第二章 一元二次方程 同步练习卷（含解析）-数学九年级上册北师大版

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第二章一元二次方程同步练习卷-数学九年级上册北师大版
一、单选题
1．方程二次项系数，一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，，1 B．，，1 C．1，3， D．1，3，1
2．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能判断
3．如图，是一个简单的数值运算程序，则输入x的值为（ ）
A．3或 B．6或 C．1或3 D．27
4．已知关于x的一元二次方程，若，则此方程必有一个根为（ ）
A．1 B．0 C． D．
5．一元二次方程用配方法解方程，配方结果是（ ）
A． B． C． D．
6．有一名初三学生，前两年不够努力，但进入初三后，奋起直追．已知他初二下期末考试数学成绩为100分，初三后，第一次和第二次测试均进步明显，第二次数学成绩为144分。两次增长率相同，设每次平均增长率为x，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
7．设是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2013 B．2012 C．2011 D．2010
8．若菱形的一条对角线长为12，边的长是方程的一个根，则该菱形的周长为（ ）
A．20 B．24 C．28 D．20或28
二、填空题
9．已知 是关于x的一元二次方程，则k的值为 ．
10．若实数满足，则的结果为 ．
11．若实数a、b分别满足，且，则的值为 ．
12．有一个人患了感冒，经过两轮传染后共有100人患了感冒，按照这样的传染速度，经过三轮后患了感冒的人数为 人．
13．关于的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则的取值范围为 ．
14．如图，在梯形中 ，点E、F分别在线段上，将沿翻折，点A的落点记为P，当点P落线段上时，的最大值为 ，最小值为 ．
三、解答题
15．解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
16．已知，是方程的两个根；求：
①的值；
②的值．
17．在一块长、宽的长方形荒地上，要建造一个花园并使所占面积为荒地面积的一半，小明的设计方案如图所示，其中花园四周小路的宽度都相等，请帮小明计算一下小路的宽是多少米？
18．已知关于x的一元二次方程．
(1)试说明不论实数m取何值，方程总有实数根；
(2)如果当时，α、β为方程的两个根，求的值．
19．若关于的方程有一个解为，那么称这样的方程为“实一方程”．例如方程：有解，所以为“实一方程”．
(1)下列方程是“实一方程”的有_______________；
①； ②； ③．
(2)已知直线与轴交于点，与轴交于点，，且当时，关于的方程为“实一方程”，求该直线解析式；
(3)已知，为“实一方程”（，，为常数，且）的两个根，试求的取值范围．
20．近年来，抽盲盒成为当下青少年喜欢的消费方式，小王同学就乐于收集某商家出品的星球大战系列盲盒和精灵天团系列盲盒，十月份他在线下实体店购买了若干盒星球大战盲盒和精灵天团盲盒，分别花费260元和375元，若星球大战的单价比精灵天团的单价少10元，精灵天团的数量比星球大战的数量多1个．
(1)十月份，小王购买的星球大战和精灵天团的盲盒单价分别为多少元？
(2)十一月份，商家在“双十一”开启了打折促销活动．其中星球大战的单价下降了5元，精灵天团的单价下降了．小王为了抽取隐藏款，果断增加了购买量，星球大战购买数量在十月份基础上增加了，精灵天团购买数量在十月份的基础上增加了，结果这次购物的金额比十月份增加了208元，求m的值．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A B C A C A C
1．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，对于一元二次方程，其中a、b、c是常数且，a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项，据此可得答案．
【详解】解：把原方程化为一般式为，
∴原方程的二次项系数为1，一次项系数为，常数项为1，
故选：A．
2．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．
【详解】解：由题意得，，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
3．B
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据流程图可得方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴，
解得或，
故选：B．
4．C
【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．将代入方程中的左边，得到，由得到方程左右两边相等，即是方程的解．
【详解】解：将代入方程中的左边得：，
∵，
∴是方程的根．
即方程的一个根为．
故选：C．
5．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法——配方法过程步骤为：1．把原方程化为一般形式．
先移常数项，再将二次项系数化为1，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，从而得出配方的结果．
【详解】解：
，
故选：A．
6．C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设每次平均增长率为x，根据增长率问题列出一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设每次平均增长率为x，根据题意得，
，
故选：C．
7．A
【分析】本题主要考查了代数式求值、一元二次方程的解以及一元二次方程的根与系数的关系，确定和是解题关键．根据一元二次方程的根与系数的关系可得，根据一元二次方程的解的定义可得，然后由，即可获得答案．
【详解】解：∵是方程的两个实数根，
∴，
把代入方程，
可得，
∴，
∴．
故选：A．
8．C
【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形三边关系的应用，以及因式分解法解一元二次方程，先用因式分解法解一元二次方程，得出菱形的边长，再利用三角形三边关系的应用得出菱形的适合边长，最后根据菱形的周长计算即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
或，
解得或，
分两种情况：
当时，
∵，
∴不能构成三角形；
当时，
∵，
∴能构成三角形，
综上所述：该菱形的边长为7，
∴菱形的周长为：，
