(共20张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十五章 分式
第5课时 分式的运算(2)——乘方
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
4b2
a2b6
乘方
8个
n个
课堂讲练
分式的乘方
例1 计算：
5x
训练 1.计算：
负数的奇数次幂为负，偶数次幂为正．
4y
3x
分式的乘方与乘除混合运算
分式的混合运算顺序：先乘方，再乘除．
课堂检测
A．xy6 B．xy5 C．x2y5 D．x2y6
D
A
±4
6．【规律探究】观察下列式子：
(1)计算这列式子中每个式子(从第二个式子开始)与它前一个式子的商，你有什么发现？
(2)根据你发现的规律直接写出第9个式子：__________．
随堂测
课时练
循环练
3．化简：(－3a4 )2－a3·a5－a10÷a2.
解：原式＝9a8－a8－a8＝7a8.(共14张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十五章 分式
核心素养专练
图1
本题以物理学科中并联电路的电阻关系为背景，考查分式的运算，使学生体会到数学知识在解决其他学科问题时的广泛应用．
2．【数学文化】【应用意识】(2023张家界)《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6 210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6 210文能买多少株椽？设6 210文购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是( )
C
《四元玉鉴》为元代数学家朱世杰所著，是一部成就辉煌的数学名著．本题通过设未知数，利用价格相等构造等量关系列方程，考查学生分析问题、提取信息的能力，让学生感受文化底蕴与数学的应用价值．
15
本题旨在探究音色背后的数学知识，需要学生观察示例，并从中发现运算规律，即三个调和数变形后的等差关系，再将新的调和数代入，解分式方程求出未知调和数．
4．【运算能力、应用意识】甲、乙两港分别位于长江的上、下游，相距s km，一艘游轮往返其间．若该游轮在静水中的速度为a km/h，水流速度为b km/h，(b＜a)，该游轮往返两港口所需的时间相差多少？
本题考查了分式运算在实际问题中的应用，关键点在于理解船在顺流(顺水船速＝静水船速＋水流速度)和逆流(逆水船速＝静水船速－水流速度)中行驶速度的变化，根据“时间＝路程÷速度”列出分式，再利用分式的减法求时间差．
5.【运算能力、推理能力】观察下面的变形规律，解答下列问题．
本题属于规律探究类题目，需要学生先分析四个等式的共同特征，归纳得到运算规律，并利用分式的运算进行推理，从而证明结论的正确性，使学生经历由观察、类比、归纳、猜想到证明的代数推理过程．
6．【跨学科】【模型观念、应用意识】科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一棵成年银杏树一年的平均滞尘量比一棵成年国槐树一年的平均滞尘量的2倍少40 g，一年滞尘1 000 g所需的成年银杏树的数量与一年滞尘550 g所需的成年国槐树的数量相同．求一棵成年国槐树一年的平均滞尘量．
本题结合生物知识考查学生的信息提取能力，利用银杏树和国槐树在滞尘量和树木数量上的等量关系，列分式方程并求解，培养学生的模型观念和应用意识．(共22张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十五章 分式
第6课时 分式的运算(3)——加减
能对简单的分式进行加、减运算．(核心素养：抽象能力、运算能力、应用意识)
课标要求
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
2．分式的加减法法则
不变
加减
通分
加减
课堂讲练
同分母分式相加减
训练 1.计算：
1
x
例2 计算：
训练 2.计算：
1.若分式的分子是多项式，相减时需要添加括号(去括号时注意变号)；
2．运算结果要化成最简分式或整式．
异分母分式相加减
例3 计算：
训练 3.计算：
异分母分式相加减时，先找出最简公分母，再进行通分．
C
A
课堂检测
1
随堂测
课时练
1
2
0
2．计算：
循环练(共20张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十五章 分式
课堂检测
课堂讲练
随堂测
第11课时 分式方程的解法(2)
课堂讲练
解：方程两边乘(x＋2)(x－2)，
得2＋x(x＋2)＝(x＋2)(x－2).解得x＝－3.
检验：当x＝－3时，(x＋2)(x－2)≠0.
所以，原分式方程的解为x＝－3.
解：方程两边乘2(x－3)，
得2(1－x)＝x－2(x－3).解得x＝－4.
检验：当x＝－4时，2(x－3)≠0.
所以，原分式方程的解为x＝－4.
解：方程两边乘(x＋1)(x－1)，
得(x＋1)(x＋1)－4＝(x＋1)(x－1).解得x＝1.
检验：当x＝1时，(x＋1)(x－1)＝0，
因此x＝1不是原分式方程的解．
所以，原分式方程无解．
解：方程两边乘x(x－2)，
得x2－x(x－2)＝4.解得x＝2.
检验：当x＝2时，x(x－2)＝0，
因此x＝2不是原分式方程的解．
所以，原分式方程无解．
分式方程无解，有两种情况：1.去分母后所得的整式方程无解；2.去分母后所得的整式方程的解使原分式方程中的分母为0，该解是原分式方程的增根．
课堂检测
A．1－2(x－2)＝1＋x B．1－2(x－2)＝－1＋x
C．1－2(x－2)＝－1－x D．－1＋2(2－x)＝1＋x
B
解：(1)方程两边乘x(x－3)，得x(x－1)－6＝x(x－3).解得x＝3.
检验：当x＝3时，x(x－3)＝0，
因此x＝3不是原分式方程的解．
所以，原分式方程无解．
(2)方程两边乘(x－2)2，得x(x－2)－(x－2)2＝4.解得x＝4.
