人教版2024-2025九年级数学上册同步讲义专题专题24.5直线与圆的位置关系【十大题型】(学生版+解析)

专题24.5 直线与圆的位置关系【十大题型】
【人教版】
【题型1 判断点与圆的位置关系】 1
【题型2 由点与圆的位置关系求半径】 2
【题型3 判断直线和圆的位置关系】 3
【题型4 由直线与圆的位置关系求半径】 4
【题型5 由直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离】 5
【题型6 由直线与圆的位置关系求交点个数】 5
【题型7 由直线与圆的位置关系求最值】 6
【题型8 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】 7
【题型9 求直线平移到与圆相切时运动的距离】 8
【题型10 由圆与图形的公共点的个数求参数的取值范围】 9
知识点1：点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有：点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。
用数量关系表示：若设⊙O的半径就是r，点P到圆的距离OP=d，则有：
点P在圆外,则 d＞r；点p在圆上则d=r；点p在圆内则d＜r,反之也成立。
【题型1 判断点与圆的位置关系】
【例1】（2024·江苏宿迁·模拟预测）已知的半径为，点到圆心的距离为，若关于的方程不存在实数根，则点与的位置关系是（ ）
A．点在外 B．点在上
C．点在内 D．无法确定
【变式1-1】（23-24九年级·重庆梁平·期末）平面直角坐标系中，以原点O为圆心，2为半径作，则点与⊙O的位置关系为点A在 ．
【变式1-2】（23-24九年级·吉林通化·期末）如图，在平面直角坐标系中，、、．
（1）经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为 ；
（2）这个圆的半径为 ；
（3）点与的位置关系为点在 （填内、外、上）．
【变式1-3】（2024·河北邯郸·二模）如图，平面上有P，Q，M，N四点，其中任意三点都不在同一条直线上，嘉淇进行了如下操作：①连接四点画出四边形；②利用尺规分别作，的垂直平分线，两直线交于点O．若以点O为圆心，长为半径画⊙O，则不一定在上的点是（ ）

A．点P B．点Q C．点M D．点N
【题型2 由点与圆的位置关系求半径】
【例2】（23-24九年级·浙江·期末）如图，在中，，点D在边上，且，连接．以点D为圆心，以r为半径画圆，若点A，B，C中只有1个点在圆内，则r的值可能为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式2-1】（23-24九年级·浙江绍兴·期末）已知半径为，点为内一点，，则满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2024·上海闵行·三模）若点P到上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，那么的半径为 ．
【变式2-3】（23-24九年级·浙江宁波·期中）数轴上有两个点和，点表示实数16，点从原点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，运动速度为半径为4，若点在外，则（ ）
A．或 B． C．琙 D．
知识点2：直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种。
2. 直线与圆的位置关系可以用数量关系表示:
若设⊙O的半径就是r，直线l与圆心0的距离为d，则有：
直线l与⊙O相交则d ＜ r；
直线l与⊙O相切则 d = r；
直线l与⊙O相离则d ＞ r,反之也成立。
【题型3 判断直线和圆的位置关系】
【例3】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，在中，，点D在边上，且，以为直径作，设线段的中点为P，则点P与的位置关系是（ ）
A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法确定
【变式3-1】（23-24九年级·福建莆田·期中）的半径为，点到圆心O的距离，则点与的位置关系为（ ）
A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．无法确定
【变式3-2】（23-24九年级·浙江金华·期末）如图，在平行四边形ABCD中，，，以顶点C为圆心，BC为半径作圆，则AD边所在直线与的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种都有可能
【变式3-3】（2024·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，，，以为直径作，延长到点，使，点是上的动点，线段的中点为，点为上一动点．
（1）直线与的位置关系为 ；
（2）的最小值为 ．
【题型4 由直线与圆的位置关系求半径】
【例4】（23-24九年级·湖北鄂州·期末）在中，．若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，则的取值范围是 ．
【变式4-1】（23-24九年级·重庆大足·期末）已知的圆心到直线l的距离是一元二次方程的一个根，若与直线l相切，的半径的值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．1
【变式4-2】（23-24九年级·全国·课后作业）已知的斜边，直角边，以点为圆心作．
(1)当半径为________时，直线与相切；
(2)当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为________；
(3)当与线段没有公共点时，半径的取值范围为__________．
【变式4-3】（23-24九年级·福建厦门·期中）如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，以3为半径的圆，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动．若过点P与OA平行的直线与⊙O有公共点，设点P在数轴上表示的数为x．则x的取值范围是（　　）
A．0≤x≤3 B．x＞3 C．﹣3≤x≤3 D．﹣3≤x≤3，且x≠0
【题型5 由直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离】
【例5】（23-24九年级·江苏泰州·期中）若点在二次函数的图像上，以为圆心，为半径的圆与轴相交，则的取值范围是 ．
【变式5-1】（2024·湖北武汉·二模）如果直径为的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离满足（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】（2024·天津滨海新·一模）的直径为，直线l与相交，圆心O到l的距离为d，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（23-24九年级·湖北武汉·期末）平面内，的半径为5，若直线与相离，则圆心到直线的距离可能是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【题型6 由直线与圆的位置关系求交点个数】
【例6】（23-24九年级·全国·期末）已知，中，，斜边上的高为，以点为圆心，为半径的圆与该直线的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式6-1】（23-24九年级·河北石家庄·期中）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与有 个交点．
【变式6-2】（2024·广西梧州·一模）已知⊙O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点个数为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【变式6-3】（23-24九年级·天津河北·期中）若直线l与圆心O的距离大于⊙O的半径，则直线l与⊙O的交点个数为 ．
【题型7 由直线与圆的位置关系求最值】
【例7】（2024·山东·一模）如图，已知直线y＝x－3，与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA、PB，则△PAB面积的最小值是（　 　）
A．6 B． C．5 D．
【变式7-1】（2024·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，，，以为直径作，延长到点，使，点是上的动点，线段的中点为，点为上一动点．
（1）直线与的位置关系为 ；
（2）的最小值为 ．
【变式7-2】（2024·江苏连云港·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点D是以A为圆心4为半径D圆上的一点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的最小值是 ．
【变式7-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知AB为半圆的直径，AB＝2，DA⊥AB，CB⊥AB，AD＝1，BC＝3，点P为半圆上的动点，则AD，AB，BC，CP，PD围成的图形的面积的最大值是 ．

