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第三章 图形的初步认识
第3章 图形的初步认识 单元复习
学习目标与重难点
学习目标：
1.经历对本章所学知识回顾与思考的过程将本章内容条理化、系统化,梳理本章的知识结构;
2.让学生能从实物图中抽象出立体图形和平面图形，了解简单立体图形与三视图的联系,能根据立体图的展开图识别出立体图形;
3.理解并掌握直线、射线、线段、线段的中点、角、角的平分线的概念及两个基本事实;
4.会比较两条线段的长短和两个角的大小,掌握余角和补角的概念,能运用线段和角的和、差、倍、分的知识进行有关计算.
学习重点：三视图和直线、射线、线段、角的有关概念及计算
学习难点：立体图形的三视图、立体图形的展开图及运用几何语言进行简单的推理.
教学过程
一、知识结构
二、要点回顾
1.柱体、锥体、球体的概念：
2. 棱柱、圆柱、圆锥、棱锥：
3. 棱、顶点：
4. 多面体的概念：
5. 立体图形的分类：
6. 投影的概念：
7.平行投影、中心投影、正投影的概念：
8.视图的定义：
9.三视图定义及其画法：
10.由三视图描述几何体(或实物原型)的方法：
11.组合体的三视图与立体图形的关系:
12.正方体展开图:
多边形的概念：
14.多边形与三角形的关系：
15.点和线段的表示及线段的基本事实：
16.射线和直线的概念：
线段的长短比较方法：
18.作一条线段等于已知线段:
如图,MN为已知线段，用直尺和圆规准确地作一条与MN相等的线段.
19.线段的中点概念：
20.角的概念及表示方法：
21.平角和周角的概念：
22.角的分类：
23.方位角：
24.角的比较法:
25.作一个角等于已知角:
如图, ∠AOB 为已知角, 用直尺和圆规按下列步骤准确地作一个角等于∠AOB .
26.尺规作图：
27.角的平分线：
28.余角和补角的概念及性质：
三、注意事项
1.形成投影需要满足三个条件：
①要有光源；
②要有一个呈现投影的平面，即投影面；
③要有物体存在，且物体处于光源和投影面之间.
2.平行投影还是中心投影的判断：
通过光源来判断：
平行投影的光源为平行光线.
中心投影的光源为点光源.
3.物体投影的大小和形状，随着光线射入的角度及与光源距离的变化而变化。
4.主视图要放在左上方，它的正下方应是俯视图，它的正右方应是左视图.
5.立体图形的表面展开图包括侧面展开图和底面两部分.
6.圆是由曲线围成的封闭图形，所以不是多边形.
7.线段不能向任何方向延伸.
射线有一个端点，可以向一个方向延伸.
直线有两个端点，可以向两个方向延伸.
8.基本事实:
经过两点有一条直线，并且只有一条直线.
即两点确定一条直线.
9.用叠合法比较线段的长短时，需要注意：
两条线段要放在同一条直线上.
一个端点重合，另一个端点要放在公共端点的同侧.
10.线段的和差：两条线段可以相加(或相减)，它们的和(或差)也是一条线段，其长度等于这两条线段的和(或差).
11.用三个字母表示角时, 必须把表示角的顶点的字母写在中间；
用数字或希腊字母表示角时，一定要在图形中用角弧标出.
12.角的度量单位：度，分，秒，它们之间是60 进制的.
1 周角 = 360°.1 平角 = 180°.1° = 60′, 1′ = 60″.
13.角的和差：两个角相加或相减，得到的和或差也是角，角的和差实际上是角的度数的和差.
典例精讲
题型一：立体图形和平面图形
例1 如图所示的图形中，属于多边形的有（ ）
A. 3个 B.4个 C. 5个 D.6个
例2 下面每组三个几何体，都是柱体的是（ ）
题型二：立体图形的三视图及表面展开图
例3 如图是由正六棱柱和球体组合而成的几何体，则它的左视图是（ ）
例4 由4个相同的小正方体组成的几何体如图所示，则它的左视图是( )
例5 将如图所示的直棱柱展开，下列各示意图中不可能是它的表面展开图的是（ ）
例6 经过折叠可以围成正方体，且在正方体侧面上的字恰好环绕组成一个四字成语的图形是( )
题型三：点和线
例7 如图，下列说法正确的是( )
A.点0在线段AB上
B.点B是直线AB的一个端点
C.射线OB和射线AB是同一条射线
D.图中共有3条线段
题型四：线段的有关计算
例8 如图，已知 AB ＝8cm， BD ＝3cm， C 为 AB 的中点，则线段 CD 的长为（ ）
A.1 cm B.2cm C.3cm D.4cm
例9 已知线段AB,延长线段AB到点C,使得BC=2AB;再延长BA到点D,使得AB=AD.若CD=12,则线段AB的长为 .
