北师大版 必修（第一册）1.4 一元二次函数与一元二次不等式 同步练习（含解析）

1.4一元二次函数与一元二次不等式同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若关于的方程在区间上有两个不相等的实数解，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
4．下列不等式解集为R的是（ ）
A． B． C． D．
5．若一元二次不等式，的解集分别为M、N，、、、、、均不为0，M、N既不是R也不是．则“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
6．在下列选项中，满足p与q等价的是（ ）
A．已知实数x，p：和q：
B．已知实数x、y，p：和q：
C．已知实数a、b，p：和q：
D．已知、、、、、均为非零实数，不等式和不等式的实数解集分别为M和N，p：和q：
7．已知不等式对满足的所有正实数a，b都成立，则正数x的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
8．为建设美丽中国，增强民众幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区计划建设一块长为、宽为的矩形花园，其四周种植花卉，中间种植草坪（如图所示）．如果花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的三分之一，那么花卉带的宽度可能为（ ）

A． B． C． D．
二、多选题
9．下列叙述正确的是（ ）
A．不等式的解集是
B．“”是“在上恒成立”的充要条件
C．已知，则“”是“”的必要不充分条件
D．函数的最小值是
10．若不等式的解集是，则下列结论正确的是（ ）
A．且
B．
C．关于的不等式的解集是
D．关于的不等式的解集是
11．已知，且，则（　　）
A．
B．的最大值为4
C．的最大值为9
D．的最小值为
12．下列命题正确的是（ ）
A．设，不等式的一个必要不充分条件是
B．“”是“”的充分不必要条件
C．设则“”是“”的必要不充分条件
D．命题“”是真命题的实数的取值范围为
三、填空题
13．函数在上的最小值为 ．
14．设关于的函数，其中都是实数，若的解集为，则 .
15．若“”是真命题，则的取值范围是 .
四、双空题
16．已知函数称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如，．则不等式的解集为 ；当时，的最大值为 ．
五、解答题
17．已知二次函数的最小值为1，且.
(1)求的解析式；
(2)若在区间上不单调，求实数的取值范围；
(3)当时，恒成立，求实数的取值范围.
18．已知函数.
(1)若关于的不等式的解集是实数集，求的取值范围；
(2)当时，解关于的不等式.
19．已知，.
(1)若，解关于的不等式组；
(2)若对任意，都有或成立，求的取值范围；
(3)在（2）的条件下，存在，使得，求的取值范围.
20．已知二次函数（为实数，且）
(1)若，方程有两个相等的实数根时，求函数的解析式；
(2)不等式的解集是，求函数的解析式.
21．已知一元二次不等式的解集是.
(1)求的值；
(2)已知，求关于的不等式的解集.
22．已知二次函数，集合，其中，b，．
(1)若，且，求的解析式；
(2)若，，，，求的最小值．
参考答案：
1．A
【分析】令，依题意可得，解得即可.
【详解】令，因为方程在区间上有两个不相等的实数解，
所以，即，解得，
所以的取值范围是．
故选：A．
2．C
【分析】分和两种情况讨论即可.
【详解】当时，恒成立，
当时，则，解得，
综上所述，.
故选：C.
3．C
【分析】根据二次函数的性质求值域即可.
【详解】由，故，
又，，所以函数在的值域为.
故选：C
4．B
【分析】求解各不等式即可判断.
【详解】对于A，，解得，A错；
对于B，，，解集为，B对；
对于C，，解得或，C错；
对于D，，，解得或，D错.
故选：B.
5．B
【分析】通过两个一元二次不等式解集的关系，结合充分、必要条件判断即可.
【详解】设，即 ，
则，可转化为，
因为，所以，所以不成立，即充分性不成立；
若，且，则区间端点相同，即方程的根相同，
则有且，则有，
所以，“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
6．C
【分析】根据题意知，是的充要条件，根据不等式的性质，方程的解法，不等式的性质，一元二次不等式的解法，分别进行判断即可.