【题型8 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】
【例8】（2024·河北·模拟预测）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为2cm的P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm，如果P以1cm/s的速度沿直线AB由A向B的方向移动，那么P与直线CD相切时☉P运动的时间是（ ）

A．3秒或10秒 B．3秒或8秒 C．2秒或8秒 D．2秒或10秒
【变式8-1】（2024·吉林松原·二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．

【变式8-2】（2024九年级·浙江宁波·学业考试）如图，中，，，，半径为的与，相切，当沿边平移至与相切时，则平移的距离为（ ）

A． B． C． D．
【变式8-3】（23-24九年级·浙江杭州·期末）如图，在边长为6cm的菱形ABCD中，，半径为1cm的⊙P沿着射线AC以1cm/s的速度运动，运动的时间为t，． 则动点P运动时间 （单位：s）时，⊙P与菱形ABCD的边没有交点．

【题型9 求直线平移到与圆相切时运动的距离】
【例9】（23-24九年级·江苏泰州·阶段练习）如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】（2024九年级·全国·专题练习）已知：直线经过点.
（1）求的值；
（2）将该直线向上平移个单位，若平移后得到的直线与半径为6的相离（点为坐标原点），试求的取值范围.
【变式9-2】（2024·四川凉山·模拟预测）如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移(　　)
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【变式9-3】（2024·四川南充·中考真题）如图，直线，与和分别相切于点和点．点和点分别是和上的动点，沿和平移．的半径为，．下列结论错误的是（ ）．
A． B．若与相切，则
C．若，则与相切 D．和的距离为
【题型10 由圆与图形的公共点的个数求参数的取值范围】
【例10】（23-24九年级·黑龙江大庆·期末）如图，平行四边形中，，，，点在边上运动以为圆心，为半径作，若与平行四边形的边有四个公共点，则的长度满足条件是 ．
【变式10-1】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，在中，，，动点从点出发，沿运动，点在运动过程中速度始终为，以点为圆心，线段长为半径作圆，设点的运动时间为，当与有个交点时，此时的值不可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式10-2】（2024·浙江杭州·一模）如图，直线l经过边长为10的正方形中心A，且与正方形的一组对边平行，⊙B的圆心B在直线l上，半径为r，AB＝7，要使⊙B和正方形的边有2个公共点，那么r的取值范围是 ．
【变式10-3】（2024·上海长宁·二模）我们把以三角形的重心为圆心的圆叫做该三角形的重心圆．如图，在中，，如果的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径r的取值范围是 ．
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专题24.5 直线与圆的位置关系【十大题型】
【人教版】
【题型1 判断点与圆的位置关系】 1
【题型2 由点与圆的位置关系求半径】 4
【题型3 判断直线和圆的位置关系】 7
【题型4 由直线与圆的位置关系求半径】 10
【题型5 由直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离】 13
【题型6 由直线与圆的位置关系求交点个数】 15
【题型7 由直线与圆的位置关系求最值】 16
【题型8 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】 21
【题型9 求直线平移到与圆相切时运动的距离】 25
【题型10 由圆与图形的公共点的个数求参数的取值范围】 29
知识点1：点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有：点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。
用数量关系表示：若设⊙O的半径就是r，点P到圆的距离OP=d，则有：
点P在圆外,则 d＞r；点p在圆上则d=r；点p在圆内则d＜r,反之也成立。
【题型1 判断点与圆的位置关系】
【例1】（2024·江苏宿迁·模拟预测）已知的半径为，点到圆心的距离为，若关于的方程不存在实数根，则点与的位置关系是（ ）
A．点在外 B．点在上
C．点在内 D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别方法和点与圆的位置关系，根据一元二次方程根的情况，判断的取值范围，再根据点与圆心的距离，判断点与圆的位置关系，熟练掌握根的判别方法和判断点与圆的位置关系的方法是解题的关键．
【详解】解：由题意，得，
解得，
∴，则点在外，
故选：．
【变式1-1】（23-24九年级·重庆梁平·期末）平面直角坐标系中，以原点O为圆心，2为半径作，则点与⊙O的位置关系为点A在 ．
【答案】圆外
【分析】本题考查点与圆的位置关系． 若⊙O的半径为，一点P和圆心O的距离为，当时，点P在⊙O上；当时，点P在⊙O内；当时，点P在⊙O外．熟记相关结论即可．
【详解】解：∵点
∴
∵
∴点在⊙O外．
故答案为：圆外．
【变式1-2】（23-24九年级·吉林通化·期末）如图，在平面直角坐标系中，、、．
（1）经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为 ；
（2）这个圆的半径为 ；
（3）点与的位置关系为点在 （填内、外、上）．
【答案】 内
【分析】（1）作线段，的垂直平分线交于点，点即为所求；
（2）根据点的位置写出坐标即可，利用勾股定理求出半径；
（3）根据点与圆的位置关系判断即可．
【详解】解：（1）如图，
∵点是线段，的垂直平分线的交点，
∴，
∴点是经过、、三点的圆弧所在圆的圆心，
∴点即为所求．
故答案为：．
（2）∵，点在上，
∴．
故答案为：．
（3）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴点在的内部．
故答案为：内．
【点睛】本题考查作图—复杂作图，坐标与图形的性质，垂径定理，点与圆的位置关系，勾股定理，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质．
【变式1-3】（2024·河北邯郸·二模）如图，平面上有P，Q，M，N四点，其中任意三点都不在同一条直线上，嘉淇进行了如下操作：①连接四点画出四边形；②利用尺规分别作，的垂直平分线，两直线交于点O．若以点O为圆心，长为半径画⊙O，则不一定在上的点是（ ）

A．点P B．点Q C．点M D．点N
【答案】C
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上的任意一点，到线段两端的距离相等是解题的关键；
连接，，，，由线段垂直平分线的性质可得出，据此即可得出结论．
【详解】解：连接，，，

