人教版2024-2025九年级数学上册同步讲义专题专题24.9弧长和扇形的面积【十大题型】(学生版+解析)

专题24.9 弧长和扇形的面积【十大题型】
【人教版】
【题型1 利用弧长公式弧长】 1
【题型2 利用扇形面积公式求扇形面积】 2
【题型3 求弓形面积】 4
【题型4 由面积的和差求不规则图形的面积】 5
【题型5 由弧长或扇形面积公式求半径或圆心角】 6
【题型6 求动点运动的运动路径长度】 7
【题型7 求图形旋转后扫过的面积】 8
【题型8 与圆锥有关的计算】 9
【题型9 圆锥中的实际应用】 10
【题型10 求圆锥侧面中最短距离】 11
知识点：弧长及扇形的面积
设的半径为，圆心角所对弧长为.
弧长公式： （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关）
扇形面积公式：
母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。
圆锥体表面积公式：（为母线）
【题型1 利用弧长公式弧长】
【例1】（23-24九年级·浙江杭州·阶段练习）如图1，在中，，且，垂足为点E．
(1)求的度数．
(2)如图2，连接OA，当，，求的长．
【变式1-1】（23-24九年级·山东济南·期末）如图，在中，弦相交于点，连结，已知．
(1)求证：；
(2)连结，若，的半径为2，求的长．
【变式1-2】（23-24九年级·湖北武汉·期末）如图，在扇形中，，，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交于点C，则弧的长为 ．
【变式1-3】（23-24九年级·浙江温州·期末）如图，是⊙O的直径，点A在⊙O上，，垂足为D，，分别交于点F，G．
(1)求证： ；
(2)若，求弧的长度．
【题型2 利用扇形面积公式求扇形面积】
【例2】（2024·河南驻马店·模拟预测）如图，中，为的中点，以为圆心，长为半径画一弧，交于点，若，，，则扇形的面积为 ．
【变式2-1】（2024·福建福州·一模）如图，为的直径，为的弦，，为的中点，连接，，交于点．
(1)求的度数；
(2)若，求扇形的面积．
【变式2-2】（23-24九年级·江苏·专题练习）习近平总书记强调：“青年一代有理想、有本领、有担当，国家就有前途，民族就有希望”．如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以O为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
【变式2-3】（23-24九年级·宁夏吴忠·期末）如图，直角坐标系中，有一条圆心角为的圆弧，且该圆弧经过网格点，，．
(1)该圆弧所在圆的圆心坐标为__________．
(2)求扇形的面积．
【题型3 求弓形面积】
【例3】（2024·山西临汾·二模）如图，两个半径均为4的圆形纸片完全重合叠放在一起，让其中的一张圆形纸片绕着直径的一端按逆时针方向旋转后得到直径为的圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（23-24·山东泰安·二模）如图C、D在直径的半圆上，D为半圆弧的中点，，则阴影部分的面积是

【变式3-2】（23-24九年级·浙江宁波·期末）如图，是的直径，弦与垂直，垂足为点，连接并延长交于点，，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（23-24·河南周口·三模）如图，在中，，，以中点D为圆心、长为半径作半圆交线段于点E，则图中阴影部分的面积为 ．

【题型4 由面积的和差求不规则图形的面积】
【例4】（23-24·云南昭通·一模）如图，将半径为4，圆心角为的扇形绕A点逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形的弧的点B′处，点C的对应点为点，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【变式4-1】（23-24九年级·云南红河·期末）如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（23-24九年级·湖北武汉·期末）如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，则，，，围成的面积（图中阴影部分面积）为 ．
【变式4-3】（23-24·山东青岛·一模）如图所示，，，将扇形绕边的中点顺时针旋转得到扇形，弧交于点，则图中阴影部分的面积为 ．
【题型5 由弧长或扇形面积公式求半径或圆心角】
【例5】（23-24·河南新乡·二模）如图，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点的对应点恰好落在边上，若的长为，则的长为 ．
【变式5-1】（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图，将边长为2的正六边形铁丝框变形为以点A为圆心，为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形（阴影部分）的面积为 ，该扇形所对的圆心角是 度．（结果用含π的式子表示）
【变式5-2】（2024·广东广州·一模）一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是，当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2024·山东济南·模拟预测）如图，在平行四边形中，，点是中点，在上取一点，以点为圆心，的长为半径作圆，该圆与边恰好相切于点，连接，若图中阴影部分面积为，则 ．
【题型6 求动点运动的运动路径长度】
【例6】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，半径为2，圆心角为的扇形的弧上有一动点P，从点P作于点H，设的三个内角平分线交于点M，当点P在弧上从点A运动到点B时，点M所经过的路径长是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（23-24·四川巴中·一模）如图，在矩形中，，，点、分别是边、的中点，某一时刻，动点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接，过点作的垂线，垂足为．在这一运动过程中，点所经过的路径长是 ．
【变式6-2】（23-24九年级·江苏宿迁·期末）如图，在扇形中，，，是弧上一动点，过点作，交于点，连接，，分别平分、，当点从运动到的过程中，点的运动路径长为 ．
