第一章特殊平行四边形同步练习卷（含解析）-数学九年级上册北师大版

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第一章特殊平行四边形同步练习卷-数学九年级上册北师大版
一、单选题
1．若顺次连接四边形各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形的两条对角线一定（ ）
A．互相平分 B．互相垂直
C．互相平分且相等 D．互相垂直且相等
2．将矩形和菱形按如图放置，若图中矩形面积是菱形面积的倍，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在正方形中，O是的中点，过点O作于点E，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为．若直线恰好将矩形分成面积比为的两部分．则此直线与y轴交点的纵坐标最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
5．如图，已知四边形是平行四边形，下列说法正确的是（ ）
A．若，则是菱形 B．若，则是正方形
C．若，则是矩形 D．若，则是正方形
6．如图，将沿翻折得到，连接，则下列结论错误的是（ ）
A．如果，那么四边形是菱形
B．如果，那么四边形是菱形
C．如果，那么四边形是矩形
D．如果，那么四边形是正方形
7．如图，菱形中，对角线、相交于点O，H为边中点，菱形的周长为28，则的长等于（ ）
A． B．4 C．7 D．14
8．如图，正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么的长是（ ）
A． B． C． D．2
二、填空题
9．如图，已知四边形是矩形，，点E在上，．若平分则的长为 ．
10．如图，已知菱形的对角线，，于，则的长是 ．
11．如图，在矩形中，相交于点O，点E，F分别为的中点．若，则的长为 ．
12．如图，在矩形中，点P是线段上一动点，且，E，F为垂足，，则的值为 ．

13．如图在中，，，，D、E分别是、边上的点，且，若P是的中点，Q是的中点，连接，则的最小值为 ．
14．如图，点O是矩形的对称中心，点P，Q分别在边上，且经过点，点E是边上一动点．则周长的最小值为 ．

15．如图，在正方形中，E为上一点，交对角线于点F，连接，若，则 度．
16．正方形、、，…按如图的方式放置，、、、…和点、、，…分别在直线和x轴上，则点的坐标是 ，的坐标是 ．
三、解答题
17．如图，在四边形中，点分别是各边的中点，且，四边形是矩形．求证：四边形是菱形．
18．如图，在和中，，，，为边上一点．
(1)求证：
(2)若点是的中点，求证：四边形是正方形．
19．如图，在四边形中，，相交于点O，O是的中点，．