作，的垂直平分线，两直线交于点O，
，
点P，Q， N在点O为圆心，长为半径的圆上，与的大小关系不能确定，
点M不一定在圆上，
故选：C．
【题型2 由点与圆的位置关系求半径】
【例2】（23-24九年级·浙江·期末）如图，在中，，点D在边上，且，连接．以点D为圆心，以r为半径画圆，若点A，B，C中只有1个点在圆内，则r的值可能为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点到圆心距离为d，半径为r，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．先根据勾股定理求出，再得出，根据点A，B，C中只有1个点在圆内，推出，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，，
∵点A，B，C中只有1个点在圆内，，
∴在圆内的点为点B，
∴，
故选：B．
【变式2-1】（23-24九年级·浙江绍兴·期末）已知半径为，点为内一点，，则满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系．根据点与圆的位置关系，即可求解．
【详解】解：∵半径为，点为内一点，，
∴．
故选：B
【变式2-2】（2024·上海闵行·三模）若点P到上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，那么的半径为 ．
【答案】或者
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，分点P在外和内两种情况讨论，当点P在外时，最大距离与最小距离之差等于直径；当点P在内时，最大距离与最小距离之和等于直径，即可得．
【详解】解：点P在外时，
外一点到上所有的点的距离中，最大距离是，最小距离是，
的半径长等于；
点P在内时，
内一点到上所有的点的距离中，最大距离是，最小距离是，
的半径长等于，
故答案为：或者．
【变式2-3】（23-24九年级·浙江宁波·期中）数轴上有两个点和，点表示实数16，点从原点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，运动速度为半径为4，若点在外，则（ ）
A．或 B． C．琙 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了实数与数轴，点与圆的位置关系，解不等式，根据题意可得，再由点A在圆外可得，即可得到，解之即可得到答案．
【详解】解：由题意得，点A表示的数为，
∴，
∵半径为4，点在外，
∴，
∴，
∴或，
∴或，
故选A．
知识点2：直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种。
2. 直线与圆的位置关系可以用数量关系表示:
若设⊙O的半径就是r，直线l与圆心0的距离为d，则有：
直线l与⊙O相交则d ＜ r；
直线l与⊙O相切则 d = r；
直线l与⊙O相离则d ＞ r,反之也成立。
【题型3 判断直线和圆的位置关系】
【例3】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，在中，，点D在边上，且，以为直径作，设线段的中点为P，则点P与的位置关系是（ ）
A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断，三角形中位线定理等知识．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．首先根据三角形中位线的性质得出，进而利用点与圆的位置关系得出即可．
【详解】解：连接，
∵以为直径作，线段的中点为P，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴点P与的位置关系是点P在外．
故选：C．
【变式3-1】（23-24九年级·福建莆田·期中）的半径为，点到圆心O的距离，则点与的位置关系为（ ）
A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知若，则点在圆内；若，则点在圆上；若，则点在圆外是解答此题的关键．直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．
【详解】解：∵，，
∴，
∴点在圆外，
故选：C．
【变式3-2】（23-24九年级·浙江金华·期末）如图，在平行四边形ABCD中，，，以顶点C为圆心，BC为半径作圆，则AD边所在直线与的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种都有可能
【答案】A
【分析】根据面积公式计算点C到AD的距离d，比较d与半径BC的大小判断即可．
【详解】∵在平行四边形ABCD中，，，
∴点C到AD的距离d=，
∴直线与圆C相交，
故选A．
【点睛】本题考查了平行四边形的面积，直线与圆的位置关系d、r法则，熟练掌握法则是解题的关键．
【变式3-3】（2024·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，，，以为直径作，延长到点，使，点是上的动点，线段的中点为，点为上一动点．
（1）直线与的位置关系为 ；
（2）的最小值为 ．
【答案】 相离 17
【分析】（1）根据矩形的性质得出点到距离为，根据圆心到直线大于半径即可得出结论；
（2）根据题意得出在以为圆心，为半径的圆上运动，根据轴对称的性质连接，交于点，则此时取得最小值，勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）∵在矩形中，，，
∴,点到距离为，
∵，
∴直线与的位置关系为相离，
故答案为：相离．
（2）如图所示，连接，
∵，，
∴为的中点，
∵线段的中点为，
∴ ，
即在以为圆心，为半径的圆上运动，
作点关于的对称轴点，则
连接，交于点，则此时取得最小值，
∵，
∴，
∴ ，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中位线的性质，轴对称的性质，直线与圆的位置关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【题型4 由直线与圆的位置关系求半径】
【例4】（23-24九年级·湖北鄂州·期末）在中，．若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，则的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】分两种情况，①相切，画出符合条件的图形，然后根据切线性质和三角形的面积即可求出答案； ②相交，画出图形如图所示，进而确定R的取值范围，从而使问题得解．
【详解】∵
∴，
分为两种情况：①如图1，当与相切时，只有一个公共点，则．

由三角形的面积公式得：，
∴，
∴，
即．
②如图2，当时，与只有一个公共点，

故答案为：或．
【点睛】本题侧重考查直线与圆的位置关系类型的习题，解决本题需要掌握直线与圆的位置关系等有关知识．
【变式4-1】（23-24九年级·重庆大足·期末）已知的圆心到直线l的距离是一元二次方程的一个根，若与直线l相切，的半径的值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．1
【答案】B
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、解一元二次方程，先解一元二次方程可得出，再根据直线与圆相切可得出，即可得到答案，熟练掌握直线与圆的位置关系是解此题的关键．
【详解】解：∵，
，
或，
，，
的圆心到直线l的距离是一元二次方程的一个根，
，
与直线l相切，
的半径，即，
故选：B．
【变式4-2】（23-24九年级·全国·课后作业）已知的斜边，直角边，以点为圆心作．
(1)当半径为________时，直线与相切；
(2)当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为________；
(3)当与线段没有公共点时，半径的取值范围为__________．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)或．
【分析】（）如图作于，求出的值即可判断；
（）当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或 ；
（）当与线段没有公共点时，半径的取值范围为或，
本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，等面积法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）如图作于，

