第21章一元二次方程闯关练习（含解析）

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第21章一元二次方程闯关练习-数学九年级上册人教版
一、单选题
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．4、、 B．4、2、 C．4、、1 D．4、2、1
3．一元二次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
4．若关于x的方程有两个实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．若、是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A． B． C．0 D．1
6．若，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
8．《九章算术》中有这样一道题：“今有二人同所立．甲行率六，乙行率四．乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会．问：甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲走了多少步（ ）
A．24 B．30 C．32 D．36
二、填空题
9．一元二次方程的根是 ．
10．已知方程可以配方成的形式，那么 ．
11．张老汉打算在自家的责任田中圈出一块面积为的矩形土地种植玉米，为方便种植，圈出的矩形土地的长与宽应相差，设该矩形土地的长为，则可列方程为 ．
12．已知平行四边形的其中三边长分别为，则第四条边的长为 ．
13．已知、是方程的两根，则 ．
14．如图，在边长为正方形中，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿和边向D点以的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止．过了 秒钟后，的面积等于．
三、解答题
15．解方程：
(1)用配方法：；
(2)用公式法：．
16．已知关于的一元二次方程．
(1)当时，求该方程的根；
(2)求证：不论取何实数，该方程总有两个实数根．
17．2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨10元，就少卖100个．
(1)若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？
(2)商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了个，求这两周的平均增长率．
18．社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为．求道路的宽是多少米？
19．阅读下面材料，解答问题：
为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，解得，，当时，，∴，∴，当时，，∴，∴，故原方程的解为，，，．
上述解题方法叫做换元法．
请利用换元法解方程：．
20．已知是关于x的一元二次方程的两个实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)已知等腰三角形的底边，若恰好是另外两条腰的长，求这个三角形的周长．
(3)阅读材料：若三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶—海伦公式可得：的面积，其中．
解答问题：请在（2）的条件下，根据“阅读材料”中的信息解答下列问题：