【详解】p与q等价的意思就是是的充要条件，
对于A，对于p：若，则或，而对于q：，
故是的必要不充分条件，不符合题意；
对于B，对于p：若，则且，
对于q：若，则或，
故是的充分不必要条件，不符合题意；
对于C，对于p：若，则且不全为零，
而对于q：表示不全为零，则有成立，
故是的充要条件，符合题意；
对于D，已知、、、、、均为非零实数，不等式和不等式的实数解集分别为M和N，
对于q：若，则不一定成立，例如，与，解集都为R，但系数并不成比例.
对于p：由可知相应二次方程的解的情况是一致的，但二次项系数的符号不一定一致，故由推不出，
故是的既不充分也不必要条件，不符合题意.
故选：C
7．D
【分析】根据题意有，将变形为，然后利用基本不等式求，最后解一元二次不等式可得.
【详解】由题知，
因为a，b为正实数，所以由得，即，
所以，
当且仅当，且，即，时，等号成立，
所以，即，
所以，整理得，
解得，所以正数x的最大值为2．
故选：D．
8．B
【分析】设花卉带的宽度为，由题设有且求范围，即可得答案.
【详解】设花卉带的宽度为，则，
所以，即，可得，
又，故，而，则可能取值为2.
故选：B
9．BC
【分析】A选项，解不等式得到或，A错误；B选项，分与两种情况，结合根的判别式得到不等式，得到答案；C选项，解不等式得到，根据推出关系得到答案；D选项，由基本不等式进行求解.
【详解】A选项，，解得或，A错误；
B选项，当时，在上恒成立，
当时，要满足，解得，
综上，，
所以“”是“在上恒成立”的充要条件，B正确；
C选项，，解得，
由于，，
则“”是“”的必要不充分条件，C正确；
D选项，，
但无解，故等号取不到，D错误.
故选：BC
10．ACD
【分析】根据题意可得，，，从而可对A、C项判断，由是方程的根，可对B项判断，将化简为并结合一元二次不等式可对D项判断.
【详解】对于A项：由题意可知，，和1是方程的两根，可得，，所以，，即故A项正确．
对于B项：因为是方程的根，所以，故B项错误．
对于C项：由A项知：，即，因为，得：，故C项正确.
对于D项：不等式即，化简得，解得或，故D正确.
故选：ACD.
11．AD
【分析】由条件变形后分解因式可判断;利用基本不等式结合解不等式可判断;由条件变形可得，结合的妙用可判断;由，代入，结合一元二次函数的性质可判断
【详解】由，且，
得即，故正确；
因为，当且仅当时，等号成立，
解得，故错误；
由变形得，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故错误；
由变形得，
故，代入可得
故当时，取得最小值故正确，
故选：
12．BD
【分析】根据充分、必要条件的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，由得，
所以是的充分不必要条件，所以A选项错误.
B选项，，解得或，
所以“”是“”的充分不必要条件，所以B选项正确.
C选项，若“”，则；
若，则可能，不能得到；
所以“”是“”的充分不必要条件，所以C选项错误.
D选项，“”是真命题，即在区间上恒成立，
所以，解得，所以D选项正确.
故选：BD
13．
【分析】根据二次函数性质直接求解即可.
【详解】函数对称轴为，函数图象开口向上，
所以函数在上的最小值为.
故答案为：
14．8
【分析】判断开口方向结合韦达定理进行求解；
【详解】的解集为，
则的开口向上，是对应方程的两根，
则，即；则8.
故答案为：8
15．
【分析】分和两种情况分析不等式成立条件，求出的取值范围.
【详解】因为“”是真命题
当时，恒成立，符合题意，
当时，由解得，
故的取值范围是.
故答案为：.
16． /0.25
【分析】先把该分式不等式化为整式不等式，再利用一元二次不等式的解法和高斯函数的定义即可得出结果；按照的取值分类讨论，当时，；当时，利用基本不等式可得出，即得出答案.