(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，且，则平行四边形的周长为 ．
20．综合与实践
问题情境：
如图①，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点C）．延长交于点F，连接．
猜想证明：
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图①，若，求的长．
21．如图，正方形的边长为，是对角线上一点，且，是边上一点，连接，过点作，交于点．求四边形的面积．
22．问题背景：如图，在正方形中，边长为，点，是边，上两点，且，连接，，与相交于点．
(1)探索发现：探索线段与的关系，并说明理由；
(2)探索发现：若点，分别是与的中点，计算的长；
(3)拓展提高：延长至，连接，若，请直接写出线段的长．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D B B C C A B
1．D
【分析】本题主要考查三角形中位线及正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定，熟练掌握三角形中位线及正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定是解题的关键．由题意作出图形，然后根据正方形的判定定理可进行排除选项．
【详解】解：如图所示，点、、、分别是四边形边、、、的中点，
，
四边形是平行四边形，
A、对角线互相平分，四边形仍是平行四边形，故不符合题意；
B、对角线互相垂直，则有，可推出四边形是矩形，故不符合题意；
C、对角线互相平分且相等，则有，可推出四边形是菱形，故不符合题意；
D、对角线互相垂直且相等，则有，，可推出四边形是正方形，故符合题意；
故选D．
2．D
【分析】此题考查了矩形和菱形的性质，根据矩形的面积公式以及菱形的面积公式解答即可，解题的关键是掌握知识点的应用．
【详解】解：∵矩形的面积，菱形的面积，
∴，
∴，
故选：．
3．B
【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的判定与性质，由正方形的性质得，然后证明即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
4．B
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，矩形的性质，当直线与分别交于K、T时，求出，得到，则，即可得到，，进而得到或，解方程即可；当直线与分别交于K、T时，由于直线经过定点，则此时直线与y轴的交点纵坐标一定比直线与有交点时的纵坐标大，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，当直线与分别交于K、T时，
在中，当时，，当时，，
∴，
∴，
∵矩形的顶点B的坐标为，
∴，
∴，
∴，，
∵直线恰好将矩形分成面积比为的两部分，
∴或，
解得或，
经检验，或都是对应方程的根，
∴或；
如图所示，当直线与分别交于K、T时，
∵，
∴直线经过定点，
∴此时直线与y轴的交点纵坐标一定比直线与有交点时的纵坐标大，
综上所述，此直线与y轴交点的纵坐标最小值为1，
故选：B．
5．C
【分析】本题主要考查了矩形和正方形以及菱形的判定，熟练掌握矩形和正方形以及菱形的判定定理是解题的关键．
根据矩形和正方形以及菱形的判定定理逐项判断，即可解答．
【详解】解：A、邻边互相垂直的平行四边形不一定是菱形，故A错误，不符合题意；
B、因为对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B错误，不符合题意；
C、若，则是矩形，故C正确，符合题意；
D、因为邻边相等的平行四边形是菱形，故D错误，不符合题意；
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了折叠的性质、菱形的判定定理、正方形的判定定理、矩形的判定定理，由折叠的性质得出，，，再根据菱形的判定定理、正方形的判定定理、矩形的判定定理逐项判断即可得出答案．
【详解】解：由折叠的性质可得：，，，
A、如果，则，那么四边形是菱形，故此选项不符合题意；
B、∵，
∴，
∴，
∴，则，那么四边形是菱形，故此选项不符合题意；
C、如果，不能推出四边形是矩形，故此选项符合题意；
D、如果，则，那么四边形是菱形，
∵，
∴四边形是正方形，故此选项不符合题意；
故选：C．
7．A
【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半．根据菱形性质得出，，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出．
【详解】解：∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∵H为边中点，
∴．
故选：A．
8．B
【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．连接，由正方形的性质可得，，则，由 H是的中点，可得，根据勾故定理求、的值，根据，求的值，进而可求．
【详解】解：如图，连接，
由正方形的性质可得，，
∴，
∵ H是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：B．
9．10
【分析】由矩形的性质可得，，由角平分线和平行线的性质可证，由勾股定理可求解．本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键．
【详解】解：平分，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：10．
10．
【分析】此题主要考查了勾股定理以及对菱形的性质的理解及运用，根据已知可求得，的长，再根据勾股定理即可求得的长，菱形的面积等于底乘以高也等于两对角线的乘积，即可求得的长．
【详解】解∶如图，
∵ 四边形是菱形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
11．8
【分析】本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线的性质和定义，先根据矩形的性质可得，再说明是的中位线，根据三角形中位线的性质得，进而求出，即可得出答案．
【详解】∵四边形是矩形，
∴．
∵点E，F是的中点，
∴是的中位线，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：8．
12．
【分析】此题考查了矩形的性质以及勾股定理、三角形面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与整体思想的应用．首先连接，在矩形中，，，可求得以及的面积，继而可得，则可求得答案．
【详解】解：连接，

∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∵
∴．
故答案为：．
13．2
【分析】本题主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，线段最短等知识，连接，由勾股定理得出，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，，由题意可得出点Q在以点B为圆心，半径为3的圆弧上运动，且当点B，P，Q三点共线时，最小，即可得出．
【详解】解：连接，
在中，，，，
∴，
∵点P为的中点，
∴，
∵D、E分别是、边上的点，且，
∴，
∴点Q在以点B为圆心，半径为3的圆弧上运动，
且当点B，P，Q三点共线时，最小，
，
故答案为：2．
14．
【分析】本题主要考查了线段和最小值中典型的“将军饮马型”，矩形的性质，勾股定理等，找到取得最小值的条件，掌握典型问题的解法是解题的关键．
作P关于的对称点，连接，交于E，连接，则的最小值为，证明出周长的最小值为，作于F，于H，利用勾股定理求出和即可．
【详解】解：如图，作P关于的对称点，连接，交于E，连接，

