人教版2024-2025九年级数学上册同步讲义专题专题24.8正多边形与圆【九大题型】(学生版+解析)

专题24.8 正多边形与圆【九大题型】
【人教版】
【题型1 求正多边形中心角】 2
【题型2 由正多边形中心角求边数】 3
【题型3 尺规作正多边形】 3
【题型4 正多边形和圆中求线段长度】 5
【题型5 正多边形和圆中求角度】 6
【题型6 正多边形和圆中求周长】 7
【题型7 正多边形和圆中求面积】 8
【题型8 正多边形和圆中求最值】 9
【题型9 正多边形和圆中的证明】 10
知识点：正多边形和圆
（1）正多边形的有关概念
正多边形与圆的关系非常密切，把圆分成n（n就是大于2的自然数）等份，顺次连接各分点所的的多边形就是这个圆的内接正多边形，这个圆就就是这个正多边形的外接圆。
正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。
正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。
（2）正多边形的有关计算
中心角 边心距 周长 面积
为边数；为边心距；为半径；为边长
（3）正多边形每个内角度数为，每个外角度数为
【题型1 求正多边形中心角】
【例1】（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，圆内接正九边形两条对角线相交，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（23-24九年级上·江苏泰州·期末）将一个正八边形绕着其中心旋转后与原图形重合，旋转角的大小不可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（23-24九年级下·安徽淮北·阶段练习）苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点O为正六边形的中心，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（15-16九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在正十边形中，连接、，则 °
【题型2 由正多边形中心角求边数】
【例2】（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（ ）
A．10 B．12 C．15 D．20
【变式2-1】（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）已知一个正多边形的中心角为，边长为5，那么这个正多边形的周长等于 ．
【变式2-2】（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，四边形是的内接四边形，是的内接正边形的一边，是的内接正边形的一边，，则 ．

【变式2-3】（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，AC是⊙O的内接正四边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正六边形的一边．若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n的值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【题型3 尺规作正多边形】
【例3】（23-24九年级上·福建福州·期中）尺规作图：如图，AD为⊙O的直径。
(1)求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF.(要求：不写作法,保留作图痕迹)；
(2)已知连接DF，⊙O的半径为4，求DF的长。
【变式3-1】（23-24·陕西·一模）如图，已知，请用尺规作图法求作的内接正方形．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式3-2】（23-24九年级·河北·专题练习）如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下：
①作出半径OF的中点H．
②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G．
③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E．
已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝ ．（结果保留根号）
【变式3-3】（2024·江苏无锡·一模）尺规作图：
(1)请在图①中以矩形的边为边作菱形，使得点E在上；
(2)请在图②中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等.
【题型4 正多边形和圆中求线段长度】
【例4】（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，半径为2的是正六边形的外接圆，则边心距的长度为（ ）

A．1 B． C． D．2
【变式4-1】（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，分别以点A、D为圆心，AE长为半径作弧，在⊙O外交于点G，连接OG．若⊙O的半径为1，则OG的长度为 ．
【变式4-2】（23-24九年级·全国·假期作业）如图，正方形和正三角形内接于，、交于、，若正方形的边长是4，则的长度为　　
A． B． C． D．
【变式4-3】（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，正六边形内接于，半径为．

(1)求的长度；
(2)若G为的中点，连接，求的长度．
【题型5 正多边形和圆中求角度】
【例5】（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，正六边形内接于，边长为2．
(1)求的直径的长；
(2)求的度数．
【变式5-1】（2024·宁夏银川·二模）如图，正五边形内接于，P为劣弧上的动点，则的大小为 ．

【变式5-2】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，正八边形内接于，为弧上的一点（点不与点A，重合），求的度数．
【变式5-3】（2024·安徽淮北·二模）如图，是正五边形和正六边形的外接圆，连接和，则的度数为 ．
【题型6 正多边形和圆中求周长】
【例6】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，是正六边形的外接圆，若的半径为6，则四边形的周长是（　　）
A． B． C． D．
【变式6-1】（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，六边形是的内接正六边形，记的周长为，正六边形的周长为，则的值为 ．
【变式6-2】（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，正六边形内接于，已知的半径为1，连接，则四边形的周长为（ ）
A．6 B． C．4 D．
【变式6-3】（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，正方形内接于⊙O，线段在对角线上运动，若⊙O的周长为，，则周长的最小值是 ．

