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九年级数学上学期第一次月考卷
范围：苏科版九上第1~2章（一元二次方程+对称图形——圆）
一．选择题（共8小题）
1．（2023秋 梁溪区校级期末）下列方程是关于的一元二次方程的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】、，是分式方程，不符合题意；
、，该方程是二元二次方程，不符合题意；
、，是一元二次方程，符合题意；
、当时，不是一元二次方程，不符合题意．
故选．
2．（2023秋 南京期中）已知的半径为5，点在内，则的长可能是
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】
【解析】的半径为5，点在内，
．
故选．
3．（2024 淮安）若关于的一元二次方程有2个不相等的实数根，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】△，
的一元二次方程有2个不相等的实数根，
△，
，
，
．
故选．
4．（2023秋 丰县期中）给出下列说法：①半径相等的圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③以长为半径的圆有无数个；④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有
A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③④
【答案】
【解析】①半径相等的圆是等圆，说法正确；
②长度相等的弧不一定是等弧，故本小题说法错误；
③以长为半径的圆有无数个，说法正确；
④平面上不在同一直线上的三点能确定一个圆，故本小题说法错误；
故选．
5．（2023秋 亭湖区校级期末）如图，顶点、、均在上，，则为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由圆周角定理可知：，
，
，
解得，
故选．
6．（2023秋 鼓楼区校级月考）某超市一月份的营业额200万元，已知第一季度的营业总额共1000万元，如果平均每月营业额的增长率为，由题意列方程应为
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】该超市一月份的营业额为200万元，且平均每月增长率为，
该超市二月份的营业额为万元，三月份的营业额为万元，
又第一季度的总营业额共1000万元，
，
即．
故选．
7．（2024 鼓楼区校级模拟）若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】设关于的方程的两根分别为，，
关于的方程的两根之和为，两根之积为，
，，
，，
化简，得：，，
整理可得，，
故选．
8．（2023秋 梁溪区校级期中）如图，在中，，以为直径的与，分别交于点，，连接，，若，，则阴影部分的面积为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】连接，，
为的直径，
，
，
，
即点是的中点，
点是的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选．
二．填空题（共8小题）
9．（2023秋 常州期中）若的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是 相切 ．
【答案】相切．
【解析】圆心到直线的距离，
直线和圆相切．
故答案为：相切．
10．（2024 大丰区三模）如图，的内接四边形中，，则 ．
【答案】．
【解析】
故答案为：．
11．（2023秋 江阴市校级期中）若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是 ．
【答案】．
【解析】把代入得，解得，，
而，
所以．
故答案为：．
12．（2024 盐城模拟）用半径为，面积为的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为 12 ．
【答案】12．
【解析】设圆锥的底面圆的半径为 ，
则，
解得：，
所以圆锥的高，
故答案为：12．
13．（2024春 海门区校级月考）设一元二次方程的两根分别是，，则 3 ．
【答案】3．
【解析】一元二次方程的两根分别是，，
，，即，
则原式．
故答案为：3．
14．（2024春 泰州期末）已知长方形的长宽之和为，面积为，设宽为，根据图形面积的关系可构造方程．早在3世纪，我国汉代的赵爽借助图（由四个这样的长方形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形）将用，表示为，从而得到形如的一元二次方程其中一个根的求根公式．结合如图，的表达式中所表示的几何量是 小正方形的边长 ．
【答案】小正方形的边长．
【解析】为大正方形的面积，为4个长方形的面积，
为中间小正方形的边长．
故答案为：小正方形的边长．
15．（2024春 海陵区校级月考）如图，的内切圆与，分别相切于，两点，连接，的延长线交于点，若，则的大小是 ．
【答案】．
【解析】如图所示，连接，，，设、交于，
是的内切圆，
、分别是、的角平分线，
，
，
，
，
，
与，分别相切于点，，
，
又，
是的垂直平分线，
，即，
，
故答案为：．
16．（2024 沛县校级一模）如图，六边形是的内接正六边形，设正六边形的面积为，的面积为，则 2 ．
【答案】2．
【解析】如图，连接，，，交于点，过点作于点，设的半径为，则，
六边形是的内接正六边形，
，
，
是正三角形，
，
，
，
，
正六边形的面积为；
由题意可知，是的内接正三角形，
，
，，
，
的面积为；
．
三．解答题（共10小题）
