上海市浦东新区高桥中学2024-2025学年高三（上）第一次段考数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市浦东新区高桥中学高三（上）第一次段考
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为( )
A. B. C. D.
2.如图，直角坐标系中有条圆锥曲线，其离心率分别为则条圆锥曲线的离心率的大小关系是( )
A.
B.
C.
D.
3.下列命题错误的是( )
A. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于
B. 设，若，，则
C. 线性回归直线一定经过样本点的中心
D. 一个袋子中有个大小相同的球，其中有个黄球、个白球，从中不放回地随机摸出个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从二项分布，且
4.现定义如下：当时，若，则称为延展函数现有，当时，与均为延展函数，则以下结论( )
存在；，与有无穷个交点
存在；，与有无穷个交点
A. 都成立 B. 都不成立 C. 成立不成立 D. 不成立成立
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.若集合，，则 ______．
6.抛物线的准线方程是________。
7.已知，则 ______．
8.在某项测量中，其测量结果服从正态分布，且，则 ______．
9.已知、，方程的一个根为为虚数单位，则 ______．
10.的内角、、所对边长分别为、、，面积为，且，则角 ______．
11.已知向量，，则在方向上的投影向量为______．
12.若直线与曲线相切，则实数的值为______．
13.在数列中，，且，则______．
14.盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒子已知某盲盒产品共有种玩偶，小明购买个盲盒，则他能集齐种玩偶的概率是 ．
15.已知椭圆的右焦点为，左焦点为，若椭圆上存在一点，满足线段相切于椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为______．
16.，，，，任意，，，，满足，求有序数列有______对
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在中，角、、的对边分别为、、，已知．
求角的大小；
若的面积为，求的最小值，并判断此时的形状．
18.本小题分
如图，在三棱锥中，平面平面，，，且点在以点为圆心为直径的半圆上．
求证：；
若，且与平面所成角为，求点到平面的距离．
19.本小题分
跑步是人们日常生活中常见的一种锻炼方式，其可以提高人体呼吸系统和心血管系统机能，抑制人体癌细胞生长和繁殖为了解人们是否喜欢跑步，某调查机构在一小区随机抽取了人进行调查，统计结果如下表．
喜欢 不喜欢 合计
男
女
合计
根据以上数据，判断能否有的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关？
附：，其中．
该小区居民张先生每天跑步或开车上班，据以往经验，张先生跑步上班准时到公司的概率为，张先生跑步上班迟到的概率为对于下周周一周五上班方式张先生作出如下安排：周一跑步上班，从周二开始，若前一天准时到公司，当天就继续跑步上班，否则，当天就开车上班，且因公司安排，周五开车去公司无论周四是否准时到达公司设从周一开始到张先生第一次开车去上班前跑步上班的天数为，求的概率分布及数学期望．
20.本小题分
阿基米德公元前年公元前年，古希腊不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积在平面直角坐标系中，椭圆的面积等于，且椭圆的焦距为点、分别为轴、轴上的定点．
求椭圆的标准方程；
点为椭圆上的动点，求三角形面积的最小值，并求此时点坐标；
直线与椭圆交于不同的两点、，已知关于轴的对称点为，点关于原点的对称点为，已知、、三点共线，试探究直线是否过定点若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
21.本小题分
已知函数
当时，求函数的极值；
求函数的单调区间；
若对任意的实数，，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”当时，若函数是“恒切函数”，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
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6.
7.
8.
9.
10.
11.
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13.
14.
15.
16.
17.解：由正弦定理得，
又由余弦定理得，
因为是三角形内角，所以；
由三角形面积公式得：
，
解得，
因为，当且仅当时取等号，
所以的最小值为，此时为等边三角形．
18.解：证明：连接，，
，，，，
，平面，
平面，．
由得，，且平面平面，平面平面，
平面，与平面所成角为，，
点在以点为圆心，为直径的半圆上，，
，，
设点到平面的距离为，
，，
解得．
19.解：假设：人们对跑步的喜欢情况与性别无关，
根据题意，由列联表中的数据，
可得，
因为，不能推断假设不成立，
所以没有认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关联；
的所有可能取值分别为，，，，
则，，
，，
所以的概率分布：
所以．
20.解：由题意知，椭圆的面积知，
得，
又，
所以，
解得，
所以椭圆的方程为；
由题意得，直线方程为，
即，
设为参数，
则点到直线的距离为，
当，
即，
即时，取得最小值，且最小值为，
所以的面积的最小值为，
此时．
设直线：，，，
则，，
、、三点共线，
得，
，
直线：与椭圆交于，两点，
则，，
，
，
由，
得，
，
，
代入中，
，
，
，
当，直线方程为，
则，重合，不符合题意；
当时，直线：，
所以直线恒过定点．
21.解：函数，，
当时，，
，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故有极小值，无极大值．
由，得，
当时，，，，
，且为增函数，
时，，在单调递增；
时，，在单调递减；
当时，，在单调递减，
综上，当时，在单调递增，在单调递减；
当时，在单调递减．
证明：当时，函数是“恒切函数”，
且，
设函数与直线切点，
则，，
，，
，
，是方程的根，
设，，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
且，
，，
是方程的根，或，
或
故．
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