2024-2025学年广东省深圳市福田实验教育集团侨香学校八年级（上）开学数学试卷（含解析）

2024-2025学年广东省深圳市福田实验教育集团侨香学校八年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各组线段中，能够组成直角三角形的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
2.在实数，，，，，，两个之间依次多一个中，无理数的个数是( )
A. B. C. D.
3.若一个直角三角形的两直角边长分别是和，则斜边长为( )
A. B. C. 或 D. 或
4.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
5.实数，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
6.课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到行人为从处快速到达图书馆处，直接从长方形草地中穿过．为保护草地，嘉嘉想在处立一个标牌：“少走米，踏之何忍？”如图，若米，米，则标牌上“”处的数字是( )
A. B. C. D.
7.如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，钟摆的长度是( )
A.
B.
C.
D.
8.已知，为实数，且，则下列式子的值最大的是( )
A. B. C. D.
9.如图，已知正方形的面积为，点在数轴上，且表示的数为现以点为圆心以的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点在的右侧，则点表示的数为( )
A. B. C. D.
10.我国清代数学家李悦借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理如图，直角三角形的三边，，满足，分别以、、为边作三个正方形：正方形、正方形、正方形，把它们拼成如图所示形状，使、、三点在一条直线上，若，四边形与面积之和为，则正方形的面积为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.的算术平方根是______．
12.如图，一棵大树树干与地面垂直在一次强台风中于离地面米的处折断倒下，倒下后的树顶与树根的距离为米，则这棵大树在折断前的高度为______米
13.如图，在数轴上点表示的实数是______．
14.如图，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部处，则这条丝线的最小长度是______．
15.中考新考法传统文化幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则，，，之和为______．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
计算：．
17.本小题分
计算：
；
；
；
．
18.本小题分
如图，每个格子都是边长为的小正方形，，四边形的四个顶点都在格点上．
求四边形的周长；
连接，试判断的形状，并求四边形的面积．
19.本小题分
已知：的两个平方根是与，且的算术平方根是．
求、的值；
求的立方根．
20.本小题分
如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的处到公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站、之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，且．
请判断的形状？
求修建的公路的长．
21.本小题分
学习了“勾股定理”后，郑州某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下的活动报告，请根据活动报告完成下面试题．
报告 测量风筝的垂直高度
成员 组长：组员：，，
工具 皮尺等
示意图
方案 先测量水平距离，然后根据手中剩余线的长度得出风筝线长，最后测量放风等的同学的身高
数据 米米米
评价
求此时风筝的垂直高度；
若站在点不动，想把风不沿方向从点的位置上升米至点的位置，则还需放出风筝线多少米？
22.本小题分
阅读材料：
材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如：，
．
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
的有理化因式为______，的有理化因式为______均写出一个即可
将下列各式分母有理化要求写出变形过程：
；
．
请计算下列式子要求写出计算过程．
计算：的结果．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、因为，所以不能构成直角三角形，不符合题意；
B、因为，所以不能构成直角三角形，不符合题意；
C、因为，所以不能构成直角三角形，不符合题意；
D、因为，所以能构成直角三角形，符合题意．
故选：．
欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断，掌握上述内容是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：是有限小数，，是整数，是分数，它们不是无理数；
，，两个之间依次多一个是无限不循环小数，它们是无理数，共个；
故选：．
无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可．
本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：由题意得：斜边长
故选：．
本题直接利用勾股定理即可解出斜边的长．
本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的基本运用是解答本题的关键．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、二次根式的混合运算法则是解题的关键．
根据二次根式的性质、二次根式的混合运算法则进行计算，判断即可．
【解答】
解：，A错误；
，B错误；
，C错误；
，D正确，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：依题意得：，，
，、异号，且．
，D错误；
；
C正确；
；
B错误；
故选：．