【变式6-3】（2024·海南三亚·一模）在平行四边形中，，，，分别连接、，
（1）线段与的位置关系是 ；
（2）点是边上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，当点从点运动到点时，点的运动路径长为 ．
【题型7 求图形旋转后扫过的面积】
【例7】（23-24·宁夏银川·三模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，，将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到扫过的面积记为；；按此规律，则为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（23-24九年级·河南洛阳·期末）如图，在矩形中，，将绕点A按逆时针方向旋转到（点A、B、E在同一直线上），则在运动过程中所扫过的面积为 ．
【变式7-2】（2024·山东济南·模拟预测）如图，在中，已知，将绕点逆时针旋转得到，点经过的路径为，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．条件不足，无法计算
【变式7-3】（23-24九年级·河北石家庄·期中）如图，已知所在圆的半径为5，弦的长8，点P是中点，绕点A逆时针旋转后得到，两位同学提出了相关结论：
嘉嘉：的长为；琪琪：扫过的面积为
下列论正确的是（ ）
A．两人都错 B．嘉嘉对，琪琪错 C．嘉嘉错，琪琪对 D．两人都对
【题型8 与圆锥有关的计算】
【例8】（23-24九年级·四川绵阳·期末）如图所示，把矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，若该圆锥的高为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（23-24九年级·四川自贡·期末）若一个圆锥的底面半径为2cm，高为4cm，则圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为（　　）
A．80° B．100° C．120° D．150°
【变式8-2】（23-24九年级·云南红河·期末）一个圆锥的侧面积是底面积的倍，则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】（23-24·云南·模拟预测）如图，菱形的周长为48，以点为圆心，为半径画圆弧得到扇形（阴影部分）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，且该圆锥的高为8．则扇形（阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
【题型9 圆锥中的实际应用】
【例9】（23-24九年级·安徽阜阳·阶段练习）图1中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形围成圆锥时，恰好重合．已知这种加工材料的顶角，圆锥底面圆的直径为．
(1)求图2中圆锥的母线的长．
(2)求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留）
【变式9-1】（23-24·安徽·二模）《九章算术》中有如下问题：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆高5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 斛．

【变式9-2】（23-24九年级·贵州铜仁·阶段练习）如图是一款近似圆锥形帐篷，其侧面展开后是一个半径为、圆心角为的扇形，制作这顶帐篷（侧面与底面）需要多少平方米的材料？（结果保留）

【变式9-3】（23-24·湖南邵阳·模拟预测）在一次科学探究实验中，小明将半径为的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形．
(1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线长为，开口圆的直径为．当滤纸片重叠部分三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明；
(2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为，开口圆的直径为，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？
【题型10 求圆锥侧面中最短距离】
【例10】（23-24·湖北十堰·中考真题）如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）

A．5 B． C． D．
【变式10-1】（23-24九年级·广西河池·期末）如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径长为，母线长为.在母线上的点处有一块爆米花残渣，且，一只蚂蚁从杯口的点处沿圆锥表面爬行到点，则此蚂蚁爬行的最短距离为 ．
【变式10-2】（2015·山东青岛·二模）如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为6 cm，母线OE（OF）长为9cm．在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA = 3cm．在母线OE上的点B处有一只蚂蚁，且EB = 1cm．这只蚂蚁从点B处沿圆锥表面爬行到A点，则爬行的最短距离为 cm．
【变式10-3】（23-24九年级·山东泰安·期末）如图1，圆锥底面圆半径为1，母线长为4，图2为其侧面展开图．
（1）求阴影部分面积（π可作为最后结果）；
（2）母线SC是一条蜜糖线，一只蚂蚁从A沿着圆锥表面最少需要爬多远才能吃到蜜糖？
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专题24.9 弧长和扇形的面积【十大题型】
【人教版】
【题型1 利用弧长公式弧长】 1
【题型2 利用扇形面积公式求扇形面积】 6
【题型3 求弓形面积】 10
【题型4 由面积的和差求不规则图形的面积】 14
【题型5 由弧长或扇形面积公式求半径或圆心角】 18
【题型6 求动点运动的运动路径长度】 22
【题型7 求图形旋转后扫过的面积】 28
【题型8 与圆锥有关的计算】 32
【题型9 圆锥中的实际应用】 34
【题型10 求圆锥侧面中最短距离】 38
知识点：弧长及扇形的面积
设的半径为，圆心角所对弧长为.