【题型7 正多边形和圆中求面积】
【例7】（2024·江苏南京·三模）如图，表示中去掉内接正三角形部分的面积，表示中去掉内接正六边形部分的面积，和的半径均为，则 ．（填“、或”）
【变式7-1】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，的半径为，以的内接正八边形的一边为边在内作正方形，则正方形的面积为 ．
【变式7-2】（2024·江苏无锡·一模）魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积． 如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为1，则这个圆的内接正十二边形的面积为（ ）
A．1 B． C．3 D．4
【变式7-3】（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，的半径为，是的内接等边三角形，点在上．四边形为平行四边形，则平行四边形的面积是（　　）
A．4 B．4 C．2 D．2
【题型8 正多边形和圆中求最值】
【例8】（23-24九年级上·山东临沂·期末）如图，的圆心与正方形的中心重合，已知的半径和正方形的边长都为2，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【变式8-1】（23-24·陕西西安·一模）如图，点P为⊙上一点，连接OP，且，点A为OP上一动点，点B为⊙上一动点，连接AB，以线段AB为边在⊙内构造矩形ABCD，且点C在⊙上，则矩形ABCD面积的最大值为 ．
【变式8-2】（23-24九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，点是边长为2的正六边形内的一点（不包括边界），且，是上的一点，是的中点，则的最小值为 ．
【变式8-3】（23-24·广东广州·中考真题）如图，为等边的外接圆，半径为2，点在劣弧上运动（不与点重合），连接，，．
（1）求证：是的平分线；
（2）四边形的面积是线段的长的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；
（3）若点分别在线段，上运动（不含端点），经过探究发现，点运动到每一个确定的位置，的周长有最小值，随着点的运动，的值会发生变化，求所有值中的最大值．
【题型9 正多边形和圆中的证明】
【例9】（23-24九年级上·浙江·期末）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形．

(1)求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分∠BAF．
(2)设⊙O的面积为S1，六边形ABCDEF的面积为S2，求的值（结果保留π）．
【变式9-1】（23-24·湖北武汉·模拟预测）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形．
（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．
【变式9-2】（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，正方形内接于是的中点，连接.
(1)求证：；
(2)求证：；
【变式9-3】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，已知的内接正十边形，交，于，，求证：
(1)；
(2)．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
专题24.8 正多边形与圆【九大题型】
【人教版】
【题型1 求正多边形中心角】 2
【题型2 由正多边形中心角求边数】 5
【题型3 尺规作正多边形】 8
【题型4 正多边形和圆中求线段长度】 13
【题型5 正多边形和圆中求角度】 18
【题型6 正多边形和圆中求周长】 21
【题型7 正多边形和圆中求面积】 25
【题型8 正多边形和圆中求最值】 29
【题型9 正多边形和圆中的证明】 35
知识点：正多边形和圆
（1）正多边形的有关概念
正多边形与圆的关系非常密切，把圆分成n（n就是大于2的自然数）等份，顺次连接各分点所的的多边形就是这个圆的内接正多边形，这个圆就就是这个正多边形的外接圆。
正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。
正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。
（2）正多边形的有关计算
中心角 边心距 周长 面积
为边数；为边心距；为半径；为边长
（3）正多边形每个内角度数为，每个外角度数为
【题型1 求正多边形中心角】
【例1】（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，圆内接正九边形两条对角线相交，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，三角形外角的性质，添加辅助线是解题的关键．根据正多边形与圆求出相应的圆心角度数，再根据圆周角定理和三角形外角的性质可得答案．
【详解】解：如图，设这个正九边形的外接圆为，
则，
∴，
∴，
故选：C．
【变式1-1】（23-24九年级上·江苏泰州·期末）将一个正八边形绕着其中心旋转后与原图形重合，旋转角的大小不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正多边形的性质，解题的关键是掌握正多边形中心角的度数为，先求出正八边形中心角的度数，即可解答．
【详解】解：正八边形的中心角为，
∵，
∴旋转角的大小可能是，，，
∵不是的整数倍，
∴旋转角的大小不能是，
故选：B．
【变式1-2】（23-24九年级下·安徽淮北·阶段练习）苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点O为正六边形的中心，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据点O为正六边形的中心，得到，，继而得到，，解答即可．
本题考查了正多边形的性质，中心角的计算，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握多边形的性质和中心角的计算是解题的关键．
【详解】∵点O为正六边形的中心，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【变式1-3】（15-16九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在正十边形中，连接、，则 °
【答案】54
【分析】设正十边形的圆心O，连接A7O、A4O，再求出∠A7OA4,最后运用圆周角定理解答即可．
【详解】解：如图：设正十边形的圆心O，连接A7O、A4O，
∵正十边形的各边都相等
∴∠A7OA4=×360°=108°
∴108°×=54°．
故填54．
【点睛】本题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理，根据题意正确作出辅助线、构造出圆周角是解答本题的关键．
【题型2 由正多边形中心角求边数】
【例2】（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（ ）
A．10 B．12 C．15 D．20
【答案】A
【分析】作正多边形的外接圆，根据圆周角定理得到，根据中心角的定义即可求解．
【详解】解：如图，作正多边形的外接圆，
∵，
∴，
∴这个正多边形的边数为．
故选：A．
【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理．
【变式2-1】（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）已知一个正多边形的中心角为，边长为5，那么这个正多边形的周长等于 ．
【答案】40
【分析】利用正多边形的中心角求出正多边形的边数，最后根据正多边形的性质求出其周长．
【详解】解：一个正多边形的中心角为，
这个正多边形的边数为：，
这个正多边形的周长为：．
故答案为：40．
【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，解题的关键在于知道中心角与边长的关系．
【变式2-2】（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，四边形是的内接四边形，是的内接正边形的一边，是的内接正边形的一边，，则 ．