检验：当x＝4时，(x－2)2≠0.
所以，原分式方程的解为x＝4.
A．m＞4 B．m＜4
C．m＞4且m≠5 D．m＜4且m≠1
3
C
(1)若方程有增根，求m的值；
(2)若方程无解，求m的值．
解：方程两边乘(x＋1)(x－1)，
得3(x－1)＋6(x＋1)＝mx，即(9－m)x＝－3.
(1)当(x＋1)(x－1)＝0时，原方程有增根，此时x＝－1或1.
当x＝－1时，m＝6；当x＝1时，m＝12.
∴m的值为6或12.
(2)当9－m＝0时，原方程无解，此时m＝9；
当9－m≠0时，要使原方程无解，由(1)得m＝6或m＝12.
综上，m的值为9或6或12.
随堂测
课时练
1．解方程：
解：(1)方程两边乘2(x＋1)，得2x＋2(x＋1)＝6.解得x＝1.
检验：当x＝1时，2(x＋1)≠0.
所以，原分式方程的解为x＝1.
(2)方程两边乘x(x－3)，得x(x－1)－2＝x(x－3).解得x＝1.
检验：当x＝1时，x(x－3)≠0.
所以，原分式方程的解为x＝1.
(4)方程两边乘(x－1)2，得x(x－1)－(x－1)2＝1.解得x＝2.
检验：当x＝2时，(x－1)2≠0.
所以，原分式方程的解为x＝2.
解：(3)方程两边乘(x＋3)(x－3)，
得(x＋1)(x－3)－12＝(x＋3)(x－3).解得x＝－3.
检验：当x＝－3时，(x＋3)(x－3)＝0，
因此x＝－3不是原分式方程的解．
所以，原分式方程无解．
循环练
x＝－8(共22张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十五章 分式
第4课时 分式的运算(1)——乘除
能对简单的分式进行乘、除运算．(核心素养：抽象能力、运算能力、应用意识)
课标要求
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
分子
分母
y
分子
分母
课堂讲练
分式的乘法
例1 计算：
训练 1.计算：
分式的除法
例2 计算：
训练 2.计算：
1.运算结果应为最简分式或整式.
2.分子、分母是多项式时，通常先分解因式，再约分．
3.运用转化思想，将除法转化为乘法运算．
4.整式与分式进行乘除运算时，整式可以看作分母是1的“分式”．
分式的乘除混合运算
课堂检测
当x＝1时，原式＝1.
5．(北师八下P116 T4改编)由甲地到乙地的一条铁路全程为s km，火车全程运行时间为a h；由甲地到乙地的公路全程为这条铁路全程的m倍，汽车全程运行时间为b h．那么火车的速度是汽车速度的_________倍．
4
6．【应用意识】某超市购进凤梨和西瓜这两种水果，其中凤梨有(a2－ab) kg，西瓜有(a2－b2) kg(a＞b＞0)，全部售完后，两种水果都卖了540元．设凤梨的销售单价是西瓜销售单价的k倍，则k的取值范围是 ( )
C
随堂测
课时练
1．计算：
循环练
12x3yz(共19张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十五章 分式
第12课时 分式方程的应用(1)——工程问题
1.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；2.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性．(核心素养：运算能力、模型观念、应用意识)
课标要求
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
2.列分式方程解应用题的一般步骤：
(1)审题；(2)设未知数；(3)_____________；
(4)解方程；(5)__________；(6)答．
列分式方程
检验
课堂讲练
类型1 t1＝t2
例1 某工厂生产某种零件，由于技术上的改进，现在平均每天比原计划多生产20个零件，现在生产800个零件所需时间与原计划生产600个零件所需时间相同．求现在平均每天生产多少个零件．
训练 1.(人教八上P154 T2)甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．求甲、乙每小时各做零件多少个．
类型2 t1－t2＝时间差
例2 某市为创建全国文明城市开展了“绿化城市”活动，计划经过若干年使城区绿化面积新增360万平方米．开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的1.5倍，这样可提前3年完成任务，实际每年绿化面积为多少万平方米？
训练 2.随着中国网民规模突破10亿，博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作2 400个“伽瑶”玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的2倍，结果提前4天完成任务，原计划平均每天制作多少个摆件？
类型3 t1＋t2＝总时间
例3 小明准备抄写700个汉字，原计划每天抄写相同数量的汉字．在抄写100个汉字后，为了提前完成任务，每天抄写的汉字数量是原来的2倍，结果共用8天完成了任务．求小明原计划每天抄写的汉字的个数．
训练 3.某服装厂接到加工380套校服的任务，在加工完160套后，采用了新技术，这样每天的工作量是原来的1.1倍，结果共用了18天完成任务．原来每天加工服装多少套？
课堂检测
1．某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木．该活动开始后，实际每天比原计划多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．实际每天植树多少棵？
2．(2023丹东)“畅通交通，扮靓城市”，某市在道路提升改造中，将一座长度为36米的桥梁进行重新改造．为了尽快通车，某施工队在实际施工时，每天工作效率比原计划提高了50%，结果提前2天成功地完成了大桥的改造任务，那么该施工队原计划每天改造多少米？
3．(人教八上P155 T5)张明3 h清点完一批图书的一半，李强加入清点另一半图书的工作，两人合作1.2 h清点完另一半图书，如果李强单独清点这批图书需要几小时？
随堂测
课时练
1．甲、乙两人加工同一种零件，每小时甲比乙多加工2个零件，甲加工25个零件所用的时间与乙加工20个零件所用的时间相等，问乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工x个零件，则可列方程为_________.
