(共5张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第二十二章 二次函数
微专题 二次函数综合(线段相等或比例问题)
1.已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C.
(1)求该二次函数的解析式；
解：将A(－1，0)，B(3，0)分别代入y＝－x2＋bx＋c，
∴该二次函数的解析式为y＝－x2＋2x＋3.
(2)点E(t，0)为x轴上一点，若AE＝CE，求t的值．
解：令x＝0，则y＝3.∴C(0，3).
又E(t，0)，A(－1，0)，
2．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋bx－3的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为E.点D在二次函数的图象上，CD∥x轴，CD＝2.
(1)求这条抛物线的解析式及顶点E的坐标；
图1
解：在y＝x2＋bx－3中，令x＝0，则y＝－3，
即点C的坐标为(0，－3)，
∵CD∥x轴，CD＝2，∴点D的坐标为(2，－3).
将D(2，－3)代入y＝x2＋bx－3，得4＋2b－3＝－3.
∴b＝－2.∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4.
∴顶点E的坐标为(1，－4).
(2)点Q是二次函数图象上一点，过点Q向抛物线的对称轴作垂线，垂足为H，若HE＝3HQ，求点Q的坐标．
图1
解：由题意可设点Q(x，x2－2x－3).
∵抛物线的对称轴为x＝1，E(1，－4)，
∴HE＝x2－2x－3＋4，HQ＝|x－1|.
∵HE＝3HQ，∴x2－2x－3＋4＝3|x－1|.
∴x2－5x＋4＝0或x2＋x－2＝0.
解得x1＝1，x2＝4或x1＝1，x2＝－2.
当x＝1时，不符合题意，舍去．∴x＝4或x＝－2.
∴点Q的坐标为(－2，5)，(4，5).(共16张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第二十二章 二次函数
第6课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质(一)
知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系；会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值．
课标要求
课堂检测
衔接回顾
课堂讲练
衔接回顾
1.完全平方公式：a2±2ab＋b2＝____________.
2．填空：(1)x2＋2x＋________＝(x＋________)2；
(2)－x2＋________x－4＝－(x－________)2；
(3)x2＋7x＋________＝ (x＋________)2 ；
(4)3x2－________x＋12＝3(x－________)2.
(a±b)2
1
1
4
2
12
2
课堂讲练
用配方法将y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x－h)2＋k的形式
类型1 a＝±1，b为偶数
例1 用配方法将二次函数y＝x2－2x－3化为y＝(x－h)2＋k的形式，并写出该函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标．
解：y＝x2－2x－3＝(x2－2x＋1)－4＝(x－1)2－4.
∴该函数图象的开口向上，对称轴为x＝1，顶点坐标为(1，－4).
训练 1.用配方法将y＝－x2－6x化成y＝a(x－h)2＋k的形式，并写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
解：y＝－x2－6x＝－(x＋3)2＋9.
∴该函数图象的开口向下，对称轴为x＝－3，顶点坐标为(－3，9).
类型2 a＝±1，b为奇数
例2 已知抛物线y＝x2＋3x－1.
(1)请用配方法将其化为y＝a(x－h)2＋k的形式：________________；
(2)该抛物线的开口向________，对称轴为x＝________，顶点坐标为______________；
(3)当x＝________时，y有最小值为________．
上
训练 2.用配方法将二次函数y＝－x2＋5x－6化为顶点式，并指出其图象的开口方向、对称轴和最值．
类型3 a≠±1
例3 求抛物线y＝3x2＋6x－3的顶点坐标．
解：y＝3x2＋6x－3
＝3(x2＋2x)－3
＝3(x2＋2x＋1－1)－3
＝3(x＋1)2－6.
∴抛物线的顶点坐标为(－1，－6)
∴当x＝－1时，y有最大值，最大值为－2.
课堂检测
基 础
1．将二次函数y＝x2＋6x－2化成y＝(x－h)2＋k的形式应为( )
A．y＝(x＋3)2＋7 B．y＝(x－3)2＋11
C．y＝(x＋3)2－11 D．y＝(x＋2)2＋4
2．抛物线y＝－2x2－4x＋1的顶点坐标是( )
A．(1，3) B．(1，－3)
C．(－1，－3) D．(－1，3)
C
D
3．对于二次函数y＝3x2－12x＋13的图象，下列说法正确的是( )
A．开口向下 B．对称轴是x＝－2
C．顶点坐标是(2，1) D．函数有最大值
4．将二次函数y＝x2－2x－3的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到二次函数y1的图象，则函数y1的表达式是( )
A．y1＝x2－6 B．y1＝x2－2
C．y1＝x2－4x－2 D．y1＝x2－4x＋2
C
D
5．二次函数y＝x2＋bx＋5配方后为y＝(x－2)2＋k，则b＝_________，k＝__________.
－4
1
6．用配方法将二次函数y＝－2x2＋6x化为顶点式，并写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
综 合
7．已知抛物线y＝ax2－2ax＋b(a＞0)上三个点的坐标分别为A(3，y1)，B(2，y2)，C(－2，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为( )
A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3
C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3
B(共17张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第二十二章 二次函数
第3课时 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
能画二次函数y＝ax2＋k的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系；会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值．
课标要求
课堂检测
衔接回顾
课堂讲练
衔接回顾
1.将直线y＝2x向上平移1个单位长度可得直线y＝__________；向下平移1个单位长度可得直线y＝__________；向左平移1个单位长度可得直线y＝__________；向右平移1个单位长度可得直线y＝__________.
2x＋1
2x－1
2(x＋1)
2(x－1)
课堂讲练
二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
例1 先填表，然后在图1的平面直角坐标系中画出下列函数的图象：
图1
x … －2 －1 0 1 2 …
y＝x2 … …
y＝x2＋1 … …
y＝x2－1 … …
4
1
0
1
4
5
2
1
2
5
3
0
0
3
－1
答图1
观察图象填空：
开口方向 对称轴 顶点坐标
y＝x2
y＝x2＋1
y＝x2－1
向上
答图1
向上
向上
y轴
y轴
y轴
(0，0)
(0，0)
(0，0)
思考：
(1)抛物线y＝x2向______平移______个单位长度可得到抛物线y＝x2＋1；向______平移______个单位长度可得到抛物线y＝x2－1.
(2)对于二次函数y＝x2＋1，当x＝______时，y取最______值为______．
上
答图1
1
下
1
0
小
1
训练 1.先填表，然后在图2的平面直角坐标系中画出下列函数的图象：
图2
x … －2 －1 0 1 2 …
y＝－x2 … …
y＝－x2＋1 … …
y＝－x2－1 … …
－4
－4
－1
－1
0
－3
－3
0
0
1
－5
－5
－2
－2
－1
答图2
观察图象填空：
开口方向 对称轴 顶点坐标
y＝－x2
y＝－x2＋1
y＝－x2－1
答图2
向下
向下
向下
y轴
y轴
y轴
(0，0)
(0，0)
(0，0)
思考：
(1)抛物线y＝－x2向______平移______个单位长度可得到抛物线y＝－x2＋1；向______平移______个单位长度可得到抛物线y＝－x2－1．
(2)对于二次函数y＝－x2－1，当x＝______时，y取最______值为______．
答图2
上
1
下
1
0
大
－1
1.二次函数y＝ax2＋k的图象与性质
y＝ax2＋k 开口 方向 对称轴 顶点 坐标 最值 增减性
a>0 开口向 ______ y轴 (0，k) 当x＝______时，y有最______值为______． 当x>0时，y随x的增大而________；
当x<0时，y随x的增大而________．
当x＝______时，y有最______值为______． 当x>0时，y随x的增大而________；
当x<0时，y随x的增大而_______．
a<0 开口向______
上
0
小
k
增大
减小
下
0
大
k
减小
增大
课堂检测
基 础
1．抛物线y＝3x2－2的顶点坐标是( )
A．(－2，0) B．(2，0) C．(0，2) D．(0，－2)
(1)开口方向：__________； (2)对称轴为__________；
(3)顶点坐标为__________；
(4)当x>0时，y随x的增大而__________；
(5)当x＝__________时，y有最__________值为__________．
D
向下
y轴
(0，－3)
减小
0
大
－3
3．(1)将抛物线y＝－3x2向上平移4个单位长度，得到抛物线______________；
(2)将抛物线y＝－3x2向下平移4个单位长度，得到抛物线______________.
4．已知二次函数y＝－x2－3，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是__________.
y＝－3x2＋4
y＝－3x2－4
x＞0
5．已知二次函数y＝ax2＋k(a≠0)的图象经过点A(1，－2)和点B(2，3).
(1)求该函数的解析式；
(2)若点C(－2，m)，D(n，－2)也在该函数的图象上，且不与点A，B重合，则m＝__________，n＝__________．
3
－1
综 合
6．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋b的大致图象为( )
B(共6张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第二十二章 二次函数
教材母题探源
1．(教材改编·人教九上P42)经测试，某汽车速度为60 km/h时开始刹车，刹车行驶的距离s(单位：m)关于行驶的时间t(单位：s)的函数解析式是s＝15t－5t2，则该汽车开始刹车到汽车停止所需的时间是__________s.