∴，
∴的最小值为，
∴周长的最小值为，
作于F，于H，
∵，
∴，
∵点O是矩形的对称中心，经过点O，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴周长的最小值为．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题关键．先根据正方形的性质、三角形的外角性质可得，再根据定理证出，然后根据全等三角形的性质即可得．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：．
16． （为正整数）
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、坐标与图形，由一次函数与坐标轴的交点得出点的坐标为，再由正方形的性质得出点的坐标为，同理即可得出点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，…，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：在直线中，当时，，
∴点的坐标为，
∵四边形为正方形，
∴点的坐标为，
∴点的坐标为，
当时，，
∴点的坐标为，
∵四边形为正方形，
∴点的坐标为，点的坐标为，
当时，，
∴点的坐标为，
同理可得：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，…，
∴点的坐标为（为正整数）
故答案为：，（为正整数）．
17．见解析
【分析】本题主要考查平行四边形的性质与判定、三角形中位线、矩形的性质及菱形的判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定、三角形中位线、矩形的性质及菱形的判定是解题的关键；连接交于点交于点交于点M，由题意易得四边形是平行四边形，，然后可根据菱形的判定及三角形中位线可进行求解．
【详解】证明：如解图，连接交于点交于点交于点M，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形．
，
分别是的中点，
是的中位线，
，
，
分别是的中点，
是的中位线，
，
，
，
四边形是菱形．
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质：
（1）只需要证明，即可证明；
（2）根据直角三角形的性质得到，再由三线合一定理得到，再证明，即可证明四边形是正方形．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
；
（2）证明：中，D是中点的，，
，
又，
，
四边形是菱形．
又，
四边形是正方形．
19．(1)见解析
(2)12
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定，掌握特殊四边形的判定方法是解本题的关键．
（1）先证明，可得．再结合平行四边形的判定方法可得结论；
（2）先证明四边形是菱形，再利用菱形的性质可得答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵O是的中点，
∴．
在和中，，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∴四边形的周长；
20．（1）四边形是正方形，理由见解析；（2），证明见解析；（3）
【分析】（1）由旋转的性质可知，，，由，可得，可证四边形是矩形，由，可证四边形是正方形；
（2）如图②，过点D作于点H，证明，则，由旋转可知，，由四边形是正方形，可得，则，进而可得；
（3）如图①，过点D作于点H．由（2）可知，，则，，，由勾股定理得：，即，可求满足要求的解为，则，由勾股定理得，，计算求解即可．
【详解】（1）解：四边形是正方形，理由如下；
由旋转的性质可知，，，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形；
（2）解：，证明如下；
如图②，过点D作于点H，
∴，
图②
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
由旋转可知，，
由（1）可知，四边形是正方形，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图①，过点D作于点H．
图①
由（2）可知，，
∴，，
∴，
由勾股定理得：，即，
解得，或（舍去），
∴，
由勾股定理得，，
∴的长为．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握正方形的判定与性质，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
21．
【分析】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，能够根据图形的条件画出辅助线并进行面积转换是解题的关键．过点分别作，，垂足分别为，，证四边形是正方形，再证，转换面积，即可求解．
【详解】解：如解图，过点分别作，，垂足分别为，，
点是正方形的对角线上一点，
，，
四边形是正方形，
，
，
，
，，
，
又，
，
，
．
，
，
，
，
．
22．(1)，且，见解析；
(2)；
(3)．
【分析】（）由四边形是正方形，得，，证明，根据全等三角形的性质即可求证；
（）连接并延长交于，连接，先证明，得，，则有，根据勾股定理求出即可；
（）过点作于点，由勾股定理求出，根据等面积，得出，最后由勾股定理和线段和差即可求解．
【详解】（1），且，
理由：∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴线段和的关系为：，且；
（2）连接并延长交于，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∵正方形的边长为，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，过点作于点，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，勾股定理，等角对等边等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
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