弧长公式： （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关）
扇形面积公式：
母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。
圆锥体表面积公式：（为母线）
【题型1 利用弧长公式弧长】
【例1】（23-24九年级·浙江杭州·阶段练习）如图1，在中，，且，垂足为点E．
(1)求的度数．
(2)如图2，连接OA，当，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接，利用圆周角定理，证明，计算即可．
（2）连接，计算出的度数，运用弧长公式求的长即可．
本题考查了圆周角定理，弧长公式，等腰直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，弧长公式是解题的关键．
【详解】（1）解：连接，
∵，
∴
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：连接，
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴的长．
【变式1-1】（23-24九年级·山东济南·期末）如图，在中，弦相交于点，连结，已知．
(1)求证：；
(2)连结，若，的半径为2，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)的长为
【分析】本题考查的是弧长的计算、圆心角、弧、弦之间的关系定理、圆周角定理，熟记弧长公式是解题的关键．
（1）先证明，再证明，最后根据圆周角定理即可得证；
（2）根据圆周角定理求出，然后根据弧长公式计算即可得解
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
由（1）可得：，
∴，
∴，
∵的半径为2，
∴的长．
【变式1-2】（23-24九年级·湖北武汉·期末）如图，在扇形中，，，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交于点C，则弧的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了弧长的计算，翻折变换 (折叠问题)，由折叠的性质推知是等边三角形是解答此题的关键.
如图，连接.根据折叠的性质、圆的性质推知是等边三角形，则易求，然后由弧长公式弧长的公式来求弧的长.
【详解】解：如图, 连接.根据折叠的性质知，.
又∵,
∴, 即是等边三角形，
∴.
∵,
∴,
∴弧的长为，
故答案为: ．
【变式1-3】（23-24九年级·浙江温州·期末）如图，是⊙O的直径，点A在⊙O上，，垂足为D，，分别交于点F，G．
(1)求证： ；
(2)若，求弧的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题主要考查了圆周角定理和应用，以及弧长的计算方法，要熟练掌握．
（1）根据是 的直径，，，推出，即可推得．
（2）连接、，根据，，求出，再根据，求出，进而可得出答案．
【详解】（1）证明：∵是 的直径，
∴，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图，连接、，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴弧的长度．
【题型2 利用扇形面积公式求扇形面积】
【例2】（2024·河南驻马店·模拟预测）如图，中，为的中点，以为圆心，长为半径画一弧，交于点，若，，，则扇形的面积为 ．
【答案】/
【分析】本题考查的是扇形面积计算，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，根据三角形的外角的性质求出，根据扇形面积公式计算．
【详解】解：，，
，
又为的中点，
，
，
，
，
，
扇形的面积，
故答案为：．
【变式2-1】（2024·福建福州·一模）如图，为的直径，为的弦，，为的中点，连接，，交于点．
(1)求的度数；
(2)若，求扇形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查了圆周角定理，扇形的面积，准确识图，熟练掌握圆周角定理和扇形的面积公式是解决问题的关键．
（1）连接，则，根据点为的中点得，进而得，据此可得的度数；
（2）先求出半径为3，再根据得，然后根据扇形的面积公式可得出答案．
【详解】（1）解：连接，如下图所示：
∵为的直径，，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴扇形的面积为：．
【变式2-2】（23-24九年级·江苏·专题练习）习近平总书记强调：“青年一代有理想、有本领、有担当，国家就有前途，民族就有希望”．如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以O为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据扇形面积公式，求出大扇形和小扇形的面积，最后根据即可求解．
【详解】解：根据题意可得：
∵，，，
∴，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了求扇形面积，解题的关键是掌握扇形面积公式．
【变式2-3】（23-24九年级·宁夏吴忠·期末）如图，直角坐标系中，有一条圆心角为的圆弧，且该圆弧经过网格点，，．
(1)该圆弧所在圆的圆心坐标为__________．
(2)求扇形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据垂径定理结合网格的性质可得答案；
（2）借助网格求出圆心角度数和半径，再利用弧长公式进行计算即可．
【详解】（1）解：如图，
由垂径定理可知，圆心是AB、BC中垂线的交点，
由网格可得该点M(-2， 0)，
故答案为：M(-2， 0)；
（2）解：扇形的半径，
∵AM2=22+42=20，CM2=22+42=20，AC2 = 22+62=40，