1.5
2．(教材改编·人教九上P47)已知二次函数y＝x2－2x－3.
(1)在图1所示的平面直角坐标系中画出函数的大致图象；
图1
(2)抛物线的顶点坐标是__________；
(3)方程x2－2x－3＝0的解是_____________；
(4)当______________时，函数值y＞0，当__________时，函数值y＜0.
解：（1）图象如答图1所示．
答图1
(1，－4)
x1＝－1，x2＝3
x＜－1或x＞3
－1＜x＜3
3．(教材改编·北师九下P46)某建筑物的窗户如图2所示，它的上半部分是由4个全等扇形组成的半圆，下半部分是矩形，已知制造窗框的材料总长(图2中所有黑线的长度和)为6 m．(π取3)
(1)若设扇形半径为x，请用含x的代数式表示出AB的长，并求出x的取值范围．
图2
解：根据题意，得2AB＋7x＋πx＝2AB＋10x＝6.
整理，得AB＝3－5x.
(2)当x为何值时，窗户透光面积最大，最大面积为多少？(窗框厚度不予考虑)
图2
4．(人教九上P52)某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．房价定为多少时，宾馆利润最大？
解：设房价增加x元时，利润为w元．
即房价定为350元时，宾馆利润最大．(共15张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第二十二章 二次函数
第9课时 二次函数与一元二次方程(二)
课堂检测
课堂讲练
课堂讲练
估计一元二次方程的根
例1 下表是一组二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数值y的对应值，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个解的范围可能是( )
A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y －0.03 －0.01 0.02 0.04
C
训练 1.如图1，点A，B在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上，则方程ax2＋bx＋c＝0解的一个近似值可能是( )
图1
A．2.18 B．2.68 C．－0.51 D．2.45
D
二次函数与不等式
例2 二次函数y＝x2－2x－3的图象如图2所示．
(1)该二次函数图象的对称轴为__________；
(2)当________________时，y>0；
(3)当______________时，x2－2x－3<0.
图2
x＝1
x<－1或x>3
－1训练 2.图3是抛物线y＝ax2＋bx＋c的部分图象，已知抛物线经过点(5，0)，对称轴为x＝2．
(1)抛物线与x轴的另一交点坐标为__________；
(2)当______________时，y>0；
(3)当______________时，ax2＋bx＋c<0.
图3
(－1，0)
－1x<－1或x>5
例3 如图4，某二次函数y1＝ax2＋bx＋c的图象与直线y2＝kx＋m(k≠0)相交于点M(－1，4)，N(2，1).
(1)当x＝________________时，y1＝y2；
(2)当____________时，y1(3)当__________________时，ax2＋bx＋c>kx＋m.
图4
－1或2
－1x<－1或x>2
训练 3.如图5，抛物线y1＝ax2＋bx＋c与直线y2＝kx＋m(k≠0)相交于点A(0，3)，B(4，1).
(1)当x＝___________时，y1＝y2；
(2)当_____________时，y1(3)当_____________时，ax2＋bx＋c≥kx＋m.
图5
0或4
x<0或x>4
0≤x≤4
通过数形结合解决与二次函数有关的不等式问题
抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1＜x2)
a＞0 a＜0
y＞0 x＜x1或x＞x2 x1＜x＜x2
y＝0 x＝x1或x＝x2 x＝x1或x＝x2
y＜0 x1＜x＜x2 x＜x1或x＞x2
抛物线y1＝ax2＋bx＋c与直线y2＝kx＋t的交点(xm，ym)，(xn，yn)(xma＞0 a＜0
y1＞y2 x＜xm或 x＞xn xm＜x＜xn
y1＝y2 x＝xm或 x＝xn x＝xm或 x＝xn
y1＜y2 xm＜x＜xn x＜xm或 x＞xn
1.对于抛物线y＝ax2＋bx＋c：①y＝0，是指函数图象与x轴交点处的位置；②y>0，是指函数图象在x轴上方的部分；③y<0，是指函数图象在x轴下方的部分．
2.对于函数y1，y2：①y1＝y2，是指y1与y2图象相交的部分；②y1>y2，是指y1图象在y2图象上方的部分；③y1课堂检测
1．已知抛物线y＝－3x2＋bx＋c经过A(0，2)，B(4，2)两点，则关于x的不等式－3x2＋bx＋c＜2的解集是_______________．
图6
2．小颖在探索关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根时，用计算机作出了如图6所示的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，它的对称轴为x＝－1，并求得方程的一个近似根为x＝－4.3，则方程的另一个近似根为__________．
x＞4或x＜0
x＝2.3
3．如图7，直线y1＝－x＋m与抛物线y2＝ax2＋bx－3相交于A(－1，0)，B(2，－3)两点．
(1)求m的值和抛物线的解析式；
图7
解：∵直线y1＝－x＋m过点A(－1，0)，
∴1＋m＝0.解得m＝－1.
∵抛物线y2＝ax2＋bx－3过点A(－1，0)，B(2，－3)，
∴抛物线的解析式为y2＝x2－2x－3.
(2)当－x＋m>ax2＋bx－3时，自变量x的取值范围是__________．
－1＜x＜2
图7(共10张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第二十二章 二次函数
微专题 二次函数综合(特殊图形的存在性问题)
情况一 特殊三角形的存在性
1．如图1，点C为抛物线y＝x2＋2x＋1的顶点，直线y＝－x＋m与该抛物线交于A(－3，4)，B两点(点B在y轴上)，与抛物线的对称轴交于点D.
(1)填空：m的值为__________，点C的坐标为__________.
图1
1
(－1，0)
(2)连接AC，BC，求S△ABC.
图1
解：由(1)知，直线AB的解析式为y＝－x＋1，C(－1，0)，抛物线的对称轴为x＝－1.
∵直线y＝－x＋1与抛物线的对称轴交于点D，
∴yD＝－1×(－1)＋1＝2.∴D(－1，2).
(3)在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
解：存在．
如答图1，过点A作AE⊥CD于点E.
答图1
①当AQ＝CQ时，设CQ＝m.
在Rt△AEQ中，AE2＋EQ2＝AQ2，
②当AC＝AQ时，根据等腰三角形三线合一，
得CE＝QE＝4.
∴CQ＝2CE＝8.∴Q2(－1，8).
答图1
情况二 特殊四边形的存在性
2．如图2，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2－4x＋c与x轴交于点A(－5，0)，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.
(1)求点C的坐标．
图2
解：将A(－5，0)代入y＝－x2－4x＋c，
得0＝－52＋4×5＋c.解得c＝5.
∴抛物线的解析式为y＝－x2－4x＋5.
令x＝0，则y＝5.
∴点C的坐标为(0，5).
(2)若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在一点M，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
图2
解：存在．
∵y＝－x2－4x＋5＝－(x＋2)2＋9，
∴抛物线的对称轴为x＝－2.
设N(－2，n)，M(m，－m2－4m＋5).
以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，分以下三种情况：
①当AM为对角线时．
图2
当m＝3时，－m2－4m＋5＝－16.
∴M1(3，－16).
②当AN为对角线时．
图2
当m＝－7时，－m2－4m＋5＝－16.
∴M2(－7，－16).
③当AC为对角线时．
图2
当m＝－3时，－m2－4m＋5＝8.
∴M3(－3，8).
综上，点M的坐标为(3，－16)或(－7，－16)或(－3，8).(共17张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第二十二章 二次函数
第5课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
能画二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系；会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值．
课标要求
课堂检测
衔接回顾
课堂讲练
衔接回顾
1.抛物线y＝ax2向左平移2个单位长度后得到的抛物线的表达式为_______________，再向下平移3个单位长度后得到抛物线的表达式为_______________.
y＝a(x＋2)2
y＝a(x＋2)2－3
课堂讲练
二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
例1 先填表，然后在图1的平面直角坐标系中画出下列函数的图象：
图1
x … －3 －2 －1 0 1 …
y＝(x＋1)2 … …
y＝(x＋1)2－2 … …
4
1
0
1
4
2
－1
－2
－1
2
答图1
观察图象填空：
y＝(x＋1)2 y＝(x＋1)2－2
开口方向
顶点坐标
对称轴
答图1
向上
向上
(－1，0)
(－1，－2)
x＝－1
x＝－1
思考：(1)抛物线y＝(x＋1)2向______平移______个单位长度，得到抛物线y＝(x＋1)2－2．
抛物线y＝x2先向左平移______个单位长度，再向下平移______个单位长度，得到抛物线y＝(x＋1)2－2.