在中，，，，
∴由勾股定理得，
∵，
∴，
∴当半径时，直线与相切，
故答案为：；
（2）观察图形可知，
当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或 ，
故答案为：或；
（3）观察图形可知，
当与线段没有公共点时，半径的取值范围为或，
故答案为：或．
【变式4-3】（23-24九年级·福建厦门·期中）如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，以3为半径的圆，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动．若过点P与OA平行的直线与⊙O有公共点，设点P在数轴上表示的数为x．则x的取值范围是（　　）
A．0≤x≤3 B．x＞3 C．﹣3≤x≤3 D．﹣3≤x≤3，且x≠0
【答案】D
【分析】首先作出圆的切线，求出直线与圆相切时的P的取值，再结合图象可得出P的取值范围，即可得出答案．
【详解】解：∵半径为1的圆，∠AOB＝45°，过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，
∴当P′C与圆相切时，切点为C，
∴OC⊥P′C，
CO＝3，∠P′OC＝45°，
OP′＝3，
∴过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，即0＜x≤3，
同理可得：
过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，即﹣3≤x＜0，
综上所述：﹣3≤x≤3，且x≠0．
故选D．
【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，作出切线找出直线与圆有交点的分界点是解决问题的关键．
【题型5 由直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离】
【例5】（23-24九年级·江苏泰州·期中）若点在二次函数的图像上，以为圆心，为半径的圆与轴相交，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】先分析点为圆心、为半径的圆与轴相交，得出横坐标的范围，根据函数对称轴位置确定当取何值时取到最值，得到的最大值、最小值，再根据相交位置关系判断最值是否可取，确定符号即可得出结论．
【解答】解：，
∴二次函数的图像开口向上，顶点，对称轴是直线，
在二次函数的图像上，以为圆心，为半径的圆与轴相交，
∴，
∵抛物线开口向上，，
∴当，时，，
当，时，，且此时圆与轴相切，故不可取到．
．
【点睛】本题考查了二次函数的的增减性和直线与圆的位置关系，解答关键是根据数形结合思想讨论的取值范围．
【变式5-1】（2024·湖北武汉·二模）如果直径为的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离满足（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．解决本题的关键是确定圆的半径，进而可知直线与圆心的距离d的取值范围．先求出圆的半径为，再根据直线与圆相交时，d的取值范围．
【详解】解：∵圆的半径为
∴当直线与圆相交时，直线与圆心的距离，
故选：C．
【变式5-2】（2024·天津滨海新·一模）的直径为，直线l与相交，圆心O到l的距离为d，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解决本题的关键是掌握直线与圆的位置关系的性质．
根据直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于半径，得．
【详解】解：∵的直径为，直线l与相交，点O到直线l的距离为d，
∴，即，
故选：B．
【变式5-3】（23-24九年级·湖北武汉·期末）平面内，的半径为5，若直线与相离，则圆心到直线的距离可能是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【分析】本题考查直线与圆相离的判定，根据相离的判定逐项验证即可得到答案，熟记直线与相离，得到圆心到直线的距离大于半径是解决问题关键．
【详解】解： 的半径为5，若直线与相离，
由相离定义可知圆心到直线的距离大于半径5，
根据四个选项中的距离可知，只有6符合要求，
故选：A．
【题型6 由直线与圆的位置关系求交点个数】
【例6】（23-24九年级·全国·期末）已知，中，，斜边上的高为，以点为圆心，为半径的圆与该直线的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【分析】根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行判断．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
【详解】解：∵5cm＞4.8cm，
∴d> r.
∴圆与该直线AB的位置关系是相离，交点个数为0，
故选A．
【点睛】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系，关键是掌握d与r的大小关系所决定的直线与圆的位置关系．
【变式6-1】（23-24九年级·河北石家庄·期中）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与有 个交点．
【答案】0
【分析】本题考查了解一元二次方程，直线与圆的位置关系，解出方程根据圆的半径大于0舍去方程得负数根，根据“圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆无交点；圆心到直线的距离等于半径，则直线与圆相切，有一个交点；圆心到直线的距离小于半径，则直线与圆有两个交点”得到结果，是解题的关键．
