2024-2025学年河南省信阳市息县部分学校九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2024-2025学年河南省信阳市息县部分学校九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.若是二次函数，则的值为( )
A. B. C. 或 D.
3.如图，在 中，，则边的长可能是( )
A.
B.
C.
D.
4.设一元二次方程的两个实根为和，则( )
A. B. C. D.
5.某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛场，则参加此次比赛的球队数是( )
A. B. C. D.
6.电影流浪地球一上映就获得追捧，第一天票房收入约亿元，第三天票房收入达到了亿元，设第一天到第三天票房收入平均每天增长的百分率为，则可列方程( )
A. B.
C. D.
7.对于函数，下列说法正确的是( )
A. 当时，随的增大而减小 B. 当时，随的增大而减小
C. 随的增大而减小 D. 随的增大而增大
8.关于的一元二次方程的根的情况是( )
A. 没有实数根 B. 有一个实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根
9.如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长米、宽米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为( )
A. B.
C. D.
10.直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，关于的不等式的解集为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.某校截止到年底，校园绿化面积为平方米为美化环境，该校计划年底绿化面积达到平方米利用方程想想，设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意列方程为______．
12.已知一次函数中，随的增大而减小，则的取值范围是______．
13.若是二次函数，则的取值范围是______．
14.已知实数、满足，若关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，则 ______．
15.如图，在平面直角坐标系中， 的顶点和顶点，直线以每秒个单位长度向上移动，经过______秒该直线可将 的面积平分．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
16.按要求解下列一元二次方程：
公式法；
配方法．
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
某商店经营一种小商品，进价为元据市场调查，销售单价是元时平均每天销售量是件，而销售价每降低一元，平均每天就可以多售出件．
假定每件商品降低元，商店每天销售这种小商品的利润元，请写出与之间的函数关系．
注：销售利润销售收入购进成本
当每件小商品降低多少元时，该商店每天能获利元？
18.本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：无论取何实数时，原方程总有两个实数根．
若原方程的两个实数根一个小于，另一个大于，求的取值范围．
19.本小题分
如图，在四边形中，与相交于点且，点在上，满足．
求证：≌；
若，求证：四边形是菱形．
20.本小题分
如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙外墙足够长围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门建在处，另用其他材料．
当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？
羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
21.本小题分
抛物线与直线交于点．
求，的值；
求抛物线与直线的两个交点，的坐标．
22.本小题分
现在全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商场从厂家购进了、两种型号的空气净化器，已知一台型空气净化器的进价比一台型空气净化器的进价多元，用元购进型空气净化器和用元购进型空气净化器的台数相同．
求一台型空气净化器的进价为多少元？
在销售过程中，型空气净化器因为净化能力强，嗓音小而更受消费者的欢迎，为了增大型空气净化器的销量，商场决定对型空气净化器进行降价销售经市场调查，当型空气净化器的售价为元时，每天可卖出台，在此基础上，售价每降低元，每天多卖出台，如果每天商场销售型空气净化器的利润为元，请问商场应将型空气净化器的售价定为多少元？
23.本小题分
某科研单位准备将院内一块长，宽的矩形空地，建成一个矩形花园，要求在花园内修两条纵向平行和一条横向弯折的小道小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形，剩余的地方种植花草．
如图，要使种植花草的面积为，求小道进出口的宽度为多少米；
现将矩形花园的四个角建成休闲活动区，如图所示，、、、均为全等的直角三角形，其中，设米，竖向道路出口和横向弯折道路出口的宽度都为，且竖向道路出口位于和之间，横向弯折道路出口位于和之间．
求剩余的种植花草区域的面积用含有的代数式表示；
如果种植花草区域的建造成本是元米、建造花草区域的总成本为元，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、是一元二次方程，符合题意；
B、原方程可化为是二元二次方程，不符合题意；
C、是分式方程，不符合题意；
D、是二元二次方程，不符合题意．
故选：．
根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：根据题意得：且，
解得：．
故选：．
根据二次函数的定义，次数最高项的次数是，且二次项的系数不等于即可求得的值
本题考查了二次函数的定义．要特别注意二次项系数这一条件，当时，若二次系数等于就不是二次函数了，而，可以是．
3.【答案】
【解析】解： 的对角线，相交于点，，，
，，
，，
，
，
在，，，四个数中，，
符合题意，
故选：．
由平行四边形的性质得，，由，得，而，可知符合题意，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的性质、三角形的三边关系等知识，求得，，并且列出不等式是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：，
，，，
，
故选：．
根据一元二次方程根与系数的关系可直接进行求解．
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系：，是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：设参加此次比赛的球队数为队，根据题意得：
，
化简，得，
解得，舍去，
参加此次比赛的球队数是队．
故选：．
根据球赛问题模型列出方程即可求解．