例10 如图， C 是线段 AB 上一点， M ， N ， P 分别是线段 AC ， BC ， AB 的中点.
（1）若 AB ＝10cm，则 MN ＝ cm；
（2）若 AC ＝3cm， CP ＝1cm，求线段 PN 的长.
题型五：角的有关计算
例11 如图，∠AOC=90° ,OC平分∠DOB,且∠DOC=25°35',则∠BOA的度数是( )
A.64°65' B.54°65' C.64°25' D.54°25'
例12 如图，点 B ， O ， D 在同一条直线上.若∠ AOC ＝90°，∠2＝115°，则∠1的度数为（ ）
A.15° B.25° C.26° D.65°
例13 如图,货轮C在航行过程中,发现灯塔A在它的西北方向上,同时,海岛B在它的南偏东20°方向上,则∠ACB的度数为 .
例14 若∠1与∠2互补，∠3与50°互余，∠2＋∠3＝200°，求∠1的度数.
例15 如图，已知∠ AOC ＝∠ BOD ＝100°，且∠ AOB ∶∠ AOD ＝2∶7，试求∠ BOC 的大小.（提示：设∠ AOB ＝2 x ，∠ AOD ＝7 x ）
拓展提升
16.如图，点 C 为线段 AB 上一点，点 D 为 BC 的中点，点 C 把线段 AD 分成4∶1两部分，且 AB ＝12.
（1）求 AC 的长；
（2）若点 E 在直线 AB 上，且 AE ＝3，求 DE 的长.
【作业布置】
完成本单元测试卷
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第3章 图形的初步认识 单元测试卷
一、选择题(共10题；共30分)
1．如图所示，能用∠AOB，∠O，∠1三种方法表示同一个角的图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：A、以O为顶点的角不止一个，不能用∠O表示，故A选项不符合题意；
B、以O为顶点的角不止一个，不能用∠O表示，故B选项不符合题意；
C、以O为顶点的角不止一个，不能用∠O表示，故C选项不符合题意；
D、能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故D选项符合题意．
故答案为：D．
2．下列几何体中，从正面、左面、上面三个方向看到的几何体的形状图完全相同的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解：A、∵该几何体的三视图均是圆，∴A符合题意；
B、∵该几何体的三视图不相同，∴B不符合题意；
C、∵该几何体的三视图不相同，∴C不符合题意；
D、∵该几何体的三视图不相同，∴D不符合题意；
故答案为：A.
3．用一副三角尺的两个角不能拼成（ ）度的角．
A．15 B．105 C．110 D．120
【答案】C
4．将一副三角板按如图所示位置摆放，其中∠α与∠β一定相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：A、，故不符合题意；
B、由同角的余角相等可得=，故符合题意；
C、∵，，
∴与不相等，故不符合题意；
D、，，
∴与不相等，故不符合题意.
故答案为：B.
5．如图，已知四条线段 ， ， ， 中的一条与挡板另一侧的线段 在同一直线上，请借助直尺判断该线段是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：设线段m与挡板的交点为A，a、b、c、d与挡板的交点分别为B，C，D，E，
连结AB、AC、AD、AE，
根据直线的特征经过两点有且只有一条直线，
利用直尺可确定线段a与m在同一直线上，
故答案为：A．
6．如图是一个粉笔盒的表面展开图，若字母A表示粉笔盒的上盖，B表示侧面，则底面在表面展开图中的位置是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【解析】解：根据正方体展开图可得：
A与③相对，B与②相对，①与④相对，
底面与上盖A相对应，
即底面为③.
故答案为：C.
7．如图所示，某同学的家在处，他想尽快赶到附近处搭顺风车．他选择第②条路线，用几何知识解释其道理正确的是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短 D．经过一点有无数条直线
【答案】B
【解析】【解答】该同学想从P点尽快到C点，根据两点之间，线段最短，所以可选择第②条路线；
故答案为：B。
8．如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：由“相间Z端是对面”可知A、D不符合题意，而C折叠后，圆形在前面，正方形在上面，则三角形的面在右面，与原图不符，
只有B折叠后符合.
故答案为：B.
9．如图，将长方形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若FH平分∠BFE，则∠GFH的度数α是（ ）
A．90°＜α＜180° B．0°＜α＜90°
C．α=90° D．α随折痕GF位置的变化而变化
【答案】C
【解析】解：∵∠CFG=∠EFG且FH平分∠BFE．
∠GFH=∠EFG+∠EFH
∴∠GFH=∠EFG+∠EFH= ∠EFC+ ∠EFB= （∠EFC+∠EFB）= ×180°=90°．
故选C．
10．平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，则m+n等于（ ）
A．36 B．37 C．38 D．39
【答案】B
【解析】【解答】最多有个交点，最少有1个交点，所以m+n=36+1=37.故选B.