【详解】解：解，可得，
的半径是一元二次方程的一个根，
圆的半径为3，
圆心O到直线l的距离为4，
直线l与有0个交点，
故答案为：0．
【变式6-2】（2024·广西梧州·一模）已知⊙O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点个数为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【详解】试题分析：根据直线和园的位置关系可知，圆的半径小于直线到圆距离，则直线l与O的位置关系是相离．
解答：解：∵⊙O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为5cm，
∴直线l与O的位置关系是相交，所以交点的个数为2．
故选C.
考点：直线与圆的位置关系.
【变式6-3】（23-24九年级·天津河北·期中）若直线l与圆心O的距离大于⊙O的半径，则直线l与⊙O的交点个数为 ．
【答案】0
【分析】根据直线和圆的位置关系填空即可．
【详解】解：∵直线l与圆心O的距离大于⊙O的半径，
∴直线l与⊙O相离，
∴直线l与⊙O无交点，
故答案为:0．
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，当直线l与圆心O的距离大于⊙O的半径，直线l与⊙O相离，直线l与⊙O无交点；当直线l与圆心O的距离等于⊙O的半径，直线l与⊙O相切，直线l与⊙O有1个交点；当直线l与圆心O的距离小于⊙O的半径，直线l与⊙O相交，直线l与⊙O有2个交点．
【题型7 由直线与圆的位置关系求最值】
【例7】（2024·山东·一模）如图，已知直线y＝x－3，与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA、PB，则△PAB面积的最小值是（　 　）
A．6 B． C．5 D．
【答案】B
【分析】过C作CM⊥AB于M，连接AC，MC的延长线交⊙C于N，则由三角形面积公式得，×AB×CM=×OA×BC，可知圆C上点到直线y=x-3的最短距离是，由此求得答案．
【详解】解：∵直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴当x=0时，y=-3；y=0时，x=4
∴OB=3；OA=4
由勾股定理得，
∵C（0，1）
∴
∴BC=OB+OC=3+1=4
过C作CM⊥AB于M，连接AC，如图，
则由三角形面积公式得，×AB×CM=×OA×BC，
∴5×CM=16，
∴CM=，
∴圆C上点到直线y=x-3的最小距离是 ，
∴△PAB面积的最小值是 ×5×=，
故选：B．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，三角形的面积，点到直线的距离公式的应用，解此题的关键是求出圆上的点到直线AB的最小距离．
【变式7-1】（2024·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，，，以为直径作，延长到点，使，点是上的动点，线段的中点为，点为上一动点．
（1）直线与的位置关系为 ；
（2）的最小值为 ．
【答案】 相离 17
【分析】（1）根据矩形的性质得出点到距离为，根据圆心到直线大于半径即可得出结论；
（2）根据题意得出在以为圆心，为半径的圆上运动，根据轴对称的性质连接，交于点，则此时取得最小值，勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）∵在矩形中，，，
∴,点到距离为，
∵，
∴直线与的位置关系为相离，
故答案为：相离．
（2）如图所示，连接，
∵，，
∴为的中点，
∵线段的中点为，
∴ ，
即在以为圆心，为半径的圆上运动，
作点关于的对称轴点，则
连接，交于点，则此时取得最小值，
∵，
∴，
∴ ，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中位线的性质，轴对称的性质，直线与圆的位置关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式7-2】（2024·江苏连云港·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点D是以A为圆心4为半径D圆上的一点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的最小值是 ．
【答案】3
【分析】作AB的中点E，连接EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后在△CEM中根据三边关系即可求解．
【详解】作AB的中点E，连接EM、CE，
在直角△ABC中，AB===10，
∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，
∴CE=AB=5，
∵M是BD的中点，E是AB的中点，
∴ME=AD=2，
∴在△CEM中，5-2≤CM≤5+2，即3≤CM≤7，
∴最小值为3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理的知识，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【变式7-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知AB为半圆的直径，AB＝2，DA⊥AB，CB⊥AB，AD＝1，BC＝3，点P为半圆上的动点，则AD，AB，BC，CP，PD围成的图形的面积的最大值是 ．

