人教版2024-2025九年级数学上册同步讲义专题专题24.2垂径定理【十大题型】(学生版+解析)

专题24.2 垂径定理【十大题型】
【人教版】
【题型1 垂径定理的概念识别】 1
【题型2 由垂径定理求线段的长度】 2
【题型3 由垂径定理求面积】 3
【题型4 由垂径定理解决平行弦问题】 4
【题型5 由垂径定理求坐标】 5
【题型6 由垂径定理解决同心圆问题】 6
【题型7 利用垂径定理格点作图】 8
【题型8 利用垂径定理求整点的个数】 9
【题型9 利用垂径定理解决动点问题】 10
【题型10 垂径定理的应用】 11
知识点：垂径定理及其推论
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
【题型1 垂径定理的概念识别】
【例1】（23-24九年级·贵州黔西·阶段练习）如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点E，AE=2，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．垂直平分 D．垂直平分
【变式1-1】（23-24九年级·黑龙江大庆·阶段练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等 D．平分弦的直径垂直于弦
【变式1-2】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）如图，为的直径，为的弦，于E，下列说法错误的是（　　　）

A． B． C． D．
【变式1-3】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，，，分别交，于点E，F，连接，则下列结论中不一定正确的是（ ）

A． B．，
C．为等腰三角形 D．为等边三角形
【题型2 由垂径定理求线段的长度】
【例2】（23-24九年级·安徽合肥·期末）如图，圆O的半径垂直弦于点C，连接并延长交圆O于点E，连接．若，则长为（　　）
A．2 B． C．3 D．4
【变式2-1】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，已知的直径垂直弦于点，连接并延长交于点，且
(1)求证：点是的中点；
(2)若，求的长．
【变式2-2】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线与相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦的长为 ．
【变式2-3】（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，在半径为5的圆O中，，是互相垂直的两条弦，垂足为P，且，则的长为（　　）
A．3 B．4 C． D．
【题型3 由垂径定理求面积】
【例3】（23-24九年级·广东肇庆·期末）如图，为的直径，弦于点，连接，，，为的中点，且，
(1)求的长；
(2)当时，求的面积．
【变式3-1】（23-24九年级·北京·期末）如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点，连接，．若，，求的面积．
【变式3-2】（23-24九年级·北京海淀·开学考试）如图，为半圆的直径，O为圆心，，延长到A，使得，直线与半圆交于B，C两点，且．

(1)求弦的长；
(2)求的面积．
【变式3-3】（23-24九年级·湖北黄石·期中）如图，在半径为1的中有三条弦，它们所对的圆心角分别为，，，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是 ．

【题型4 由垂径定理解决平行弦问题】
【例4】（23-24九年级·天津和平·期中）如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为 ．
【变式4-1】（2024·浙江湖州·中考真题）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则CD与AB之间的距离是 ．
【变式4-2】（23-24九年级·江苏南京·期中）如图，在以AB为直径的圆中，弦CD⊥AB，M是AB上一点，射线DM，CM分别交圆于点E，F，连接EF，求证EF⊥AB．
【变式4-3】（23-24九年级·江苏宿迁·阶段练习）若弦，是的两条平行弦，的半径为13，，，则，之间的距离为
【题型5 由垂径定理求坐标】
【例5】（23-24九年级·河南信阳·期末）如图，半径为5的经过M，N两点，若已知两点坐标分别为，，则A点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（23-24九年级·上海·阶段练习）在直角坐标系中，以点P为圆心的弧与x轴交于A、B两点，已知点P的坐标为，点A的坐标为，那么点B的坐标为 ．
【变式5-2】（23-24九年级·云南曲靖·期末）如图在平面直角坐标系中点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴，以为直径的经过点O，连接，过点D作于点E，若，，则圆心点D的坐标是 ．

【变式5-3】（23-24九年级·河北邢台·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点M是反比例函数图象上的一个动点，若以点M为圆心，4为半径的圆与直线相交，交点为P，Q，当弦的长为时，点M的坐标为（ ）
A．和 B．或
C．或 D．或
【题型6 由垂径定理解决同心圆问题】
【例6】（23-24九年级·安徽合肥·期末）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm.
A．6 B． C． D．
【变式6-1】（23-24九年级·广东广州·期末）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（　　）
A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5
【变式6-2】（23-24九年级·浙江台州·期末） 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm
【变式6-3】（23-24九年级·浙江·期末）某市地铁施工队开始隧道挖掘作业，如图1，圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．如图2，有一圆弧形混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，为估计隧洞开挖面的大小，甲、乙两个组对相关数据进行测量，测量结果如下表所示，利用数据能够估算隧道外径大小的组是（ ）
小组 测量内容
甲 的长
乙 的长
A．两组测量数据都不足 B．甲组 C．乙组 D．两组都可以
【题型7 利用垂径定理格点作图】
【例7】（23-24九年级·浙江台州·期末）如图是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过，，三个格点，仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图．（保留画图痕迹，不写画法）