(2)对于y＝(x＋1)2－2，当x＝______时，y有最______值为______；
当x________时，y随x的增大而增大；
当x________时，y随x的增大而减小．
答图1
下
2
1
2
－1
小
－2
＞－1
＜－1
训练 1.先填表，然后在图2的平面直角坐标系中画出下列函数的图象：
x … －2 －1 0 1 2 3 …
y＝－x2＋1 … …
y＝－(x－1)2＋1 … …
图2
－3
0
1
0
－3
－8
－8
－3
0
1
0
－3
答图2
观察图象填空：
y＝－x2＋1 y＝－(x－1)2＋1
开口方向
顶点坐标
对称轴
答图2
向下
向下
(0，1)
(1，1)
y轴
x＝1
思考：(1)抛物线y＝－x2＋1向______平移______个单位长度，得到抛物线y＝－(x－1)2＋1．
抛物线y＝－x2先向上平移______个单位长度，再向右平移______个单位长度，得到抛物线y＝－(x－1)2＋1.
(2)对于y＝－(x－1)2＋1，当x＝______时，y有最______值为______；
当x________时，y随x的增大而增大；
当x________时，y随x的增大而减小．
答图2
右
1
1
1
1
大
1
＜1
＞1
1.二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
y＝a(x－h)2＋k 开口 方向 对称轴 顶点 坐标 最值 增减性
a>0 开口向 _____ x＝h (h，k) 当x＝______时，y有最______值为______． 当x>h时，y随x的增大而________；
当xa<0 开口向 ______ 当x＝______时，y有最______值为______． 当x>h时，y随x的增大而________；
当x上
h
小
k
增大
减小
下
h
大
k
减小
增大
注：由二次函数y＝a(x－h)2＋k可知其图象的顶点为(h，k)，我们称y＝a(x－h)2＋k为二次函数的顶点式．
h决定左右平移方向 h>0 向右平移 简记：左加右减，上加下减
h<0 向左平移
k决定上下平移方向 k>0 向上平移
k<0 向下平移
课堂检测
1．抛物线y＝(x－1)2－3的对称轴是( )
A．x＝1 B．y轴
C．x＝－1 D．x＝－2
2．已知二次函数y＝－(x－2)2＋1，下列说法错误的是( )
A．图象开口向下
B．顶点坐标为(2，1)
C．当x＞2时，y随x的增大而增大
D．二次函数有最大值
A
C
3．二次函数y＝2(x＋2)2－1的图象是( )
C
4．(1)把二次函数y＝2x2的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为__________________．
(2)将函数y＝－2x2＋5的图象先向________平移________个单位长度，再向________平移________个单位长度，所得到的图象的解析式为y＝－2(x－1)2＋3.
y＝2(x＋1)2－2
右
1
下
2
5．若点A(3，y1)，B(4，y2)在抛物线y＝(x－2)2＋3上，则y1，y2的大小关系是____________.(用“<”号连接)
6．已知二次函数y＝(x－1)2－1.
(1)当x＝__________时，y有最__________值__________；
(2)当2≤x≤5时，y的最小值为__________；
(3)当－2≤x≤2时，y的最小值为__________，最大值为__________.
y1＜y2
1
小
－1
0
－1
8(共17张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第二十二章 二次函数
第1课时 二次函数
通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义．
课标要求
课堂检测
知识导学
课堂讲练
知识导学
一般地，形如__________________(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．其中，x是自变量，a，b，c分别是二次函数解析式的______________、______________和______________．
y＝ax2＋bx＋c
二次项系数
一次项系数
常数项
课堂讲练
二次函数的概念
例1 判断下列函数是否为二次函数，若是，请在括号内打“√”；若不是，打“×”．
(1)y＝1－4x2；( )
(2)y＝x3＋2x；( )
√
×
×
√
×
训练 1.下列函数一定是二次函数的是( )
D
判断一个函数是否为二次函数，首先要把它化为最简形式，然后再判断其是否同时满足：
①等号右边是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不为0.
训练 2.二次函数y＝－3(x－1)2＋3化为y＝ax2＋bx＋c的形式为__________________，其二次项系数是__________，一次项系数是__________，常数项是__________.
2
y＝－3x2＋6x
－3
6
0
例3 (1)若函数y＝x2m－1＋x－3是二次函数，则m的值为__________；
(2)若关于x的函数y＝(2－a)x2－3x＋4是二次函数，则a的取值范围是__________．
训练 3.【易错点】已知y＝(m＋2)x|m|＋2是关于x的二次函数，那么m的值为( )
A.－2 B．2
C.±2 D．0
a≠2
B
列二次函数关系式
例4 (教材改编·人教九上P28)正方体的表面积S(单位：cm2)与正方体的棱长a(单位：cm)之间的函数关系式为______________，自变量a的取值范围为__________．
训练 4.将一根长为50 cm的铁丝弯成一个矩形(铁丝全部用完且无损耗)．设这个矩形的一边长为x(单位：cm)，它的面积为y(单位：cm2)，则y与x之间的函数关系式为_______________.
S＝6a2
a>0
y＝－x2＋25x
课堂检测
基 础
1．下列函数是二次函数的是( )
2．已知二次函数y＝1－3x＋5x2，则其二次项系数a，一次项系数b，常数项c分别是( )
A．a＝1，b＝－3，c＝5 B．a＝1，b＝3，c＝5
C．a＝5，b＝3，c＝1 D．a＝5，b＝－3，c＝1
D
D
3．下列具有二次函数关系的是( )
A．正方形的周长y与边长x
B．速度一定时，路程s与时间t
C．正方形的面积y与边长x
D．三角形的高一定时，面积y与底边长x
C
4．某种药品的售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．若每次降价的百分率都是x，则两次降价后每盒的价格y(单位：元)与每次降价的百分率x之间的函数关系式是( )
A．y＝300(1－x) B．y＝300(1－x)2
C．y＝300(1＋x) D．y＝300(1＋x)2
B
5．已知二次函数y＝x2＋4x－3，当x＝－1时，y的值是__________，当y＝－3时，x的值是__________.
6．某校组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间进行一场比赛)，那么比赛的总场数y与参加的球队数n之间的函数关系式是________________．
7．已知关于x的函数y＝(m＋1)xm2＋1＋5是二次函数，则m＝__________.
－6
0或－4
1
综 合
8．(教材改编·人教九上P29)如图1，矩形绿地的长、宽各增加x m.
(1)写出扩充后的绿地的面积y(单位：m2)与x之间的关系式；
图1
解：由题意知，扩充后的绿地的长为(30＋x)m，宽为(20＋x)m.
∴扩充后的绿地的面积y＝(30＋x)(20＋x)＝x2＋50x＋600.
∴y与x之间的关系式为y＝x2＋50x＋600.
(2)要使扩充后的绿地的面积为875 m2，x的值应为多少？
图1
解：由题意，得x2＋50x＋600＝875.
解得x1＝5，x2＝－55(舍去)．
答：要使扩充后的绿地的面积为875 m2，x的值应为5.(共17张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第二十二章 二次函数
第7课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质(二)
课堂检测
知识导学
课堂讲练
知识导学
a>0 a<0
开口 方向 向上 向下
顶点 坐标 （______________，_______________）
对称轴 x＝__________
a>0 a<0
增 减 性 当x__________时，y随x的增大而增大； 当x__________时，y随x的增大而减小． 当x__________时，y随x的增大而增大；
当x__________时，y随x的增大而减小．
最值
课堂讲练
利用公式求抛物线的对称轴及顶点坐标
例1 利用公式求抛物线y＝2x2－12x的对称轴及顶点坐标．
解：∵a＝2，b＝－12，c＝0，
训练 1.利用公式求抛物线y＝－3x2＋6x＋4的对称轴及顶点坐标．
解：∵a＝－3，b＝6，c＝4，
∴该抛物线的对称轴是x＝1，顶点坐标是(1，7).
∴该抛物线的对称轴是x＝2，顶点坐标是(2，－4).
∴该抛物线的对称轴为x＝－2，顶点坐标为(－2，5).
利用顶点坐标公式求参数值
例3 已知抛物线y＝2x2－tx＋3的对称轴是x＝1，求t的值及顶点坐标．
解：a＝2，b＝－t，c＝3.
∴该抛物线的解析式为y＝2x2－4x＋3.
当x＝1时，y＝2－4＋3＝1.
∴该抛物线的顶点坐标为(1，1).
训练 3.已知抛物线y＝mx2－(m＋2)x的对称轴是x＝1，求m的值及该抛物线的函数解析式．
解：a＝m，b＝－(m＋2)，c＝0.
经检验，符合题意．
∴该抛物线的函数解析式为y＝2x2－4x.
课堂检测
基 础
1．抛物线y＝－x2＋2x的对称轴是( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
2．二次函数y＝x2＋2x－1的最小值为( )
A．0 B．－1
C．－2 D．－3
A
C
3．已知抛物线y＝x2－8x＋c的顶点在x轴上，则c的值为( )
A．16 B．－4
C．4 D．8
4．已知二次函数y＝x2＋(2m＋1)x＋m2－1的最小值为0，则m的值为__________.