2．为了践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树6 000棵．开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了20%，结果提前2天完成任务．问原计划每天种植梨树多少棵？
循环练
解：方程两边乘x(x＋1)，得4x＋3＝5x.
解得x＝3.
检验：当x＝3时，x(x＋1)≠0.
所以，原分式方程的解为x＝3.(共20张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十五章 分式
第1课时 从分数到分式
了解分式和最简分式的概念．(核心素养：抽象能力、运算能力)
课标要求
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
1.乐乐同学参加50 m赛跑．
(1)若平均速度是7 m/s，则所用时间是______s；
(2)若平均速度是a m/s，则所用时间是______s．
字母
分子
分母
注：分数和分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分数和分式的分母都不能为0.
b≠0
B≠0
A＝0且B≠0
课堂讲练
分式的概念
例1 下列式子中，属于分式的是______，属于整式的是________.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
②⑥
①③④⑤
C
1.注意π为常数.2.判断分式时不用化简，只看形式．
3．式子中含有多项时，若其中一项的分母中含有字母，则该式子也为分式．
分式有意义的条件
例2 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
思考：当分式中的字母满足什么条件时，上述分式没有意义？
解：(1)由题意，得5x≠0，即x≠0.
(2)由题意，得x＋5≠0，即x≠－5.
训练 2.下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
解：(1)由题意，得6－2x≠0，即x≠3.
(2)由题意，得a－b≠0，即a≠b.
(3)由题意，得x2－1≠0，即x≠±1.
分式的值为0的条件
例3 当x满足什么条件时，下列分式的值为0
解：(1)由题意，得x＋5＝0，且x≠0，即x＝－5.
(2)由题意，得x2－9＝0，且x－3≠0，即x＝－3.
训练 3.当x满足什么条件时，下列分式的值为0
(2)由题意，得4－|x|＝0，且x＋4≠0，即x＝4.
课堂检测
1．下列各式中，是分式的是( )
A．x≠－1 B．x≠0 C．x≠1 D．x≠2
D
A
A．1 B．0 C．－1 D．－3
4．(人教八上P133 T1改编)一位作家先用m天写完了一部小说的上集，又用n天写完下集，已知这部小说(上、下集)共100万字，则这位作家写这部小说时平均每天的写作量为__________万字．
A
5．已知四张卡片上面分别写有6，x－1，x2－1，π＋1，从中任选两张卡片，将卡片上的式子分别作为分子和分母组成一个分式，则这个分式可以是__________________．(写出一个即可)
任意实数
3
2
则a＋b＝__________．
x的取值 1 4
分式 无意义 值为0
条件1：由分式“无意义”可得分母为0，即x－a＝0；
条件2：由分式的值为“0”可得分子为0且分母不为0，即x＋2b＝0，x－a≠0；
分别代入对应的x的值可以求出a，b的值．
－1
随堂测
课时练
1．下列各式中，属于分式的是( )
A．x<2 B．x≠0
C．x≠1且x≠2 D．x≠2
B
D
A．0 B．1 C．2 D．－1
B
x≠±1
3
任意实数
1
循环练
5．分解因式：
(1)2a2－4ab＝__________；
(2)3x2－3＝______________；
(3)ma2－6ma＋9m＝__________.
2a(a－2b)
3(x＋1)(x－1)
m(a－3)2(共19张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十五章 分式
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
第13课时 分式方程的应用(2)——行程问题
知识导学
课堂讲练
例1 甲、乙两车沿同一公路行驶，已知甲车每小时比乙车每小时多走20 km，且甲车行驶350 km所用的时间与乙车行驶250 km所用的时间相同．求甲车的速度．
训练 1.一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行120 km所用时间与以最大航速逆流航行60 km所用时间相同．求江水的流速．
例2 (人教八上P155 T8改编)两个小组同时开始攀登一座360 m高的山，第一组的攀登速度是第二组的1.5倍，他们比第二组早30 min到达顶峰．求两个小组的攀登速度．
训练 2.(2023广东)某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校12 km.甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到10 min.求乙同学骑自行车的速度．
例3 某校师生去距学校45 km的文化景区开展研学旅行活动，骑行爱好者张老师骑自行车出发2 h后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达．已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．
训练 3.冬奥公园的马拉松线路分为智慧跑、公园跑、滨水跑和堤上跑．小明先进行了2 km智慧跑，接着进行了4 km堤上跑，共用时40分钟．已知小明在堤上跑路段的平均速度是他在智慧跑路段的平均速度的1.5倍，求小明在智慧跑路段的平均速度．
课堂检测
1．(人教八上P153 例4改编)某次列车平均提速80 km/h，用相同的时间，列车提速前行驶100 km，提速后比提速前多行驶40 km，求该列车提速后的平均速度．
2．(人教八上P154 T3)甲、乙两人分别从距目的地6 km和10 km的两地同时出发，甲、乙的速度比是3∶4，结果甲比乙提前20 min到达目的地．求甲、乙的速度．
3．用电脑程序控制小型赛车进行50 m比赛，“畅想号”和“和谐号”两辆赛车进入了决赛．比赛前的练习中，“畅想号”从起点出发8 s后，“和谐号”才从起点出发，结果“和谐号”迟到2 s到达终点．已知“和谐号”的平均速度是“畅想号”的2.5倍，则“畅想号”的平均速度是多少？
随堂测
课时练
1．一辆货车行驶25千米与一辆汽车行驶35千米所用时间相同，已知汽车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度．
2．从A市到B市，乘坐普通列车时，其路程为650 km，乘坐高速列车时，其路程为520 km.已知高速列车的平均速度是普通列车的4倍，从A市乘坐高速列车到B市所需时间比乘坐普通列车少8 h．求高速列车的平均速度．
循环练
x＝1(共23张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十五章 分式
第9课时 科学记数法
会用科学记数法表示数(包括在计算器上表示).(核心素养：运算能力、应用意识)
课标要求
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
科学记数法 举例
较大数 绝对值大于10的数用科学记数法表示为__________的形式，其中__________≤|a|＜__________，n为正整数． 10 200＝____________，
－2 350 000＝____________．
较小数 绝对值小于1的数用科学记数法表示为__________的形式，其中__________≤|a|＜__________，n为正整数． 0.001＝____________，
0．000 3＝____________．
a×10n
1
10
1.02×104
－2.35×106
a×10－n
1
10
1×10－3
3×10－4
课堂讲练
用科学记数法表示较小数
例1 用科学记数法表示下列各数：
(1)0.000 005＝______________；
(2)－0.000 072＝______________；
(3)0.000 000 109＝______________.