【答案】48或36
【分析】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念．连接，如图，利用正多边形与圆，分别计算的内接正m边形与内接正n边形的中心角得到，根据，得到m，n的值，然后代入计算即可．
【详解】解：连接，如图，
，
，
，
，
，
m，n的中有一个值必是3的倍数，且均为正整数，
设（均为正整数），则，
（n为正整数），
当时，（不符合题意）；
当时，，则；
当时，（不符合题意）；
当时，，则；
当时，（不符合题意）；
当时，，（不符合题意）；
；
当时，n均不为正整数，（不符合题意）；
综上，的值为48或36．
【变式2-3】（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，AC是⊙O的内接正四边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正六边形的一边．若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n的值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【分析】连接AO、BO、CO，根据中心角度数＝360°÷边数n，分别计算出∠AOC、∠BOC的度数，根据角的和差则有∠AOB＝30°，根据边数n＝360°÷中心角度数即可求解．
【详解】连接AO、BO、CO，
∵AC是⊙O内接正四边形的一边，
∴∠AOC＝360°÷4＝90°，
∵BC是⊙O内接正六边形的一边，
∴∠BOC＝360°÷6＝60°，
∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，
∴n＝360°÷30°＝12；
故选：D．
【点睛】本题考查正多边形和圆，解题的关键是根据正方形的性质、正六边形的性质求出中心角的度数．
【题型3 尺规作正多边形】
【例3】（23-24九年级上·福建福州·期中）尺规作图：如图，AD为⊙O的直径。
(1)求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF.(要求：不写作法,保留作图痕迹)；
(2)已知连接DF，⊙O的半径为4，求DF的长。
【答案】（1）见解析；（2）4
【分析】（1）如图，在⊙O上依次截取六段弦，使它们都等于OA，从而得到正六边形ABCDEF；
（2）连接OF，可得△OFE是等边三角形，边长为4，可求得∠OEF=60°，∠DFE=30°，设BE与DF交于G点，可得∠FGE=90°，即可求得FG的长，进而求得FD的长.
【详解】（1）如图，正六边形ABCDEF为所作；
（2）连接OF，设BE与DF交于G点
∵六边形ABCDEF为正六边形
∴∠FOE=60°，DF=DE，∠DEF=120°
∴∠DFE=30°
∵OE=OF
∴△FOE为等边三角形
∴EF=OE=4，∠OEF=60°
∴∠FGE=90°
∴EG=OE=2
∴FG=
∴FD=2FG=
【点睛】此题主要考查了复杂作图及正多边形的计算，关键是掌握圆的内接正六边形的边长等于圆的半径．
【变式3-1】（23-24·陕西·一模）如图，已知，请用尺规作图法求作的内接正方形．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查了作正方形，考查了圆的基本性质，正方形的判定；先在圆上确定一点，连接并延长交于点，再作的垂直平分线交于B、D，连接，则四边形就是所求作的内接正方形．
【详解】解：如图，正方形为所作．
垂直平分，为的直径，
为的直径，
，
，，，
四边形是矩形
,
四边形是正方形，
又都在圆上，
四边形是的内接正方形．
【变式3-2】（23-24九年级·河北·专题练习）如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下：
①作出半径OF的中点H．
②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G．
③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E．
已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝ ．（结果保留根号）
【答案】
【分析】连接AG，由作图可知，OA＝2，H为OF中点，可求OH=，由勾股定理得AH＝，可求OG＝﹣1，由勾股定理AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2即可．
【详解】解：连接AG，由作图可知，OA＝2，OH＝1，H为OF中点，
∴OH=，
在Rt△OAH中，由勾股定理
∴AH＝，
∵AH＝HG＝，
∴OG＝GH﹣OH＝﹣1，
在Rt△AOG中，由勾股定理得，
∴AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2．
故答案为：10﹣2．
【点睛】本题考查尺规作圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧，掌握圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧的方法是解题关键．
【变式3-3】（2024·江苏无锡·一模）尺规作图：
(1)请在图①中以矩形的边为边作菱形，使得点E在上；
(2)请在图②中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）结合菱形的判定，以点D为圆心，的长为半径画弧，交为点E，再分别以点E、点A为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点F，连接、、即可；
（2）作线段的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，即可得，以点O为圆心，的长为半径画弧，在的上方交于点E，再作，作直线，分别交于点、，即可求解．
【详解】（1）解：如图，菱形即为所求，
（2）解：如图，点、即为所求，
【点睛】本题考查作图 复杂作图、菱形的判定、矩形的性质、垂直平分线的性质，理解题意、灵活运用相关知识是解题的关键．
【题型4 正多边形和圆中求线段长度】
【例4】（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，半径为2的是正六边形的外接圆，则边心距的长度为（ ）