17．（2023秋 盐都区校级月考）解下列方程：
（1）；
（2）．
【解析】（1），
则，
则或，
解得，；
（2），
，
，即，
，
，
，．
18．（2023秋 姑苏区校级月考）先化简再求值，其中是方程的根．
【解析】
是方程的根
原式．
19．（2022秋 东台市期中）如图，在平面直角坐标系中，、、是上的三个点，、、．
（1）圆心的坐标为 ；
（2）判断点与的位置关系．
【解析】（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是
故答案为：2，0．
（2）圆的半径，
线段，
所以点在内．
20．（2023秋 建邺区校级期末）“华为”公司是世界通讯领域的龙头企业，是我国优秀的企业，其生产的手机一直保持“遥遥领先”；如图是某款手机后置摄像头模组．其中大圆的半径为，中间小圆的半径为大圆半径的一半，4个半径为大圆半径五分之一的高清圆形镜头分布在两圆之间．
（1）请用含的式子表示图中阴影部分的面积；
（2）当时，求图中阴影部分的面积．
【解析】（1）阴影面积：；
阴影部分的面积为：；
（2）当，原式．
故答案为：．
21．（2024 高邮市校级模拟）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若、是该方程的两个实数根，且，求的取值范围．
【解析】（1）证明：△，
，
，
，
不论取何值，方程总有两个实数根；
（2）解：，且，
，
解得，
的取值范围为：．
22．（2024 高邮市校级模拟）某初中学校要新建一块篮球场地（如图所示），要求：①篮球场地的长和宽分别为28米和16米；②在篮球场地四周修建宽度相等的安全区域；③篮球场地及安全区域的总面积为．
（1）求安全区域的宽度．
（2）某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以32万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
【解析】（1）设安全区域的宽度为米，由题意得，
整理得，
解得，（不符合题意，舍去），
答：安全区域的宽度为2米；
（2）设每次降价的百分率为，由题意得，
，
解得（舍去），，
答：每次降价的百分率为．
23．（2023秋 崇川区校级期中）如图，是的直径，是延长线上的一点，点在上，，交的延长线于点，交于点，且点是的中点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
【解析】（1）证明：如图，连接，
为直径，
，
又，
，
又，
，
又点是弧的中点，
，
，
即，
，
则为的切线．
（2）解：设半径为，
为的切线，
，
即为直角三角形，
，
，
，
的半径为1.5．
24．（2024春 惠山区校级期末）关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．
（1）方程①，②中，是“倍根方程”的序号 ① ；
（2）若一元二次方程是“倍根方程”，求出的值；
（3）若是“倍根方程”，求代数式的值．
【解析】（1）的根为，，
，
是“倍根方程”；
的根为，，
，
不是“倍根方程”；
故答案为：①；
（2）由一元二次方程是“倍根方程”，设的两个根为和，
，
解得；
经检验，符合题意，
的值为18；
（3）由得，，
是“倍根方程”，
或，即或，
当时，；
当时，；
代数式的值为或．
25．（2023秋 新吴区期末）【新知】
19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点、，以为直径作．若交轴于点、，则、为方程的两个实数根．
【探究】
（1）由勾股定理得，，，．在△中，所以．
化简得：．同理可得： ．
所以、为方程的两个实数根．
【运用】
（2）在图2中的轴上画出以方程两根为横坐标的点、．
（3）已知点、，以为直径作．判断与轴的位置关系，并说明理由．
【拓展】
（4）在平面直角坐标系中，已知两点、，若以为直径的圆与轴有两个交点、，则以点、的横坐标为根的一元二次方程是 ．
【解析】（1），，，
在△中，，
，
化简得：，
故答案为：；
（2）先在坐标系内找到，，连接，
分别，为圆心，以大于为半径画弧，连接两弧的交点与交于点，
以为圆心，以为直径画圆，圆与轴的交点即为，点．
如图所示：
（3）由题意得：，
△，
方程有两个相等的实数根，
与轴只有一个交点，即与轴相切；
（4）由题意得，以为直径的圆与交轴有两个交点、，则以点、的横坐标为根的一元二次方程是．
故答案为：．
26．（2022秋 淮阴区期末）如图，已知的半径为1，、、、是上的四个点，．
（1）的形状为 等边三角形 ；
（2）试求线段、、之间的数量关系；
（3）若点是的中点，直接写出点在上移动时的最小值．
【解析】（1）由圆周角定理得，，，
是等边三角形；
故答案为：等边三角形；
（2），理由如下：
如图1，在上截取，连接．
．
是等边三角形．
，，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）若点是的中点，则点在上移动时的最小值为，理由如下：取、的中点、，连接、，则、分别是、的中位线，
，，
，，
，即，
点在上移动时，始终等于，
连接，作的外接圆，如图3，
，
点在上（不含端点），
连接，则点在与的交点处时，的值最小．
连接，，，过点作于点，如图，则，
，，
点是的中点，
，，，
，，
点在上，是的直径，，
，
在中，，
，
在△中，，
，
．
在△中，由勾股定理可得，，
．
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九年级数学上学期第一次月考卷
范围：苏科版九上第1~2章（一元二次方程+对称图形——圆）
一．选择题（共8小题）
1．（2023秋 梁溪区校级期末）下列方程是关于的一元二次方程的是
A． B． C． D．