二、填空题(共8题；共24分)
11． 如图，把原来弯曲的河道改直，两地间的河道长度会变短，这其中蕴含的数学道理是 ．
【答案】两点之间线段最短
【解析】解： 把原来弯曲的河道改直，两地间的河道长度会变短这其中蕴含的数学道理是 ：两点之间线段最短.
故答案为：两点之间线段最短.
12．已知∠A ＝20°24′，∠B ＝20.4°．比较大小：∠A ∠B（填“＞或＜或＝”）．
【答案】＝
【解析】解：∵0.4×60′=24′，
∴∠B ＝20.4°=20°24′=∠A，
故答案为：＝．
13．如图，一副三角板按下图方式摆放，若∠1=9°，则∠2的度数为 ．
【答案】24°
【解析】解：如图，
∵∠DOC=∠BOC-∠1，
∴∠DOC=45°-9°=36°．
∵∠2=∠AOD-∠DOC，
∴∠2=60°-36°=24°．
故答案为：24°．
14．由个相同的正方体组成一个立体图形，如图分别是从正面和上面看它得到的平面图形，则能取到的最大值是 .
【答案】5
【解析】解：如图所示
从上面看，第一层需要3个正方体
从正面看，第一列有二层，
则第一列前一排上面可以增加一个，或者第一列后一排增加一个，或者第一列前后两排都可以增加一个
故m的最大值是3+2=5
故答案为： 5
15．如图，将一副三角板摆成如图形状，如果，那么的度数是 .
【答案】152°
【解析】解：由图可知：，
∴
；
故答案为：152°.
16．如图，有a条直线，b条射线，c条线段，则a+b-c=
【答案】1
【解析】解：∵图中只有1条直线， 即直线AD，故a=1；
图中共有6条射线，故b=6；
图中共有6条线段，故c=6．
∴
故答案为：1.
17．火车往返于A、B两个城市，中途经过4个站点（共6个站点），不同的车站来往需要不同的车票，共有不同的车票 种．
【答案】30
【解析】解：车票从左到右有：
AC、AD、AE、AF、AB，
CD、CE、CF、CB，
DE、DF、DB，
EF、EB，
FB，15种
从右到左有：
BF、BE、BD、BC、BA，
FE、FD、FC、FA，
ED、EC、EA，
DA、DC，
CA，15种．
火车往返于A、B两个城市，中途经过4个站点（共6个站点），不同的车站来往需要不同的车票，共有30种不同的车票．
故答案为：30．
18．如图，点C，D在线段BE上（C在D的左侧），点A在线段BE外，连接AB，AC，AD，AE，已知∠BAE ＝ 120°，∠CAD ＝ 60°，有下列说法：①直线CD上以B，C，D，E为端点的线段共有6条；②作∠BAM＝ ∠BAD，∠EAN＝ ∠EAC.则∠MAN＝30°；③以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为420°；④若BC＝2，CD＝DE＝3，点F是线段BE上任意一点，则点F到点B，C，D，E的距离之和最大值为17，最小值为11.其中说法正确的有 .（填上所有正确说法的序号）
【答案】①③④
【解析】解：①以B、C、D、E为端点的线段BC、BD、BE、CE、CD、DE共6条，故①正确；
②如图所示，
当AM、AN在三角形外部时，
∠BAD+∠EAC=120°＋60°=180°，
∠BAM+∠EAN ＝ ∠BAD+ ∠EAC=90°，
∠MAN＝360°-120°-90°＝150°.
∠MAN≠30°；故②不正确；
③由∠BAE＝120°，∠DAC＝60°，根据图形则有∠BAC+∠DAE+∠DAC+∠BAE+∠BAD+∠CAE＝120°+120°+120°+60°＝420°，故③正确；
④当F在线段CD上，则点F到点B、C、D、E的距离之和最小为FB+FE+FD+FC＝11，当F和E重合，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大为FB+FE+FD+FC＝8+0+6+3＝17，故④正确.
故答案为：①③④.
三、解答题(共8题；共66分)
19．（6分）计算：
（1） .
（2） .
（3） .
（4） .
【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=110°90′ =111°30′
（3）解：原式
（4）解：原式=
20．（6分）观察如图所示的几何体，已知小正方体的棱长为1．
（1）该几何体的体积为 ；
（2）请在下面网格中分别画出你从正面、左面、上面所看到的几何体的形状图．
从正面看 从左面看 从上面看
【答案】（1）9
（2）解：从正面看 从左面看 从上面看
【解析】【解答】（1）根据几何体的图形可得，该几何体由9个体积为1的小正方体组成，
∴该几何体的体积为9，
故答案为：9.