(1)在图1中，画出劣弧的中点；
(2)在图2的劣弧上找一点，使．
【变式7-1】（23-24九年级·河北石家庄·期中）如图，在带有正方形网格的平面直角坐标系中，一条圆弧经过三点，那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（　　）
A． B． C． D．
【变式7-2】（23-24九年级·江苏苏州·阶段练习）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系．

(1)过，，三点的圆的圆心坐标为（______，______）；
(2)请通过计算判断点与的位置关系．
【变式7-3】（23-24九年级·浙江温州·期中）如图，在的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，请按要求作图：
(1)已知点B在上，作所在圆的圆心O（保留作图痕迹）；
(2)作格点（顶点均在格点上），使与互补．
【题型8 利用垂径定理求整点的个数】
【例8】（2024·四川自贡·模拟预测）已知半径为5，在所在平面，则过点的弦中，长为整数的弦有（ ）条．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式8-1】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，直径为的内有一点，且，则经过点的所有弦中长度为整数的有 条．

【变式8-2】（23-24九年级·江苏镇江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点，直线与交于B、C两点，则弦的长为整数的有 条．
【变式8-3】（2024·河北石家庄·一模）如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN=10，AB=8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是 ，⊙C上的整数点有 个．
【题型9 利用垂径定理解决动点问题】
【例9】（23-24九年级·河南周口·阶段练习）如图，在中，半径为5，是两条弦，，，于点，于点．点在上运动，则的最小值为 ．
【变式9-1】（23-24九年级·河南信阳·期中）如图，在⊙O中，AD为直径，弦BC⊥AD于点H，连接OB，已知OB＝2cm，∠OBC＝30°，动点E在直径AD上从D向A以1cm/s的速度做匀速运动，运动时间为ts，当∠OBE＝30°时，t的值为 ．
【变式9-2】（23-24九年级·北京西城·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，以(3，0)为圆心作⊙P，⊙P与x轴交于A、B，与y轴交于点C(0，2)，Q为⊙P上不同于A、B的任意一点，连接QA、QB，过P点分别作PE⊥QA于E，PF⊥QB于F．设点Q的横坐标为x，PE2+PF2＝y．当Q点在⊙P上顺时针从点A运动到点B的过程中，下列图象中能表示y与x的函数关系的部分图象是（　　）
A．B． C． D．
【变式9-3】（23-24九年级·江西赣州·期末）如图，为半圆的直径，，点到弦的距离为，点从出发沿方向向点以每秒个单位长度的速度运动，连接，经过 秒后，为等腰三角形．
【题型10 垂径定理的应用】
【例10】（23-24九年级·浙江台州·期末）“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道尺（1尺10寸），则该圆材的直径为（ ）
A．26寸 B．25寸 C．13寸 D．50.5寸
【变式10-1】（23-24九年级·陕西商洛·期末）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽，为16米，拱高为4米．
(1)求桥拱的半径；
(2)若大雨过后，洪水泛滥到河面宽度为12米时，求水面涨高了多少？
【变式10-2】（23-24九年级·浙江宁波·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径为2.5米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是 米．
【变式10-3】（23-24九年级·上海宝山·期中）为传承海派文化，社区准备举办沪剧爱好者观摩演出活动．把某场馆的一个正方形区域改造成一个由矩形和半圆形组成的活动场地（如图），矩形是观众观演区，阴影部分是舞台，是半圆O的直径，弦与平行．已知长8米，舞台区域最大深度为2米，如果每平方米最多可以坐3名观众，那么观演区可容纳 名观众．
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专题24.2 垂径定理【十大题型】
【人教版】
【题型1 垂径定理的概念识别】 1
【题型2 由垂径定理求线段的长度】 4
【题型3 由垂径定理求面积】 9
【题型4 由垂径定理解决平行弦问题】 14
【题型5 由垂径定理求坐标】 17
【题型6 由垂径定理解决同心圆问题】 21
【题型7 利用垂径定理格点作图】 24
【题型8 利用垂径定理求整点的个数】 28
【题型9 利用垂径定理解决动点问题】 32
【题型10 垂径定理的应用】 37
知识点：垂径定理及其推论
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
【题型1 垂径定理的概念识别】
【例1】（23-24九年级·贵州黔西·阶段练习）如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点E，AE=2，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．垂直平分 D．垂直平分
【答案】D
【分析】由垂径定理和勾股定理分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：连接OA，
条件不足，不能求出OE和EC的长，故选项A、B不符合题意；
∵OC⊥AB于点E，
∴OC是线段AB的垂直平分线，故选项D正确，符合题意；
选项C不符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
【变式1-1】（23-24九年级·黑龙江大庆·阶段练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等 D．平分弦的直径垂直于弦
【答案】B
【分析】根据弧、弦、圆周角的关系，垂径定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、因为等弦所对的弧有可能为优弧，也可能是劣弧，故本选项错误，不符合题意；
B、等弧所对的弦相等，故本选项正确，符合题意；
C、在同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弦相等，故本选项错误，不符合题意；
D、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项错误，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆周角的关系，垂径定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
【变式1-2】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）如图，为的直径，为的弦，于E，下列说法错误的是（　　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据垂径定理解题.
【详解】为的弦，于E，
，，
故选项A、B、D正确，
无法判断，故选项C错误，
故选：C
【点睛】本题考查垂径定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.
【变式1-3】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，，，分别交，于点E，F，连接，则下列结论中不一定正确的是（ ）