A
5．利用顶点坐标公式，求出抛物线y＝2x2＋4x－6的开口方向、对称轴和顶点坐标．
解：∵a＝2，b＝4，c＝－6，
∴该抛物线的开口向上，对称轴为x＝－1，顶点坐标为(－1，－8).
综 合
6．如图1，二次函数y＝(x－1)(x－m)(m为常数)的图象的对称轴为x＝3.
(1)求m的值．
图1
解：y＝(x－1)(x－m)＝x2－(1＋m)x＋m，
a＝1，b＝－(1＋m)，c＝m.
∴m＝5.
(2)将该二次函数的图象向下平移n个单位长度后，其恰好经过原点，求n的值及平移后图象所对应的二次函数的解析式．
图1
解：∵m＝5，
∴二次函数的解析式为y＝x2－6x＋5.
∵平移后的二次函数的图象经过原点，
∴平移后的二次函数的解析式为y＝x2－6x.
∴n的值为5.(共17张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第二十二章 二次函数
第2课时 二次函数y＝ax2的图象和性质
能画二次函数y＝ax2的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系；会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值．
课标要求
课堂检测
衔接回顾
课堂讲练
衔接回顾
1.填表，并在图1的平面直角坐标系中画出一次函数y＝x＋2的图象．
(1)列表：
图1
x －1 0
y＝x＋2
(2)描点、连线：
1
2
答图1
解：描点，连线如答图1所示．
课堂讲练
二次函数y＝ax2的图象和性质
例1 先填表，然后在图2的平面直角坐标系中画出下列函数的图象：
4
1
0
1
4
2
0
2
8
2
0
2
8
观察图象填空：
图2
答图2
向上
向上
向上
y轴
y轴
y轴
(0，0)
(0，0)
(0，0)
思考：(1)顶点是抛物线的最________点．
(2)a越________，抛物线y＝ax2(a>0)的开口越小．
(3)当x<0时，y随x的增大而________；
当x>0时，y随x的增大而________．
答图2
低
大
减小
增大
训练 1.先填表，然后在图3的平面直角坐标系中画出下列函数的图象：
－2
－1
0
－1
2
－4
0
－2
－8
－2
0
－2
－8
观察图象填空：
图3
答图3
向下
向下
向下
y轴
y轴
y轴
(0，0)
(0，0)
(0，0)
思考：(1)顶点是抛物线的最________点．
(2)a越________，抛物线y＝ax2(a<0)的开口越小．
(3)当x<0时，y随x的增大而________；
当x>0时，y随x的增大而________．
答图3
高
小
增大
减小
y＝ax2 a>0 a<0
图象
开口 开口向________ 开口向________
|a|越大，开口越小
对称轴 y轴
顶点坐标 (0，0)
上
下
最值 当x＝0时，y有最________值为________． 当x＝0时，y有最________值为________．
增减性 当x<0时，y随x的增大而________； 当x>0时，y随x的增大而________． 当x<0时，y随x的增大而________；
当x>0时，y随x的增大而________．
小
0
0
大
减小
增大
增大
减小
课堂检测
基 础
(1)开口向__________；
(2)对称轴为__________；
(3)顶点坐标为__________；
(4)当x__________时，y随x的增大而增大；
(5)当x＝__________时，y有最__________值为__________．
2．已知二次函数y＝(a－1)x2的图象开口向上，则a的取值范围是__________.
下
y轴
(0，0)
<0
0
大
0
a＞1
3．若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y＝4x2上，且x1＞x2＞0，则y1与y2的大小关系为______________．(用“>”号连接)
y1>y2
A
0≤y≤18
综 合
6．如图4，已知抛物线y＝ax2经过点A(－2，8).
(1)求a的值；
图4
解：将A(－2，8)代入y＝ax2，
得a×(－2)2＝8.
解得a＝2.
(2)过点A作AB∥x轴交抛物线于另一点B，求点B的坐标及△AOB的面积．
图4
解：由抛物线y＝2x2的性质可知，点A，B关于y轴对称，
∴点B的坐标为(2，8).∴AB＝2－(－2)＝4.(共17张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第二十二章 二次函数
微专题 求二次函数的解析式
综合练习
类型 已知解析式中的其中一项系数＋图象上两点的坐标? 一般式
1．已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(1，－4)和(－1，2)，求该抛物线的解析式．
解：把点(1，－4)和(－1，2)代入y＝x2＋bx＋c，
∴该抛物线的解析式为y＝x2－3x－2.
变式 已知抛物线y＝ax2＋bx经过点A(4，0)，B(2，2)，求a，b的值．
解：将A(4，0)，B(2，2)代入y＝ax2＋bx，
类型 已知顶点的坐标＋图象上另一点的坐标? 顶点式
2．已知某二次函数的图象的顶点为(－2，2)，且过点(－1，3)，求该二次函数的解析式．
解：由函数图象的顶点为(－2，2)，可设该二次函数的解析式为y＝a(x＋2)2＋2.
将点(－1，3)代入，得a×(－1＋2)2＋2＝3.解得a＝1.
∴该二次函数的解析式为y＝(x＋2)2＋2＝x2＋4x＋6.
变式 已知某二次函数的图象如图1所示，求该二次函数的解析式．
图1
解：由图象可知，该二次函数图象的顶点坐标为
(1，－4)，且过点(0，－3).
设该二次函数的解析式为y＝a(x－1)2－4.
把点(0，－3)代入，得a×(0－1)2－4＝－3.
解得a＝1.
∴该二次函数的解析式为y＝(x－1)2－4＝x2－2x－3.
类型 已知与x轴的两交点坐标＋图象上另一点的坐标 ?交点式
3．已知抛物线与x轴交于M(1，0)，N(－3，0)两点，且经过点D(2，－5)，求该抛物线的解析式．
解：由题意，可设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x＋3).
将D(2，－5)代入，得a×(2－1)×(2＋3)＝－5.
解得a＝－1.
∴该抛物线的解析式为y＝－(x－1)(x＋3)＝－x2－2x＋3.
综合练习
1．如果某抛物线的形状和开口方向与抛物线y＝－2x2＋2相同，且该抛物线的顶点坐标是(5，－1)，那么它的解析式是( )
A．y＝2(x－5)2－1
B．y＝－2(x－5)2－1
C．y＝－2(x－5)2＋1
D．y＝－2(x＋5)2－1
B
2．如图2所示的抛物线是二次函数y＝ax2＋5x＋4－a2的图象，则a的值是( )
图2
B
3．已知抛物线y＝ax2＋bx的顶点坐标为(3，3)，则该抛物线的解析式为( )
B
4．在平面直角坐标系xOy中，某二次函数的图象上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
则这个二次函数的表达式为_______________．
x … 0 1 2 …
y … 0 1 0 …
y＝－x2＋2x
5．已知某二次函数的图象经过(1，0)，(2，－2)，(0，4)三点，求这个二次函数的解析式．
解：解法一：∵函数图象经过点(0，4)，
∴可设该二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋4.
将点(1，0)，(2，－2)代入，
∴这个二次函数的解析式为y＝x2－5x＋4.
解法二：设该二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c.
将点(1，0)，(2，－2)，(0，4)代入，
∴这个二次函数的解析式为y＝x2－5x＋4.
6．如图3，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx－3与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，且OB＝OC＝3OA，求该抛物线的解析式．
图3
解：当x＝0时，y＝－3.∴C(0，－3).
∴OC＝3.∴OB＝3，OA＝1.∴B(3，0)，A(－1，0).
将B(3，0)，A(－1，0)代入y＝ax2＋bx－3，
∴该抛物线的解析式是y＝x2－2x－3.
7．如图4，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x与二次函数y＝－x2＋bx(b为常数)的图象相交于O，A两点，点A的坐标为(3，m)．
(1)求m的值以及二次函数的表达式；
图4
解：把点A(3，m)代入一次函数y＝x，得m＝3.
∴A(3，3).
把点A(3，3)代入二次函数y＝－x2＋bx，
得3＝－9＋3b.
解得b＝4.
∴二次函数的表达式为y＝－x2＋4x.
(2)若点P为抛物线的顶点，连接OP，AP，求△POA的面积．
图4
答图1
解：如答图1，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交OA于点D，过点A作AE⊥PC，垂足为E.
∵y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，
∴顶点P的坐标为(2，4).
把x＝2代入y＝x，得y＝2.
∴D(2，2).∴PD＝4－2＝2.(共7张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第二十二章 二次函数
核心素养专练
1．【数形结合】图1是二次函数y＝－x2＋bx＋c的部分图象，若一元二次方程－x2＋bx＋c＝m有两个不相等的正根，则m的取值范围是( )
A．0＜m＜4
B．5＜m＜9
C．m≥9
D．－1＜m＜5
图1
B
3．【跨学科】如图2，一钢球从斜面顶端A静止滚下，斜面与水平面的夹角∠ABD为30°，斜面顶端到水平线的距离AD为4 dm.钢球在斜面上滚动的路程S1是滚动时间t的二次函数，部分对应值如下表，钢球在斜面上滚动的速度v(单位：dm/s)是时间t(单位：s)的正比例函数，函数图象如图3所示．
t/s 0 0.5 1 1.5 …
S1/dm 0 0.5 2 4.5 …
图2
图3
(1)求S1关于t的函数表达式．
图2
图3
解：由题意知二次函数的图象过点(0，0).