5×10－6
－7.2×10－5
1.09×10－7
训练 1.用科学记数法表示下列各数：
(1)0.000 014＝______________；
(2)－0.005 31＝______________；
(3)0.000 004 03＝______________；
(4)－0.000 564 7＝______________．
1.4×10－5
－5.31×10－3
4.03×10－6
－5.647×10－4
用科学记数法表示绝对值小于1的数时，确定a×10－n中n的两种方法：
1．n为原数中左起“第1个非0数字”前0的个数(包括小数点前的0)；
2．将小数点向右移动到“第1个非0数字”后，n为小数点移动的位数．
还原用科学记数法表示的较小数
例2 下列是用科学记数法表示的数，请写出其原数：
(1)2×10－5＝______________；
(2)1.2×10－7＝______________；
(3)－7.01×10－4＝______________.
0.000 02
0.000 000 12
－0.000 701
训练 2.下列是用科学记数法表示的数，请写出其原数：
(1)6.4×10－6＝______________；
(2)2.02×10－5＝______________；
(3)－5.006×10－3＝______________；
(4)－2.35×10－4＝______________.
0.000 006 4
0.000 020 2
－0.005 006
－0.000 235
科学记数法的相关计算
例3 计算：(结果用科学记数法表示)
(1)(3×10－8)×(2.5×105)；
(2)(8×10－6)÷(4×103).
解：(1)原式＝3×2.5×10－8×105＝7.5×10－3.
(2)原式＝(8÷4)×(10－6÷103)＝2×10－9.
训练 3.计算：(结果用科学记数法表示)
(1)(－5×10－10)×(3×102)；
(2)(5.4×10－9)÷(3×10－2).
解：(1)原式＝(－5×3)×(10－10×102)＝－15×10－8＝－1.5×10－7.
(2)原式＝(5.4÷3)×(10－9÷10－2)＝1.8×10－7.
课堂检测
1．用科学记数法表示下列各数：
(1)0.000 001＝______________；
(2)－0.000 51＝______________；
(3)0.000 000 345＝______________；
(4)－0.000 060 6＝______________.
1×10－6
－5.1×10－4
3.45×10－7
－6.06×10－5
2．下列是用科学记数法表示的数，请写出其原数：
(1)8.5×10－3＝______________；
(2)－9×10－5＝______________；
(3)2.01×10－4＝______________；
(4)－5.67×10－6＝______________.
3．(2023攀枝花)将数据0.000 000 023用科学记数法表示正确的是
( )
A．0.23×10－7 B．2.3×10－8
C．2.3×10－9 D．23×10－9
0.008 5
－0.000 09
0.000 201
－0.000 005 67
B
4．纳米是表示微小距离的单位，1纳米＝0.000 001毫米，而1毫米相当于我们通常使用的刻度尺上的一小格，可想而知1纳米是多么的小．某研究组研制出世界上最细的碳纳米管——直径0.5纳米，则0.5纳米用科学记数法可以表示为( )
A．0.5×10－6毫米 B．0.5×10－7毫米
C．5×10－6毫米 D．5×10－7毫米
5．在标准条件下，空气的密度约为0.001 29 g/cm3，0.001 29这个数用科学记数法可表示为______________．
D
1.29×10－3
6．计算：(结果用科学记数法表示)
(1)(3×10－3)×(2×10－5); (2)(－9.3×10－9)÷(3×10－3)；
(3)(2×10－3)3×(4×10－2); (4)(5×10－6)2÷(10－2)3.
解：(1)原式＝(3×2)×(10－3×10－5)＝6×10－8.
(2)原式＝(－9.3÷3)×(10－9÷10－3)＝－3.1×10－6.
(3)原式＝(8×10－9)×(4×10－2)＝(4×8)×(10－9×10－2)＝32×10－11＝3.2×10－10.
(4)原式＝(25×10－12)÷10－6＝25×(10－12÷10－6)＝25×10－6＝2.5×10－5.