A． B．，
C．为等腰三角形 D．为等边三角形
【答案】D
【分析】根据，，即可判断出，从而进行判断A．
根据，利用垂径定理的推论，进行判断即可B．
根据垂径定理的推论，得到，从而可得结论，即可判断C、D．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，A正确
∵，
∴，，B正确
∵，，，
∴，
∴为等腰三角形，不一定是等边三角形，
∴C正确，D错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定、等边三角形的判定．
【题型2 由垂径定理求线段的长度】
【例2】（23-24九年级·安徽合肥·期末）如图，圆O的半径垂直弦于点C，连接并延长交圆O于点E，连接．若，则长为（　　）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，三角形中位线性质，设的半径为r，在中，利用勾股定理求出r，再利用三角形的中位线定理即可解决问题．
【详解】解：设的半径为r，
，，
，
为直径，
，
是的中点，
，
在中，
，
，
，
，
．
故选：A．
【变式2-1】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，已知的直径垂直弦于点，连接并延长交于点，且
(1)求证：点是的中点；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（1）根据垂径定理得出，证明，得出，同理：，证明是等边三角形，得出，根据直角三角形性质得出，即可证明结论；
（2）根据，得出，求出，根据勾股定理求出，即可求出结果．
【详解】（1）解：证明：如图，连接．
∵于点，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
同理：，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴
∴是的中点．
（2）解：∵，
∴，
∴，
在中，
，
∴．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，含度角直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，证明是等边三角形．
【变式2-2】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线与相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，垂径定理，勾股定理，过点作，设直线与轴交于点，求出两点坐标，勾股定理求出的长，等积法求出的长，再利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可．
【详解】解：设直线与轴交于点，过点作，则，
∵，
∴当时，，当时，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式2-3】（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，在半径为5的圆O中，，是互相垂直的两条弦，垂足为P，且，则的长为（　　）
A．3 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，作出辅助线是解题的关键．作于M，于N，连接，，首先利用勾股定理求出的长，然后判定四边形是正方形即可得到答案．
【详解】解：作于M，于N，连接，，
由垂径定理得
勾股定理得：，
弦互相垂直，
，
于M，于N，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
故选：D．
【题型3 由垂径定理求面积】
【例3】（23-24九年级·广东肇庆·期末）如图，为的直径，弦于点，连接，，，为的中点，且，
(1)求的长；
(2)当时，求的面积．
【答案】(1)2
(2)
【分析】本题以圆为几何背景，考查了中位线定理、垂径定理、勾股定理等知识点．熟记定理内容是解题关键．
（1）由题意可得且，据此即可求解；
（2）由“垂径定理”可得，连接，在求出线段的长度即可求解．
【详解】（1）解：∵为的直径，
为的中点，O为的中点，
（2）
∵弦于点，
连接，
在中，
．
【变式3-1】（23-24九年级·北京·期末）如图，是的一条弦，点是的中点，连接并延长交劣弧于点，连接，．若，，求的面积．
【答案】
【分析】本题考查的知识点是垂径定理、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理．
先根据垂径定理得到，再根据勾股定理求出圆的半径，的面积即可求解．
【详解】解：设的半径是，
点是的中点，过圆心，
，
，，
，，
在直角中，，
，
解得，
，
．
【变式3-2】（23-24九年级·北京海淀·开学考试）如图，为半圆的直径，O为圆心，，延长到A，使得，直线与半圆交于B，C两点，且．