∴AM2+CM2=AC2，
∴∠AMC=90°，
∴．
【点睛】本题考查弧长的计算、垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理以及网格特征是确定圆心坐标，求出扇形所在圆的半径和相应圆心角度数是求扇形面积的前提．
【题型3 求弓形面积】
【例3】（2024·山西临汾·二模）如图，两个半径均为4的圆形纸片完全重合叠放在一起，让其中的一张圆形纸片绕着直径的一端按逆时针方向旋转后得到直径为的圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了扇形面积的计算、旋转变换的性质、解直角三角形等知识点，连接，作，根据旋转变换的性质求出的度数，再根据扇形面积公式、三角形面积公式，结合图形计算即可，熟练掌握其性质合理作出辅助线是解决此题的关键．
【详解】如图，连接，，作，
由旋转知：，
∴，
∵为直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为，
故选：C．
【变式3-1】（23-24·山东泰安·二模）如图C、D在直径的半圆上，D为半圆弧的中点，，则阴影部分的面积是

【答案】
【分析】设的中点为，连接，用扇形的面积减去的面积即可得出结果．
【详解】解：设的中点为，连接，

∵C、D在直径的半圆上，D为半圆弧的中点，，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
过点作，则：，
∴，
∴阴影部分的面积；
故答案为：．
【点睛】本题考查求弓形的面积，同时考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．将阴影部分的面积转化为扇形的面积减去三角形的面积，是解题的关键．
【变式3-2】（23-24九年级·浙江宁波·期末）如图，是的直径，弦与垂直，垂足为点，连接并延长交于点，，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，首先证明是等边三角形，证明，求出即可解决问题．
【详解】解：如图，连接．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，扇形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
【变式3-3】（23-24·河南周口·三模）如图，在中，，，以中点D为圆心、长为半径作半圆交线段于点E，则图中阴影部分的面积为 ．

【答案】
【分析】连接，，然后根据已知条件求出，，从而得到，最后结合扇形的面积计算公式求解即可．
【详解】解：如图，连接，．

∵为直径，
∴．
∵，
∴，
∴，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴阴影部分的面积=
．
故答案为：．
【点睛】本题考查阴影部分面积计算问题，涉及到扇形面积计算，等边三角形的判定与性质，直径所对的圆周为直角等，掌握扇形面积计算公式是解题关键．
【题型4 由面积的和差求不规则图形的面积】
【例4】（23-24·云南昭通·一模）如图，将半径为4，圆心角为的扇形绕A点逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形的弧的点B′处，点C的对应点为点，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，过A作于F，根据旋转的性质得出扇形和扇形的面积相等，，求出是等边三角形，求出，解直角三角形求出和，再根据阴影部分的面积求出答案即可．
【详解】解：连接，过A作于F，则，如图，
将半径为2，圆心角为的扇形绕A点逆时针旋转，使点B落在扇形的弧上的点处，点C的对应点为点，
扇形和扇形的面积相等，，
是等边三角形，
，
，
，
由勾股定理得： ，
阴影部分的面积
＝
故选：B．
【点睛】此题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：如果扇形的圆心角为，扇形的半径为r,那么扇形的面积．
【变式4-1】（23-24九年级·云南红河·期末）如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了扇形的面积公式，应用与设计作图．连接，则阴影部分面积，依此计算即可求解．
【详解】解：连接，
由题意得，阴影部分面积．
故选：A．
【变式4-2】（23-24九年级·湖北武汉·期末）如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，则，，，围成的面积（图中阴影部分面积）为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了图形的旋转，不规则图形的面积计算，勾股定理，发现阴影部分面积的计算方法是解题的关键．根据旋转的性质得到，，进而得到，再结合扇形面积公式和勾股定理求解，即可解题．
【详解】解：将绕点B逆时针旋转得到，
，，
，
在中，，，
，
上式．
故答案为：．
【变式4-3】（23-24·山东青岛·一模）如图所示，，，将扇形绕边的中点顺时针旋转得到扇形，弧交于点，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】延长交于，连接，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：延长交于，连接，
∵，，为中点，
∴，
∵将扇形绕边的中点顺时针旋转得到扇形，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴
∴，
∵，
∴
∴，
∴，，
∴
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是扇形面积计算、正方形的判定及性质、旋转变换的性质、直角三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
