，使之具有稳定性．
图8
①③④
答图1
解：图8②的图形不具有稳定性，添加线段如答图1所示．(答案不唯一)
随堂测
课时练
1．如图1所示的四个图形中，具有稳定性的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
图1
C
2．在实际生活中，经常用到一些几何图形的稳定性或不稳定性，下列实物图中利用了稳定性的是( )
C
3．(2023吉林)如图2，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是____________________.
4．如图3，五根木条钉成一个五边形框架ABCDE，要使框架稳固不变形，至少还需要添__________根木条．
图2
图3
三角形具有稳定性
2
循环练
5．如图4，在△ABC中，AE是高，BD是角平分线，CF是中线，下列说法中不正确的是( )
A．∠AEC＝∠AEB
B．∠ABD＝∠CBD
C．∠ACF＝∠BCF
D．AF＝BF
图4
C(共9张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十一章 三角形
核心素养专练
1.【跨学科】【抽象能力、运算能力、几何直观】如图1，两面镜子AB，BC的夹角为∠α，当光线经过镜子反射时，入射角等于反射角，即∠1＝∠2，∠3＝∠4.若∠α＝70°，∠1＝35°，则∠4的度数为( )
A．70°
B．75°
C．80°
D．85°
图1
B
本题以物理学科中光的反射为背景，需要学生抽象出三角形，并利用三角形内角和定理进行计算，考查学生综合应用数学与其他学科知识解决问题的能力．
2．【数学文化】【抽象能力、应用意识】抖空竹是我国的传统体育活动，也是国家级非物质文化遗产之一，明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图2，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：已知AB∥CD，∠BAE＝94°，∠E＝28°，则∠DCE的度数为( )
A．122° B．120°
C．118° D．115°
图2
A
本题以传统体育活动抖空竹为背景，需要学生从中抽象出相关数学问题，解题的关键是添加适当的辅助线，考查学生应用平行线的性质和三角形外角的性质解决实际问题的能力．
图3
22.5
《考工记》是中国古代第一部明确记载官营手工业各工种规范和制造工艺的科技著作．本题需要学生从题干中提取关键信息，将“矩”、“宣”、“欘”进行等量代换，并结合三角形内角和定理计算求值，让学生在学习数学的同时，感受中华优秀传统文化．
∵∠BDC是△CDE的一个外角，
∴∠BDC＝∠CED＋∠C.
∴∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C＝90°＋34°＋18°＝142°≠146°.
∴这个零件不合格．
4．【运算能力、几何直观、应用意识】一个零件的形状如图4所示，按规定∠A应等于90°.已知∠B，∠C分别是34°和18°，李伯伯量得∠BDC＝146°，则这个零件是否合格？__________.(填“合格”或“不合格”)
图4
答图1
不合格
【提示】如答图1，延长BD交AC于点E.
∵∠CED是△ABE的一个外角，
∴∠CED＝∠A＋∠B.
本题以检查零件是否合格为背景，解题关键在于添加适当的辅助线，利用三角形外角的性质求出所需的角度，从而做出判断．(共22张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十一章 三角形
第9课时 多边形的外角和
探索并掌握多边形外角和公式．(核心素养：运算能力、几何直观、推理能力、模型观念、应用意识)
课标要求
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
1．(衔接回顾)n边形的内角和为______________.
2．多边形的外角：多边形的边与它的邻边的_________组成的角．
3．在多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做该多边形的__________.
注：多边形的任意一个外角与其相邻内角的度数之和为180°.
(n－2)×180°
延长线
外角和
课堂讲练
多边形的外角和
例1 探究多边形的外角和：如图1，∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，…分别是多边形的外角．
图1
由此，我们得出：多边形的外角和等于__________，与多边形的边数无关．
多边形的边数 多边形的内角和 多边形的外角和
3 180° 3×180°－180°＝__________
4 2×180° __________×180°－2×180°＝__________
5 3×180° __________×180°－3×180°＝__________
… … …
n __________ _______×180°－_____________＝__________
360°
4
360°
5
360°
(n－2)×180°
n
(n－2)×180°
360°
360°
训练 1.(1)四边形的外角和为__________；
(2)十一边形的外角和为__________；
(3)一个多边形的内角和比它的外角和多360°，则该多边形的边数为__________；
(4)一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是_________边形．
360°
360°
6
八
正多边形的外角与内角
例2 (1)正八边形的外角和是__________，它的每个外角的度数为
__________；
(2)正九边形的每个外角的度数为__________，每个内角的度数为
__________；
(3)若一个正多边形的每个内角均为108°，则该多边形的每个外角的度数为__________，该多边形是正__________边形．
360°
45°
40°
140°
72°
五
训练 2.(1)正六边形的每个外角的度数为__________，每个内角的度数为__________；
(2)若一个多边形的每个外角均为30°，则这个多边形的边数为
__________；
(3)若一个正多边形的一个内角为144°，则这个正多边形的边数是
__________.
60°
120°
12
10
正n边形的内角和外角
课堂检测
1．(1)正五边形的内角和为__________，外角和为__________；
(2)正十边形的每个外角的度数为__________.
