第22章二次函数 闯关练习-数学九年级上册人教版（含解析）

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第22章二次函数闯关练习-数学九年级上册人教版
一、单选题
1．下列关系式中，属于二次函数的是（为自变量）（ ）
A． B． C． D．
2．若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
5．二次函数的最小值是0，那么的值等于（ ）
A．2 B．4 C． D．8
6．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足，由于某种原因，价格只能，那么一周可获得最大利润是（ ）
A．20 B．1508 C．1550 D．1558
7．如果二次函数的图象如图所示，那么（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
8．如图，某中学综合与实践小组要围成一个矩形菜园，其中一边靠墙，的长不能超过，其余的三边用总长为40米的栅栏围成．有下列结论：①的长可以为；②有两个不同的值满足菜园的面积为；③菜园面积的最大值为．正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
9．抛物线开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ．
10．二次函数，当 时，y有最小值，最小值是 ．
11．在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移1个单位长度，得到的抛物线的表达式为 ．
12．飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是，则飞机着陆后滑行的最长时间为 秒．
13．若关于的函数的图象与轴只有一个公共点，则实数的取值是 ．
14．如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点，点在该抛物线上，与点关于对称轴对称，坐标为，则点A的坐标是 ．
15．已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：则代数式的值等于 ．
x … 0 1 2 3 …
y … …
16．如图，在中，，，，是的中点，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动．点，同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也同时停止运动．
（1）出发2秒后，点P，Q之间的距离是 ．
（2）当的面积最小时，点，之间的距离是 ．
三、解答题
17．已知二次函数中，函数与自变量x的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 5 2 1 2 5 …
(1)求该二次函数的解析式；
(2)当为何值时有最低点？
18．如图，抛物线经过坐标原点O和点，对称轴为直线．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)设直线与该抛物线两交点的横坐标分别为，当时，求k的值．
19．某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为．
(1)求雕塑高．
(2)求落水点之间的距离．
(3)若需要在上的点处竖立雕塑．问：顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明．
20．新冠疫情期间，邻居小王在淘宝上销售某类型口罩，每袋进价为元，经市场调研，销售定价为每袋元时，每天可售出袋；销售单价每提高元，每天销售量将减少袋，已知平台要求该类型口罩每天销售量不得少于袋．
(1)直接写出：每天的销售量（袋）与销售单价（元）之间的函数关系式________；
每天的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式________．
(2)小王希望每天获利元，则销售单价应定为多少元？
(3)若每袋口罩的利润不低于元，则小王每天能否获得元的总利润，若能，求出销售定价；否则，说明理由．
21．如图①，已知抛物线经过点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；
(3)把抛物线向上平移，使得顶点落在轴上，求两条抛物线、对称轴和轴围成的图形的面积（图②中阴影部分）．
(4)求当时，求函数值的取值范围．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B A B B D C B
1．A
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义“形如（为常数，）的函数”即可求解．
【详解】解：A、，是二次函数，符合题意；
B、，不是二次函数，不符合题意；
C、，不是二次函数，不符合题意；
D、，当时，不是二次函数，不符合题意；
故选：A ．
2．B
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数解析式可得对称轴为，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，由此即可求解．
【详解】解：二次函数的对称轴为，，
∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；
∵，
∴，
∵，则，，
∴时的函数值与的函数值相等，且，
∴，
∴，
故选：B ．
3．A
【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据二次函数为常数，，顶点坐标是，据此求解即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故选：A．
4．B
【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，把代入抛物线表达式得：，变形得再将变形为然后整体代入计算即可．
【详解】解：将代入抛物线表达式得：，
∴
∴
；
故选：B
5．B
【分析】本题考查了求二次函数的最值．根据二次函数的顶点坐标公式求解即可．
【详解】解：∵二次函数的最小值是0，
∴，解得：．
故选：B．
6．D
【分析】本题考查了二次函数的应用．此题实际上是求二次函数在内的最大值的问题，因为该二次函数的开口方向向下，所以当时，取最大值．
【详解】解：对称轴为，且，
当时，．
故选：D．
7．C
【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，首先根据开口方向确定a的符号，再依据对称轴的正负和a的符号即可判断b的符号，然后根据与y轴的交点的纵坐标即可判断c的正负．
【详解】解：∵图象开口方向向上，
∴，
∵图象的对称轴在x轴的正半轴上，
∴
∴
∵图象与y轴交点在y轴的负半轴上，
∴
故选：C．
8．B
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，设边长为，则边长为，根据列出方程，解方程求出x的值，根据x取值范围判断①；根据矩形的面积，解方程求出x的值可以判断②；设矩形菜园的面积为，根据矩形的面积公式列出函数解析式，再根据函数的性质求函数的最值可以判断③.