A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】如图所示，连接，求出，进而证明是等边三角形，得到，求出，即可利用勾股定理求出答案．
【详解】解：如图所示，连接，
由题意得，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选B．

【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，勾股定理，等边三角形的性质与判断，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【变式4-1】（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，分别以点A、D为圆心，AE长为半径作弧，在⊙O外交于点G，连接OG．若⊙O的半径为1，则OG的长度为 ．
【答案】
【分析】连接AG，AD，AE，OE，过点O作OH⊥AE于点H，解直角三角形求出AE，再利用勾股定理求出OG即可．
【详解】解：如图，连接AG，AD，AE，OE，过点O作OH⊥AE于点H．
∵OH⊥AE，
∴AH＝EH，
∵∠AOE＝120°，
∴∠OAE＝∠OEA＝30°，
OH=OA=，AH=，
∴，
∴，
在和中
∴
∴
∴
故答案为：．
【点睛】此题考查了圆的性质，全等三角形的判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
【变式4-2】（23-24九年级·全国·假期作业）如图，正方形和正三角形内接于，、交于、，若正方形的边长是4，则的长度为　　
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接交于，连接，根据正方形的性质、等边三角形的性质及等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：连接交于，连接，
四边形是正方形，
，
是的直径，
是等腰直角三角形，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
．
故选：．
【点睛】本题考查正多边形与圆的关系，涉及到特殊锐角三角函数值、正方形的性质、等边三角形的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是综合运用所学知识．
【变式4-3】（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，正六边形内接于，半径为．

(1)求的长度；
(2)若G为的中点，连接，求的长度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接，，根据正六边形的性质可得，再根据圆的半径都相等可得是等边三角形，进而可求解．
（2）连接，，由为的直径，得，利用勾股定理及中点的性质即可求解．
【详解】（1）解：连接，，如图：
六边形是正六边形，
，
又 ，是的半径，且半径为，
，
是等边三角形，
．
（2）连接，，如图：

则为的直径，
，，
由（1）得：，
在中，，
，
G为的中点，
，
在中，，
．
【点睛】本题考查了正多边形的性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理及圆周角，熟练掌握基础知识，借助适当的辅助线解决问题是解题的关键．
【题型5 正多边形和圆中求角度】
【例5】（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，正六边形内接于，边长为2．
(1)求的直径的长；
(2)求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查正多边形和圆，圆周角定理：
（1）连接，求出的度数，得到是等边三角形，得到，即可得出结果；
（2）根据圆周角定理，即可得出结果．
【详解】（1）解：连接．
∵正六边形内接于，
∴，
又，
∴是等边三角形．
∴．
∴．
（2）解：∵，
∴．
【变式5-1】（2024·宁夏银川·二模）如图，正五边形内接于，P为劣弧上的动点，则的大小为 ．