2．若一个正多边形的每个外角都为60°，则这个正多边形的边数是( )
A．6 B．8 C．10 D．12
540°
360°
36°
A
3．一个多边形的内角和是外角和的4倍，求这个多边形的边数．
解：设这个多边形的边数是n.
根据题意，得(n－2)×180°＝4×360°.解得n＝10.
∴这个多边形的边数是10.
4．一个正多边形的每个内角与它相邻外角的度数比为3∶1，求这个正多边形的边数．
解：设这个正多边形的一个外角是x°，则其相邻的内角是3x°.
根据题意，得x＋3x＝180.解得x＝45.
360°÷45°＝8.
∴这个正多边形的边数是8.
5．“花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．图2是一个窗棂及其局部示意图，若∠1＋∠2＋∠3＝320°，则∠D的度数为__________.
图2
140°
6．【模型思想】如图3，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝__________.
图3
解题关键是找出多边形的各个外角，根据多边形的外角和等于360°，并结合已知条件进行和差计算或等量代换．
360°
7．【实际应用】如图4，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D，……照这样走下去，小明第一次回到出发点A时走过的路程为( )
A．100米
B．80米
C．60米
D．40米
图4
B
随堂测
课时练
1．(2023北京)十二边形的外角和为( )
A．30° B．150° C．360° D．1 800°
2．若一个多边形的外角和等于360°，则这个多边形的边数为( )
A．3 B．4 C．5 D．无法确定
3．正多边形的一个外角等于72°，则这个正多边形的边数是( )
A．5 B．7 C．9 D．12
C
D
A
4．正八边形的每个内角与每个外角的度数之比为( )
A．1∶3 B．1∶2 C．2∶1 D．3∶1
5．如图1，五边形ABCDE的一个内角∠BAE＝120°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝__________.
图1
D
300°
6．若一个n边形的内角和与外角和相加为1 800°，求n的值．
解：根据题意，得180°×(n－2)＋360°＝1 800°.
解得n＝10.
循环练
7．若一个多边形的内角和是1 620°，则该多边形的边数为( )
A．8 B．9
C．10 D．11
D(共23张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十一章 三角形
第1课时 三角形的边
1.理解三角形及其内角等概念；2.证明三角形的任意两边之和大于第三边．(核心素养：运算能力、几何直观、推理能力、模型观念)
课标要求
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
1.三角形的相关概念
图形 定义 边 顶点 内角
由不在同一条直线上的三条线段______________所组成的图形叫做三角形． 线段AB， BC，CA 点A，B，C 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角，如：∠A，∠B，∠C.
首尾顺次相接
2.三角形的分类
(1)按角分：
(2)按边分：
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
三边都不相等的三角形
等边三角形
3.如图1，从点A到点B的三条路线中，由两点之间线段最短可知，最短的路线是第________条(填序号)，所以AC＋BC______AB(填“>”“<”或“＝”)，移项可得AC______AB－BC(填“>”“<”或“＝”)．
三角形的三边关系：三角形两边的和______第三边，两边的差_________第三边．
图1
②
＞
＞
大于
小于
课堂讲练
三角形的相关概念及分类
例1 如图2，回答下列问题：
(1)图中有__________个三角形，它们分别是
__________________________；
(2)△ABC的三边分别是______________，三个
内角分别是____________________；
(3)在△ACD中，AD边所对的角是_______，∠A所对的边是______.
图2
3
△ABC，△ACD，△BCD
AB，AC，BC
∠A，∠B，∠ACB
∠ACD
CD
图3
训练 1.如图3，在△ABC中，D是AB边上的一点，且AD＝CD＝BC.
(1)图中共有_________个等腰三角形，其中等腰
三角形ACD的底边是________，腰是__________；
(2)在△BCD中，BC边所对的角是________，
∠B所对的边是__________；
(3)以BC为边的三角形是_________________.
2
AC
AD和CD
∠CDB
CD
△ABC和△BCD
三角形的三边关系
例2 下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
A.1，3，5 B．3，4，8
C.3，6，3 D．7，7，9
训练 2.以下列各组数为边长，能组成三角形的是( )
A.2，2，4 B．1，2，3
C.3，4，5 D．10，5，4
D
C
例3 若一个三角形的两边长分别为4和5，则第三边的长x的取值范围为__________.
训练 3.若一个三角形的三边长分别为3，x，7，则x的取值范围为
__________.
1.判断三条线段能组成三角形的方法：较短的两条线段之和＞最长的线段；
2．求三角形的一边长x的取值范围：|另两边之差| ＜x＜另两边之和．
1＜x＜9
4＜x＜10
例4 【分类讨论】已知等腰三角形的两边长分别为4和6，求它的周长．
解：分两种情况：
①当腰长是4时，三角形的三边长分别为4，4，6.
此时周长为4＋4＋6＝14.
②当底边长是4时，三角形的三边长分别为4，6，6.
此时周长为4＋6＋6＝16.
综上，这个等腰三角形的周长为14或16.
训练 4.【易错】已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，求它的周长．
解：分两种情况：
①当腰长是5时，三角形的三边长分别为5，5，10.
∵5＋5＝10，不符合三角形的三边关系，
∴此时不能组成三角形．
②当底边长是5时，三角形的三边长分别为5，10，10.
此时周长为5＋10＋10＝25.
综上，这个等腰三角形的周长为25.