①求等腰三角形的面积；
②如图，若和的角平分线交于点I，请求出的面积．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C D A D A A D
1．B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】A、是一元一次方程，故选项错误，不符合题意；
B、符合一元二次方程的定义，故选项正确，符合题意；
C、不是整式方程，故选项错误，不符合题意；
D、是二元一次方程，故选项错误，不符合题意．
故选：B．
2．C
【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．据此求解即可．
【详解】解：∵
∴
∴．
故选C．
3．D
【分析】本题考查一元二次方程的解法，解一元二次方程的方法有：直接开平方法，配方法、公式法，因式分解法，根据方程的特点灵活选用一元二次方程的解法是解题的关键．
【详解】解：，
∴，
∴．
故选：D．
4．A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据列式求解即可．
【详解】解：∵方程有两个实数根，
∴，
∴．
故选A．
5．D
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
先由根与系数的关系得出，，代入即可求解．
【详解】∵是方程的两个根，
∴，，
∴，
故选D．
6．A
【分析】此题考查了根与系数的关系，一元二次方程，当方程有解，即时，设方程两根分别为，则有，将原题第二个等式左右两边同时除以，变形后与第一个等式比较，得到与为方程的两个解，利用一元二次方程根与系数的关系即可求出所求式子的值．
【详解】解：当时，，
∴，
将变形得：，
又，
与为方程的两个解，
∴．
故选：A．
7．A
【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的系数结合根的判别式即可得出，从而得出方程有两个相等的两个实数根，练掌握“当时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键．
【详解】解：∵在方程中，，
∴方程有两个相等的两个实数根．
故选：A．
8．D
【分析】本题考查了勾股定理的应用，表示正东方向，表示正南方向，则，设甲、乙的时间都是x，则，，再由勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解：如图，表示正东方向，表示正南方向，
，
∴
设甲、乙的时间都是x，则，，
又∵．
∴
由勾股定理得：，
∴
∴，
∴（舍去），
∴甲走的路程为（步），
故选：D．
9．
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．用因式分解法求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴．
故答案为：．
10．1
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．根据配方法即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：1．
11．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设该矩形土地的长为，则宽为，根据“面积为”列出一元二次方程即可．
【详解】解：设该矩形土地的长为，则宽为，
由题意得：，
故答案为：．
12．1或15
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解一元二次方程，分当一组对边的长分别为时，当一组对边的长分别为时，当一组对边的长分别为时，三种情况根据平行四边形对边相等建立方程求解即可．
【详解】解：∵平行四边形的其中三边长分别为，
∴当一组对边的长分别为时，则有，解得或（舍去），
∴，
∴第四条边的长为1；
当一组对边的长分别为时，则有，解得，
∴，
∴第四条边的长为15；
当一组对边的长分别为时，则有，解得（舍去）或（舍去）；
综上所述，第四条边的长为1或15，
故答案为：1或15．
13．/
【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 一元二次方程的根与系数的关系：．根据一元二次方程的根与系数的关系即可求解．
【详解】解：∵是方程的两根，
∴，，
∴
；
故答案为：
14．2或
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用的知识点，解答本题的关键是Q点的运动位置，此题很容易漏掉一种情况，此题难度一般．设经过x秒，的面积等于，分类讨论当秒时，Q点在上运动，P在上运动，求出面积的表达式，求出一个值，当秒时，Q点在上运动，P在上运动，根据条件列出一个一元一次方程，求出一个值．
【详解】解：设经过x秒，的面积等于，
当秒时，Q点在上运动，P在上运动，
，，
∴，
解得或4，
又知，
故符合题意，
当秒时，Q点在上运动，P在上运动，
，
解得．
故答案为：2或．
15．(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法和公式法是解题的关键．
（1）用配方法解一元二次方程即可；
（2）用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
移项得：，
二次项系数化为1得：，
配方得：，
即，
开平方得：，
∴，．
（2）解：，
∵，，，
∴，
∴，
∴，．
16．(1)
(2)见解析
【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根的判别式；
（1）当时，原方程可化为，利用因式分解求解即可；
（2）证明即可．
【详解】（1）：当时，原方程可化为
∴，
解得．
（2）由题意，得，
不论取何实数，该方程总有两个实数根．
17．(1)售价应定为每个元．
(2)这两周的平均增长率为．
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键；
（1）设售价应定为每个元，则每个利润为元，销量为个，再利用总利润为元，再建立方程解题即可；
（2）由（1）得：当售价为每个元时，销量为个，设这两周的平均增长率为，再结合增长率的含义建立方程求解即可．
【详解】（1）解：设售价应定为每个元，则
，
整理得：，
解得：，；
∵更大优惠让利消费者，
∴不符合题意，
∴商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为每个元．
（2）解：由（1）得：当售价为每个元时，销量为（个），
设这两周的平均增长率为，则
，
解得：，（不符合题意舍去），
∴这两周的平均增长率为．
18．道路的宽为6米．
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，平移的性质，掌握利用一元二次方程解决面积问题是解题的关键．设道路的宽为x米，利用平移的性质可得铺花砖部分组成一个边长为米，宽为米的矩形，再根据矩形的面积公式列出方程，解答检验即可．
【详解】解：设道路的宽为x米， 根据题意结合平移的性质可得：
，
解得：（舍去）或，
通道的宽为6米；
19．，，，
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，换元法就是把一个复杂的不变整体用一个字母代替，这样就把复杂的问题转化为简单的问题，先设，则原方程变形为，运用因式分解法解得，再把和6分别代入得到关于x的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解．
【详解】解：设，则，即，
∴
解得：，
当时，，即，
解得：，;
当时，，即，
解得：，.
所以原方程的解为，，，
20．(1)
(2)10
(3)①；②
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、等腰三角形的性质、角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
（1）根据题意可知一元二次方程根的判别式大于或等于0列出不等式求解即可；
（2）根据恰好是等腰的腰长，令，解一元二次方程求得，然后运用三角形的周长公式即可解答；
（3）①由(2)知：的三边长为，代入公式求得面积；②根据角平分线的性质以及的面积看求得，最后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：．
（2）解：由题意知：恰好是等腰的腰长，
∴，
∵是关于的一元二次方程的两实数根，
∴，
解得：，
∴，
解得，
∵，
∴的周长为：．
（3）解：①由(2)知：的三边长为，
∴，
∴．
②过I分别作，

∵和的角平分线交于点I，
∴，
∴
，
解得，
∴．
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