设S1关于t的函数表达式为S1＝at2＋bt.
∴S1关于t的函数表达式为S1＝2t2.
(2)求斜面AB的长度，以及钢球滑至底端B的速度．
图2
图3
解：由题意知AB＝2AD＝8 dm.
设v＝kt.将(1，4)代入，得4＝k.
∴v＝4t.
将S1＝8代入S1＝2t2，得8＝2t2.
解得t＝2或t＝－2(不合题意，舍去)．
当t＝2时，v＝4t＝8.
∴斜面AB的长度为8 dm，钢球滑至底端B的速度为8 dm/s.
(3)钢球滚动至有阻力的水平面BC上时，滚动路程S(单位：dm)与时间T(单位：s)的关系式为S＝－4T2＋v0T，v0是钢球在点B的速度，T是从B开始滚动的时间．求钢球在水平面上滚动的最远距离．
图2
图3
解：由题意知S＝－4T2＋8T＝－4(T－1)2＋4.
∵－4＜0，
∴当T＝1时，S有最大值，最大值为4.
∴钢球在水平面上滚动的最远距离为4 dm.(共15张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第二十二章 二次函数
第4课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质
能画二次函数y＝a(x－h)2的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系；会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值．
课标要求
课堂检测
课堂讲练
课堂讲练
二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质
例1 先填表，然后在图1的平面直角坐标系中画出下列函数的图象：
图1
2
0
0
2
2
0
答图1
2
观察图象填空：
答图1
向上
向上
向上
y轴
x＝－1
x＝1
(0，0)
(－1，0)
(1，0)
答图1
左
1
右
1
＞1
－1
小
0
训练 1.先填表，然后在图2的平面直角坐标系中画出下列函数的图象：
图2
－2
0
－2
0
－2
－2
0
答图2
观察图象填空：
答图2
向下
向下
向下
y轴
x＝－1
x＝1
(0，0)
(－1，0)
(1，0)
答图2
左
1
右
1
＜－1
1
大
0
1.二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质
y＝a(x－h)2 开口方向 对称轴 顶点 坐标 最值 增减性
a>0 开口向 ______ x＝h (h，0) 当x＝______时，y有最______值为______． 当x>h时，y随x的增大而________；
当xa<0 开口向 ______ 当x＝______时，y有最______值为______． 当x>h时，y随x的增大而________；
当x上
h
小
0
增大
减小
下
h
大
0
减小
增大
h决定平移方向 h＞0 向右平移 简记：左加右减
h＜0 向左平移
课堂检测
基 础
1．把抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，所得抛物线的函数表达式为( )
A．y＝x2＋1 B．y＝(x＋1)2
C．y＝x2－1 D．y＝(x－1)2
2．抛物线y＝3(x－5)2的顶点坐标是( )
A．(0，－5) B．(－5，0)
C．(5，0) D．(0，5)
D
C
3．二次函数y＝－2(x＋2)2的图象大致是( )
4．已知抛物线y＝－(x＋1)2上的两点A(－4，y1)和B(－3，y2)，则y1________y2.(填“＞”“＜”或“＝”)
A
<
上
(－3，0)
x＝－3
＜－3
－3
小
0
左
3
综 合
6．【方程思想】如图3，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2向右平移h个单位长度后与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A，B两点．若AB＝3，则点M到直线l的距离为__________.
图3(共13张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第二十二章 二次函数
微专题 二次函数图象与系数的关系
二次函数的图象与系数之间的关系
系数 系数符号 图象特征
a(决定开口方向) a>0 开口向上
a<0 开口向下
a，b(决定对称轴的位置) b＝0 对称轴为y轴
a，b同号 (ab>0) 对称轴在y轴左侧
a，b异号 (ab<0) 对称轴在y轴右侧
c(决定与y轴交点的位置) c＝0 经过原点
c>0 与y轴正半轴相交
c<0 与y轴负半轴相交
几种常见代数式的求解思路
代数式 思路点拨
b2－4ac(决定抛物线与x轴的交点个数) b2－4ac＝0 抛物线与x轴有唯一交点(顶点)
b2－4ac>0 抛物线与x轴有两个交点
b2－4ac<0 抛物线与x轴没有交点
abc 根据抛物线开口方向、对称轴以及与y轴交点的位置进行判断
2a－b或2a＋b 根据抛物线对称轴的位置进行判断
a＋b＋c 当x＝1时，y＝a＋b＋c，对应点(1，a＋b＋c).
a－b＋c 当x＝－1时，y＝a－b＋c，对应点(－1，a－b＋c).
4a＋2b＋c 当x＝2时，y＝4a＋2b＋c，对应点(2，4a＋2b＋c).
4a－2b＋c 当x＝－2时，y＝4a－2b＋c，对应点(－2，4a－2b＋c).
类型 函数图象的判断
1．已知二次函数y＝ax2＋bx－c(a≠0)，其中b＞0，c＞0，则该函数的图象可能为( )
C
2．已知一次函数y＝kx＋b的图象如图1所示，则二次函数y＝kx2＋bx的图象大致是( )
图1
A
3．已知二次函数y＝ax2(a≠0)和一次函数y＝bx＋c(b≠0)的图象如图2所示，则函数y＝ax2＋bx－c的图象可能是( )
图2
D
4．当ab＞0时，二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋b在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )
D
5．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝－ax与二次函数y＝ax2－a的图象可能是( )
D
类型 根据二次函数图象判断系数之间的关系
6．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图3所示，则下列结论正确的是( )
A．abc＞0 B．2a－b＝0
C．b＞a＋c D．b2－4ac＜0
图3
C
A．①③
B．②④
C．③④
D．②③
图4
D
8．如图5，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(－6，0)，B(2，0)两点，下列结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③当x<－2时，y随x的增大而增大；④当y>0时，－6图5
①②
9．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的对称轴是x＝1，其部分图象如图6所示．下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③3a＋c＜0；④c>1.其中正确结论的序号是__________.
图6
②③④
10．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图7所示，其对称轴为x＝－1.下列结论：①b2＞4ac；②ab＞0；③2a－b＋c＞0；④a－b＋c＜0；⑤8a＋c＜0.其中正确结论的序号是__________.
图7
①②④(共20张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第二十二章 二次函数
第12课时 实际问题与二次函数(抛物线形问题)
课堂检测
课堂讲练
课堂讲练
例1 如图1，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，如果不考虑空气阻力，小球的飞行轨迹可近似看作抛物线，其飞行高度y(单位：m)与飞行时间x(单位：s)之间满足函数关系y＝－2x2＋10x.
(1)小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
图1
(2)小球从飞出到落地所用时间是多少？
图1
解：当y＝0时，－2x2＋10x＝0.
解得x1＝0，x2＝5.
∴小球从飞出到落地所用时间是5 s.
图2
∴实心球在飞行过程中的最大飞行高度为3 m.
(2)求该男生与实心球落地点间的水平距离．
图2
解得x1＝10，x2＝－2(负值舍去)．
∴该男生与实心球落地点的水平距离是10 m.
图3
(1)求抛物线的解析式．
图3
解：∵抛物线过点O(0，0)，A(12，0)，
∴设抛物线的解析式为y＝ax(x－12).
(2)足球能否射入球门？请通过计算说明理由．
图3
解：能射入球门．
∵2.25<2.44，∴足球能射入球门．
训练 2.如图4，某广场要修建一个圆形喷水池，在池中央竖直安装一根长2.25 m的水管OA，水管顶端装有喷水头，喷出的抛物线形水柱在与池中心水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m．
(1)求抛物线的解析式；
图4
解：由题意，得抛物线的顶点坐标为(1，3).
∴设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋3.
将(0，2.25)代入，得a＋3＝2.25.解得a＝－0.75.
∴抛物线的解析式为y＝－0.75(x－1)2＋3.
(2)圆形水池的半径至少要修多少米，才能使喷出的水流不落在池外？
图4
解：令y＝0，则0＝－0.75(x－1)2＋3.
解得x1＝－1(舍去)，x2＝3.
∴圆形水池的半径至少要修3米，才能使喷出的水流不落在池外．
例3 图5是一座抛物线形拱桥，当水面的宽度AB为4 m时，拱顶O与水面相距2 m．
(1)请你建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式；
图5
答图1
解：如答图1，以点O为原点，以平行于AB的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．
由题意，得A(－2，－2)，B(2，－2).
设抛物线的解析式为y＝ax2.