21．（8分）平面上有四个点，按照以下要求作图（保留作图痕迹）：
（1）连接，并延长至G，使；
（2）作射线；
（3）作直线，并在直线MF上确定点H，使得最短．
【答案】（1）解：如图所示，线段MG即为所作的线段；
（2）解：如图所示，射线即为所作的射线；
（3）解：如图所示，点H即为所作的点．
22．（8分）如图，已知∠BOC=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠AOC=40°，求∠COD的度数．
【答案】解：∵∠BOC=2∠AOC，∠AOC=40°，
∴∠BOC=2×40°=80°，
∴∠AOB=∠BOC+∠AOC=80°+40°=120°，
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD= ∠AOB= ×120°=60°，
∴∠COD=∠AOD-∠AOC=60°-40°=20°
23．（9分）如图，已知， 是直线 上一点， ，射线 平分 ， .求 的度数.
【答案】解：
，
即
∵射线 平分 ，
24．（9分）如图，直线AB，CD相交于点О，OE平分 ， ， .求 和 的度数.
【答案】解：设∠DOE=x，
∵OE平分 ，
∴∠AOE=∠DOE=x， = ，
∵∠AOD=∠BOC，∠FOC=90°，
∴2x= +90°，
解得：x=70°，
∴∠DOE=70°，
∴∠AOC=180°-70°×2=40°.
25．（10分）从上面看到的形状图中的小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数，请解答下列问题：
（1）a= ，b= ，c= ；
（2）这个几何体最少由 个小立方块搭成，最多由 个小立方块搭成；
（3）（4分）当d=e=1，f=2时，在网格图中画出这个几何体从左面看到的形状图.
【答案】（1）3；1；1
（2）9；11
（3）解：如图所示.
【解析】解：（1）根据主视图可得；a=3，b=1，c=1；
故答案为：3；1；1；
（2）根据主视图可得：d，e，f中至少每个有1个小正方体；至多每个有2个小正方体；
∴这个几何体最少由4+2+3=9个小立方块搭成；最多由6+2+3=11个小立方块搭成；
故答案为：9；11.
26．（10分）定义：在一个已知角内部，一条线分已知角成两个新角，其中一个角度数为另一个角度数的两倍，我们把这条线叫做这个已知角的三等分线．
（1）如图，已知∠AOB=120°，若OC是∠AOB的三等分线，求∠AOC的度数．
（2）点O在线段AB上(不含端点A，B)，在直线AB同侧作射线OC，OD．设∠AOC=3t，∠BOD=5t，当OC是∠AOD的三等分线时，求t的值．
【答案】（1）解：依题意，∠ AOC+∠COB= 120°，
且2∠AOC=∠COB，或∠AOC=2∠COB．
当2∠AOC=∠COB时，∠AOC= ∠AOB=40°；
当∠AOC= 2∠COB时，∠AOC= ∠AOB= 80°．
（2）解：∵5t<180°，
∴t<36°．
①当∠AOC= 2∠COD时，如图1，∠AOC= ∠AOD，
即3t= (180°- 5t)，
解得t=
②当2∠AOC=∠COD时，如图2，∠AOC= ∠AOD，
即3t= (180°-5t)，
解得t=
综上，t= 或t=
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（华师大版）七年级
上
单元复习
图形的初步认识
第3章
“—”
教学目标
01
知识结构
02
要点回顾
03
典例精析
04
目录
内容总览
学习目标
1.经历对本章所学知识回顾与思考的过程将本章内容条理化、系统化,梳理本章的知识结构;
2.让学生能从实物图中抽象出立体图形和平面图形，了解简单立体图形与三视图的联系,能根据立体图的展开图识别出立体图形;
3.理解并掌握直线、射线、线段、线段的中点、角、角的平分线的概念及两个基本事实;
4.会比较两条线段的长短和两个角的大小,掌握余角和补角的概念,能运用线段和角的和、差、倍、分的知识进行有关计算.
知识结构
要点回顾
我们把下图中①②所表示的立体图形叫做柱体;
④⑤所表示的立体图形叫做锥体;
③所表示的立体图形叫做球体.
1.柱体、锥体、球体的概念：
新知讲解
①所表示的图形称为棱柱,②所表示的图形称为圆柱.
2.棱柱、圆柱、圆锥、棱锥：
新知讲解
④⑤都是锥体，但④所表示的图形称为圆锥,⑤所表示的图形称为棱锥.
2.棱柱、圆柱、圆锥、棱锥：
新知讲解
在棱柱和棱锥中，相邻两个面的交线叫做棱,两条棱的交点叫做顶点.
3.棱、顶点：
新知讲解
我们还可以发现，图中的①⑤与②③④存在一定的差异， 围成①⑤的每一个面都是平的，像这样的立体图形，又称为多面体.
4.多面体的概念：
新知讲解
立体图形
柱体
球体
锥体
圆柱
棱柱
棱锥
圆锥
5.立体图形的分类：
柱体共同特征：上下底面一样，且平行.
锥体共同特征：只有一个底面和一个“尖” .
三棱柱
四棱柱
五棱柱
......
三棱锥
四棱锥
五棱锥
......
新知讲解
一般地，用光线照射物体在某个面(地面、墙壁、幕布等)上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线，投影所在的面叫做投影面.