(1)求弦的长；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过点作于，根据垂径定理得，由得到，则，再根据勾股定理可计算出，进而可求；
（2）由（1）可知：，，则，然后根据三角形面积公式求解．
【详解】（1）解：过点作于，如图，则，

∵直径，，
∴，，
∵，则
∴，则，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（2）由（1）可知：，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．
【变式3-3】（23-24九年级·湖北黄石·期中）如图，在半径为1的中有三条弦，它们所对的圆心角分别为，，，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是 ．

【答案】
【分析】如图，连接，作于，则，，是等边三角形，是等腰直角三角形，，，，由，可知该三角形是以为直角边的直角三角形，然后求面积即可．
【详解】解：如图，连接，作于，

∴，
∴，
∴是等边三角形，是等腰直角三角形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴三条弦组成的三角形的三条边的长为1，，，
∵，
∴该三角形是以为直角边的直角三角形，
∴面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理，勾股定理逆定理等知识．正确求解线段长度是解题的关键．
【题型4 由垂径定理解决平行弦问题】
【例4】（23-24九年级·天津和平·期中）如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为 ．
【答案】
【分析】由于A、B两点关于MN对称，因而PA＋PC＝PB＋PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA＋PC的值最小，即BC的值就是PA＋PC的最小值．
【详解】解：连接BC，OB，OC，作CH垂直于AB于H．
∵AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，
∴BE＝AB＝12，CF＝CD＝9，
∴，，
∴CH＝OE＋OF＝9＋12＝21，
BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝12＋9＝21，
在Rt△BCH中，根据勾股定理得：，
即PA＋PC的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查垂径定理以及最短路径问题，灵活根据垂径定理确定最短路径是解题关键．
【变式4-1】（2024·浙江湖州·中考真题）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则CD与AB之间的距离是 ．
【答案】3
【分析】过点O作OH⊥CD于H，连接OC，先利用垂径定理得到CH=4，然后在Rt△OCH中，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：过点O作OH⊥CD于H，
连接OC，如图，则CH＝DH＝CD＝4，
在Rt△OCH中，OH＝＝3，
所以CD与AB之间的距离是3．
故答案为3．
【点睛】此题主要考查垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题关键．
【变式4-2】（23-24九年级·江苏南京·期中）如图，在以AB为直径的圆中，弦CD⊥AB，M是AB上一点，射线DM，CM分别交圆于点E，F，连接EF，求证EF⊥AB．
【答案】证明见解析．
【分析】利用垂径定理和线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质证得∠C＝∠D，再根据圆周角定理和平行线的判定证明EF∥CD，即可得结论．
【详解】证明：∵AB是直径，CD⊥AB，
∴AB垂直平分CD，
∴MC＝MD，
∴∠C＝∠D，
∵∠C＝∠E，
∴∠E＝∠D，
∴CD∥EF，
∵CD⊥AB，
∴EF⊥AB．
【点睛】本题考查垂径定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、平行线的判定与性质，熟练掌握垂径定理和圆周角定理是解答的关键．
【变式4-3】（23-24九年级·江苏宿迁·阶段练习）若弦，是的两条平行弦，的半径为13，，，则，之间的距离为
【答案】7或17
【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理，解题的关键是分情况画出图形并作出正确的辅助线．
首先根据题意分情况进行讨论分析，然后分别画出相应的图形，再根据垂径定理和勾股定理，计算出圆心到两条弦的距离，最后根据图形即可推出间的距离．
【详解】解：连接，过点O作于点M，
∵，
∴直线，设垂足为点，
，
，，
，
∴在中，，
在中，，
①如下图：当，在圆心的两侧，则它们之间的距离为，
②如下图，如果、在圆心的同侧，则它们之间的距离为，
．
综上所述，，之间的距离为7或17．
故答案为： 7或17．
【题型5 由垂径定理求坐标】
【例5】（23-24九年级·河南信阳·期末）如图，半径为5的经过M，N两点，若已知两点坐标分别为，，则A点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理；连接，过作轴交于，由垂径定理得，由勾股定理得，即可求解；掌握定理，构建是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，过作轴交于，
，，
，，
，，
，
，
，
；
故选：D．
【变式5-1】（23-24九年级·上海·阶段练习）在直角坐标系中，以点P为圆心的弧与x轴交于A、B两点，已知点P的坐标为，点A的坐标为，那么点B的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形，垂径定理；
如图，过点P作轴于C，则，求出，根据垂径定理可得的长，然后可得点B的坐标．
【详解】解：如图，过点P作轴于C，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式5-2】（23-24九年级·云南曲靖·期末）如图在平面直角坐标系中点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴，以为直径的经过点O，连接，过点D作于点E，若，，则圆心点D的坐标是 ．