例5 (人教八上P3例题)用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形．
(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形吗？为什么？
解：(1)设底边长为x cm，则腰长为2x cm.
由题意，得2x＋2x＋x＝18.
解得x＝3.6.∴2x＝7.2.
∴三边长分别为7.2 cm，7.2 cm，3.6 cm.
(2)能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形．
理由：①若底边长是4 cm，则腰长为(18－4)÷2＝7(cm).
②若腰长是4 cm，则底边长为18－4×2＝10(cm).
∵4＋4＜10，不符合三角形的三边关系，
∴此时不能围成三角形．
综上，能围成底边长是4 cm的等腰三角形．
没有明确等腰三角形的腰和底边时，需要分类讨论，还应检验各种情况是否符合三角形的三边关系．
课堂检测
1．图4中三角形的个数为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
2．能与长度为4 cm，9 cm的两根木棒首尾顺次相接钉成一个三角形的木棒长度可以是( )
A．4 cm B．5 cm C．9 cm D．13 cm
图4
C
C
3．已知△ABC的三边长a，b，c均为整数，且a和b满足|a－4|＋(b－1)2＝0，则c的值为__________.
4
4．【推理能力】回答下列问题：
(1)如图5①，共有__________个三角形；
(2)如图5②，共有__________个三角形；
(3)如图5③，共有__________个三角形；
(4)按这样的规律，第⑩个图中共有__________个三角形．
图5
3
6
10
66
随堂测
课时练
1．下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是
( )
C
2．(2023盐城)下列每组数分别表示3根小木棒的长度(单位：cm)，其中能搭成一个三角形的是( )
A．5，7，12 B．7，7，15
C．6，9，16 D．6，8，12
3．(2023福建)若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是( )
A．1 B．5 C．7 D．9
4．一个等腰三角形的一边长为6 cm，周长为20 cm，则它的腰长为
_____________.
D
B
6 cm或7 cm
循环练(共36张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十一章 三角形
第十一章 章末复习
全国视野
基础练习
综合运用
三角形的三边关系
1.三角形两边的和大于第三边．
2.三角形两边的差小于第三边．
1.下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
A．4，5，6 B．3，4，7
C．5，3，8 D．5，3，9
A
三角形的高、中线和角平分线
2.如图1，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，AE＝2 cm，S△ABD＝2 cm2，则BD的长为_______cm，BC的长为_______cm.
图1
2
4
三角形的内角与外角
1.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.
2.三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
3.直角三角形
(1)直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．
(2)直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．
3.如图2，∠CBD是△ABC的一个外角，若∠A＝35°，∠C＝43°，则∠ABC＝__________，∠CBD＝__________.
4.如图3，l1∥l2，∠1＝80°，∠2＝45°，则∠3＝__________．
图2
图3
102°
78°
35°
5.如图4，D是△ABC的边BC延长线上一点，DF⊥AB于点F，交AC于点E.若∠A＝40°，∠D＝50°，则∠ACB的度数为( )
A．80°
B．90°
C．100°
D．105°
图4
C
多边形的内角和与外角和
1.多边形的内角和：n边形(n≥3)的内角和等于(n－2)×180°.
2.多边形的外角和：多边形的外角和等于360°.
6.(1)九边形的内角和为__________，外角和为__________；
(2)正八边形的每个内角为__________，每个外角为__________；
(3)若一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形的边数为
__________.
1 260°
360°
135°
45°
6
基础练习
1．下列图形中具有稳定性的是( )
A．梯形 B．长方形
C．等腰三角形 D．平行四边形
2．如图5，图中三角形共有( )
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
图5
C
D
3．如图6，BD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线．若CD＝6，则AE的长为( )
A．3
B．6
C．9
D．12
4．八边形的内角和为( )
A．180° B．360° C．1 080° D．1 440°
图6
A
C
5．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠A的度数为( )
A．35° B．40° C．70° D．110°
6．如图7，在△ABC中，直线MN∥BC，分别交AB，AC于点D，E.若∠A＝60°，∠BDM＝40°，则∠C＝( )
A．70°
B．80°
C．90°
D．100°
图7
B
B
7．如图8，AD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分线，BE，AD相交于点F.已知∠BAD＝42°，则∠BFD的度数为( )
A．45°
B．54°
C．56°
D．66°
图8
D
8．已知△ABC，下列条件：①∠A－∠B＝∠C；②∠A＝∠B＝∠C；③∠A＝90°－∠B；④∠A＝2∠B＝3∠C.其中能确定△ABC为直角三角形的条件有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
B
9．花楼提花机(如图9①)是我国古代织造技术最高成就的代表，明代《天工开物》中详细记载了花楼提花机的构造．如图9②，提花机上的一个三角形木框架由三根木料固定而成，且其大小和形状在其运作时固定不变，其中应用到的数学原理是___________________.
图9
三角形具有稳定性
10．一个多边形的每一个外角都是72°，则这个多边形的边数为
__________.
11．已知三角形的三边长分别为a，b，c，其中a，b满足|a－4|＋(b－2)2＝0，则c的取值范围是__________.