6.投影的概念：
新知讲解
由平行光线形成的投影，叫做平行投影.
物体在太阳光照射下形成的影子就是平行投影.
7.平行投影、中心投影、正投影的概念：
新知讲解
由一点发出的光线形成的投影，叫做中心投影.
物体在灯泡发出的光照射下形成的影子就可以看成是中心投影.
7.平行投影、中心投影、正投影的概念：
新知讲解
当投影线垂直于投影面时，产生的平行投影称为正投影.
7.平行投影、中心投影、正投影的概念：
新知讲解
我们从某一方向观察物体时，看到的平面图形称为物体的一个视图 .视图可以看作平行光线下物体的正投影，它是一种特殊的平行投影.
8.视图的定义：
新知讲解
从正面观察得到的投影，称为主视图;
从上面观察得到的投影，称为俯视图;
从侧面观察得到的投影,称为侧视图.
依观察(投影)方向不同，有左视图和右视图.
通常将主视图、俯视图和左(或右)视图称为一个物体的三视图.
9.三视图定义及其画法：
1. 确定主视图的位置，画出主视图；
2. 在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图长对正；
3. 在主视图正右方画出左视图，注意与主视图高平齐，与俯视图宽相等；
4. 为表示圆柱、圆锥等的对称轴，
规定在视图中加画点划线表示对称轴.
注意：不可见的轮廓线，用虚线画出.
新知讲解
9.三视图定义及其画法：
由三视图描述几何体(或实物原型),一般先根据各视图想像从各个方向看到的几何体形状，然后综合起来确定几何体(或实物原型)的形状，再根据三视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系,确定轮廓线的位置,以及各个方向的尺寸.
新知讲解
10.由三视图描述几何体(或实物原型)的方法：
三视图与上下、前后、左右之间的关系:
(1)主视图：反映几何体的左右列数和每一列的上下层数.
(2)左视图 ：反映几何体的前后列数和每一列的上下层数.
(3)俯视图 ：反映几何体的前后行数和每一行的左右列数.
课堂总结
11.组合体的三视图与立体图形的关系:
正方体展开图共11种
“一四一”型： 6种
“二三一”型： 3种
“二二二”型：1种
“三三”型： 1种
新知讲解
12.正方体展开图:
新知讲解
由线段围成的封闭图形叫做多边形.
13.多边形的概念：
新知讲解
三角形 四边形 五边形 六边形 … n边形
从一个顶点出发 …
从某边一点出发 …
从内部一点出发 …
分成
三角形个数
2
3
1
4
n-2
5
4
3
2
n-1
n
4
5
6
3
14.多边形与三角形的关系：
新知讲解
我们可以用如图所示的方式来表示点和线段，其中在线段AB中，点A和点B称为线段AB的端点.
15.点和线段的表示及线段的基本事实：
新知讲解
两点之间线段最短.
线段AB的长度，就是A、B两点间的距离.
15.点和线段的表示及线段的基本事实：
新知讲解
把线段向一端无限延伸所形成的图形叫做射线.
O
C
射线OC
图中固定的
点O称为射线OC
的端点。
16.射线和直线的概念：
新知讲解
把线段向两端无限延伸所形成的图形叫做直线.
如图，直线可以用两种不同的方法表示.
A B
l
直线AB
直线l
16.射线和直线的概念：
新知讲解
17.线段的长短比较方法：
（1）度量法
（2）叠合法
叠合法归纳总结：
①B点在线段AB的内部时，CD＞AB.
②B、D点重合时，CD＝AB.
③当点D在线段AB的延长线时，CD＜AB.
新知讲解
图①
图②
图③
17.线段的长短比较方法：
新知讲解
如图,MN为已知线段，用直尺和圆规准确地作一条与MN相等的线段.
M N
18.作一条线段等于已知线段:
新知讲解
M N
A B
C
1.作射线AB ;
2.用圆规量出线段MN的长;
3.在射线AB上截取AC=MN，线段AC就是所要画的线段.
18.作一条线段等于已知线段:
新知讲解
把一条线段分成两条相等线段的点, 叫做这条线段的中点.
19.线段的中点概念：
如图, 点 C 是线段 AB 的中点, 可以写成
AC= CB =AB ,或AB=2AC=2CB.
新知讲解
角是由两条有公共端点的射线组成的图形.
角的静态定义
20.角的概念及表示方法：
新知讲解
如图, 角更可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形. 射线的端点叫做角的顶点, 起始位置的射线叫做角的始边, 终止位置的射线叫做角的终边.
角的动态定义
20.角的概念及表示方法：
新知讲解
方法 图示 记法 适用范围
用三个大写字母
用一个大写字母
用一个希腊字母
用一个数字
任何角
顶点处只有一角
只能表示单独一个角
O
A
B
O
∠AOB或∠BOA
∠O
∠ α
α
1
∠ 1
20.角的概念及表示方法：
绕着射线的端点旋转到角的终边和始边成一条直线, 这时所成的角叫做平角.