7．已知一个水分子的直径约为4×10－10米，某花粉的直径约为5×10－4米，这种花粉的直径是一个水分子直径的____________倍．(结果用科学记数法表示)
1.25×106
8．纳米(nm)是非常小的长度单位，1 nm＝10－9 m，把1 nm3的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上.1 mm3的空间可以放多少个1 nm3的物体(物体之间的间隙忽略不计)
解：∵1 mm＝10－3 m，1 nm＝10－9 m，
∴1 mm3＝(10－3)3 m3＝10－9 m3，1 nm3＝(10－9)3 m3＝10－27 m3.
∵10－9÷10－27＝10－9－(－27)＝1018，
∴1 mm3的空间可以放1018个1 nm3的物体．
随堂测
课时练
1．用科学记数法表示下列各数：
(1)0.000 304＝___________；
(2)－0.000 009 1＝____________.
2．下列是用科学记数法表示的数，请写出其原数：
(1)3.3×10－7＝______________；
(2)－1.042×10－4＝______________.
3.04×10－4
－9.1×10－6
0.000 000 33
－0.000 104 2
3．被誉为“中国天眼”的望远镜FAST首次发现的脉冲星的自转周期为0.005 19秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一，将0.005 19用科学记数法表示为( )
A．0.519×10－2 B．5.19×10－3
C．5.19×10－5 D．51.9×10－4
B
4．计算：(结果用科学记数法表示)
(1)(－2×10－3)×(6×10－2); (2)(7.8×10－8)÷(3×10－3).
解：(1)原式＝－2×6×10－3×10－2＝－12×10－5＝－1.2×10－4.
(2)原式＝7.8÷3×(10－8÷10－3)＝2.6×10－5.
循环练
5．下列计算正确的是( )
D(共16张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十五章 分式
教材母题回归
1．(人教八上P128 T1)列式表示下列各量：
(1)某村有n个人，耕地40 hm2，则人均耕地面积为__________hm2.
(2)△ABC的面积为S，BC边的长为a，则高AD为__________.
(3)一辆汽车b h行驶了a km，则它的平均速度为__________km/h；一列火车行驶a km比这辆汽车少用1 h，则它的平均速度为_______km/h.
2．(人教八上P139 T1)计算：
3．(人教八上P141 T2节选)计算：
4．(人教八上P154 T2)解方程求x：
5．(人教八上P155 T4)A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30 kg，A型机器人搬运900 kg所用时间与B型机器人搬运600 kg所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？
6．(人教八上P158 T4)解下列方程：
解：(1)方程两边乘x(x＋1)，
得5x＋2＝3x.解得x＝－1.
检验：当x＝－1时，x(x＋1)＝0，
因此x＝－1不是原分式方程的解．
所以，原分式方程无解．
7．(人教八上P158 T7)什么情况下2(x＋1)－1与3(x－2)－1的值相等？
9．(北师八下P129 随堂练习)小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书．科普书的价格比文学书高出一半，他们所买的科普书比所买的文学书少1本．这种科普书和这种文学书的价格各是多少？
10．(人教八上P159 T12)如图1，运动场两端的半圆形跑道外径为R，内径为r，中间为直跑道，整个跑道总面积为S，试用含S，R，r的式子表示直跑道的长a.
图1(共23张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十五章 分式
第2课时 分式的基本性质(1)——约分
能利用分式的基本性质进行约分．(核心素养：抽象能力、运算能力)
课标要求
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
1
12
x
xy2
同一个
不等于0
不变
公因式
没有公因式
课堂讲练
分式的基本性质
例1 填空：
x
x－2
xy2
a2＋3a
训练 1.下列各式中，一定正确的是( )
D
运用分式的基本性质时，注意分子与分母乘(或除以)的整式应满足“同一个”和“不等于0”这两个条件．
分式的约分
例2 约分：
训练 2.约分：
1.分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得结果成为最简分式或整式．
2．(1)分子、分母都是单项式时，约去系数的最大公因数及相同字母的最低次幂；
(2)分子、分母是多项式时，先将多项式分解因式，再约去分子和分母所有的公因式．
例3 【易错】约分：
训练 3.约分：
2．约分要注意符号的变化．
课堂检测
1．下列各式中，一定正确的是( )
2．下列分式中，不是最简分式的是( )
B
C
D
1
随堂测
课时练
1．下列等式一定成立的是( )
D
①⑤
循环练
1(共20张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十五章 分式
第8课时 整数指数幂
了解整数指数幂的意义和基本性质．(核心素养：抽象能力、运算能力、推理能力)
课标要求
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
1.(衔接回顾)(1)am÷an＝__________(a≠0，m，n为正整数，m＞n).
(2)0指数幂：当__________时，a0＝__________．
3．整数指数幂的运算性质(m，n是整数)：
(1)am·an＝________；(2)(am)n＝________；(3)(ab)n＝__________；
(4)am÷an＝__________(a≠0)；
am－n
a≠0
1
倒数
am＋n
amn
anbn
am－n
课堂讲练
负整数指数幂的运算
例1 填空：
(1)3－2＝______； (2)(－3)－2＝______；
9
9
训练 1.填空：
(1)2－3＝______； (2)(－2)－3＝______；
4
4
整数指数幂的运算
例2 计算：(1)a2·a－3; (2)a－4÷a3；
(3)(a－3)2; (4)(ab－1)－3.
训练 2.计算：
(1)x－4·x－1； (2)(x2)－3；
(3)(2x－1)－2；
运算的结果要把负整数指数幂化为正整数指数幂．
例3 计算：
(1)2x－2y·xy－2； (2)(a2b－2)－1÷a－4b3.