12．如图10，在△ABC中，CD是∠ACB的平
分线，∠A＝80°，∠ACB＝60°，则∠BDC＝
__________.
图10
5
2＜c＜6
110°
13．如图11，点D，E分别在线段BC，AC上，连接AD，BE.若∠A＝35°，∠B＝25°，∠1＝70°，则∠C的度数为__________.
14．如图12，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGHI，则∠FAI＝__________°.
图11
图12
50°
12
15．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
解：设这个多边形的边数为n.
根据题意，得(n－2)×180°＝360°×3－180°.
解得n＝7.
∴这个多边形的边数是7.
16．(人教八上P29 T7)如图13，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是边AC上的高．求∠DBC的度数．
图13
解：∵∠C＝∠ABC＝2∠A，∠C＋∠ABC＋∠A＝180°，
∴5∠A＝180°.∴∠A＝36°.
∴∠C＝2∠A＝72°.
∵BD是边AC上的高，∴∠BDC＝90°.
∴∠DBC＝90°－∠C＝18°.
17．如图14，在△ABC中，AD是边BC上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝50°，∠DAE＝10°.
(1)求∠BAE的度数；
(2)求∠C的度数．
图14
解：(1)∵AD是边BC上的高，∴∠ADE＝90°.
∴∠BAD＝90°－∠B＝90°－50°＝40°.
∴∠BAE＝∠BAD－∠DAE＝40°－10°＝30°.
(2)∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAC＝2∠BAE＝2×30°＝60°.
∴∠C＝180°－∠B－∠BAC＝180°－50°－60°＝70°.
18．如图15，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B.
(1)求证：CD是△ABC的高；
图15
证明：∵∠ACB＝∠1＋∠BCD＝90°，∠1＝∠B，
∴∠B＋∠BCD＝90°.
∴∠BDC＝180°－(∠B＋∠BCD)＝90°.
∴CD⊥AB.∴CD是△ABC的高．
(2)若AC＝8，BC＝6，AB＝10，求CD的长．
图15
综合运用
19．如图16，已知A岛在B岛的北偏东50°方向，
C岛在B岛的北偏东80°方向，C岛在A岛的南偏东30°
方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数为
__________.
20．若等腰三角形的周长为10 cm，其中一边长为4 cm，则该等腰三角形的底边长为( )
A．2 cm B．3 cm
C．4 cm D．2 cm或4 cm
图16
70°
D
21．如图17，在△ABC中，∠ABC的平分线BD和∠ACB的平分线CD相交于点D.若∠BDC＝120°，则∠A＝__________.
22．如图18，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝_________°.
图17
图18
60°
540
23．已知△ABC的三边长分别是a，b，c.
(1)化简|a－b＋c|＋|a－b－c|；
解：∵△ABC的三边长分别是a，b，c，
∴a＋c＞b，b＋c＞a.
∴a－b＋c＞0，a－b－c＜0.
∴原式＝(a－b＋c)－(a－b－c)＝a－b＋c－a＋b＋c＝2c.
根据三角形的三边关系，得5－2＜c＜2＋5，即3＜c＜7.
∵c为偶数，∴c＝4或6.
当c＝4时，△ABC的三边长分别为2，5，4，∴周长为2＋5＋4＝11.
当c＝6时，△ABC的三边长分别为2，5，6，∴周长为2＋5＋6＝13.
综上所述，△ABC的周长为11或13.
图19
24．如图19，在△ABC中，∠ACB＞∠B，AD平分∠BAC，P为线段AD上一动点，EP⊥AD交直线BC于点E.
(1)若∠B＝36°，∠ACB＝78°，求∠E的度数；
解：∵∠B＝36°，∠ACB＝78°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠ACB＝66°.
证明：∵∠B＋∠BAC＋∠ACB＝180°，
∴∠BAC＝180°－(∠B＋∠ACB).
图19
全国视野
25．(2023永州)下列多边形中，内角和等于360°的是( )
B
26．(2023兰州)如图20①是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图20②是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1＝( )
A．45°
B．60°
C．110°
D．135°
图20
A
27．(2023山西)如图21，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝155°，∠2＝30°，则∠3的度数为( )
A．45°
B．50°
C．55°
D．60°
图21
C
28．(2023衢州)如图22是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角∠O的大小，需将∠O转化为与它相等的角，则图中与∠O相等的角是( )
A．∠BEA
B．∠DEB
C．∠ECA
D．∠ADO
图22
B
29．(2023遂宁)若三角形三个内角的比为1∶2∶3，则这个三角形是__________三角形．
30．(2023十堰)一副三角板按如图23所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB＝35°，则∠DFC＝__________.
图23
直角
100°(共23张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十一章 三角形
第7课时 三角形的外角
1.理解三角形外角的概念；2.掌握三角形的内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．(核心素养：运算能力、几何直观、空间观念、推理能力)
课标要求
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
1.三角形的外角的概念：三角形的一边与另一边的__________组成的角，叫做三角形的外角．
2．如图1，∠ACD是△ABC的一个外角，则∠ACD＝180°－∠ACB＝180°－(180°－∠A－∠B)＝__________＋∠B.
三角形的外角的性质：三角形的外角等于与它__________的两个内角的和．
几何语言：如图1，∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD＝∠A＋∠B.