本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛问题．
6.【答案】
【解析】解：设平均每天票房的增长率为，
根据题意得：．
故选：．
设平均每天票房的增长率为，根据第一天票房收入约亿元，第三天票房收入达到了亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：，对称轴为；
当时，随的增大而增大，
当时，随的增大而减小．
故选：．
可根据抛物线的对称轴及开口方向，判断二次函数的增减性．
本题考查抛物线的形状与抛物线表达式系数的关系，比较简单．
8.【答案】
【解析】解：
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
若设小道的宽为米，则阴影部分可合成长为米，宽为米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】
解：依题意，得：，即．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：由图可知：两条直线的交点坐标为，且当时，直线在直线的上方，
解集为，
故选：．
根据函数图象直接得到答案．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合，运用数形结合的思想解决此类问题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
故答案为：．
根据年底绿化面积年平均增长率年底绿化面积，列出一元二次方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：一次函数中，随的增大而减小，
，
解得，
故答案为：．
一次函数，当时，随的增大而减小．据此列式解答即可．
本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．
13.【答案】
【解析】解：是二次函数，
，
的取值范围是：．
故答案为：．
根据二次函数的定义直接得出答案．
本题考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解答此题的关键．
14.【答案】
【解析】解：实数、满足，
，，
关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，
，，
，
故答案为：．
根据非负数的性质得出，，根据根与系数的关系可得，，将变形为，整体代入即可求得．
本题考查了非负数的性质，一元二次方程的根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，．
15.【答案】
【解析】解：连接、，交于点，当经过点时，该直线可将 的面积平分，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
设的解析式为，
平行于直线，
，
过，
的解析式为，
直线要向右平移个单位，
时间为秒，
故答案为：．
首先连接、，交于点，当经过点时，该直线可将 的面积平分，然后计算出过且平行于直线的直线解析式，从而可得直线要向右平移个单位，进而可得答案．
此题主要考查了平行四边形的性质，以及一次函数图象与几何变换，关键是正确掌握经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积．
16.【答案】解：，，，
，
则，
即，．
，
，
，即，
，
，．
【解析】利用公式法求解即可；
利用配方法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
17.【答案】解：由题意可得：
；
根据题意得，
整理得，
解得，，
答：当每件小商品降低元或元时，该商店每天能获利元．
【解析】先表示出降价后的销售量为件，根据销售利润销售收入购进成本，把每件的利润乘以销售量即可得到与之间的函数关系；
利用中的函数关系中函数值为元列一元二次方程，然后解方程即可．
本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式．
18.【答案】证明：
，
是非负数，
．
无论取何实数时，原方程总有两个实数根；
解：，
，
或，
解得：，，
由方程两个实数根一个小于，另一个大于，
则有，
解得，
即的取值范围是．
【解析】根据一元二次方程的根的判别式的符号来证明即可：
先求出原方程的两个实数根，根据两个实数根一个小于，另一个大于，列出不等式，求出的取值范围．
本题考查解一元二次方程公式法，根的判别式，当时，方程有两个实数根；同时考查了因式分解法解一元二次方程及解一元一次不等式，掌握基础知识是解本题的关键．
19.【答案】证明：在和中，
，
≌；
证明：≌，
，
又，
四边形是平行四边形，
又，，
，
平行四边形是菱形．
【解析】证≌，，即可得出结论；
由全等三角形的性质得出，再由，由等腰三角形的性质得，则平行四边形是菱形，即可得出答案．
本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解此题的关键．
20.【答案】解：设矩形的边，则边．
根据题意，得，
化简，得解得，，
当时，；
当时，．
答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈；
答：不能，
理由：由题意，得，
化简，得，
，
一元二次方程没有实数根．
羊圈的面积不能达到．
【解析】根据栅栏总长，再利用矩形面积公式即可求出；
先利用矩形面积公式得到，再根据，进行判断即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找到周长等量关系是解决本题的关键．
21.【答案】解：点在直线上，
，
点坐标，
把点代入得到，
；
由解得或，
点坐标，点坐标．
【解析】将点代入求出，再把点代入抛物线求出即可；
解方程组即可求出交点坐标．
本题考查了二次函数性质，解题的关键是灵活掌握待定系数法，学会利用方程组求函数图像交点坐标，属于中考常考题型．
22.【答案】解：设每台型空气净化器为元，型净化器为元，
由题意得，，
解得：，
经检验是原方程的根，
则，
答：每型空气净化器、每台型空气净化器的进价分别为元，元；
设型空气净化器的售价为元，根据题意得；，
解得：，
答：如果每天商社电器销售型空气净化器的利润为元，商社电器应将型空气净化器的售价定为元．
【解析】设每台种空气净化器为元，种净化器为元，根据用元购进种空气净化器的数量与用元购进种空气净化器的数量相同，列方程求解；
根据总利润单件利润销量列出一元二次方程求解即可．
本题考查了一元二次方程及分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，注意分式方程应该检验，难度不大．
23.【答案】解：设小道进出口的宽度为米，依题意得．
整理，得．
解得，．
不合题意，舍去，
．
即小道进出口的宽度应为米；
剩余的种植花草区域的面积；
根据题意得，
解得或不合题意舍去，
答：的值为．
【解析】设小道进出口的宽度为米，可将图中的空白部分平移在一起，变成一个长为，宽为的长方形空地；接着根据其种植花草的面积为平方米列出方程求解即可；
根据题意列出代数式即可；
根据题意解方程即可得到结论．
本题考查了一元二次方程的应用，正确的理解题意列出方程是解题的关键．
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