训练 3.计算：
(1)(2a3b－2)－3·3a4b－2；
(2)x5y－3÷(2xy－3)－2.
课堂检测
1．计算：(1)1－3＝__________；(2)(－4)－2＝__________；
(4)(－x)－2＝__________.
2．若am＝3，则a－m＝__________.
3．计算：(1)x4÷x7＝__________； (2)a－2·2a－5＝__________；
(3)x3÷x－5＝__________； (4)(－a2)－3＝__________；
(5)(2a－1b)3＝__________；
1
25
x8
x2y6
解：(1)原式＝1＋2－5÷1＝3－5＝－2.
5．计算：(1)2x3y－4·(xy－1)－2; (2)(3m2n－2)2÷(－4mn－3)－1.
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．b＞a＝c
7．若实数m，n满足|m－2|＋(n－2 024)2＝0，则m－1＋n0＝__________．
C
9．【创新意识】已知x＋x－1＝3，求下列各式的值：(1)x2＋x－2；(2)x4＋x－4.
解：(1)∵x＋x－1＝3，
∴(x＋x－1)2＝x2＋2＋x－2＝9.∴x2＋x－2＝7.
(2)由(1)得x2＋x－2＝7.
∴(x2＋x－2)2＝x4＋2＋x－4＝49.
∴x4＋x－4＝47.
随堂测
课时练
1．填空：
27
解：原式＝1＋1－2＝0.
3．化简：
(1)(2xy2)－2÷(y－2)3； (2)(3m2n－2)2·(－4mn－3)－1.
循环练(共14张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十五章 分式
微专题7 分式的运算
类型 分式的混合运算
1．计算：
2
2．计算：
类型 分式的化简求值
题型1 直接给出字母的值
题型2 选择使分式有意义的字母的值
∵a为正整数，∴a＝1，2，3.
又a－2≠0且a－3≠0，∴a≠2且a≠3.∴a＝1.
当a＝1时，原式＝(－2)×1－6＝－8.
题型3 整体代入法求值
由2x＋y－3＝0，得2x＋y＝3.∴原式＝2(2x＋y)＝2×3＝6.
类型 三种特殊的分式求值法(拓展)
方法1 利用分式的基本性质求值
方法2 引入参数求值
方法3 倒数法求值(共19张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十五章 分式
第7课时 分式的运算(4)——混合运算
能对简单的分式进行加、减、乘、除运算．(核心素养：抽象能力、运算能力)
课标要求
课堂检测
课堂讲练
随堂测
课堂讲练
分式的混合运算
例2 计算：
训练 2.计算：
分式的混合运算顺序：1.先乘方，再乘除，然后加减，有括号要先算括号里面的；2.同级运算按从左到右的顺序依次进行计算．
分式的化简求值
课堂检测
B
注意字母的取值要使所有的分式有意义．
A．1 B．－1 C．2 D．－2
A
随堂测
课时练
1．计算：
循环练
解：原式＝a2－ab＋2ab－2b2＋a2＋4b2＝2a2＋ab＋2b2.(共24张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十五章 分式
第10课时 分式方程的解法(1)
能解可化为一元一次方程的分式方程．(核心素养：抽象能力、运算能力)
课标要求
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
解：去分母，得_____________________．
去括号，得____________________．
移项，得___________________．
合并同类项，得________．
2.分式方程：分母中含__________的方程．
2(2x＋1)－3(x－1)＝6
4x＋2－3x＋3＝6
4x－3x＝6－2－3
x＝1
未知数
课堂讲练
分式方程的概念
例1 下列选项中是分式方程的是( )
C
训练 1.下列方程是分式方程的是__________．(填序号)
分式方程的特征：①是方程；②分母中含有未知数．二者缺一不可．
①③④⑤
解分式方程
解：方程两边乘x(x＋3)，得x＋3＝4x.
解得x＝1.
检验：当x＝1时，x(x＋3)≠0.
所以，原分式方程的解为x＝1.
解：方程两边乘(x＋3)(x－1)，得2(x－1)＝x＋3.
解得x＝5.
检验：当x＝5时，(x＋3)(x－1)≠0.
所以，原分式方程的解为x＝5.
解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母，这也是解分式方程的一般方法．
解：方程两边乘 x－2，得 x－1－1＝3(x－2).
解得x＝2.
检验：当x＝2时，x－2＝0，
因此x＝2不是原分式方程的解．
所以，原分式方程无解．
解：方程两边乘x－4，得3－x＝－1－2(x－4).
解得x＝4.
检验：当x＝4时，x－4＝0，
因此x＝4不是原分式方程的解．
所以，原分式方程无解．
解：方程两边乘 (x－3)(x＋3)，得 x(x＋3)＋6(x－3)＝(x－3)(x＋3).
解得x＝1.
检验：当 x＝1 时，(x－3)(x＋3)≠0.
所以，原分式方程的解为x＝1.
解分式方程的一般步骤：1.去分母：方程两边乘最简公分母，化为整式方程(转化思想)；2.解整式方程；3.检验：将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；若最简公分母的值为0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解．
~
课堂检测
1．下列方程中，不是分式方程的是( )
A．x＝1 B．x＝－2 C．x＝3 D．x＝－3
C
C
解：(1)方程两边乘x(x－2)，得3x＝2(x－2).解得x＝－4.