注：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角．
图1
延长线
∠A
不相邻
课堂讲练
三角形的外角的概念
例1 下列各图中，∠1是△ABC的外角的是( )
D
训练 1.如图2，∠1，∠2，∠3中是△ABC的外角的是( )
A.∠1，∠2
B.∠2，∠3
C.∠1，∠3
D.∠1，∠2，∠3
图2
C
三角形的外角的性质
例2 写出下列图形中∠α的度数．
∠α＝______ ∠α＝______ ∠α＝______
113°
35°
40°
训练 2.如图3，点D在△ABC的边BC的延长线上．
(1)若∠A＝70°，∠B＝50°，则∠ACD＝__________；
(2)若∠A＝75°，∠ACD＝135°，则∠B＝__________．
图3
120°
60°
例3 如图4，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠ECD的度数为__________.
训练 3.如图5，AB∥CD，∠A＝65°，∠C＝40°，则∠E的度数为__________.
图4
图5
50°
25°
三角形的外角与内角的综合
例4 如图6，在△ABC中，D是BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠DAC＝32°.求∠BAC的度数．
图6
训练 4.如图7，点D在△ABC的边BC上，∠B＝∠BAD＝∠C，∠ADC＝72°.求∠DAC的度数．
图7
∴∠C＝∠B＝36°.
∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝180°－72°－36°＝72°.
课堂检测
1．如图8，∠CBD是△ABC的一个外角，∠CBD＝80°，∠A＝35°，则∠C＝( )
A．35°
B．40°
C．45°
D．55°
图8
C
2．如图9，已知AB∥CD，点E在线段AD上(不与点A，D重合)，连接CE.若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝( )
A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
图9
C
3．将一副三角板按如图10所示的方式叠放，则∠α的度数为
__________.
图10
75°
4．如图11，在△ABC中，BP是∠ABC的平分线，CP是外角∠ACM的平分线，BP，CP相交于点P.若∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝__________°.
图11
30
5．(人教八上P17 T11改编)如图12，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E.若∠B＝25°，∠E＝30°，求∠BAC的度数．
图12
解：∵∠B＝25°，∠E＝30°，
∴∠ECD＝∠B＋∠E＝55°.
∵CE是∠ACD的平分线，
∴∠ACE＝∠ECD＝55°.
∴∠BAC＝∠ACE＋∠E＝55°＋30°＝85°.
随堂测
课时练
1．如图1，∠ACD是△ABC的外角．若∠ACD＝110°，∠B＝50°，则∠A的度数为( )
A．40°
B．50°
C．55°
D．60°
图1
D
2．如图2，AB∥CD，∠A＝50°，∠C＝30°，则∠AEC的度数为
( )
A．20°
B．50°
C．80°
D．100°
图2
C
3．如图3，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角，则∠1＋∠2＋∠3的度数为( )
A．90°
B．180°
C．270°
D．360°
图3
D
4．如图4，在△ABC中，∠B＝∠C，AD平分△ABC的外角∠EAC.求证：AD∥BC.
图4
证明：∵∠B＝∠C，
∴∠EAC＝∠B＋∠C＝2∠B.
∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD.
∴∠B＝∠EAD.∴AD∥BC.
循环练
5．如图5，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D.若∠BAD＝32°，则∠C＝__________.
图5
32°(共24张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十一章 三角形
第5课时 三角形的内角(1)
探索并证明三角形的内角和定理．(核心素养：运算能力、几何直观、空间观念、推理能力)
课标要求
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
1.如图，已知△ABC.求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
证明：如图，过点A作DE∥BC，则∠B＝∠BAD，
∠C＝__________(__________________________).
∵点D，A，E在同一条直线上，
∴∠BAD＋∠BAC＋∠CAE＝________(平角的定义)．
∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°.
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.
思考：还有其他证明三角形内角和定理的方法吗？
∠CAE
两直线平行，内错角相等
180°
课堂讲练
三角形的内角的简单计算
例1 已知△ABC.
(1)若∠A＝35°，∠B＝45°，则∠C＝__________；
(2)若∠A＝∠C＝70°，则∠B＝__________；
(3)若∠B＝50°，则∠A＋∠C＝__________.
100°
40°
130°
训练 1.写出下列图形中x的值．
x＝________ x＝________ x＝________
60
54
60
例2 在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C.求∠C的度数．
解：设∠C＝x°，则∠B＝4x°.
根据题意，得x＋4x＋20＝180.
解得x＝32.
∴∠C＝32°.
训练 2.在△ABC中，∠A＝3∠B，∠C－∠B＝15°.求∠A，∠B，∠C的度数．
解：设∠B＝x°，则∠A＝3x°，∠C＝(x＋15)°.
∴3x＋x＋(x＋15)＝180.
解得x＝33.
∴3x＝99，x＋15＝48.
∴∠A＝99°，∠B＝33°，∠C＝48°.
三角形的内角与高、角平分线的综合
例3 (人教八上P12例1)如图1，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分线．求∠ADB的度数．
图1
在△ABD中，∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－75°－20°＝85°.
训练 3.如图2，在△ABC中，AE是角平分线，AD是高，∠B＝70°，∠C＝40°.求∠DAE的度数．
图2
解：∵∠B＝70°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝70°.
∵AD是BC边上的高，∴∠ADB＝90°.
∴∠BAD＝180°－∠ADB－∠B＝180°－90°－70°＝20°.
∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝35°－20°＝15°.
三角形的内角的应用
例4 (人教八上P12例2改编)如图3，A岛在B岛的北偏东30°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，A岛在C岛的北偏西40°方向．求从A岛看B，C两岛的视角∠BAC的度数．
图3
解：由题意，得∠ABD＝30°，∠CBD＝80°，∠ACE＝40°.
∴∠ABC＝∠CBD－∠ABD＝80°－30°＝50°.
图3
∵BD∥CE，
∴∠CBD＋∠BCE＝180°.
∴∠BCE＝180°－∠CBD＝180°－80°＝100°.
∴∠ACB＝∠BCE－∠ACE＝100°－40°＝60°.
∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－50°－60°＝70°.
训练 4.(人教八上P17 T7改编)如图4，B处在A处的南偏西40°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向．求∠ACB的度数．
图4
解：由题意，得∠BAE＝40°，∠CAE＝15°，∠DBC＝80°.
∴∠BAC＝∠BAE＋∠CAE＝40°＋15°＝55°.
∵BD∥AE，∴∠ABD＝∠BAE＝40°.
∴∠ABC＝∠DBC－∠ABD＝80°－40°＝40°.
∴∠ACB＝180°－∠ABC－∠BAC＝180°－40°－55°＝85°.
课堂检测
1．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则∠A的度数为__________.
2．如图5，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，若∠1＝∠B，∠C＝65°，则∠BAC＝__________.
图5
30°
70°
3．如图6，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°.求∠BDC，∠EDC的度数．
图6
解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°.
∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD＝30°.
4．将一副三角板按如图7所示的方式放置，则∠DOC的度数为
__________.
图7
75°
5．【整体思想】如图8，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，BP与CP相交于点P.
(1)若∠ABC＝75°，∠ACB＝45°，则∠P＝__________；
图8
120°
(2)若∠A＝60°，求∠P的度数；
(3)若∠A＝α，则∠P＝__________.(用含α的式子表示)
图8
解：(2)∵∠A＝60°，∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝120°.
随堂测
课时练
1．有一个缺角的△ABC(如图1)，已知∠A＝45°，∠B＝60°，则这个三角形缺失的∠C的度数为__________.
2．如图2，该图形中的x的值为__________.
图1
图2
75°
60
3．(2023聊城)如图3，分别过△ABC的顶点A，B作AD∥BE.若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，则∠ACB的度数为( )
A．65°
B．75°
C．85°
D．95°
图3
B
4．如图4，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AC于点E.若∠B＝42°，∠C＝58°，求∠ADC及∠ADE的度数．
图4
解：∵∠B＝42°，∠C＝58°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝80°.
∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°.
∴∠ADE＝180°－∠AED－∠DAC＝50°.
循环练
5．以下实物不是利用三角形稳定性的是( )
C(共21张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十一章 三角形
第6课时 三角形的内角(2)
1.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余；2.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形．(核心素养：运算能力、几何直观、空间观念、推理能力)
课标要求
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
注：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，即直角三角形ABC可以写成Rt△ABC.
图形 直角三角形的性质 直角三角形的判定
直角三角形的两个锐角__________. 几何语言：在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴∠A＋∠B＝__________. 有两个角__________的三角形是直角三角形．
几何语言：在△ABC中，∠A＋∠B＝__________，
∴△ABC是直角三角形．
互余
90°
互余
90°
课堂讲练
直角三角形的性质
例1 (人教八上P14例3)如图1，∠C＝∠D＝90°，AD，BC相交于点E.∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
图1
解：∠CAE＝∠DBE.理由如下：
在Rt△ACE中，∠CAE＝90°－∠AEC.
在Rt△BDE中，∠DBE＝90°－∠BED.
∵∠AEC＝∠BED，∴∠CAE＝∠DBE.
训练 1.(人教八上P14 T1改编)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D.∠ACD与∠B有什么关系？为什么？
图2
解：∠ACD＝∠B.理由如下：
∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°.
∴∠B＋∠BCD＝90°.
∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠BCD＝90°.
∴∠ACD＋∠BCD＝∠B＋∠BCD.∴∠ACD＝∠B.
直角三角形的判定
例2 (人教八上P14 T2改编)如图3，在△ABC中，E是边AC上一点，过点E作ED⊥AB于点D.若∠1＝∠2，求证：△ABC是直角三角形．
图3
证明：∵ED⊥AB，∴∠ADE＝90°.
∴∠A＋∠1＝90°.
又∠1＝∠2，∴∠A＋∠2＝90°.
∴△ABC是直角三角形．
训练 2.如图4，AC⊥BD，垂足为C，∠A＝∠D.求证：△BDE是直角三角形．
图4
证明：∵AC⊥BD，∴∠ACB＝90°.
∴∠A＋∠B＝90°.
又∠A＝∠D，∴∠B＋∠D＝90°.
∴△BDE是直角三角形．
课堂检测
1．在△ABC中，若∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
2．如图5，在△ABC中，∠C＝90°，则∠B的度数为( )
A．15°
B．30°
C．50°
D．60°
图5
A
D
3．满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( )
A．∠A＝90° B．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
C．∠C＝∠A＋∠B D．∠A＋∠B＝90°
4．如图6，CE⊥AD，AB⊥CD，垂足分别为E，B，∠C＝28°，则∠A的度数为__________.