(2)由于下雨，水面高度上涨了1 m，求此时水面的宽度．
图5
答图1
训练 3.一辆载有长方体集装箱的货车想通过横截面为抛物线形的隧道，如图6，隧道底部宽AB为4 m，高OC为3.2 m．集装箱与货车的宽都是2.4 m，集装箱顶部距离地面2.1 m．
(1)求抛物线的解析式．
图6
答图2
解：如答图2，以点O为原点，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A(－2，0)，B(2，0)，C(0，3.2).
设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)(x－2).
将C(0，3.2)代入，得3.2＝－4a.解得a＝－0.8.
∴抛物线的解析式为y＝－0.8x2＋3.2.
(2)这辆货车能通过这个隧道吗？请说明理由．
图6
答图2
解：不能．理由如下：
∴这辆货车不能通过这个隧道．
课堂检测
图7
10
图8
图9
(1)建立如图9所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
图9
(2)若在窑洞口的上部要安装一个正方形窗户DEFG，使得点D，E在矩形OABC的边BC上，点F，G在抛物线上，则这个正方形窗户DEFG的边长为多少米？
图9
解：设正方形的边长为2m.
答：这个正方形窗户DEFG的边长为1 m.(共15张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第二十二章 二次函数
第11课时 实际问题与二次函数(销售问题)
课堂检测
课堂讲练
课堂讲练
例1 某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，当每顶头盔的售价为多少时，该商店每月获得的利润最大？最大利润是多少？
解：设每顶头盔降价x元，利润为w元．
由题意，得w＝(80－x－50)(200＋20x)＝－20(x－10)2＋8 000.
∵－20＜0，∴当x＝10时，w取得最大值，此时80－x＝70.
答：当每顶头盔的售价为70元时，该商店每月获得的利润最大，最大利润是8 000元．
训练 1.某商场将进价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查发现：售价在40元至70元范围内(不含40元、70元)，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就减少10个．为了实现每月获得最大的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？最大利润为多少元？
解：设售价为x元，利润为w元．
根据题意，得w＝(x－30)[600－10(x－40)]＝－10(x－65)2＋12 250.
∵－10＜0，40答：这种台灯的售价应定为65元，最大利润为12 250元．
训练 2.(2023鞍山)网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售荔枝．已知该荔枝的成本为6元/kg，销售价格不高于18元/kg，且每售卖1 kg需向网络平台支付2元的相关费用，经过一段时间的直播销售发现，每日销售量y(kg)与销售价格x(元/kg)之间满足如图1所示的一次函数关系．
图1
(1)求y与x的函数解析式；
图1
解：设y与x的函数解析式为y＝kx＋b.
∴y与x的函数解析式为y＝－100x＋3 000.
(2)当每千克荔枝的销售价格定为多少元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为多少元？
图1
解：设当每千克荔枝的销售价格定为x元时，销售这种荔枝日获利为w元．
∵－100＜0，6≤x≤18，∴当x＝18时，w有最大值为12 000.
∴当每千克荔枝的销售价格定为18元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为12 000元．
根据题意，得w＝(x－6－2)(－100x＋3 000)＝－100x2＋3 800x－24 000＝－100(x－19)2＋12 100.
课堂检测
1．某药品的原价为36元，国家决定对该药品价格分两次降价．若设平均每次降价的百分比为x，降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系为( )
A．y＝72(1－x) B．y＝36(1－x)
C．y＝36(1－x2) D．y＝36(1－x)2
D
2．某商场以每件30元的价格购进一种商品，并以不低于进价的价格进行销售，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系m＝162－3x.
(1)求这种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式．
解：由题意，得y＝(x－30)m＝(x－30)(162－3x)＝－3x2＋252x－4 860.
∵m＝162－3x≥0，∴x≤54.
又x≥30，∴30≤x≤54.
∴这种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式为y＝－3x2＋252x－4 860(30≤x≤54).
(2)商场销售这种商品的日销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售单价；如果不能，请说明理由．
解：不能．理由如下：
由(1)，得y＝－3x2＋252x－4 860＝－3(x－42)2＋432.
∵－3<0，30≤x≤54，
∴当x＝42时，y有最大值，最大值为432.
∵500＞432，
∴商场销售这种商品的日销售利润不能达到500元．
3．第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在成都举行，大熊猫是成都最具特色的对外传播标识物，此次成都大运会吉祥物“蓉宝”便是以熊猫基地真实的大熊猫“芝麻”为原型创作的．某商店销售“蓉宝”毛绒玩具，进价为25元．经市场调查发现，销售这种毛绒玩具，每天销量y(件)是每件售价x(元)(30≤x≤45且x为正整数)的一次函数，其部分对应数据如下表：
每件售价x/元 … 36 37 38 …
每天销售量y/件 … 78 76 74 …
(1)求y与x之间的函数关系式；
解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b.
把(36，78)和(37，76)代入y＝kx＋b，
∴y与x之间的函数关系式为y＝－2x＋150(30≤x≤45).
(2)求出每天销售的总利润w(元)与x之间的函数关系式；
解：根据题意，得w＝(x－25)(－2x＋150)＝－2x2＋200x－3 750.
即每天销售的总利润w(元)与x之间的函数关系式为w＝－2x2＋200x－3 750(30≤x≤45).
(3)求该商店每天销售这种毛绒玩具的最大利润．
解：由(2)知w＝－2x2＋200x－3 750＝－2(x－50)2＋1 250.
∵－2＜0，30≤x≤45，
∴当x＝45时，总利润w最大为1 200元．
答：该商店每天销售这种毛绒玩具的最大利润为1 200元．(共13张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第二十二章 二次函数
第10课时 实际问题与二次函数(面积问题)
通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义；会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题．
课标要求
课堂检测
课堂讲练
课堂讲练
例1 如图1，小明用一条长为20 m的绳子围成矩形ABCD，设边AB的长为x m，矩形ABCD的面积为y m2.
(1)求y关于x的函数关系式及x的取值范围；
图1
由题意，得y＝(10－x)x＝－x2＋10x.
∵10－x＞0，x＞0，
∴0＜x＜10.
(2)求矩形ABCD面积的最大值．
图1
解：y＝－x2＋10x＝－(x－5)2＋25.
∵－1＜0，0＜x＜10，
∴当x＝5时，y取得最大值，最大值为25.
∴矩形ABCD面积的最大值为25 m2.
训练 1.(教材改编·人教九上P57)如图2，某农场主计划用一段长为24 m的篱笆靠墙围造矩形花圃(墙的最大可用长度为10 m)，设矩形花圃ABCD的边AB为x m，面积为S m2.
(1)求S与x之间的函数关系式及x的取值范围．
图2
解：由题意，得S＝x(24－2x)＝－2x2＋24x.
∵0＜24－2x≤10，
∴7≤x＜12.
(2)当AB的长为多少时，围成的矩形花圃面积最大？最大面积是多少？
图2
解：S＝－2x2＋24x＝－2(x－6)2＋72.
∵－2＜0，7≤x＜12，
∴当x＝7时，S最大，最大值为－2×(7－6)2＋72＝70.
∴当AB的长为7 m时，围成的矩形花圃面积最大，最大面积是70 m2.
例2 (教材改编·人教九上P41)如图3，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 cm，BC＝24 cm，动点P从点A出发沿边AB以2 cm/s的速度向点B移动，动点Q从点B出发沿边BC以4 cm/s的速度向点C移动，P，Q两点分别从A，B两点同时出发，点P到达点B时，两点同时停止移动．设移动时间为t s．
(1)AP＝________cm，BP＝_________cm，BQ＝________cm.(用含t的代数式表示)
图3
2t
(12－2t)
4t
(2)当t为何值时，△PBQ的面积最大？最大面积为多少？
图3
∵－4＜0，0∴当t＝3时，△PBQ的面积最大，最大面积为36 cm2.
课堂检测
1．某校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，墙的最大可用长度为12 m．另三边用总长为26 m的木板材料围成．车棚形状如图4中的矩形ABCD.为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2 m宽的门．求车棚的最大面积．此时AB与AD的长分别为多少？
图4
解：设垂直于墙面的边AB＝x m，则AD＝(26－2x＋2)m.
∴S＝x(26－2x＋2)＝－2x2＋28x＝－2(x－7)2＋98.
又26－2x＋2≤12，26－2x＞0，
∴8≤x＜13.
∵－2<0，∴当x＝8时，S取最大值为96.
即车棚的最大面积为96 m2，此时AB＝8 m，AD＝12 m.
2．如图5，在一张长10 cm、宽8 cm的矩形硬纸板的四个顶角处各剪去一个同样大小的正方形，再将其折成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)．设剪去正方形的边长为x cm.
(1)要使长方体盒子的底面积为48 cm2，剪去正方形的边长为多少？
图5
解：由题意，得(10－2x)(8－2x)＝48.
整理，得x2－9x＋8＝0.
解得x1＝8(不合题意，舍去)，x2＝1.
∴剪去正方形的边长为1 cm.