【答案】
【分析】本题考查了中位线的性质，坐标与图形性质，垂径定理．先利用圆半径相等得到，即可求出和，再利用垂径定理得到是中位线，即可得到D点坐标．
【详解】∵以为直径的经过点O，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴,
∴是中位线，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式5-3】（23-24九年级·河北邢台·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点M是反比例函数图象上的一个动点，若以点M为圆心，4为半径的圆与直线相交，交点为P，Q，当弦的长为时，点M的坐标为（ ）
A．和 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【分析】当点M在直线上方时，连接，作，则和，求得，作轴交弦于点C，设，利用等腰直角三角形得和，进一步得，即可知点，代入反比例函数求得a即可；根据对称性可得点M在直线下方时的坐标．
【详解】解：当点M在直线上方时，连接，作，如图，
则，，
在中，，
作轴交弦于点C，设，则，而，
∵轴，
∴，
∴，
则点，
∴，解得，或（舍去），
则，
当点M在直线下方时，由对称性可知，
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质、反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征，以及勾股定理，作出辅助线并利用对称性是解题的关键．
【题型6 由垂径定理解决同心圆问题】
【例6】（23-24九年级·安徽合肥·期末）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm.
A．6 B． C． D．
【答案】C
【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长.
【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，
∵OA=OD=4，CD=2，
∴OC=2，
∴AC=，
∴AB=2AC=.
故答案为C.
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键.
【变式6-1】（23-24九年级·广东广州·期末）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（　　）
A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5
【答案】A
【分析】解决此题首先要弄清楚AB在什么时候最大，什么时候最小．当A′B′与小圆相切时有一个公共点，此时可知A′B′最小；当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB最大，由此可以确定所以AB的取值范围．
【详解】解：如图，当AB与小圆相切时有一个公共点，
在Rt△A′DO中，OD=3，OA′=5，
∴ ，
∴A′B′=8；
当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，
此时AB=10，
所以AB的取值范围是8≤AB≤10．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆中的有关性质．利用垂径定理可用同心圆的两个半径和与小圆相切的大圆的弦的一半构造直角三角形，运用勾股定理解题这是常用的一种方法，也是解决本题的关键，注意临界值．
【变式6-2】（23-24九年级·浙江台州·期末） 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm
【答案】134
【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB所在的圆的半径为r，利用勾股定理列出方程即可解答．
【详解】解：设弧AB所在的圆的半径为r，如图．作OE⊥AB于E，连接OA，OC，则OA=r，OC=r+32，
∵OE⊥AB，
∴AE=EB=100cm，
在RT△OAE中，
在RT△OCE中，，
则
解得：r=134．
故答案为：134．
【点睛】本题考查垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
【变式6-3】（23-24九年级·浙江·期末）某市地铁施工队开始隧道挖掘作业，如图1，圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．如图2，有一圆弧形混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，为估计隧洞开挖面的大小，甲、乙两个组对相关数据进行测量，测量结果如下表所示，利用数据能够估算隧道外径大小的组是（ ）
小组 测量内容
甲 的长
乙 的长
A．两组测量数据都不足 B．甲组 C．乙组 D．两组都可以
【答案】D
【分析】乙的做法的合理性为可由垂径定理求出HK，又知KL，由直角三角形的勾股定理可求出答案；甲组做法的合理性由弧长公式和两条半径之间的关系列方程组求解即可．
【详解】解：甲、乙两组的做法都可以，
乙组做法的理由：如图2，根据测量数据可知，HG=KL，GN=HM，由垂径定理可求出HK，在直角三角形OHK中，由勾股定理可求出OH，进而求出OL，问题得以解决；
甲组做法的理由：如图1，由于已知AB，可以设外圆半径为R，则可表示内圆半径OA，根据弧长公式列方程组可求出R即可，
所以甲、乙两组做法均可，
故选：D．
【点睛】本题考查垂径定理，直角三角形的边角关系，弧长的计算，掌握垂径定理、勾股定理以及弧长的计算方法是解决问题的关键．
【题型7 利用垂径定理格点作图】
【例7】（23-24九年级·浙江台州·期末）如图是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过，，三个格点，仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图．（保留画图痕迹，不写画法）