【详解】因为，所以，解得.
又因为函数称为高斯函数，表示不超过的最大整数，
所以.
故不等式的解集为.
当时，，此时；
当时，，此时，当且仅当时等号成立.
综上可得当时，的最大值为.
故答案为：；.
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意设出二次函数的顶点式，再由得，从而得解；
（2）由题意得，解之即可得解；
（3）将问题转化为在区间上恒成立，从而分类讨论二次函数的最小值即可得解.
【详解】（1）根据题意，二次函数满足，可得函数的对称轴为，
又函数的最小值为，可设，
又因为，可得，解得，
所以函数的解析式为.
（2）由函数，其对称轴为，
要使得函数在区间上不单调，
则满足，解得，
故实数的取值范围为.
（3）由函数，
若在上，恒成立，
则在上恒成立，
即在上恒成立，
设，则开口向上，对称轴为，
又在上恒成立，即，
当，即时，在上单调递增，
则，解得，则；
当，即时，
，解得，则；
当，即时，在上单调递减，
，解得（舍去）；
综上，实数的取值范围为．
18．(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）先考虑的情况，再考虑的情况即可；
（2）先进行因式分解，然后求出对应方程的两个根，再对分类讨论求出不同情况下的不等式的解集即可.
【详解】（1）因为关于的不等式的解集是实数集，
即在上恒成立，
当时解得，不是恒成立，矛盾；
当时要使得恒成立，则需满足，
解得，
综上可得；
（2），
当时的两个根为
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为，
综上所述，当时解集为，当时解集为，当时解集为.
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）分别解一元二次不等式和一元一次不等式后求交集可得；
（2）由得出时，恒成立，由此分类讨论可得；
（3）在（2）的条件下问题转化为在时有解，结合二次函数知识，只要相应方程的两根至少有一个根（两根不等）属于即得．
【详解】（1）（1），，则或，
，则，
所以不等式组的解集：；
（2）时，，因此时，恒成立，
当时，，的解为，不能满足时，恒成立，
时，不满足题意，
时，由得，化为，
时，，不等式解为或，满足题意，
时，，不等式的解为或，因此，，因此，
综上，的取值范围是．
（3）时，，因此存在使得，
又，
因此在时有解，
所以或，即或，
综上，．
20．(1)
(2)
【分析】（1）由题意得函数图象关于直线对称，结合条件“有两个相等的实数根”，列出关于的方程组，求解即可；
（2）由题意得方程有实数根，且，利用韦达定理求解.
【详解】（1），
的图象关于直线对称,
又根据条件“有两个相等的实数根”，列方程组如下：
,
（2）不等式即的解集是，
即方程有实数根，且，
根据韦达定理：，
.
21．(1)，
(2)答案见解析
【分析】（1）是方程的一个根，是方程的另外一个根，计算得到答案.
（2）确定，考虑和两类情况，在时，还需根据根的大小进行讨论.
【详解】（1）由题知，是方程的一个根，
将代入方程，得.
是方程的另外一个根，由韦达定理得，解得.
（2）把代入不等式，整理.
当时，不等式化为，解得.
当时，不等式可化为，
方程有两个根1和.
①当时，，解不等式得，或；
②当时，，不等式为，得；
③当时，，解不等式得：，或.
综上所述：
当时，不等式的解集是；
当时，不等式的解集是或；
当时，不等式的解集是；
当时，不等式的解集是或.
22．(1)
(2)4
【分析】（1）根据不等式的解集知对应方程的根，代入方程即可得解；
（2）根据不等式的解集可知对应方程的根的情况，据此化简所求代数式利用均值不等式求最值.
【详解】（1）由可得，
由可知为方程的两根，且，
所以，解得，
故.
（2）由可得：
，所以
又，，，
所以，当且仅当，
即时，等号成立，
故的最小值为4.