由题意可知，，故、异号，，且根据有理数加减法得的值应取的符号“”，故；由，利用作差法求得．
本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．
6.【答案】
【解析】解：在中，由勾股定理得，
米，
米，
故选：．
利用勾股定理求出，即可得出答案．
本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：设，
根据题意可知，，，，，
，
，
在中，，
，即，
解得：，
故选：．
设，根据题意可推出，然后在中利用勾股定理列方程求解即可．
本题考查了勾股定理的应用，平行线之间的距离处处相等，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：，
，，
，，
，，，，
的值最大，
故选：．
根据非负数的性质求得，，分别代入求解，再进行判断即可．
本题考查实数大小比较，非负数的性质：偶次方，非负数的性质：算术平方根，解答本题的关键是首先利用非负数的性质得出，的值．
9.【答案】
【解析】解：正方形的面积为，且，
，
点表示的数是，且点在点的右侧，
点表示的数为．
故选：．
根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合点所表示的数及间距离可得点所表示的数．
本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键．
10.【答案】
【解析】解：如图，作于点，则，
四边形、四边形、四边形都是正方形，
，，，．
≌．
．
，
，
又，
≌．
，，
．
，，
，
，
≌．
，
，
，
，，
，
，
．
．
，
．
．
．
故选：．
作于点，易得≌，≌，≌，那么可得，，，进而根据，四边形与面积之和为，求得的值，整理可得正方形的面积．
本题综合考查勾股定理的应用．把所求正方形的面积合理分割，是解决本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：的算术平方根是，
故答案为：．
根据算术平方根的定义即可求得答案．
本题考查算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：，，，
米，
米，
即这棵大树在折断前的高度为米．
故答案为：．
先计算，再算即可．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：由题意可得：，，
则，
故在数轴上点表示的实数是：．
故答案为：．
直接利用勾股定理得出的长，再利用数轴上点位置得出答案．
此题主要考查了实数与数轴，正确得出的长是解题关键．
14.【答案】
【解析】解：如图，将圆柱侧面展开得到长为，宽是的长方形，连接，
根据两点之间线段最短得这条丝线的最小长度是的长度，
由勾股定理得，解得，
则这条丝线的最小长度是，
故答案为：．
先将圆柱侧面展开得到长为，宽是的长方形，然后利用勾股定理求解即可．
本题考查圆柱的展开图、最短路径问题、勾股定理，理解题意，灵活运用两点之间线段最短解决最短路径问题是解答的关键．
15.【答案】
【解析】解：对角线方向上的实数相乘的结果为，
根据方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等得，
，解得，
，解得，
，解得，
，解得，
，，，之和为，
故答案为：．
根据横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等列出方程求解即可．
本题考查了数的规律探究，涉及考查一元一次方程的应用，方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等是解题的关键．
16.【答案】解：原式
．
【解析】先算乘方，负整数次幂，以及求算术平方根，再算乘除，最后算加减法即可．
本题主要考查了二次根式，实数的混合运算，熟记运算法则是解题的关键．
17.【答案】解：
；
；
；
．
【解析】先化简，然后合并同类二次根式即可；
先化简，去绝对值，再合并同类二次根式即可；
先化简，然后合并同类二次根式即可；
根据平方差公式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后合并同类二次根式和同类项即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式和完全平方公式的应用．
18.【答案】解：，，，，
四边形的周长；
如图，
，，，
，
是直角三角形，，
，
，
．
【解析】根据勾股定理求出，，再根据四边形周长定义求解即可；
根据勾股定理逆定理求出，再根据求解即可．
此题考查了勾股定理逆定理、勾股定理等知识，熟练运用勾股定理逆定理、勾股定理是解题的关键．
19.【答案】解：解：的平方根是与，且的算术平方根是，
，，
解得：，；
，，
，
的立方根是．
【解析】根据平方根与算术平方根的定义即可求得，的值；
将，的值代入中计算后利用立方根的定义即可求得答案．
本题考查平方根，算术平方根及立方根，熟练掌握其定义及性质是解题的关键．
20.【答案】解：是直角三角形．
，，，
，
，
，
是直角三角形．
，
，
．
答：修建的公路的长是．
【解析】根据勾股定理的逆定理，由得到是直角三角形．
利用的面积公式可得，，从而求出的长．
本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理的应用，以及三角形的面积公式等知识，熟练掌握这两个定理是解题关键．
21.【答案】解：由题意得：米，
在中，
由勾股定理得，
负值舍去，
米；
由题意得米，
米，
故CD米，
在中，
米，
米，
故还需放出风筝线米．
【解析】在中，利用勾股定理求出的长度，由即可求解；
由题意得米，根据米，得到米，在中，利用勾股定理求出的长度，由即可求解．
本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
22.【答案】
【解析】解：，
的有理化因式可以为，
，
的有理化因式可以为，
故答案为：，；
原式
；
原式
；
，
，
同理，，
原式
．
根据算术平方根的定义以及平方差公式进行计算即可；
分子、父母分别乘以即可；
分子、父母分别乘以即可；
根据分母有理化的方法将原式化为，再进行计算即可．
本题考查分母有理化，平方差公式以及二次根式的混合运算，掌握平方差公式的结构特征，二次根式混合运算的方法以及分母有理化因式的定义是正确解答的关键．
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