(1)在图1中，画出劣弧的中点；
(2)在图2的劣弧上找一点，使．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，熟练应用垂径定理是解题的关键．
（1）取格点，连接交于点，根据网格图可知，，由垂径定理可知，，点即为所求；
（2）取格点，连接并延长交于点，根据网格图可知，，由垂径定理可知，．
【详解】（1）解：如图，点即为所求．

（2）如图，点即为所求．

【变式7-1】（23-24九年级·河北石家庄·期中）如图，在带有正方形网格的平面直角坐标系中，一条圆弧经过三点，那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用，数形结合是解答此题的关键．根据图形作线段和的垂直平分线，两线的交点即为圆心，根据图形得出即可．
【详解】解：如图，线段的垂直平分线即，
线段的垂直平分线的交点即为弧的圆心．
即圆心的坐标是，
故选：B．
【变式7-2】（23-24九年级·江苏苏州·阶段练习）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系．

(1)过，，三点的圆的圆心坐标为（______，______）；
(2)请通过计算判断点与的位置关系．
【答案】(1)，
(2)点在的外部
【分析】（1）连接，，分别作，的垂直平分线，两直线交于点，就是过，，三点的圆的圆心，有图形可得的坐标；
（2）分别求出和的长度进行比较即可作出判断．
【详解】（1）解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，两直线交于点，
是过，，三点的圆的圆心，

，
故答案为：，；
（2），，，
，，
，
点在的外部．
【点睛】本题考查了垂径定理推论，勾股定理，平面坐标系中点的坐标，点与圆的位置关系，根据垂径定理得出圆心位置是解答本题的关键．
【变式7-3】（23-24九年级·浙江温州·期中）如图，在的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，请按要求作图：
(1)已知点B在上，作所在圆的圆心O（保留作图痕迹）；
(2)作格点（顶点均在格点上），使与互补．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图应用设计作图，熟记线段垂直平分线的作法是解题的关键．
（1）连接、，分别作、的垂直平分线相交于点，则点即为所求；
（2）延长交格点，连接、，格点即为所求．
【详解】（1）如图所示，点即为所求；

（2）如图所示，格点即为所求．
【题型8 利用垂径定理求整点的个数】
【例8】（2024·四川自贡·模拟预测）已知半径为5，在所在平面，则过点的弦中，长为整数的弦有（ ）条．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，过点最长的弦是10，根据已知条件，可以求出过点的最短的弦是8，故过点的弦的长度在8和10之间，所以过点的弦中长度为整数的弦的条数为4．
【详解】解：如图示，
作弦于，
则，
在中，，，
，
，
故过点的弦的长度在8和10之间，弦为9的有2条，
所有过点的所有弦中取整数的有8，9，10．这三个数，
又圆是轴对称图形，
过点的弦中长度为整数的弦的条数为4．
故选：D．
【变式8-1】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，直径为的内有一点，且，则经过点的所有弦中长度为整数的有 条．