(2)设长方体盒子的侧面积为y cm2，求y关于x的函数关系式，并判断长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，请求出最大值和此时剪去正方形的边长；如果没有，请说明理由．
图5
∴y关于x的函数关系式为y＝－8x2＋36x.
3．已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20 cm，AC与MN在同一条直线上，且点A与点N重合．如图6，现将△ABC以2 cm/s的速度沿射线NM运动．当点A与点M重合时，停止运动．则重叠部分的面积y(cm2)与运动时间t(s)之间的函数关系式为___________________________.
图6
y＝2t2－40t＋200(0≤t≤10)(共41张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第二十二章 二次函数
第二十二章 章末复习
全国视野
知识要点&对点训练
综合训练
知识要点&对点训练
知识点1 二次函数的概念
形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的函数叫做二次函数．
1.下列函数是二次函数的是( )
A
知识点2 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质
a＞0 a＜0
开口方向 向上 向下
对称轴
顶点坐标
最值
增减性 在对称轴右侧，y随x增大而增大；在对称轴左侧，y随x增大而减小． 在对称轴右侧，y随x增大而减小；在对称轴左侧，y随x增大而增大．
2.已知抛物线y＝2(x－3)2＋1，下列结论错误的是( )
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴为x＝3
C．抛物线的顶点坐标为(3，1)
D．当x＜3时，y随x的增大而增大
3.二次函数y＝x2－2x＋4的最小值为________．
D
3
知识点3 求抛物线的解析式
1.待定系数法求解析式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c；
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k，其中(h，k)为抛物线的顶点坐标；
(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1，x2为抛物线与x轴交点的横坐标．
2.二次函数的平移：上加下减，左加右减．
4.把抛物线y＝－3x2先向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为( )
A．y＝－3(x＋1)2＋1 B．y＝－3(x＋1)2－1
C．y＝－3(x－1)2＋1 D．y＝－3(x－1)2－1
5.已知二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象经过点(－1，0)，(3，0)，则这个二次函数的解析式为__________________．
B
y＝－x2＋2x＋3
知识点4 二次函数与一元二次方程
注：抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0的根．
抛物线y＝ax2＋bx＋c 方程ax2＋bx＋c＝0
与x轴有两个公共点 Δ＝b2－4ac>0
与x轴有一个公共点 Δ＝b2－4ac＝0
与x轴没有公共点 Δ＝b2－4ac<0
6.抛物线y＝x2－x－2与x轴交点的个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
7.抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－2，0)，B(5，0)，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是____________________.
B
x1＝－2，x2＝5
知识点5 实际问题与二次函数
1.二次函数的最值问题(面积、利润等)；
2.解决抛物线形问题(有时需自主建立二次函数模型)；
3.建立二次函数模型解决实际问题．
50
综合训练
1．抛物线y＝x2－2x－2的对称轴是( )
A．x＝1 B．x＝0
C．x＝－1 D．x＝－2
2．若函数y＝mx(x－1)－x2是关于x的二次函数，则m的取值范围是( )
A．m≠0 B．m≠－1
C．m≠1 D．m≠±1
A
C
C
4．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆．若第二个月的增长率是x，第三个月的增长率是第二个月的两倍，则y与x的函数关系是( )
A．y＝a(1＋x)(1＋2x)
B．y＝a(1＋x)2
C．y＝2a(1＋x)2
D．y＝2x2＋a
A
5．(2023珠海模拟)抛物线y＝x2＋3上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若y1＜y2，则下列结论正确的是( )
A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0
C．|x2|＜|x1| D．|x1|＜|x2|
D
6．(2023中山期末)下表是二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数值y的几组对应值：
那么下列选项中可能是方程ax2＋bx＋c＝0的近似根的是( )
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
x 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
y －0.36 －0.01 0.36 0.75 1.16
B
7．(2023广州期中)函数y＝ax＋1与y＝ax2＋bx＋1(a，b是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
C
8．(2023广东)如图1，抛物线y＝ax2＋c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为( )
A．－1 B．－2 C．－3 D．－4
图1
B
10．(2023云浮期中)二次函数y＝(x－1)2＋m－1的最小值为2，则m的值为__________.
3
11．(2023惠州期末)抛物线y＝－x2＋bx＋c的部分图象如图2所示，若y＞0，则x的取值范围是__________.
图2
－3＜x＜1
12．某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S(m)关于滑行的时间t(s)的函数解析式是S＝－0.25t2＋10t，无人机着陆后滑行__________s才能停下来．
20
13．(2023东莞期中)如图3，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分与x轴的一个交点坐标为(1，0)，对称轴为x＝－1，结合图象给出下列结论：
①abc＞0；②b2＞4ac；③9a－3b＋c＞0；
④a－b≤m(am＋b)(m为任意实数)．
以上正确的结论有__________.(请把正确结论的序号填在横线上)
图3
②④
14．已知点P(m，a)是抛物线y＝a(x－1)2上的点，且点P在第一象限内．
(1)m的值为__________；
2
(2)过点P作PQ∥x轴交抛物线y＝a(x－1)2于点Q，若a＝3，试求点P，Q及原点O围成的三角形的面积．
解：∵a＝3，∴抛物线的解析式为y＝3(x－1)2.
由(1)可知，点P的坐标为(2，3).
∵PQ∥x轴交抛物线y＝a(x－1)2于点Q，
∴点P，Q关于直线x＝1对称．
∴点Q的坐标为(0，3).∴PQ＝2.
15．(2023湛江期末)杭州亚运会吉祥物组合名为“江南忆”，三个吉祥物以机器人作为整体造型，融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因，既有深厚的文化底蕴又充满了时代活力．某商家购进了A，B两种类型的吉祥物纪念品，已知每套A型纪念品的进价比每套B型纪念品多20元，1套A型纪念品与2套B型纪念品共需200元．
(1)求每套A，B两种类型纪念品的进价．
解：设每套A型纪念品的进价为x元，每套B型纪念品的进价为y元．
答：每套A型纪念品的进价为80元，每套B型纪念品的进价为60元．
解：设A型纪念品的销售总利润为w元．
答：当n的值为120时，A型纪念品的销售总利润最大，最大利润是1 200元．
16．(2023惠州期末)如图4，抛物线y＝ax2＋bx－3经过A(－3，0)，B，C(1，0)三点，点B在y轴上．点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与点A，B重合)．
(1)求此抛物线的解析式．
图4
解：把A(－3，0)和C(1，0)代入y＝ax2＋bx－3，
∴此抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3.
(2)过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线AB于点E，动点P在什么位置时，PE最大？求出此时点P的坐标．
图4
解：由①，得抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3.
令x＝0，则y＝－3.∴B(0，－3).
设P(t，t2＋2t－3)，直线AB的解析式为y＝kx＋m.
把A(－3，0)和B(0，－3)代入y＝kx＋m，
∴直线AB的解析式为y＝－x－3.
∵PE⊥x轴，∴E(t，－t－3).
∵点P在直线AB下方，
∵－1<0，－3图4
(3)点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点Q，使以点A，B，Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
图4
解：存在．
∵抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，
∴抛物线的对称轴为x＝－1.
设Q(－1，n).
∵A(－3，0)，B(0，－3)，∴AQ2＝(－1＋3)2＋n2＝4＋n2，AB2＝(－3)2＋32＝18，BQ2＝(－1)2＋(n＋3)2＝n2＋6n＋10.
①当∠QAB＝90°时，AQ2＋AB2＝BQ2，
∴4＋n2＋18＝n2＋6n＋10.
解得n＝2.
∴Q1(－1，2).
②当∠QBA＝90°时，BQ2＋AB2＝AQ2，
∴n2＋6n＋10＋18＝4＋n2.
解得n＝－4.
∴Q2(－1，－4).
图4
③当∠AQB＝90°时，BQ2＋AQ2＝AB2，
∴n2＋6n＋10＋4＋n2＝18.
图4
全国视野
17．(2023安徽)下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是( )
A．y＝x2＋1 B．y＝－x2＋1
C．y＝2x＋1 D．y＝－2x＋1
18．(2023南充)若点P(m，n)在抛物线y＝ax2(a≠0)上，则下列各点在抛物线y＝a(x＋1)2上的是( )
A．(m，n＋1) B．(m＋1，n)
C．(m，n－1) D．(m－1，n)
D
D
19．(2023贵州)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图5所示，则点P(a，b)所在的象限是( )
图5
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
D
20．(2023衡阳)已知m＞n＞0，若关于x的方程x2＋2x－3－m＝0的解为x1，x2(x1＜x2)，关于x的方程x2＋2x－3－n＝0的解为x3，x4(x3＜x4).则下列结论正确的是( )
A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2
C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜x4＜x1＜x2
B
21．(2023哈尔滨)抛物线y＝－(x＋2)2＋6与y轴的交点坐标是__________.
22．(2023包头)已知二次函数y＝－ax2＋2ax＋3(a＞0)，若点P(m，3)在该函数的图象上，且m≠0，则m的值为__________.