检验：当x＝－4时，x(x－2)≠0.
所以，原分式方程的解为x＝－4.
(2)方程两边乘2x－5，得x－3＝2x－5.解得x＝2.
检验：当x＝2时，2x－5≠0.
所以，原分式方程的解为x＝2.
A．3 B．－3 C．－1 D．1
B
解：(1)方程两边乘x(x－2)，得2x－(x＋2)＝0.解得x＝2.
检验：当x＝2时，x(x－2)＝0，因此x＝2不是原分式方程的解．
所以，原分式方程无解．
(2)方程两边乘(x＋1)(x－1)，
得(x－3)(x＋1)＝2(x－1)＋(x＋1)(x－1).解得x＝0.
检验：当x＝0时，(x＋1)(x－1)≠0.
所以，原分式方程的解为x＝0.
随堂测
课时练
1．下列方程中，是分式方程的是( )
A．3x－3＝2x B．3x－1＝2x
C．3x－1＝x D．3x－3＝x
B
A
3．解方程：
(2)方程两边乘x(x＋3)，得x2＋2(x＋3)＝x(x＋3).解得x＝6.
检验：当x＝6时，x(x＋3)≠0.
所以，原分式方程的解为x＝6.
解：(3)方程两边乘2(x－1)，得2x＝x－1.解得x＝－1.
检验：当x＝－1时，2(x－1)≠0.
所以，原分式方程的解为x＝－1.
(4)方程两边乘x－2，得1＋3(x－2)＝x－1.解得x＝2.
检验：当x＝2时，x－2＝0，
因此x＝2不是原分式方程的解．
所以，原分式方程无解．
循环练
4．白细胞是人体内一种重要的免疫细胞，负责寻找并消灭入侵的病原体．据研究，白细胞直径约为0.000 012米，0.000 012用科学记数法表示为__________.
1.2×10－5(共19张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十五章 分式
第14课时 分式方程的应用(3)——销售问题
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
课堂讲练
例1 广东醒狮是国家第一批非物质文化遗产之一．祖庙文创店计划采购甲、乙两种醒狮摆件，已知甲种醒狮摆件的单价比乙种醒狮摆件的单价多10元，且用3 000元购进甲种醒狮摆件的数量和用2 500元购进乙种醒狮摆件的数量相同，求甲、乙两种醒狮摆件的单价．
训练 1.为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩的单价比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩的数量与用20万元购买B型充电桩的数量相等．A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
例2 某中学为充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入A，B两款物理实验套装，其中A款套装单价是B款套装单价的1.2倍，用9 900元购买的A款套装数量比用7 500元购买的B款套装数量多5套．求A，B两款套装的单价分别是多少元．
训练 2.为响应节能减排号召，某公司决定采购A型和B型两款新能源汽车．已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的1.5倍，用3 000万元购进A型汽车的数量比用2 400万元购进B型汽车的数量少20辆，则A型和B型汽车的进价分别为每辆多少万元？
课堂检测
1．(2023十堰)为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球．已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1 500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个．如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为( )
A
2．某商场欲购进A和B两种家电，已知每件B种家电的进价比每件A种家电的进价多100元，经计算，用1万元购进A种家电的件数与用1.2万元购进B种家电的件数相同．这两种家电每件的进价分别是多少元？
3．为创建美丽校园，美化校园环境，某校准备购买紫花风铃木和黄花风铃木两种树苗．在购买时发现，紫花风铃木树苗的单价比黄花风铃木树苗的单价高了20%，用2 400元购买紫花风铃木树苗的棵数比用2 400元购买黄花风铃木树苗的棵数少8棵．求紫花风铃木和黄花风铃木两种树苗的单价．
4．某商场用6万元购进甲种型号的平板电脑，很快销售一空．该商场又用12.8万元购进了乙种型号的平板电脑，所购数量是甲种型号平板电脑购进数量的2倍，且乙种型号平板电脑的进货单价比甲种型号平板电脑的进货单价贵了40元．甲种型号平板电脑和乙种型号平板电脑销售单价都是700元，最后剩下50件乙种型号平板电脑，商场按售价的八折销售，很快售完．
(1)甲种型号平板电脑和乙种型号平板电脑的进货单价各是多少元？
(2)售完这两种平板电脑，商场共盈利多少元？
解：该商场共购进甲种型号平板电脑和乙种型号平板电脑：
(60 000÷600)×3＝300(件).
共盈利：(300－50)×700＋700×0.8×50－60 000－128 000＝
15 000(元).
答：售完这两种平板电脑，商场共盈利15 000元．
随堂测
课时练
1．(2023青岛)某校组织学生进行劳动实践活动，用1 000元购进甲种劳动工具，用2 400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，但单价贵了4元．设甲种劳动工具单价为x元，则x满足的分式方程为__________________.
