第一章勾股定理同步练习卷-数学八年级上册北师大版（含解析）

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第一章勾股定理同步练习卷-数学八年级上册北师大版
一、单选题
1．下列各组数据不是勾股数的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
2．已知直角三角形的面积为，两直角边的和为，则它的斜边长的平方为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，是我校的长方形水泥操场，如果一学生要从角走到角，至少走（　　）
A．8米 B．9米 C．1米 D．1米
4．如图，一棵树在离地面米处断裂，树的顶部落在离底部米处，树折断之前有（ ）米
A． B． C． D．4
5．如图是“赵爽弦图”，由4个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是52，小正方形的面积是4，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则的值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
6．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
7．如图，在中，，，，平分，交于点，，是，上的动点，则的最小值为（ ）

A． B．3 C．4 D．
8．如图，一圆柱高，底面半径为，一只壁虎从上底面的点A爬到下底面上与点A相对的点B处吃食，它爬行的最短路程（取3）是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．在中，，则高 ．
10．如图，有一张的纸片，两直角边，，现将折叠，使点B与点A重合，得到折痕，则的面积为 ．
11．在中，，记它的面积和周长分别为S，C，令，那么S，C，m之间的数量关系为 ．
12．如图，在长方形中，已知，，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为 ．
13．如图，中，．以点C为圆心，长为半径作弧，交于点D，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点P，若，则 ．
14．如图①，在中，已知，求证：．
证明：如图②，作．
截取，，
则 ．
由”“可证，则．
15．如图，在中，为直线上一动点，连接，则线段长度的最小值是 ．
16．如图： 米长的滑梯 开始在 点距墙面水平距离 米，当向后移动 米， 点也随着向下滑一段距离，则下滑的距离 （大于、小于或等于） 米．
三、解答题
17．如图，台风过后，一旗杆在B处断裂，旗杆顶部A点落在离旗杆底部C点处，已知旗杆原长，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？
18．如图，在荡秋千时，已知绳子长5米，荡到最高点D时秋干离地面3米，点B，C分别是点A，D在地面上的投影，若线段的长是4米，求秋千的起始位置距离地面的高度（线段的长）．
19．如图，点在线段上，，，，．
(1)求证：；
(2)已知，，求的面积．
20．如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，
并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：
小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图；
②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部米，如图．
小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图点处（）．
(1)请你按小明的方案求出旗杆的高度h（米）；
(2)已知小亮举起绳结离旗杆米远，此时绳结离地面多高？
21．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送3m，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．

(1)求秋千的长度；
(2)如果将秋千往前推送4米，求此时踏板离地的垂直高度为多少？
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A C C C C D C
1．A
【分析】本题考查了勾股数，勾股定理逆定理，根据“一组正整数，且满足两个较小的数的平方和等于最大数的平方，这样的一组数叫做勾股数”，进行判断即可，理解勾股数的定义及熟练掌握勾股定理逆定理的应用是解题的关键．
【详解】解：、∵，
∴不是勾股数，故此选项符合题意；
、∵，
∴是勾股数，故此选项不符合题意；
、∵，
∴是勾股数，故此选项不符合题意；
、∵，
∴是勾股数，故此选项不符合题意；
故选：．
2．A
【分析】本题考查了勾股定理，关键是准确应用直角三角形三边关系．熟练掌握勾股定理的运用．设两直角边长为和，则，联立得方程组并解方程组即可求得三角形的直角边的长，再利用勾股定理求得斜边的长．
【详解】解：设两直角边长为和，
则，
解方程组得或，
所以斜边
故选：．
3．C
【分析】本题主要考查了勾股定理．根据两点之间线段最短及勾股定理解答即可．
【详解】解：因为两点之间线段最短，所以为从到C的最短距离，
根据题意得：米，
根据勾股定理，得，米．
故选：C．
4．C
【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出的长是解题的关键．
由勾股定理求出的长，即可解决问题．
【详解】如图，
由题意可知，米，米，，
由勾股定理得：
（米）
（米）
即树折断之前有米．
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理的相关知识是解题的关键．
先求出小三角形的面积，然后根据勾股定理分析即可．
【详解】解：因为大正方形的面积是52，小正方形的面积是4，
所以一个小三角形的面积是，三角形的斜边为，
所以，，
所以，
所以．
故选：C．
6．C
【分析】本题主要考查了全等三角形的证明及勾股定理的应用，运用勾股定理可知，，得每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，即，同理可得即可得．
【详解】解：如图所示，根据题意可得：，
∴，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
，
，
同理可得：，
，
故选：C．
7．D
【分析】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式．过点C作，垂足为H，在上取一点，使，连接，判断出，得出，进而得出当点在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，最后用面积法，即可求出答案．
【详解】解：如图，过点C作，垂足为H，在上取一点，使，连接，