故选：C．
9．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程，
∴，
∴，
故答案为：．
10．1
【分析】设，则原方程转化为关于t的一元二次次方程，通过解方程求得t的值，即的值．本题主要考查了换元法，因式分解法解一元二次方程，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．
【详解】解：设
则原式等于，
整理 得
解得（舍弃），
即．
故答案为：1．
11．/
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系：．
根据题意得出a和b是方程的两根，进而得出，，即可解答．
【详解】解：∵，
∴a和b是方程的两根，
∴，，
，
故答案为：．
12．1000
【分析】根据两轮传染后患了感冒的人数第一次被传染的人数+第二次被传染的人数，求出一个人可以传染的人数，即可进行求解．本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出方程求解．
【详解】解：设一个人可以传染x个人，
，
解得：，（舍），
∴经过三轮后患了感冒的人数为：（人），
故答案为：1000．
13．或
【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，根据 的判别式的意义得到，解得，再根据题意得出或，然后分别解不等式组即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
整理得：，
解得：，
∵此时，
∴，
∴，
∵方程在的范围内有实数根，
∴或，
解得不等式无解，
解得出，
∴的取值范围为或，
故答案为：或．
14． 4
【分析】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质，折叠性质，公式法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先证明四边形是矩形，再设，得出，结合，代入化简，再算出对应的（舍去），得出最小值，当与重合时，E在的中点时，此时有最大值，即可作答．
【详解】解：如图：过点P作
∵
∴
∵
∴四边形是矩形
∴
∵点E、F分别在线段上，将沿翻折，点A的落点记为P，当点P落线段上时，
设
∴
∴
∵
∴
即
令
∴令
则
∴
∴（舍去）
∵
∴最小能取到
当与重合时，E在的中点时
此时与重合
则
故答案为：4，
15．(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，
【分析】（）利用因式分解法求解即可；
（）利用公式法求解即可；
（）利用配方法求解即可；
（）利用因式分解法求解即可；
本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法．
【详解】（1）解：∵，
∴．
∴，；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
∴，；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，；
（4）解：∵，
∴，
则或，
解得，．
16．①，②
【分析】本题考査了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，．解题的关键是对代数式进行适当的变形，使已知两根之和与两根之积可以整体代入求值．
根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入代数式即可求解．
【详解】解：①，是方程的两个根，
，
；
②，是方程的两个根，
，
．
17．小路的宽是
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，准确找出等量关系是解题的关键．根据“花园面积大长方形面积的一半”列方程即可得解．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，，
不合题意，舍去，
．
答：小路的宽是．
18．(1)见详解
(2)
【分析】（1）计算其判别式，判断出其符号即可；
（2）当时，其方程为，利用方程根的定义可求得，，代入求值即可．
【详解】（1），
，
不论实数m取何值，方程总有实数根；
（2）当时，其方程为，
α、β为方程的两个根，
，，
．
【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，掌握方程根的情况和根的判别式的关系是解题的关键．
19．(1)①③
(2)或
(3)
【分析】（1）依据题意，根据“实一方程”定义逐个计算即可判断得解；
（2）依据题意，由当时，关于的方程为“实一方程”，从而可得，再由，进而求出，即可判断得解；
（3）依据题意，由为“实一”方程，则方程必有一个根是，故，结合，可得，，且，可得，又，为“实一方程” 的两个根，从而其中一个是，而另一个为，故，再由，进而计算可以得解．
【详解】（1）解：解方程得，
是“实一方程”；
解方程得，，
不是“实一方程”；
解方程得，，
是“实一方程”；
故答案为：①③；
（2）由题意，当时，关于的方程为“实一方程”，
当时，．
．
．
又直线与轴交于点，与轴交于点，
，，．
．
．
又，
．
或．
或．
直线解析式为或．
（3）由题意，为“实一”方程，
方程必有一个根是．
．
又，
，，且．
．
，为“实一方程” 的两个根，
其中一个是，而另一个为．
．
，
．
．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系、一元二次方程的解、待定系数法求一次函数解析式、一次函数与一元一次方程，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
20．(1)小王购买的星球大战的盲盒单价为65元，精灵天团的盲盒单价为75元
(2)m的值为10
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）设小王购买的星球大战的盲盒单价为x元，则精灵天团的盲盒单价为元，根据分别花费260元和375元，精灵天团的数量比星球大战的数量多1个．列出分式方程，解方程即可；
（2）根据这次购物的金额比十月份增加了208元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【详解】（1）解：设小王购买的星球大战的盲盒单价为x元，则精灵天团的盲盒单价为元，
由题意得：，
解得：，，
经检验，，都是原方程的解，但不符合题意，舍去，
∴，
∴，
答：小王购买的星球大战的盲盒单价为65元，精灵天团的盲盒单价为75元；
（2）解：由（1）可知，，，
由题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：的值为10．
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