【答案】/144度
【分析】本题考查了正多边形和圆，圆内接四边形的性质，作出圆中常用辅助线是解题的关键．连接，正多边形的性质得的度数，由圆周角定理得的度数，再圆内接四边形的性质即可求解．
【详解】解：如图，连接，

∵五边形是正五边形，
∴，
∵，
∴，
∵正五边形的外接圆为，
∴四边形是内接四边形，
∴，
∴；
故答案为：．
【变式5-2】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，正八边形内接于，为弧上的一点（点不与点A，重合），求的度数．
【答案】
【分析】本题考查的是正多边形和圆、圆周角定理的应用，连接、、，根据正多边形和圆的知识求出正八边形的中心角的度数，根据圆周角定理求出的度数．
【详解】解：如图，连接、、，
∵八边形是正八边形，
∴，
∴，
∴．
【变式5-3】（2024·安徽淮北·二模）如图，是正五边形和正六边形的外接圆，连接和，则的度数为 ．
【答案】/24度
【分析】本题考查正多边形与圆，连接，根据正多边形的性质可得：，进而得到，，再根据即可求解．
【详解】解：连接，
根据题意得：，
，
，
，
故答案为：．
【题型6 正多边形和圆中求周长】
【例6】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，是正六边形的外接圆，若的半径为6，则四边形的周长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查正多边形和圆，矩形，掌握正六边形的性质，矩形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．根据正六边形的性质，矩形的性质以及直角三角形的边角关系求出，即可．
【详解】解：如图，连接，，，过点作于点，则，
点是正六边形的中心，
，
，
是正三角形，
，
在中，，，
，
，
四边形的周长是，
故选：C
【变式6-1】（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，六边形是的内接正六边形，记的周长为，正六边形的周长为，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了正六边形的性质，含30°角的直角三角形的性质，设正六边形的边长为a，利用含角的直角三角形的性质求出，从而得出的长，进而解决问题．
【详解】解：设正六边形的边长为a，
连接，交于H，如下图：
∵六边形是的内接正六边形，
∴，，，
∴
∴，
∴
∴，
由正六边形的性质知，是等边三角形，
∴，
故答案为：．
【变式6-2】（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，正六边形内接于，已知的半径为1，连接，则四边形的周长为（ ）
A．6 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】本题考查的是正多边形和圆，连接，则， 均为等边三角形．所以．即得出四边形的周长．熟知正六边形的性质是解答此题的关键．
【详解】解：连接，如解图所示．
六边形是正六边形，
．
又，
， 均为等边三角形．
．
四边形的周长为，
故选：．
【变式6-3】（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，正方形内接于⊙O，线段在对角线上运动，若⊙O的周长为，，则周长的最小值是 ．

【答案】/
【分析】过点作，令；可推出四边形为平行四边形，有；根据可知当时，周长有最小值.
【详解】解：过点作，令

∵⊙O的周长为，
∴⊙O的半径为
∴
∵且
∴四边形为平行四边形
∴
由正方形的对称性可得：
∴
∴
故：当时，周长有最小值
此时：
∴周长的最小值是
故答案为：
【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质等．推出当时，周长有最小值是解题关键．
【题型7 正多边形和圆中求面积】
【例7】（2024·江苏南京·三模）如图，表示中去掉内接正三角形部分的面积，表示中去掉内接正六边形部分的面积，和的半径均为，则 ．（填“、或”）
【答案】
【分析】本题考查了圆的内接正多边形，分别求出、，再根据作差法即可求解，掌握圆的内接正多边形的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，过作于，连接，过作于，
在图中，，，，，
∴，，
∴，
∴
，
在图中，，，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式7-1】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，的半径为，以的内接正八边形的一边为边在内作正方形，则正方形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正多边形和圆，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理；
连接，，过A作于E，求出，可得是等腰直角三角形，然后求出，进而求出，然后利用勾股定理求出即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，，过A作于E，则，
∵是正八边形的中心角，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴正方形的面积为：，
故答案为：．
【变式7-2】（2024·江苏无锡·一模）魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积． 如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为1，则这个圆的内接正十二边形的面积为（ ）
A．1 B． C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．过作于，得到圆的内接正十二边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：如图，过作于，
圆的内接正十二边形的圆心角为，
，
，
，
这个圆的内接正十二边形的面积为，
故选：C
【变式7-3】（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，的半径为，是的内接等边三角形，点在上．四边形为平行四边形，则平行四边形的面积是（　　）
A．4 B．4 C．2 D．2
【答案】A
【分析】连接、，根据平行四边形的性质得，再根据圆周角定理得为的直径，利用圆周角定理得到，根据含的直角三角形三边的关系得到，然后根据矩形的面积公式求解．
【详解】解：连接、，如图，
四边形为平行四边形，
，
，
，
为的直径，
，
为等边三角形，
，
，
而，
，
在中，，，
矩形的面积．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理、等边三角形的性质和矩形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
【题型8 正多边形和圆中求最值】
【例8】（23-24九年级上·山东临沂·期末）如图，的圆心与正方形的中心重合，已知的半径和正方形的边长都为2，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了圆与正多边形的性质，勾股定理，设正方形四个顶点分别为，连接并延长，交于点，由题意可得，的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，求解即可．
【详解】解：设正方形四个顶点分别为，连接并延长，交于点，过点作，如下图：