2．某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球的进价比每个排球的进价多50%，用3 600元购进篮球的数量比用3 200元购进排球的数量少10个．问篮球、排球的进价分别为每个多少元？
循环练
3．将5 kg浓度为98%的酒精，稀释为75%的酒精．设需要加水x kg，根据题意可列方程为( )
B(共24张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十五章 分式
第3课时 分式的基本性质(2)——通分
能利用分式的基本性质进行通分．(核心素养：抽象能力、运算能力)
课标要求
课堂检测
知识导学
课堂讲练
随堂测
知识导学
课堂讲练
最简公分母
A.ab B．3a2b2
C.3ab D．3a2b6
B
(x－1)(x＋2)
a(a－b)
确定最简公分母的方法：
1．分母均为单项式的分式：(1)系数：取各分母系数的最小公倍数；(2)字母：取各分母所有字母的最高次幂．
2．分母是多项式的分式：(1)若多项式可分解，则先分解因式；(2)取各分母的所有因式的最高次幂的积．
分式的通分
例2 通分：
训练 2.通分：
1.分式通分的关键是找出最简公分母.2.通分时要注意符号的变化．
课堂检测
6x2y3z
2x(x＋1)
a(a＋b)(a－b)
a－1
5．【类比探究】之前已经学过比较分数大小的方法：当分母为正数时，同分母分数，分子大的分数大；异分母分数，先化成同分母分数，再比较分子的大小．类似地，我们可以将此方法迁移到比较分式的大小．
随堂测
课时练
12xy2
(x＋y)(x－y)
(a＋b)(a－b)
循环练(共36张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第十五章 分式
第十五章 章末复习
全国视野
基础练习
综合运用
分式的相关概念
1.下列各式中，属于分式的是( )
(1)当m________时，分式有意义；
(2)当m________时，分式无意义；
(3)当m________时，分式的值为0.
C
≠－3
＝－3
＝1
分式的基本性质
注：分式的基本性质是约分、通分的依据．
3.下列各式从左到右的变形中，正确的是( )
D
分式的运算
1.分式的乘除
3.分式的加减
4.分式的混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．
注：运算结果应化为最简分式或整式．
4.计算：
2
整数指数幂
整数指数幂的运算性质(m，n是整数，a，b≠0)：
(1)am·an＝am＋n；(2)(am)n＝amn；
(3)(ab)n＝anbn；(4)am÷an＝am－n；
6.计算：
(1)(－1)0＋2－3＝__________；
(2)a－4·2a－2＝__________；
(3)x3÷x－6＝__________；
(4)3a－2b2·(a2b－2)－3＝__________．
x9
科学记数法表示较小的数
绝对值小于1的数用科学记数法表示为a×10－n的形式，其中1≤|a|＜10，n是正整数．
7.用科学记数法表示下列各数：
(1)－0.000 002＝______________；
(2)0.007 02＝______________．
－2×10－6
7.02×10－3
解分式方程
解分式方程的一般步骤：
①去分母，将分式方程转化为整式方程；
②解整式方程；
③检验该整式方程的解是否为分式方程的解．
解：方程两边乘3(x＋2)，
得3x＝2x＋3(x＋2).解得x＝－3.
检验：当x＝－3时，3(x＋2)≠0.
所以，原分式方程的解为x＝－3.
分式方程的应用
常见的等量关系：
9.甲、乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做4个，甲做100个所用的时间与乙做80个所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，则可列方程为( )
B
基础练习
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
C
3．下列分式中是最简分式的是( )
4．下列分式的变形中，错误的是( )
C
C
6.(1)已知碘原子的半径约为0.000 000 013 3 cm，将数字0.000 000 013 3用科学记数法表示为______________；
(2)某种细胞的直径是5.2×10－4毫米，写成小数是_________毫米．
4
1.33×10－8
0.000 52
－1
9.解分式方程：
解：(1)方程两边乘y－3，得y－2＝2(y－3)＋3.解得y＝1.
检验：当y＝1时，y－3≠0.
所以，原分式方程的解为y＝1.
(2)方程两边乘(x＋1)(x－1)，得x(x－1)－(x＋1)(x－1)＝2.解得x＝－1.
检验：当x＝－1时，(x＋1)(x－1)＝0，
因此x＝－1不是原分式方程的解．
所以，原分式方程无解．
10．(2023岳阳)水碧万物生，岳阳龙虾好．小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪亮名片”．已知翠翠家去年龙虾的总产量是4 800 kg，今年龙虾的总产量是6 000 kg，且去年与今年的养殖面积相同，平均亩产量去年比今年少60 kg，求今年龙虾的平均亩产量．
综合运用
A．3 B．－3 C．1 D．－1
6
D
13．赛龙舟是端午节的主要习俗之一，体现了中国民俗传统与运动精神的完美结合．某次龙舟邀请赛设置了标准龙舟500 m直道竞速赛项目，其中甲、乙两队参加比赛(比赛起点相同)，甲队的速度比乙队快0.5 m/s，结果甲队比乙队提前14 s到达终点．设甲队的速度为x m/s，下列方程正确的是( )
C
A．①
B．②
C．③
D．①或②
图1
B
16.(2023常德)“六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售．若用1 200元购买A型玩具的数量比用1 500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍．
(1)求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？
(2)若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？
解：购买A型玩具m个，则购进B型玩具(75－m)个．
根据题意，得(12－10)m＋(20－15)(75－m)≥300.
解得m≤25.
答：A型玩具最多购进25个．
全国视野
A．y2＋5y＋5＝0 B．y2－5y＋5＝0
C．y2＋5y＋1＝0 D．y2－5y＋1＝0
D
D
20．(2023朝阳)某化工厂为了给员工创建安全的工作环境，采用A，B两种机器人来搬运化工原料．其中A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运1 500千克所用时间与B型机器人搬运1 000 千克所用时间相等．
(1)求A，B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料；
(2)若每台A型、B型机器人的价格分别为5万元和3万元，该化工厂需要购进A，B两种机器人共12台，工厂现有资金45万元，则最多可购进A型机器人多少台？