图6
B
28°
5.如图7，AC⊥BC于点C，BC平分∠ABE，D是BC上一点，DE⊥BE于点E，∠BDE＝64°，则∠A＝__________.
图7
两个直角三角形的一组锐角对应相等，则另一组锐角也对应相等，即同角(或等角)的余角相等．
64°
6．如图8，AD是△ABC的高，BE平分∠ABC，交AD于点E.若∠C＝76°，∠BED＝64°，则∠BAC＝__________.
图8
52°
7．【推理能力】如图9，AB∥CD，AE平分∠CAB，CE平分∠ACD，AE与CE相交于点E.
(1)若∠ACD＝80°，求∠E的度数；
图9
解：∵AB∥CD，∠ACD＝80°，
∴∠CAB＝180°－∠ACD＝100°.
(2)求证：△ACE是直角三角形．
图9
证明：∵AB∥CD，
∴∠CAB＋∠ACD＝180°.
随堂测
课时练
1．若一个三角形的三个内角的度数之比为1∶1∶2，则这个三角形是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
A
2．如图1，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，下列结论错误的是( )
A．∠A＝∠2
B．∠1和∠B都是∠A的余角
C．∠1＝∠2
D．图中有3个直角三角形
图1
C
3．(2023黄冈)如图2，Rt△ABC的直角顶点A在直线a上，斜边BC在直线b上，若a∥b，∠1＝55°，则∠2＝( )
A．55°
B．45°
C．35°
D．25°
图2
C
4．如图3，在△ABC中，过点B作BD⊥AC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，BD和CE相交于点O.若∠A＝60°，求∠BOC的度数．
图3
解：∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°.
∴∠ABD＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.
∵CE⊥AB，
∴∠BEO＝90°.
∴∠EOB＝90°－∠ABD＝90°－30°＝60°.
∴∠BOC＝180°－∠EOB＝180°－60°＝120°.
循环练
5．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶3∶5，则∠A的度数为
__________.
20°(共11张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十一章 三角形
题型集训 三角形中的角度问题
类型 与其他知识的综合
1．(平行线)如图1，AB∥EF，∠B＝75°，∠CDF＝135°，则∠C＝__________.
2．(角平分线、高)如图2，在△ABC中，AD是角平分线，CE是高，∠BAC＝66°，∠BCE＝40°，则∠ADC的度数为__________.
图1
图2
30°
83°
3．(三角板)一副三角板按如图3所示叠放在一起，则图中∠α的度数为__________.
图3
15°
4．(方程思想)在△ABC中，∠A－∠B＝30°，∠C＝4∠B，求各个内角的度数．
解：设∠B＝x，则∠C＝4x.
∵∠A－∠B＝30°，∴∠A＝30°＋∠B＝30°＋x.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴30°＋x＋x＋4x＝180°.解得x＝25°.
∴∠B＝25°，∠A＝30°＋25°＝55°，∠C＝4×25°＝100°.
5．(折叠)如图4，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠，使点B落在点B′处．若∠B＝35°，∠BNM＝28°，则∠AMB′的度数为__________.
(提示：由折叠的性质，得∠BMN＝∠B′MN.)
图4
54°
类型 特殊模型
6．(飞镖型)如图5，已知∠A，在∠A的两边上分别取点B，C，在∠A的内部取一点O，连接OB，OC.求证：∠BOC＝∠A＋∠ABO＋∠ACO.
图5
证明：如答图1，延长BO，交AC于点D.
∵∠BOC是△ODC的外角，
∴∠BOC＝∠ODC＋∠OCD.
答图1
∵∠ODC是△ABD的外角，
∴∠ODC＝∠A＋∠ABD.
∴∠BOC＝∠A＋∠ABO＋∠ACO.
(另一种解法：如答图2，连接AO，并延长至点E.
∵∠BOE是△AOB的外角，
∴∠BOE＝∠ABO＋∠BAO.
答图2
∵∠COE是△AOC的外角，
∴∠COE＝∠CAO＋∠ACO.
∴∠BOC＝∠BOE＋∠COE＝∠ABO＋∠BAO＋∠CAO＋∠ACO＝∠ABO＋∠BAC＋∠ACO.)
7．(“8”字型)(1)在图6①中，∠A，∠B，∠C，∠D的数量关系为
_______________________；
图6
∠A＋∠B＝∠C＋∠D
(2)图6②是一个五角星，连接BE，利用(1)中的结论求图6②中∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠AED的度数；
图6
解：由(1)可知，∠C＋∠D＝∠OBE＋∠OEB.
∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠AED＝∠A＋∠ABE＋∠AEB＝180°.
(3)仿照(2)的解法，求图6③中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．
图6
答图3
解：如答图3，连接AD.
由(1)可知，∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA.
∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝∠FAD＋∠EDA＋∠E＋∠F＝360°.(共24张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十一章 三角形
第2课时 三角形的高
理解三角形的高线的概念．(核心素养：运算能力、几何直观、推理能力、模型观念)
课标要求
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
三角形的高：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画__________，顶点与__________之间的线段叫做三角形的高．
如图．∵AD是△ABC的边BC上的高，
垂线
垂足
AD
BC
ADB
ADC
课堂讲练
三角形的高
例1 如图1，画出下列三角形的边AB上的高CD.