【答案】2+
【分析】五边形ABCDP的面积＝四边形ABCD的面积﹣△CPD的面积只要求出△CDP面积的最小值，作EF//CD，且与⊙O相切于点P，连接OP延长OP交AD于H，易知此时点P到CD的距离最小，此时△CDP的面积最小．
【详解】解：∵五边形ABCDP的面积＝四边形ABCD的面积﹣△CPD的面积，
∴只要求出△CDP面积的最小值，
作EF//CD，且与⊙O相切于点P，连接OP延长OP交AD于H，
易知此时点P到CD的距离最小，此时△CDP的面积最小，
易知AD＝2，
∵四边形ABCD的面积＝（1+3）×2＝4＝×1×1+ AD OH+ 1 3，
∴OH＝，
∴PH＝﹣11，
∴△CAD的面积最小值为2﹣，
∴五边形ABCDP面积的最大值是4﹣（2﹣）＝2+．
故答案为2+．

【点睛】本题主要考查了求解多边形的面积知识点，结合圆的切线的性质进行求解是解题的重要步骤．
【题型8 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】
【例8】（2024·河北·模拟预测）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为2cm的P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm，如果P以1cm/s的速度沿直线AB由A向B的方向移动，那么P与直线CD相切时☉P运动的时间是（ ）