【题型5 由弧长或扇形面积公式求半径或圆心角】
【例5】（23-24·河南新乡·二模）如图，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点的对应点恰好落在边上，若的长为，则的长为 ．
【答案】2
【分析】连接，，由旋转可知，根据弧长公式得，得，在中，根据勾股定理得，即，即可求出．
【详解】解：如图，连接，，
由旋转可知
∵的长为，
，
，
四边形是矩形，
，，
∴
∴
在中，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了弧长的计算，矩形的性质和旋转的性质，熟记公式是解题的关键．
【变式5-1】（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图，将边长为2的正六边形铁丝框变形为以点A为圆心，为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形（阴影部分）的面积为 ，该扇形所对的圆心角是 度．（结果用含π的式子表示）
【答案】 8
【分析】本题主要考查了正多边形与圆，先根据题意求出优弧的长为8，再根据扇形面积等于其弧长与半径乘积的一半求出阴影部分面积，进而根据弧长公式求出圆心角度数即可．
【详解】解；由题意得，优弧的长为，
∴所得扇形（阴影部分）的面积为，
∴该扇形所对的圆心角是，
故答案为：8；．
【变式5-2】（2024·广东广州·一模）一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是，当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了弧长公式的计算，重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案，熟练掌握弧长公式是解此题的关键．
【详解】解：滑轮的直径是，
滑轮的半径是，
设旋转的角度是，
由题意得：，
解得：，
滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为，
故选：B．
【变式5-3】（2024·山东济南·模拟预测）如图，在平行四边形中，，点是中点，在上取一点，以点为圆心，的长为半径作圆，该圆与边恰好相切于点，连接，若图中阴影部分面积为，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了切线的性质，扇形的面积，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，连接，过作于G，先判断，都是等腰直角三角形，则可求出，，然后根据求解即可．
【详解】解：连接，过作于G，
∵圆与边恰好相切于点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，，
∵阴影部分面积为，
∴，
∴，
即，
解得，
故答案为：．
【题型6 求动点运动的运动路径长度】
【例6】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，半径为2，圆心角为的扇形的弧上有一动点P，从点P作于点H，设的三个内角平分线交于点M，当点P在弧上从点A运动到点B时，点M所经过的路径长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了弧长的计算公式：，其中表示弧长，表示弧所对的圆心角的度数．同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质．如图，连接，由的内心为M，可得到，并且易证，得到，所以点M在以为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上；过、M、三点作，如图，连，，在优弧取点，连接，，可得，得，，然后利用弧长公式计算弧的长即可．
【详解】解：如图，连接，
的内心为M，
，，
，
∵，
∴，
，
又，为公共边，
而，
，
，
所以点M在以为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上；
过、M、三点作，如图，连接，，在优弧取点，连接，，
，
，
，
∵，
，
弧的长，
所以内心M所经过的路径长为．
故选：B．
【变式6-1】（23-24·四川巴中·一模）如图，在矩形中，，，点、分别是边、的中点，某一时刻，动点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接，过点作的垂线，垂足为．在这一运动过程中，点所经过的路径长是 ．
【答案】
【分析】如图1中，连接交于点，连接．首先证明，利用勾股定理求出．由，推出点在为直径的上运动，当点与重合时，如图2中，连接，．点的运动轨迹是．求出，再利用弧长公式求解．
【详解】解：如图1中，连接交于点，连接．
四边形是矩形，，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
点在为直径的上运动，
当点与重合时，如图2中，连接，．点的运动轨迹是．
此时，，
，
，，
平分，
，
，
∵，
点的运动轨迹的长．
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
【变式6-2】（23-24九年级·江苏宿迁·期末）如图，在扇形中，，，是弧上一动点，过点作，交于点，连接，，分别平分、，当点从运动到的过程中，点的运动路径长为 ．
【答案】
【分析】根据、分别平分、，求出，连接，证明，得到，得到点路径为以为弦，所对圆心角为的圆弧，构造，求出，，根据弧长公式计算即可．
【详解】解：如图， ，
，
，分别平分、，
，
连接，
，，，
，
，
点的路径为以为弦，所对圆心角为的圆弧的一部分，
过点、、作圆，作圆内接四边形，则，
，
，，
，
当重合时，
则，
，则是等边三角形
点的运动路径长为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查动点问题根据题意确定点所经过的路径，角平分线的定义，三角形内角和定理，圆周角定理，圆内接四边形对角互补，求弧长，转化为定边对定角问题是解题的关键．