则的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，
由题意可得：，，
由勾股定理可得：，
∴，
故选：D．
【变式8-1】（23-24·陕西西安·一模）如图，点P为⊙上一点，连接OP，且，点A为OP上一动点，点B为⊙上一动点，连接AB，以线段AB为边在⊙内构造矩形ABCD，且点C在⊙上，则矩形ABCD面积的最大值为 ．
【答案】32
【分析】根据当圆的半径确定以后，圆内接正方形是圆内接矩形中面积最大的，进而求得圆内接正方形的面积，则矩形ABCD面积的最大值为圆内接正方形面积，据此求解即可．
【详解】如图，四边形BCEF是圆O的内接正方形，当圆的半径确定以后，圆内接正方形是圆内接矩形中面积最大的；
点A，D分别是正方形的对边BF，CE的中点，
此时矩形ABCD的面积恰好是正方形BCEF的面积，
圆O的直径PQ恰好经过点A，D，
连接BE ，
四边形BCEF是圆O的内接正方形，OP=4，
BE = PQ = 2OP =8，BC = CE，
∠C= 90°，
BC2 + CE2 = 2BO2 = BE2 = 8，
BC2=32，即S正方形BCEF=32，
如图，当重合时，当四点都在圆上时，四边形是正方形
矩形ABCD面积的最大值为32．
故答案为：32．
【点睛】本题考查了圆内接四边形，将问题转化为圆内接四边形是解题的关键．
【变式8-2】（23-24九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，点是边长为2的正六边形内的一点（不包括边界），且，是上的一点，是的中点，则的最小值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了正多边形，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质等知识．取中点O，中点，连接，，延长、相交于点T，利用轴对称的性质可得，从而得出当共线时，的最小值为，然后利用直角三角形斜边中线的性质求出，证明，为等边三角形，即可求解．
【详解】解：取中点O，中点，连接，，延长、相交于点T，
，
∵正六边形关于直线对称，
∴，也关于直线对称，
∴，
∵，O为中点，
∴，
∴，
当共线时，，
∴的最小值为，
∵正六边形的边长为2，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，O为中点，Q为中点，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴的最小值为2．
故答案为：2．
【变式8-3】（23-24·广东广州·中考真题）如图，为等边的外接圆，半径为2，点在劣弧上运动（不与点重合），连接，，．
（1）求证：是的平分线；
（2）四边形的面积是线段的长的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；
（3）若点分别在线段，上运动（不含端点），经过探究发现，点运动到每一个确定的位置，的周长有最小值，随着点的运动，的值会发生变化，求所有值中的最大值．
【答案】(1)详见解析；(2)是， ；(3)
【分析】(1)根据等弧对等角的性质证明即可；
(2)延长DA到E,让AE=DB,证明△EAC≌△DBC,即可表示出S的面积；
(3)作点D关于直线BC、AC的对称点D1、D2，当D1、M、N、D共线时△DMN取最小值，可得t=D1D2，有对称性推出在等腰△D1CD2中,t=，D与O、C共线时t取最大值即可算出．
【详解】(1)∵△ABC为等边三角形,BC=AC，
∴ ,都为圆，
∴∠AOC=∠BOC=120°，
∴∠ADC=∠BDC=60°，
∴DC是∠ADB的角平分线．
(2)是．
如图，延长DA至点E，使得AE=DB．
连接EC，则∠EAC=180°－∠DAC＝∠DBC．
∵AE＝DB，∠EAC＝∠DBC,AC＝BC，
∴△EAC≌△DBC(SAS)，
∴∠E=∠CDB=∠ADC=60°，
故△EDC是等边三角形，
∵DC=x，∴根据等边三角形的特殊性可知DC边上的高为
∴．
(3)依次作点D关于直线BC、AC的对称点D1、D2,根据对称性
C△DMN=DM+MN+ND=D1M+MN+ND2．
∴D1、M、N、D共线时△DMN取最小值t,此时t=D1D2,
由对称有D1C=DC=D2C=x，∠D1CB=∠DCB，∠D2CA=∠DCA,
∴∠D1CD2=∠D1CB+∠BCA+∠D2CA=∠DCB+60°+∠DCA=120°．
∴∠CD1D2=∠CD2D1=60°，
在等腰△D1CD2中,作CH⊥D1D2，
则在Rt△D1CH中，根据30°特殊直角三角形的比例可得D1H=，
同理D2H=
∴t=D1D2=．
∴x取最大值时,t取最大值．
即D与O、C共线时t取最大值,x=4．
所有t值中的最大值为．
【点睛】本题考查圆与正多边形的综合以及动点问题，关键在于结合题意作出合理的辅助线转移已知量．
【题型9 正多边形和圆中的证明】
【例9】（23-24九年级上·浙江·期末）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形．