图1
答图1
解：三角形的边AB上的高CD如答图1所示．
训练 1.如图2，画出△ABC的三条高．
思考：能否找出例1中的三角形的另两条高？三角形的三条高有怎样的位置关系？
图2
答图2
解：三角形的三条高如答图2所示．
任意三角形都有三条高，且三条高所在的直线交于一点．
锐角三角形的三条高都在三角形内部，三条高相交于三角形内部一点；直角三角形有两条高与直角边重合，斜边上的高在三角形内部，三条高相交于直角顶点；钝角三角形的最长边上的高在三角形内部，其余两边上的高在三角形外部，三条高所在直线相交于三角形外部一点．
三角形的面积
例2 如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，若BC＝7，AD＝4，则S△ABC＝__________.
图3
14
训练 2.如图4，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝8，BC＝5，则S△ABC＝__________.
图4
20
例3 如图5，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的高，若AC＝12，BC＝14，BE＝7，求AD的长．
图5
训练 3.如图6，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，CD是AB边上的高．求CD的长．
图6
课堂检测
1．下列说法错误的是( )
A．三角形的高是线段
B．锐角三角形的三条高交于一点
C．直角三角形只有一条高线
D．有两条高在三角形外部的三角形是钝角三角形
C
2．如图7，CD⊥AB于点D，AF⊥BC交BC的延长线于点F，BE⊥AC交AC的延长线于点E，则△ABC的边BC上的高是线段( )
A．AF
B．AE
C．CD
D．BE
图7
A
3．如图8，在由边长为1的小正方形构成的网格中，△ABC的三个顶点A，B，C均在格点上，△ABC的边AB的长为5.
(1)画出△ABC的边BC上的高AD；
(2)画出△ABC的边AB上的高CE；
(3)△ABC的面积为__________，CE
的长为__________.
图8
答图3
解：(1)如答图3，线段AD即为所求．
(2)如答图3，线段CE即为所求．
22
4．(人教八上P9 T8改编)如图9，在△ABC中，AC＝4，BC＝5.△ABC的高AD与高BE的比是__________.
图9
4∶5
5．【分类讨论】已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，求∠BAC的度数．
分两种情况：
①AD在△ABC的内部；
②AD在△ABC的外部．
解：①如答图4，当高AD在△ABC的内部时，
∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝70°＋20°＝90°.
答图4
答图5
②如答图5，当高AD在△ABC的外部时，
∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝70°－20°＝50°.
综上，∠BAC的度数为90°或50°.
6．如图10，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，D是BC边上一点，连接AD.
(1)画出△ABD的边AB上的高DE；
(2)若DE＝CD，求DE的长．
图10
答图6
解：(1)如答图6，DE即为所求．
又DE＝CD，∴3DE＋5DE＝8DE＝24.∴DE＝3.
随堂测
课时练
1．如图1，△ABC的边AC上的高是( )
A．线段HA
B．线段BH
C．线段BC
D．线段BA
图1
B
2．在△ABC中，∠BAC是钝角，下列图中画边BC上的高正确的是
( )
D
3．如图2，在△ABC中，AD，CE分别为边BC，AB上的高．若AB＝12，AD＝10，BC＝14，求CE的长．
图2
循环练
4．如图3，为了估计池塘两岸A，B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得PA＝15 m，PB＝11 m，那么A，B间的距离不可能是( )
A．5 m
B．18 m
C．20 m
D．27 m
图3
D(共10张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十一章 三角形
微专题1 三角形中的双角平分线模型
1.(人教八上P17 T9改编)如图1，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，BD，CD相交于点D.试探究∠D与∠A之间的数量关系．
图1
2．(北师八上P187 T16改编)如图2，BD，CD分别是△ABC的外角∠CBF，∠BCE的平分线，BD，CD相交于点D.试探究∠D与∠A之间的数量关系．
图2
图2
3.(北师八上P187 T16改编)如图3，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，CD是外角∠ACE的平分线，BD，CD相交于点D.试探究∠D与∠A之间的数量关系．
图3
4．如图4，AC，BD相交于点O，BP，CP分别是∠ABD，∠ACD的平分线，BP，CP相交于点P.试探究∠P与∠A，∠D之间的数量关系．
图4
答图1
解：如答图1，设BD与CP相交于点E，AC与BP相交于点F.
由题意，得∠OEC＝∠D＋∠ECD＝∠P＋∠PBD，∠OFB＝∠A＋∠ABF＝∠P＋∠PCF.
∴∠D＋∠ECD＋∠A＋∠ABF＝∠P＋∠PBD＋∠P＋∠PCF.
答图1
5．如图5，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，相交于点D，BP，CP分别是∠EBC，∠FCB的平分线，相交于点P.
(1)若∠A＝50°，则∠D＝__________，∠P＝
__________.
图5
115°
65°
解：当∠A的大小变化时，∠D＋∠P的度数不变．
(2)当∠A的大小变化时，试探究∠D＋∠P的度数是否变化．若不变，请求出∠D＋∠P的度数；若变化，请说明理由．
图5