【答案】4
【分析】过点的弦有无数条，求出最长的弦和最短的弦，再判断长度为整数的弦的条数即可．
【详解】过点作直径，作弦，

则是过点的最长的弦，是过点的最短的弦，
∴长度为整数的弦长还有9，
∵过点且长度为9的弦有2条，
∴经过点的所有弦中长度为整数的有4条．
故答案是4．
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，知道直径是圆中最长的弦，过点与圆垂直的弦是最短的弦是解题的关键．
【变式8-2】（23-24九年级·江苏镇江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点，直线与交于B、C两点，则弦的长为整数的有 条．
【答案】4
【分析】根据直线必过点，求出最短的弦是过点且与该圆直径垂直的弦，最长弦是圆的直径，得出弦的取值范围，再根据弦的长为整数，即可得出答案．
【详解】解：当时，
∴直线必过点，
最短的弦是过点且与该圆直径垂直的弦，最长弦是是直径，
当弦最短时，
连接，，
则，
点的坐标是，
，
以原点为圆心的圆过点，
圆的半径为13，
，
，
，
的长的最小值为24；
当弦最长时，则，
∴
∵弦的长为整数
∴或25或 26（其中是25的有两条），
∴弦的长为整数的有4条，
故答案为：4．
【点睛】此题考查的是垂径定理，一次函数图象，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是求出最短、最长时的值．
【变式8-3】（2024·河北石家庄·一模）如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN=10，AB=8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是 ，⊙C上的整数点有 个．
【答案】 3 12
【分析】过C作直径UL∥x轴，连接AC，根据垂径定理求出AO=BO=4，根据勾股定理求出OC，再得出答案即可．
【详解】解：过C作直径UL∥x轴，
连接CA，则AC=×10=5，
∵MN过圆心C，MN⊥AB，AB=8，
∴AO=BO=4，∠AOC=90°，
由勾股定理得：CO= =3，
∴ON=5-3=2，OM=5+3=8，
即A（-4，0），B（4，0），M（0，8），N（0，-2），
同理还有弦QR=AB=8，弦WE=TS=6，且WE、TS、QR都平行于x轴，
Q（-4，6），R（4，6），W（-3，7），E（3，7），T（-3，-1），S（3，-1），U（-5，3），L（5，3），
即共12个点，
故答案为：3；12．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理和坐标与图形的性质，能找出符合条件的所有点是解此题的关键．
【题型9 利用垂径定理解决动点问题】
【例9】（23-24九年级·河南周口·阶段练习）如图，在中，半径为5，是两条弦，，，于点，于点．点在上运动，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理，轴对称-最短路径问题等知识，作于A点，连接，，首先根据题意得到，得到当点C，P，H 共线时，有最小值，即的长度，然后利用垂径定理得到，，然后利用勾股定理结合线段的和差得到，然后证明出四边形是矩形，得到，，最后利用勾股定理求解即可．解题的关键是根据题意得到当点C，P，H 共线时，有最小值，即的长度．
【详解】作于A点，连接，，
∵，是的直径
∴点G和点H关于对称
∴
∴
∴当点C，P，H 共线时，有最小值，即的长度，
∵在中，半径为5，
∴
∵，，，，
∴，
∴，
∴
∵，，
∴四边形是矩形
∴，
∴
∴．
故答案为：．
【变式9-1】（23-24九年级·河南信阳·期中）如图，在⊙O中，AD为直径，弦BC⊥AD于点H，连接OB，已知OB＝2cm，∠OBC＝30°，动点E在直径AD上从D向A以1cm/s的速度做匀速运动，运动时间为ts，当∠OBE＝30°时，t的值为 ．
【答案】1或4/4或1
【分析】分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：如图，当点与点重合时，
，，，
，
，
，
如图，当点和点重合时，连接，
，，
，
，
，
综上所述：或4，
故答案为：1或4．
【点睛】本题考查了垂径定理，含角的直角三角形的性质，解题的关键是利用分类讨论思想解决问题．
【变式9-2】（23-24九年级·北京西城·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，以(3，0)为圆心作⊙P，⊙P与x轴交于A、B，与y轴交于点C(0，2)，Q为⊙P上不同于A、B的任意一点，连接QA、QB，过P点分别作PE⊥QA于E，PF⊥QB于F．设点Q的横坐标为x，PE2+PF2＝y．当Q点在⊙P上顺时针从点A运动到点B的过程中，下列图象中能表示y与x的函数关系的部分图象是（　　）
A．B． C． D．
【答案】A