A．3秒或10秒 B．3秒或8秒 C．2秒或8秒 D．2秒或10秒
【答案】D
【分析】作PH⊥CD于H，根据直角三角形的性质得到OP＝2PH，分点P在OA上、点P在AO的延长线上两种情况可，根据切线的性质解答．
【详解】解：作PH⊥CD于H，
在Rt△OPH中，∠AOC＝30°，
∴OP＝2PH，
当点P在OA上，⊙P与直线CD相切时，OP＝2PH＝4cm，
∴点P运动的距离为6﹣4＝2，
∴⊙P运动的时间是2秒，
当点P在AO的延长线上，⊙P与直线CD相切时，OP＝2PH＝4cm，
∴点P运动的距离为6+4＝10，
∴⊙P运动的时间是10秒，
故选：D．

【点睛】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
【变式8-1】（2024·吉林松原·二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．

【答案】/
【分析】分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案．
【详解】解：的圆心P的坐标为，
，
的半径为2，
，
，，
当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1，
当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5，
平移的距离d的取值范围是，
故答案为：．

【点睛】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．
【变式8-2】（2024九年级·浙江宁波·学业考试）如图，中，，，，半径为的与，相切，当沿边平移至与相切时，则平移的距离为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接OA，OB，OC，设此时点O到AC的距离为h，根据S△ABC=S△AOC+S△BOC+S△AOB，求出
S△AOC，即可求出h，即可得到答案．
【详解】当与AB，BC相切时，如图，连结OA，OB，OC，

设此时点O到AC的距离为h，
∵AC=6，BC=8，∠ACB=90°，
∴AB==10，
∴S△ABC=S△AOC+S△BOC+S△AOB，
∴AC·BC=S△AOC+（AB+BC）×1，
∴×6×8=S△AOC+×（8+10）×1，
∴S△AOC=24-9=15=AC·h=×6×h，
∴h=5，
∴的平移距离为5-1=4，
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质，三角形的面积，勾股定理，掌握知识点是解题关键．
【变式8-3】（23-24九年级·浙江杭州·期末）如图，在边长为6cm的菱形ABCD中，，半径为1cm的⊙P沿着射线AC以1cm/s的速度运动，运动的时间为t，． 则动点P运动时间 （单位：s）时，⊙P与菱形ABCD的边没有交点．

【答案】或．
【分析】作出⊙P运动过程中恰好与菱形有交点时的图形，求出P1，P2，P3与P点的距离，可得出运动时间，从而得出无交点时的时间范围．
【详解】如图所示，⊙P运动过程中恰好与与菱形有交点时有三个位置：P1，P2，P3，