∵，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当点在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，
∵，
∴，
即的最小值为，
故选：D．
8．C
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．根据两点之间，线段最短，可得为壁虎爬行的最短路线．再由勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，连接，则为壁虎爬行的最短路线．
因为圆柱的底面半径为，
所以底面圆的周长为，
又因为圆柱的高为，
所以圆柱的侧面展开图是一个宽为，长为的长方形，
由勾股定理得：．
故选：C
9．/
【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，由勾股定理得，再根据三角形的面积即可求解，掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：如图，∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
10．6
【分析】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质等知识点，明确翻折前后对应边相等是解题关键．
求解即可．设，由翻折易得，利用直角三角形，利用勾股定理列方程可求得长，即可求得，最后运用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：由题意得，
设，则，
∵，
∴在中，
根据勾股定理得：，
∵，
∴，解得，即：，
∴，
∴的面积为．
故答案为6．
11．
【分析】该题主要考查了勾股定理，解题的关键是用表示出S，C．
根据题意运用勾股定理和三角形的面积和周长得出，，，再用表示出S，C即可求解；
【详解】解：∵，
∴，，，
∵，
∴，
，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查动点最值，轴对称性质、三角形三边关系、勾股定理等知识点，解决问题的关键是根据三角形的三边关系确定线段的最小值情况．连接、，利用勾股定理得到，由三角形三边关系可知当、、三点共线时， 线段的值最小， 由对称性质可知，最后根据最小值情况求解即可．
【详解】解：如图，连接、，
长方形中，，，
，
由三角形三边关系可知，即，
由对称性质可知，
当、、三点共线时， 线段的值最小，
的最小值为．
故答案为：．
13．/
【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求出，然后根据作图可得，，据此计算即可得到结论．
【详解】∵，，
∴，，
由作图过程可得，，
∴，，
∴，
故答案为：．
14．c
【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件．也考查了勾股定理．通过构建一个直角三角形与原三角形全等得到．
【详解】解：如图2，作．
截取，，
，
而，
，
由“”可证，
则．
故答案为：c
15．
【分析】本题考查的是勾股定理、垂线段最短，如果直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为，那么．过点作于，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】解：过点作于，
由垂线段最短可知，此时最小，
由勾股定理得，，
，即，
解得，，
故答案为：．
16．等于
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方．
直接利用勾股定理得出的长，进而求出的长，即可得出答案．
【详解】解：由题意可得：，
故，
∵当向后移动 1 米，
，
，
则．
故下滑的距离为 1 米，
故答案为：等于．
17．米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构建直角三角形，利用勾股定理表示出三边关系；
设旗杆断裂处距离C点，在直角三角形中利用勾股定理即可得出关于x的方程，解方程即可解答．
【详解】解：设旗杆断裂处距离C点，根据题意得：，，，
在中：
答：旗杆在距离C点米处断裂．
18．秋千的起始位置距离地面的高度为1米
【分析】本题考查了勾股定理的应用．作于点，在中，利用勾股定理求得的长，据此求解即可．
【详解】解：作于点，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴米，米，米，
在中，米，
∴米，
∴米，
答：秋千的起始位置距离地面的高度为1米．
19．(1)详见解析；
(2)．
【分析】（）由，，，得，则，即可根据“”证明；
（）由全等三角形的性质得，，则 由勾股定理得，然后用面积公式即可求解；
此题考查了同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积公式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）由（）得，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴．
20．(1)旗杆的高度为米
(2)绳结离地面米高
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键．
（1）由旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，然后根据勾股定理求解即可；
（2）首先得到米，米，然后在中，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解∶如图，由旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，
在中，由勾股定理得∶，
解得∶，
故旗杆的高度为米；
（2）解：由题可知，米，米．
在中，由勾股定理得∶，
解得∶，
∴米，
∴米．
故绳结离地面米高．
21．(1)秋千的长度是；
(2)此时踏板离地的垂直高度为．
【分析】本题考查勾股定理的应用等知识，数形结合，熟练运用勾股定理是解决问题的关键．
（1）由题中条件，得到四边形是矩形，从而得到，设秋千的长度为，则，，由勾股定理列方程求解即可得到答案；
（2）设时，，构造直角三角形，由勾股定理列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意知，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴
∴
∵，
∴，
设秋千的长度为，则，，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
即秋千的长度是；
（2）解：设时，，
∵，
∴，
由（1）可知，，，
∴，
在中，，
由勾股定理得，则，
解得，
即此时踏板离地的垂直高度为．
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