新知讲解
21.平角和周角的概念：
绕着射线的端点旋转到终边和始边再次重合, 这时所成的角叫做周角.
新知讲解
21.平角和周角的概念：
从角的度数看, 大于 0°且小于 90°的角是锐角;
等于 90°的角是直角;
大于90°且小于 180°的角是钝角.
新知讲解
22.角的分类：
锐角
直角
钝角
新知讲解
轮船、 飞机等物体运动的方向与正北方向之间的夹角, 即以测量点的正北方向为起始边, 依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角称为方位角, 领航员常用地图和罗盘进行方位角的测定.
23.方位角：
一种是叠合的方法，即把一个角放到另一个角上，使它们的顶点 重合，其中的一条边也重合，并使两个角的另一边都在重合的这一条边的同侧来比较.
另一种是度量的方法.
新知讲解
24.角的比较法:
新知讲解
如图, ∠AOB 为已知角, 用直尺和圆规按下列步骤准确地作一个角等于∠AOB .
第一步: 作射线 O′A′;
第二步: 以点 O 为圆心、 适当长为半径作弧, 交射线 OA 于点 C, 交
射线 OB 于点 D;
A
O
B
O′
A′
C
D
25.作一个角等于已知角:
新知讲解
第三步: 以点 O′为圆心、 线段 OC 长为半径作弧, 交射线 O′A′于点 C′;
第四步: 以点 C′为圆心、 线段 CD 长为半径作弧, 交前一条弧于点 D′;
第五步: 经过点 D′作射线 O′B′.
∠A′O′B′就是所要求作的角.
A
O
B
O′
A′
C
D
C′
D′
B′
新知讲解
人们将利用没有刻度的直尺和圆规这两种工具作几何图形的方法称为 “尺规作图” .
26.尺规作图：
新知讲解
从一个角的顶点引出的一条射线, 把这个角分成两个相等的角, 这条射线叫做这个角的平分线 .
27.角的平分线：
O
B
A
C
几何语言：因为OC是∠AOB的角平分线，
所以∠AOC ＝∠BOC ＝∠AOB
或∠AOB ＝2∠BOC ＝2∠AOC.
新知讲解
两个角 的 和 等 于 90° ( 直 角), 就 说 这 两 个 角 互 为 余 角 , 简称互余.
28.余角和补角的概念及性质：
1
2
新知讲解
如果两个角的和等于 180°(平角), 就说这两个角互为补角, 简称互补.
如图, ∠3 + ∠4 = 180°, 所以∠3、 ∠4 互为补角.
28.余角和补角的概念及性质：
同角或等角的余角相等;
同角或等角的补角相等.
新知讲解
28.余角和补角的概念及性质：
注意事项
1.形成投影需要满足三个条件：
①要有光源；
②要有一个呈现投影的平面，即投影面；
③要有物体存在，且物体处于光源和投影面之间.
2.平行投影还是中心投影的判断：
通过光源来判断：
平行投影的光源为平行光线.
中心投影的光源为点光源.
注意事项
3.物体投影的大小和形状，随着光线射入的角度及与光源距离的变化而变化。
4.主视图要放在左上方，它的正下方应是俯视图，它的正右方应是左视图.
5.立体图形的表面展开图包括侧面展开图和底面两部分.
6.圆是由曲线围成的封闭图形，所以不是多边形.
7.线段不能向任何方向延伸.
射线有一个端点，可以向一个方向延伸.
直线有两个端点，可以向两个方向延伸.
注意事项
8.基本事实:
经过两点有一条直线，并且只有一条直线.
即两点确定一条直线.
9.用叠合法比较线段的长短时，需要注意：
两条线段要放在同一条直线上.
一个端点重合，另一个端点要放在公共端点的同侧.
10.线段的和差：两条线段可以相加(或相减)，它们的和(或差)也是一条线段，其长度等于这两条线段的和(或差).
注意事项
11.用三个字母表示角时, 必须把表示角的顶点的字母写在中间；
用数字或希腊字母表示角时，一定要在图形中用角弧标出.
12.角的度量单位：度，分，秒，它们之间是60 进制的.
1 周角 = 360°.1 平角 = 180°.1° = 60′, 1′ = 60″.
13.角的和差：两个角相加或相减，得到的和或差也是角，角的和差实际上是角的度数的和差.