【详解】解：设边长为，则边长为，
当时，，
解得
∵的长不能超过，
∴， 故①不正确；
∵菜园面积为，
∴，
整理得：
解得或
∵，
∴，
∴的长只有一个值满足菜园面积为，故②错误；
设矩形菜园的面积为，　　
根据题意得：，
∵，
∴当时，y有最大值，最大值为200. 故③正确；
∴正确的有１个，
故选：B．
9． 上
【分析】本题考查了二次函数的性质．根据二次函数的顶点坐标表达解析式：，其中的值决定开口方向，的值是对称轴，是顶点坐标．
【详解】解：抛物线中，的值大于0，
所以：开口向上；
对称轴是直线；
顶点坐标是．
故答案为：上，，．
10． / /
【分析】本题考查了二次函数的最值问题．根据二次函数的顶点坐标进行解答即可．
【详解】解：二次函数，，开口向上，
当时，有最小值，最小值为：，
故答案为：，．
11．
【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移，首先配方得出二次函数顶点式，进而利用二次函数平移规律得出答案，正确利用配方法求出二次函数顶点式的形式是解题关键．
【详解】解：，
则将抛物线向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为：，即．
故答案为：．
12．20
【分析】本题考查了二次函数的性质，将原函数解析式化为顶点式，根据函数最值情况即可判断滑行的距离最长时的情况，从而解题．
【详解】解：
，
，
当的时候，滑行的距离最长，
故飞机着陆后滑行的最长时间为秒，
故答案为：20．
13．或
【分析】此题考查了函数图象与x轴只有一个公共点．熟练掌握二次函数根的判别式为0，分类讨论，是解题关键．
分和两种情况解答，当时，是一次函数；当时，，解方程即可．
【详解】∵关于x的函数的图象与轴仅有一个公共点，
∴当时，
，
解得，；
当时，是一次函数，图象与轴仅有一个公共点，
故答案为：或．
14．
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，利用函数值相等的点关于对称轴对称是解题关键．
根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得对称轴，根据、关于对称轴对称，可得点坐标．
【详解】解：令，得到，
，
，得函数图象的对称轴是直线，
设点坐标为，由、关于对称轴，
得，
解得，
即点坐标为，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，通过抛物线上点的坐标的特征求解．由表格可得抛物线对称轴为直线，然后根据对称性可求时y的值，进而求解．
【详解】解：由题可得抛物线经过点，，
∴抛物线对称轴为直线
∵抛物线经过点，
∴时，
即．
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了二次函数的最值，勾股定理在直角三角形中的运用，考查了三角形面积的计算，正确表示出线段的长度是解题的关键．
（1）求得、的长度，由勾股定理定理可得解；
（2）设点、同时出发，秒钟后，的面积最小，此时，，，，到的距离为，到的距离为，此时，由二次函数的性质得出当时，的面积最小，求出此时，，由勾股定理定理可得解．
【详解】解：（1）如图，
在中，，，，
，
由题意可知，，
．
点，之间的距离是；
故答案为：；
（2）设经过时，的面积最小，
在中，，，，，
是的中点，
到的距离为，到的距离为，
，
当时，的面积最小，此时，，
．
当的面积最小时，点，之间的距离是．
故答案为：．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数的解析式，二次函数的性质；
（1）由表格可得顶点，且过，据此求解析式即可；
（2）根据顶点求解即可．
【详解】（1）由表格可得顶点，且过，
∴设二次函数的解析式为
当时则
解得
所以二次函数的解析式为．
（2）∵顶点，开口向上
∴当时有最低点．
18．(1)
(2)k的值为3或
【分析】本题考查求二次函数的解析式，二次函数与一元二次方程：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）联立解析式，得到一元二次方程，根据根与系数的关系进行求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过坐标原点O和点，对称轴为直线．
∴，解得：，
∴；
（2）由题意，得：为方程的两个实数根，
整理，得：，
∵，
∴k为任意实数．
由根与系数的关系可知：，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴k的值为3或．
19．(1)
(2)
(3)顶部是会碰到水柱，理由见解析．
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质及图像关于轴对称问题，解题的关键是：掌握二次函数的图像与性质．
（1）求雕塑高，直接令，代入求解可得；
（2）可先求出的距离，再根据对称性求的长；
（3）利用，计算出的函数值，再与的长进行比较可得结论．
【详解】（1）解：由题意得，点在图象上．
当时，
．
（2）解：由题意得，点在图象上．
令，得．
解得：（不合题意，舍去）．
，
（3）解：当时，，
∴顶部是会碰到水柱．
20．(1)；；
(2)要想获利元，则销售单价应定为元；
(3)能，理由见解析．
【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，不等式组的应用，以及一元二次方程的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
（）根据销售定价为每袋元时，每天可售出袋；销售单价每提高元，每天销售量将减少袋，即可列出函数关系式；
根据每天的销售利润（元）等于每袋的利润乘以每天的销售量即可列出每天的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；
（）根据平台要求该类型口罩每天销售量不得少于袋，可得关于的一元一次不等式，从而可解得的取值范围；根据小王希望每天获利元，可得关于的一元二次方程，解方程并作出取舍即可；
（）根据每袋口罩的利润不低于元及每天销售量不得少于袋，可得的取值范围；根据利润为元，得出关于的一元二次方程，解方程并与的取值范围相比较，即可作出判断；
【详解】（1）解：∵销售定价为每袋元时，每天可售出袋；销售单价每提高元，每天销售量将减少袋，
∴，
故答案为：；
根据题意得：，
故答案为：；
（2）∵
∴,
∵小王希望每天获利元，
∴，
解得：，（舍去）
答：要想获利元，则销售单价应定为元；
（3）能，理由：
∵，
∴，
由（）得：，
∴，
由，
当时，
∴，
解得：或，
∴，
∴每袋口罩的利润不低于元，小王每天能获得元的总利润．
21．(1)；
(2)顶点坐标为，对称轴为直线．
(3)
(4)．
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数，求函数值，图形的平移，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．
（1）把点、、代入抛物线解析式利用待定系数法求解即可．
（2）把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可．
（3）根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积，列式进行计算即可得解；
（4）当时，，当是，有最小值，进而利用数形结合图形得当时，．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，
∴，
解得．
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线．
（3）解：如图，
∵抛物线的顶点坐标为，则平移后的顶点
∴．
又由平移的性质知，阴影部分的面积等于平行四边形的面积，
而平行四边形的面积．
∴阴影部分的面积．
（4）解：当时，，
∵，
∴当是，有最小值，
∵
∴结合图形得当时，．
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