3.3 二项式定理与杨辉三角-第3课时 课件(共26张PPT)-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

(共26张PPT)
3.3 二项式定理与杨辉三角
第3课时 二项式定理的应用
【学习目标】
1.能解决与二项式定理有关的整除问题；
2.能利用二项式定理求值；
3.能利用二项式定理证明等式（或不等式）.
探究点一 利用二项式定理证明整除问题
例1（1） 证明 能被7整除.
证明: ,上式中各项均能被7整除,所以
能被7整除,得证.
（2）试求 除以8的余数.
解：,因为其展开式中除末项 外,其余的各项均含有8
这个因数,所以除以8的余数与 除以8的余数相同.
因为 ,其展开式中除末项1外,其余的各项均含有8这个因
数,所以 除以8的余数为1.
故 除以8的余数为1.
（3）求证 能被64整除.
证明:
，
上式中的每一项都含有 这个因数,故原式能被64整除.
变式（1） 若是正整数，则 除以7
的余数是______．
1或6
[解析] 根据二项式定理可知，
，又
当 为偶
数时，除以7的余数为1；当 为奇数时，除以7的余数为6.
（2）如果今天是星期二，那么经过 天后是星期____.
三
[解析] ，即 除以7的余数为1，故经过
天后是星期三.
［素养小结］
用二项式定理解决整除（或余数）问题时,一般需要先将底数写成除数
的整数倍加上或减去 的形式,再利用二项展开式求解.
拓展 已知，，用二项式定理证明:能被 整除.
证明:
，
,,是正整数，故 能
被 整除.
探究点二 利用二项式定理求值
例2（1） 已知 ，则
___.
6
[解析]
，即
，解得 .
（2）的近似值为_____.（精确到 ）
1.13
[解析] .
变式 的近似值是_______.（精确到 ）
[解析]
.
［素养小结］
利用二项式定理求值，需注意：
（1）已知展开式时，需准确找出定理中的, 在题目中的具体指向；
（2）求近似值时，能够运用二项式定理准确拆分与展开.
探究点三 利用二项式定理证明
例3（1） 求证：对任意正整数 ，
．
证明： ，
．
（2）利用二项式定理证明： ．
证明： 因为, ,所以
，
所以，所以 .
变式 证明： .
证明：因为, ，
所以，所以 .
［素养小结］
运用二项式定理证明时，根据所证式子进行适当变形，在不等式的证明中要对
式子进行适当的放缩.
1. 被7除的余数为( )
D
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] ，
展开式中除最后一项外，其他各项都是7的整数倍，所以 被7除的余数
等于 被7除的余数，显然余数为3.故选D.
2. 等于( )
C
A. B.1 C. D.
[解析] .故选C.
3.利用二项式定理计算 ，则其结果精确到0.01的近似值是( )
D
A.1.23 B.1.24 C.1.33 D.1.34
[解析] ．故选D.
4.利用二项式定理证明： ．
证明：因为， ，所以
，
所以 .
在利用二项式定理证明不等式时，可对展开式进行适当放缩.
1.利用二项式定理解决整除问题时，要巧妙构造二项式.
例1 [2023·山东泰安高二期中] 若，且能被17整除，则 的最
小值为( )
B
A.0 B.1 C.16 D.18
[解析] 由题意，
.
因为 能被17整除，而
能被17整除,所以 也能被 17 整除,所以
,,即,,所以 的最小值为1.故选B.
2.利用二项式定理证明不等式时，要学会准确拆分和适当放缩.
例2 若，求证： ．
证明： ，
．
综上，当时， ．