(1)求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分∠BAF．
(2)设⊙O的面积为S1，六边形ABCDEF的面积为S2，求的值（结果保留π）．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）如图，连接AE，AD，AC，根据正六边形的性质得到EF＝ED＝CD＝BC，求得，于是得到∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，即可得到结论；
（2）如图，过O作OG⊥DE于G，连接OE，设⊙O的半径为r，推出△ODE是等边三角形，得到DE＝OD＝r，∠OED＝60°，根据勾股定理得到OGr，根据三角形和圆的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）证明：如图，连接AE，AD，AC，
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴EF＝ED＝CD＝BC，
∴，
∴∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，
∴过顶点A的三条对角线四等分∠BAF；
（2）解：如图，过O作OG⊥DE于G，连接OE，
设⊙O的半径为r，
∵∠DOE60°，OD＝OE＝r，
∴△ODE是等边三角形，
∴DE＝OD＝r，∠OED＝60°，
∴∠EOG＝30°，
∴EGr，
∴OGr，
∴正六边形ABCDEF的面积＝6rrr2，
∵⊙O的面积＝πr2，
∴．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
【变式9-1】（23-24·湖北武汉·模拟预测）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形．
（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．
【答案】（1）见解析；（2）等边△ABC的边心距1．
【分析】（1）由圆周角定理可得∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，结合∠APC＝∠CPB＝60°可得∠BAC＝∠ABC＝60°，即可判断△ABC的形状；
（2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，然后根据直角三角形的性质进行计算即可．
【详解】（1）证明：在⊙O中，
∵∠BAC与∠CPB是 对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，
又∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，
则∠OBD＝30°，∠ODB＝90°，
∵OB＝2，
∴OD＝1，
∴等边△ABC的边心距为1．
【点睛】本题考查了正多边形与圆、圆周角定理、等边三角形的判定与性质，作出辅助线、构造直角三角形以及证明△ABC是等边三角形是解答本题的关键．
【变式9-2】（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，正方形内接于是的中点，连接.
(1)求证：；
(2)求证：；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）证明，即可得出．
（2）连接，过点作交的延长线于．证明，推出，即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴．
∵是的中点，
∴，
∴，
∴．
（2）解：连接，过点作交的延长线于．
∵四边形是正方形，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即．
【点睛】本题考查正多边形与圆，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
【变式9-3】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，已知的内接正十边形，交，于，，求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见详解
(2)证明见详解
【分析】（1）根据圆心角的计算可得，，由此可得，根据同弧所对圆心角是圆周角的2倍可得，根据三角形内角和可得，根据正十边形的性质，内角和定理可得，由此可得，根据平行线的判定即可求解；
（2）根据（1）的计算，可得，，再根据即可求解．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，则，
∵是内接正十边形的边长，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵内接正十边形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）可知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查正多边形与圆的综合，掌握正多形的性质，多边形内角和定理，圆心角的计算，等腰三角形的性质，同弧所对圆心角与圆周角的关系，平行线的判定等知识，图形结合分析是解题的关键．
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