(0，2)
2
图6(共8张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第二十二章 二次函数
微专题 二次函数综合(三角形面积关系求点坐标)
1.如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋2经过点A(－1，0)，B(4，0)，交y轴于点C.
(1)求抛物线的解析式．
图1
解：将A(－1，0)，B(4，0)代入y＝ax2＋bx＋2，
图1
解：存在．
令x＝0，得y＝2.∴C(0，2).
设点D(m，n).
解得n＝±3.
图1
∴点D的坐标为(1，3)或(2，3)或(－2，－3)或(5，－3).
2．如图2，抛物线y＝ax2＋bx＋6(a≠0)经过A(1，0)，B(3，0)两点．
(1)求抛物线的解析式；
图2
解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋6(a≠0)经过A(1，0)，B(3，0)，
∴设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－3).
∵抛物线y＝a(x－1)(x－3)(a≠0)经过点C(0，6)，
∴6＝3a.∴a＝2.
∴抛物线的解析式为y＝2(x－1)(x－3)＝2x2－8x＋6.
(2)抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1∶2两部分，求点E的坐标．
图2
解：∵y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2，
∴顶点M的坐标为(2，－2).
∵抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，
∴点N(2，2).
设直线AN的解析式为y＝kx＋t.
∴直线AN的解析式为y＝2x－2.
图2
设点E(m，2m－2).
∴m＝2或m＝3.
∴点E的坐标为(2，2)或(3，4).
图2
∵直线BE将△ABD的面积分为1∶2两部分，(共18张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第二十二章 二次函数
第8课时 二次函数与一元二次方程(一)
知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
课标要求
课堂检测
课堂讲练
课堂讲练
求抛物线与坐标轴的交点坐标
例1 求下列二次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标，并填空．
(1)y＝x2－2x－3.
解：当y＝0时，x2－2x－3＝0.
解得x1＝－1，x2＝3.
当x＝0时，y＝－3.
∴抛物线与x轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)，与y轴的交点坐标为(0，－3).
①Δ________0；
②x2－2x－3＝0有____________的实数根；
③抛物线y＝x2－2x－3与x轴有________个交点．
>
两个不等
两
(2)y＝x2－6x＋9.
解：当y＝0时，x2－6x＋9＝0.
解得x1＝x2＝3.
当x＝0时，y＝9.
∴抛物线与x轴的交点坐标为(3，0)，与y轴的交点坐标为(0，9).
①Δ________0；
②x2－6x＋9＝0有____________的实数根；
③抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有________个交点．
＝
两个相等
1
(3)y＝x2－4x＋5.
解：当y＝0时，x2－4x＋5＝0.
∵Δ＝(－4)2－4×1×5＝－4<0，∴该方程无解．
当x＝0时，y＝5.
∴抛物线与x轴没有交点，与y轴的交点坐标为(0，5).
①Δ________0；
②x2－4x＋5＝0____________实数根；
③抛物线y＝x2－4x＋5与x轴__________交点．
<
没有
没有
1.抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴有唯一交点(0，c).
2.二次函数与一元二次方程的关系
Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的情况 有两个________的实数根 有两个________的实数根 ________实数根
抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点个数 有________个交点 有________个交点 ________交点
不等
相等
没有
两
一
没有
若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解为x1＝m，x2＝n，则抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点坐标为(m，0)，(n，0)，即方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标．
抛物线与x轴的交点个数
例2 (1)抛物线y＝x2－x－2与x轴交点的个数为__________；
(2)若抛物线y＝x2－2x＋c与x轴有两个交点，则c的取值范围为__________.
训练 1.(1)二次函数y＝x2－2x＋1的图象与x轴的交点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．不能确定
(2)已知二次函数y＝x2＋2x＋k的图象与x轴无交点，则k的取值范围是____________.
2
c＜1
B
k＞1
二次函数图象与x轴的交点与一元二次方程根的关系
例3 若方程ax2＋bx＋c＝0的解是x1＝－2，x2＝5，则抛物线y＝ax2＋
bx＋c与x轴的交点坐标为_______________________，其对称轴为x＝
________．
训练 2.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝1，与x轴的一个交点为(－1，0)，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别
为__________________.
(－2，0)，(5，0)
x1＝－1，x2＝3
课堂检测
基 础
1．抛物线y＝x2－4x＋3与x轴的交点坐标为_________________；与y轴的交点坐标为__________.
2．二次函数y＝－x2＋2x＋1的图象与坐标轴有__________个交点．
3．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点坐标为(－2，0)，(6，0)，则这条抛物线的对称轴是x＝__________.
(1，0)和(3，0)
(0，3)
三
2
4．二次函数y＝－x2－x＋2的图象如图1所示．
(1)方程－x2－x＋2＝0的解为__________________；
(2)方程－x2－x＋2＝－4的解为__________________；
(3)方程－x2－x＋2＝2的解为__________________．
图1
x1＝－2，x2＝1
x1＝－3，x2＝2
x1＝－1，x2＝0
5．【易错点】若二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有一个交点，则k的值是____________.
变式1 若二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是____________.
变式2 若函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有一个交点，则k的值是____________.
3
k≤3且k≠0
3或0
已知函数与x轴的交点情况求参数时，需要注意题干条件：1.是否明确为二次函数，若明确是二次函数，则二次项不能为0；2.是否明确交点个数，若题干只说明有交点，则Δ≥0.
综 合
6．已知抛物线y＝x2－ax＋2(a－3).
(1)求证：不论a为何实数，这个抛物线与x轴总有两个交点；
证明：Δ＝a2－8(a－3)
＝a2－8a＋24
＝a2－8a＋16＋8
＝(a－4)2＋8＞0，
∴不论a为何实数，这个抛物线与x轴总有两个交点．
(2)若抛物线与x轴的一个交点为(3，0)，求另一个交点的坐标．
解：把(3，0)代入抛物线，得9－3a＋2(a－3)＝0.
解得a＝3.
∴抛物线的解析式为y＝x2－3x.
令y＝0，则x2－3x＝0.
解得x1＝0，x2＝3.
∴另一个交点的坐标为(0，0).(共11张PPT)
一、几何背景下的多结论问题
第二十二章 二次函数
微专题 二次函数综合(最值问题)
情况一 线段长度、图形面积的最值问题
1．如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接BC，A，C两点的坐标分别为(－1，0)，(0，3).
(1)求抛物线的解析式及点B的坐标；
图1
解：将A(－1，0)，C(0，3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.
令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0.解得x1＝－1，x2＝3.
∴点B的坐标为(3，0).
(2)若点M是第一象限内抛物线上的一点，过点M作x轴的垂线交BC于点N，求MN的最大值．
图1
解：设直线BC的解析式为y＝kx＋m.
将B(3，0)，C(0，3)分别代入y＝kx＋m，
∴直线BC的解析式为y＝－x＋3.
设M(t，－t2＋2t＋3)，则N(t，－t＋3).
图1
∵－1＜0，0＜t＜3，
变式 若点M是第一象限内抛物线上的一点，连接BM，CM，求△BCM面积的最大值及点M的坐标．
图1
答图1
解：如答图1，过点M作x轴的垂线交BC于点N.
答图1
情况二 将军饮马模型求最值
2．如图2，抛物线y＝(x－1)2＋n与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0，－3).
(1)求抛物线的解析式；
图2
解：将C(0，－3)代入y＝(x－1)2＋n，
得－3＝1＋n.解得n＝－4.
∴抛物线的解析式为y＝(x－1)2－4＝x2－2x－3.
(2)点P是抛物线对称轴上的一动点，当PA＋PC最小时，求点P的坐标；
(思考：若“当PA＋PC最小时”改为“当△PAC的周长最小时”呢？)
图2
解：令y＝0，则x2－2x－3＝0.解得x＝－1或x＝3.
∴A(－1，0)，B(3，0).
由题意可知，点A与点B关于抛物线的对称轴x＝1对称，
∴PA＋PC＝PB＋PC.
∴当点P，B，C在同一直线上时，PA＋PC有最小值．
图2
如答图2，连接BC交对称轴于点P，此时PA＋PC最小．
答图2
设直线BC的解析式为y＝kx＋b.
将B(3，0)，C(0，－3)代入，
∴直线BC的解析式为y＝x－3.
当x＝1时，y＝－2.∴P(1，－2).
即当PA＋PC最小时，点P的坐标为(1，－2).
(3)点Q是抛物线对称轴上的一动点，当|QA－QC|最大时，求点Q的坐标．
图2
解：根据三角形的三边关系可知|QA－QC|≤AC.
∴当点Q，A，C在同一直线上时，|QA－QC|有最大值．
答图3
如答图3，连接AC并延长，交对称轴于点Q，此时|QA－QC|最大．
设直线AC的解析式为y＝mx＋a.
将A(－1，0)，C(0，－3)代入，
答图3
∴直线AC的解析式为y＝－3x－3.
当x＝1时，y＝－6.∴Q(1，－6).
即当|QA－QC|最大时，点Q的坐标为(1，－6).