连接BD，与AC交于点H，
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°
∴BD⊥AC，AH=HC，∠DAC=30°
在Rt△ADH中，AD=6cm
∴cm
∴AC=2AH=cm
①当P运动到P1时，圆与AD相切与点E，连接P1E，
∴P1E⊥AD
在Rt△AP1E中，P1E=PA=1cm，∠P1AE=30°
∴P1A=2 P1E=2cm，
∴P1P= P1A+PA=3cm
∴P运动到P1位置时，时间t1=
②当P运动到P2时，圆与CD相切与点F，连接P2F，
∴P2F⊥CD
同①可得P2C=2cm，
此时P2A=AC-P2C=cm，P2P=P2A+PA=cm
∴P运动到P2位置时，时间t2=
③当P运动到P3时，点C在圆上且圆心在点C的右侧，
此时P3P=P3C+AC+PA=1++1=cm
∴P运动到P3位置时，时间t3=
由图可知，当圆P运动到P1P2之间（不含P1、P2），或者运动到P3右侧时，与菱形的边无交点，
∴动点P运动时间或
故答案为：或．
【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系，熟练掌握切线的性质，作出临界点的图形进行分析是解题的关键．
【题型9 求直线平移到与圆相切时运动的距离】
【例9】（23-24九年级·江苏泰州·阶段练习）如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，由垂径定理和勾股定理得，当点H平移到点C时，直线与圆相切，求得．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，
∴，
即直线在原有位置向下移动后与圆相切．
故选：B．
【点睛】本题利用了垂径定理，勾股定理，及切线的概念求解，正确掌握各定理并应用是解题的关键．
【变式9-1】（2024九年级·全国·专题练习）已知：直线经过点.
（1）求的值；
（2）将该直线向上平移个单位，若平移后得到的直线与半径为6的相离（点为坐标原点），试求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用待定系数法解答；
（2）得出平移后得到的直线，求出A、B点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．
【详解】（1）因为直线经过点，
所以，
即，
故答案为
（2）由（1）及题意知，平移后得到的直线所对应的函数关系式为，设直线与轴、轴分别交于点、（如图所示），
当时，；当时，.
所以，，即，.
在中，.
过点作于，
因为，
所以，
因为，解得.
依题意得：，
解得，
即的取值范围为.
【点睛】此题主要考查待定系数法、勾股定理、直线与圆的位置关系等知识．
【变式9-2】（2024·四川凉山·模拟预测）如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移(　　)
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】B
【分析】作出OC⊥AB，利用垂径定理求出BC＝4，再利用勾股定理求出OC＝3，即可求出要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移的长度．
【详解】解：作OC⊥AB，
又∵⊙O的半径为5cm，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm
∴BO＝5，BC＝4，
∴由勾股定理得OC＝3cm，
∴要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移2cm．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了切线的性质定理与垂径定理，根据图形求出OC的长度是解决问题的关键．
【变式9-3】（2024·四川南充·中考真题）如图，直线，与和分别相切于点和点．点和点分别是和上的动点，沿和平移．的半径为，．下列结论错误的是（ ）．
A． B．若与相切，则
C．若，则与相切 D．和的距离为
【答案】B
【分析】根据直线与圆的相关知识，逐一判断．
【详解】解：A、平移使点与重合，，，解直角三角形得，正确；
B、当与圆相切时，，在左侧以及，在，右侧时，或，错误；
C、若，连接并延长交于点，则，故，，故上的高为，即到的距离等于半径．正确；
D、，两平行线之间的距离为线段的长，即直径，正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了直线与圆相切的判断方法和性质，全等三角形的判定及性质，平行线间的距离，熟练掌握直线与圆相切的判断方法和性质是解题的关键．
【题型10 由圆与图形的公共点的个数求参数的取值范围】
【例10】（23-24九年级·黑龙江大庆·期末）如图，平行四边形中，，，，点在边上运动以为圆心，为半径作，若与平行四边形的边有四个公共点，则的长度满足条件是 ．
【答案】或
【分析】求出⊙P与BC，CD相切时AP的长以及⊙P经过A，B，C三点时AP的长即可判断．
【详解】解：如图1中，当⊙P与BC相切时，设切点为E，连接PE．
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC==4，
设AP=x，则BP=5-x，PE=x，
∵⊙P与边BC相切于点E，
∴PE⊥BC，
∵BC⊥AC，
∴AC∥PE，
∴，
∴，
∴；
如图2中，当⊙P与CD相切时，设切点为E，连接PE．
∵S平行四边形ABCD=2××3×4=5PE，
∴PE=，
观察图象可知：＜AP＜时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，
②⊙P过点A、B、C三点，如图3，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，
此时AP=，
综上所述，AP的值的取值范围是：或AP=．
故答案为：或AP=．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题．
【变式10-1】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，在中，，，动点从点出发，沿运动，点在运动过程中速度始终为，以点为圆心，线段长为半径作圆，设点的运动时间为，当与有个交点时，此时的值不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据⊙C与△ABC有3个交点，可知⊙C与Rt△ABC只有三个交点的半径r只有2个，一个是r=3，另一个是r=2.4（此时圆与斜边AB相切），依此作答即可．
【详解】以C为圆心，作半径为r的圆，则与Rt△ABC只有三个交点的半径r只有2个，一个是r=3，另一个是r=2.4（此时圆与斜边AB相切），其余情况都不能满足与Rt△ABC只有三个交点，所以以2.4和3为半径做圆，与Rt△ABC相交的点有6个，t分别为2.4，3，4.8，6.6，9，9.6．
故选B．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是由⊙C与△ABC有3个交点得出可能的情况数，有一定的难度．
【变式10-2】（2024·浙江杭州·一模）如图，直线l经过边长为10的正方形中心A，且与正方形的一组对边平行，⊙B的圆心B在直线l上，半径为r，AB＝7，要使⊙B和正方形的边有2个公共点，那么r的取值范围是 ．
【答案】2＜r＜12或r＝13．
【分析】求出圆与正方形的右边和左边相切时的半径,在这个范围内⊙B和正方形的边都有2个公共点;当圆的半径为点B到左边顶点距离时,也有两个公共点;
【详解】解：圆与正方形的右边相切时，r=AB﹣5=2，
与左边相切时，r=AB+5=12，
∴2＜r＜12，
当公共点是左边顶点时，
所以，x的取值范围是2＜r＜12或r=13．
故答案为2＜r＜12或r=13．
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系,解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定.
【变式10-3】（2024·上海长宁·二模）我们把以三角形的重心为圆心的圆叫做该三角形的重心圆．如图，在中，，如果的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径r的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】本主要考查三角形重心以及点与圆的位置关系，根据重心的性质得由勾股定理求出，运用面积法求出，从而得出结论
【详解】解：设点O为的重心，
∵为中线，
∴
连接则
∴,
过点作于点E，F，
∴
∵ ,
∴
∴
∴的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径r的取值范围是或
故答案为：或
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