2．（2023秋 南京期中）已知的半径为5，点在内，则的长可能是
A．7 B．6 C．5 D．4
3．（2024 淮安）若关于的一元二次方程有2个不相等的实数根，则的取值范围是
A． B． C． D．
4．（2023秋 丰县期中）给出下列说法：①半径相等的圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③以长为半径的圆有无数个；④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有
A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③④
5．（2023秋 亭湖区校级期末）如图，顶点、、均在上，，则为
A． B． C． D．
6．（2023秋 鼓楼区校级月考）某超市一月份的营业额200万元，已知第一季度的营业总额共1000万元，如果平均每月营业额的增长率为，由题意列方程应为
A． B．
C． D．
7．（2024 鼓楼区校级模拟）若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积是
A． B． C． D．
8．（2023秋 梁溪区校级期中）如图，在中，，以为直径的与，分别交于点，，连接，，若，，则阴影部分的面积为
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题）
9．（2023秋 常州期中）若的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是 ．
10．（2024 大丰区三模）如图，的内接四边形中，，则 ．
11．（2023秋 江阴市校级期中）若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是 ．
12．（2024 盐城模拟）用半径为，面积为的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为 ．
13．（2024春 海门区校级月考）设一元二次方程的两根分别是，，则 ．
14．（2024春 泰州期末）已知长方形的长宽之和为，面积为，设宽为，根据图形面积的关系可构造方程．早在3世纪，我国汉代的赵爽借助图（由四个这样的长方形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形）将用，表示为，从而得到形如的一元二次方程其中一个根的求根公式．结合如图，的表达式中所表示的几何量是 ．
15．（2024春 海陵区校级月考）如图，的内切圆与，分别相切于，两点，连接，的延长线交于点，若，则的大小是 ．
16．（2024 沛县校级一模）如图，六边形是的内接正六边形，设正六边形的面积为，的面积为，则 ．
三．解答题（共10小题）
17．（2023秋 盐都区校级月考）解下列方程：
（1）；
（2）．
18．（2023秋 姑苏区校级月考）先化简再求值，其中是方程的根．
19．（2022秋 东台市期中）如图，在平面直角坐标系中，、、是上的三个点，、、．
（1）圆心的坐标为 ；
（2）判断点与的位置关系．
20．（2023秋 建邺区校级期末）“华为”公司是世界通讯领域的龙头企业，是我国优秀的企业，其生产的手机一直保持“遥遥领先”；如图是某款手机后置摄像头模组．其中大圆的半径为，中间小圆的半径为大圆半径的一半，4个半径为大圆半径五分之一的高清圆形镜头分布在两圆之间．
（1）请用含的式子表示图中阴影部分的面积；
（2）当时，求图中阴影部分的面积．
21．（2024 高邮市校级模拟）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若、是该方程的两个实数根，且，求的取值范围．
22．（2024 高邮市校级模拟）某初中学校要新建一块篮球场地（如图所示），要求：①篮球场地的长和宽分别为28米和16米；②在篮球场地四周修建宽度相等的安全区域；③篮球场地及安全区域的总面积为．
（1）求安全区域的宽度．
（2）某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以32万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
23．（2023秋 崇川区校级期中）如图，是的直径，是延长线上的一点，点在上，，交的延长线于点，交于点，且点是的中点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
24．（2024春 惠山区校级期末）关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．
（1）方程①，②中，是“倍根方程”的序号 ；
（2）若一元二次方程是“倍根方程”，求出的值；
（3）若是“倍根方程”，求代数式的值．
25．（2023秋 新吴区期末）【新知】
19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点、，以为直径作．若交轴于点、，则、为方程的两个实数根．
【探究】
（1）由勾股定理得，，，．在△中，所以．
化简得：．同理可得： ．
所以、为方程的两个实数根．
【运用】
（2）在图2中的轴上画出以方程两根为横坐标的点、．
（3）已知点、，以为直径作．判断与轴的位置关系，并说明理由．
【拓展】
（4）在平面直角坐标系中，已知两点、，若以为直径的圆与轴有两个交点、，则以点、的横坐标为根的一元二次方程是 ．
26．（2022秋 淮阴区期末）如图，已知的半径为1，、、、是上的四个点，．
（1）的形状为 ；
（2）试求线段、、之间的数量关系；
（3）若点是的中点，直接写出点在上移动时的最小值．
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