典例精讲
例1 如图所示的图形中，属于多边形的有（ ）
A. 3个 B.4个 C. 5个 D.6个
A
题型一：立体图形和平面图形
典例精讲
例2 下面每组三个几何体，都是柱体的是（ ）
C
题型一：立体图形和平面图形
典例精讲
例3 如图是由正六棱柱和球体组合而成的几何体，则它的左视
图是（ ）
D
题型二：立体图形的三视图及表面展开图
典例精讲
例4 由4个相同的小正方体组成的几何体如图所示，则它的左视图是( )
A
题型二：立体图形的三视图及表面展开图
典例精讲
例5 将如图所示的直棱柱展开，下列各示意图中不可能是它的表面展开图的是（ ）
D
题型二：立体图形的三视图及表面展开图
典例精讲
例6 经过折叠可以围成正方体，且在正方体侧面上的字恰好环绕组成一个四字成语的图形是( )
C
题型二：立体图形的三视图及表面展开图
典例精讲
例7 如图，下列说法正确的是( )
A.点0在线段AB上
B.点B是直线AB的一个端点
C.射线OB和射线AB是同一条射线
D.图中共有3条线段
D
题型三：点和线
典例精讲
例8 如图，已知 AB ＝8cm， BD ＝3cm， C 为 AB 的中点，则线段 CD 的长为（ ）
A.1 cm B.2cm C.3cm D.4cm
A
题型四：线段的有关计算
典例精讲
例9 已知线段AB,延长线段AB到点C,使得BC=2AB;再延长BA到点D,使得AB=AD.若CD=12,则线段AB的长为 .
3
题型四：线段的有关计算
典例精讲
例10 如图， C 是线段 AB 上一点， M ， N ， P 分别是线段 AC ， BC ， AB 的中点.
（1）若 AB ＝10cm，则 MN ＝ cm；
（2）若 AC ＝3cm， CP ＝1cm，求线段 PN 的长.
题型四：线段的有关计算
5
典例精讲
解：（2）因为 AC ＝3cm， CP ＝1cm，
所以 AP ＝ AC ＋ CP ＝4cm.
因为 P 是线段 AB 的中点，
所以 AB ＝2 AP ＝8cm.
所以 CB ＝ AB － AC ＝5cm.
因为 N 是线段 CB 的中点，
所以 CN ＝ CB ＝ cm.
所以 PN ＝ CN － CP ＝ －1＝ （cm）.
题型四：线段的有关计算
典例精讲
例11 如图，∠AOC=90° ,OC平分∠DOB,且∠DOC=25°35',则∠BOA的度数是( )
A.64°65' B.54°65'
C.64°25' D.54°25'
C
题型五：角的有关计算
典例精讲
例12 如图，点 B ， O ， D 在同一条直线上.若∠ AOC ＝90°，
∠2＝115°，则∠1的度数为（ ）
A.15° B.25°
C.26° D.65°
B
题型五：角的有关计算
典例精讲
例13 如图,货轮C在航行过程中,发现灯塔A在它的西北方向上,同时,海岛B在它的南偏东20°方向上,则∠ACB的度数为 .
155°
题型五：角的有关计算
典例精讲
例14 若∠1与∠2互补，∠3与50°互余，∠2＋∠3＝200°，求∠1的度数.
题型五：角的有关计算
解：因为∠3与50°互余，
所以∠3＝90°－50°＝40°，
因为∠2＋∠3＝200°，
所以∠2＝200°－∠3＝200°－40°＝160°，
因为∠1与∠2互补，
所以∠1＝180°－∠2＝180°－160°＝20°.
典例精讲
例15 如图，已知∠ AOC ＝∠ BOD ＝100°，且∠ AOB ∶∠ AOD ＝2∶7，试求∠ BOC 的大小.（提示：设∠ AOB ＝2 x ，∠ AOD ＝7 x ）
题型五：角的有关计算
解：设∠ AOB ＝2 x .
∵∠ AOB ∶∠ AOD ＝2∶7，
∴∠ BOD ＝5 x .
∵∠ AOC ＝∠ BOD ，
∴∠ COD ＝∠ AOB ＝2 x ，
∴∠ BOC ＝∠ BOD －∠ COD ＝5 x －2 x ＝3 x .
典例精讲
例15 如图，已知∠ AOC ＝∠ BOD ＝100°，且∠ AOB ∶∠ AOD ＝2∶7，试求∠ BOC 的大小.（提示：设∠ AOB ＝2 x ，∠ AOD ＝7 x ）
题型五：角的有关计算
∵∠ AOC ＝∠ BOD ＝5 x ＝100°，
∴ x ＝20°，
∴∠ BOC ＝3 x ＝60°.
典例精讲
例16 如图，点 C 为线段 AB 上一点，点 D 为 BC 的中点，点 C 把线段 AD 分成4∶1两部分，且 AB ＝12.
（1）求 AC 的长；
拓展提升
解：（1）由点 D 为 BC 的中点，得 BC ＝2 CD ＝2 BD .
因为点 C 把线段 AD 分成4∶1两部分，所以 AC ＝4 CD .
由线段的和差，得 AB ＝ AC ＋ BC ＝4 CD ＋2 CD ＝12，
解得 CD ＝2.
所以 AC ＝4 CD ＝4×2＝8.