【分析】连接PC．根据勾股定理求得PC2＝13，即圆的半径的平方＝13；根据三个角是直角的四边形是矩形，得矩形PEQF，则PE＝QF，根据垂径定理，得QF＝BF，则PE2+PF2＝BF2+PF2＝PC2＝y，从而判断函数的图象．
【详解】解：连接PC．
∵P（3，0），C（0，2），
∴PC2＝13．
∵AB是直径，
∴∠Q＝90°．
又PE⊥QA于E，PF⊥QB于F，
∴四边形PEQF是矩形．
∴PE＝QF．
∵PF⊥QB于F，
∴QF＝BF．
∴PE＝BF．
∴y＝PE2+PF2＝BF2+PF2＝PC2＝13．
故选：A．
【点睛】此题综合运用矩形的判定和性质、垂径定理求得y的值，常数函数是平行于坐标轴的一条直线．
【变式9-3】（23-24九年级·江西赣州·期末）如图，为半圆的直径，，点到弦的距离为，点从出发沿方向向点以每秒个单位长度的速度运动，连接，经过 秒后，为等腰三角形．
【答案】或或
【分析】作OD⊥AC于D，利用勾股定理计算出AD=3，则AC=2AD=6，然后分类讨论：当CP=CA或PA=PC或AP=AC时，求出时间即可．
【详解】解：作OD⊥AC于D，如图，
∵OD⊥AC，
∴AD＝CD，
在Rt△ADO中，∵OA＝5，OD＝4，
∴AD＝，
∴AC＝2AD＝6，
当CP＝CA时，作CE⊥AB于E，连接BC，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝，
∴CE AB＝AC BC，
∴CE＝，
在Rt△ACE中，AE＝，
∵AE＝PE，
∴BP＝AB﹣2AE＝，
∴运动时间为s；
当PA＝PC时，则点P在AC的垂直平分线上，所以点P与点O重合，PB＝5，此时运动时间为5s；
当AP＝AC＝6时，PB＝AB﹣AP＝4，此时运动时间为4s，
综上所述，运动时间为s或4s或5s．
故答案为：或4或5．
【点睛】本题考查了垂径定理、等腰三角形的判定，解题关键是根据等腰三角形底的不同，进行分类讨论，熟练运用勾股定理求出线段长.
【题型10 垂径定理的应用】
【例10】（23-24九年级·浙江台州·期末）“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道尺（1尺10寸），则该圆材的直径为（ ）
A．26寸 B．25寸 C．13寸 D．50.5寸
【答案】A
【分析】过点O作，交于点D，交于点E，设的半径为r．在中，，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】解：过点O作，交于点D，交于点E，
设的半径为r．
在中，，
由勾股定理得出方程，
解得：，
∴的直径为26寸，
故答案为：26．
【变式10-1】（23-24九年级·陕西商洛·期末）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽，为16米，拱高为4米．
(1)求桥拱的半径；
(2)若大雨过后，洪水泛滥到河面宽度为12米时，求水面涨高了多少？
【答案】(1)桥拱的半径是10米；
(2)水面涨高了2米．
【分析】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于圆半径的方程．
（1）设桥拱的半径是米，由垂径定理求出（米，而米，由勾股定理得到，求出；
（2）由垂径定理求出的长，由勾股定理求出的长，即可求出的长．
【详解】（1）解：如图，半径，，
设桥拱的半径是米，
，
（米，
拱高为4米，
米，
，
，
，
桥拱的半径是10米；
（2）解：，
（米，
（米，
（米，
（米，
水面涨高了2米．
【变式10-2】（23-24九年级·浙江宁波·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径为2.5米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是 米．
【答案】1
【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，连接交于点，得到，推出，利用勾股定理算出，最后根据即可解题．
【详解】解：连接交于点，
点为运行轨道的最低点，
，
,
由题知米，米，
米，
米,
米．
故答案为：．
【变式10-3】（23-24九年级·上海宝山·期中）为传承海派文化，社区准备举办沪剧爱好者观摩演出活动．把某场馆的一个正方形区域改造成一个由矩形和半圆形组成的活动场地（如图），矩形是观众观演区，阴影部分是舞台，是半圆O的直径，弦与平行．已知长8米，舞台区域最大深度为2米，如果每平方米最多可以坐3名观众，那么观演区可容纳 名观众．
【答案】150
【分析】本题考查了垂径定理，正方形的性质，矩形的性质等知识，过O作于G，交弧于H，连接，利用垂径定理求出，设半圆的半径为r，在中，利用勾股定理求出半径，从而可求矩形的面积，即可求解．
【详解】解：过O作于G，交弧于H，连接，
则，，
∵，，
∴，
设半圆的半径为r，则，
在中，，
∴，
解得，
∴
∴正方形边长，
∴，
∴矩形的面积为，
∵每平方米最多可以坐3名观众，，
∴观演区可容纳人，
故答案为：150．
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