典例精讲
（2）若点 E 在直线 AB 上，且 AE ＝3，求 DE 的长.
拓展提升
解：（2）由（1）可得 AB ＝12， BD ＝ CD ＝2.
①当点 E 在线段 AB 上时，由线段的和差，得 DE ＝ AB － AE －DB ＝12－3－2＝7；
②当点 E 在线段 BA 的延长线上，由线段的和差，得 DE ＝ AB ＋AE － BD ＝12＋3－2＝13.
综上所述， DE 的长为7或13.
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第3章 图形的初步认识 单元测试卷
一、选择题(共10题；共30分)
1．如图所示，能用∠AOB，∠O，∠1三种方法表示同一个角的图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列几何体中，从正面、左面、上面三个方向看到的几何体的形状图完全相同的是（ ）
A． B．
C． D．
3．用一副三角尺的两个角不能拼成（ ）度的角．
A．15 B．105 C．110 D．120
4．将一副三角板按如图所示位置摆放，其中∠α与∠β一定相等的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，已知四条线段 ， ， ， 中的一条与挡板另一侧的线段 在同一直线上，请借助直尺判断该线段是（ ）
A． B． C． D．
6．如图是一个粉笔盒的表面展开图，若字母A表示粉笔盒的上盖，B表示侧面，则底面在表面展开图中的位置是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
7．如图所示，某同学的家在处，他想尽快赶到附近处搭顺风车．他选择第②条路线，用几何知识解释其道理正确的是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短 D．经过一点有无数条直线
8．如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，将长方形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若FH平分∠BFE，则∠GFH的度数α是（ ）
A．90°＜α＜180° B．0°＜α＜90°
C．α=90° D．α随折痕GF位置的变化而变化
10．平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，则m+n等于（ ）
A．36 B．37 C．38 D．39
二、填空题(共8题；共24分)
11． 如图，把原来弯曲的河道改直，两地间的河道长度会变短，这其中蕴含的数学道理是 ．
12．已知∠A ＝20°24′，∠B ＝20.4°．比较大小：∠A ∠B（填“＞或＜或＝”）．
13．如图，一副三角板按下图方式摆放，若∠1=9°，则∠2的度数为 ．
14．由个相同的正方体组成一个立体图形，如图分别是从正面和上面看它得到的平面图形，则能取到的最大值是 .
15．如图，将一副三角板摆成如图形状，如果，那么的度数是 .
16．如图，有a条直线，b条射线，c条线段，则a+b-c=
17．火车往返于A、B两个城市，中途经过4个站点（共6个站点），不同的车站来往需要不同的车票，共有不同的车票 种．
18．如图，点C，D在线段BE上（C在D的左侧），点A在线段BE外，连接AB，AC，AD，AE，已知∠BAE ＝ 120°，∠CAD ＝ 60°，有下列说法：①直线CD上以B，C，D，E为端点的线段共有6条；②作∠BAM＝ ∠BAD，∠EAN＝ ∠EAC.则∠MAN＝30°；③以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为420°；④若BC＝2，CD＝DE＝3，点F是线段BE上任意一点，则点F到点B，C，D，E的距离之和最大值为17，最小值为11.其中说法正确的有 .（填上所有正确说法的序号）
三、解答题(共8题；共66分)
19．（6分）计算：
（1） .
（2） .
（3） .
（4） .
20．（6分）观察如图所示的几何体，已知小正方体的棱长为1．
（1）该几何体的体积为 ；
（2）请在下面网格中分别画出你从正面、左面、上面所看到的几何体的形状图．
从正面看 从左面看 从上面看
21．（8分）平面上有四个点，按照以下要求作图（保留作图痕迹）：
（1）连接，并延长至G，使；
（2）作射线；
（3）作直线，并在直线MF上确定点H，使得最短．
22．（8分）如图，已知∠BOC=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠AOC=40°，求∠COD的度数．
23．（9分）如图，已知， 是直线 上一点， ，射线 平分 ， .求 的度数.
24．（9分）如图，直线AB，CD相交于点О，OE平分 ， ， .求 和 的度数.
25．（10分）从上面看到的形状图中的小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数，请解答下列问题：
（1）a= ，b= ，c= ；
（2）这个几何体最少由 个小立方块搭成，最多由 个小立方块搭成；
（3）（4分）当d=e=1，f=2时，在网格图中画出这个几何体从左面看到的形状图.
26．（10分）定义：在一个已知角内部，一条线分已知角成两个新角，其中一个角度数为另一个角度数的两倍，我们把这条线叫做这个已知角的三等分线．
（1）如图，已知∠AOB=120°，若OC是∠AOB的三等分线，求∠AOC的度数．
（2）点O在线段AB上(不含端点A，B)，在直线AB同侧作射线OC，OD．设∠AOC=3t，∠BOD=5t，当OC是∠AOD的三等分线时，求t的值．
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