【变式6-3】（2024·海南三亚·一模）在平行四边形中，，，，分别连接、，
（1）线段与的位置关系是 ；
（2）点是边上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，当点从点运动到点时，点的运动路径长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，圆的基本性质，弧长公式，熟练掌握圆的基本性质，灵活运用弧长公式计算是解题的关键．
（1）证明平行四边形是菱形，即可得到结论；
（2）根据，判定点F在以为直径的圆上的一段弧上运动，设与的交点为G，则点F的路径长恰好是，求得半径和圆心角计算即可．
【详解】解：（1）∵平行四边形，，
∴平行四边形是菱形，
∴，
故答案为：，
（2）如图，记，，二线交于点G，
∵，
∴点G在以为直径的圆上，
设圆心为O，则半径，
连接，
∵，菱形，
∴，
∴是等边三角形
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴点F的运动路径为，
∴的长为：，
故答案为：．
【题型7 求图形旋转后扫过的面积】
【例7】（23-24·宁夏银川·三模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，，将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到扫过的面积记为；；按此规律，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出扇形的半径，写出部分的值，根据数的变化找出变化规律，依此规律即可得出结论．
本题考查了坐标与图形性质旋转，等腰直角三角形的性质以及扇形的面积，解此题的关键是找出规律．
【详解】解：由题意、、、、都是等腰直角三角形，
，，，，
，，，，
；
，
，
故选：A．
【变式7-1】（23-24九年级·河南洛阳·期末）如图，在矩形中，，将绕点A按逆时针方向旋转到（点A、B、E在同一直线上），则在运动过程中所扫过的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，扇形面积的计算，矩形的性质，根据旋转的性质可得，然后根据扇形的面积列式计算即可得解．
【详解】解：在矩形中，∵，
由旋转的性质得，，
∴，
∴在运动过程中所扫过的面积．
故答案为：．
【变式7-2】（2024·山东济南·模拟预测）如图，在中，已知，将绕点逆时针旋转得到，点经过的路径为，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．条件不足，无法计算
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质，扇形面积．正确表示阴影部分的面积是解题的关键．
由旋转的性质可知，，，根据，计算求解即可．
【详解】解：由旋转的性质可知，，，
∴，
故选：B．
【变式7-3】（23-24九年级·河北石家庄·期中）如图，已知所在圆的半径为5，弦的长8，点P是中点，绕点A逆时针旋转后得到，两位同学提出了相关结论：
嘉嘉：的长为；琪琪：扫过的面积为
下列论正确的是（ ）
A．两人都错 B．嘉嘉对，琪琪错 C．嘉嘉错，琪琪对 D．两人都对
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，扇形面积，令所在圆的圆心为点O，连接，与相交于点Q，根据垂径定理得出，，设，则，根据勾股定理，建立方程，求出，则，即可判断嘉嘉的结论；由旋转的性质得出，再根据扇形面积公式，即可求出扫过的面积，即可判断淇淇的结论．
【详解】解：令所在圆的圆心为点O，连接，与相交于点Q，
∵点P是中点，
∴，，
设，则，
根据勾股定理可得：，
即，
解得：（舍去），
∴，
∴，故嘉嘉对；
∵绕点A逆时针旋转后得到，
∴，
∴扫过的面积，故琪琪错；
故选：B．
【题型8 与圆锥有关的计算】
【例8】（23-24九年级·四川绵阳·期末）如图所示，把矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，若该圆锥的高为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查圆锥的计算，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．设，，首先证明，再利用勾股定理求出，可得结论．
【详解】解：设，，
则有，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：D．
【变式8-1】（23-24九年级·四川自贡·期末）若一个圆锥的底面半径为2cm，高为4cm，则圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为（　　）
A．80° B．100° C．120° D．150°
【答案】C
【分析】设圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为n°，先利用勾股定理计算出圆锥的母线长为6，再利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2π×2＝，然后解关于n的方程即可．
【详解】解：设圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为n°，
圆锥的母线长为＝6，
所以2π×2＝，解得n＝120，
即圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为120°．
故选：C．
【点睛】本题考查求圆锥侧面展开图的圆心角，勾股定理. 理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长是解决此题的关键.
【变式8-2】（23-24九年级·云南红河·期末）一个圆锥的侧面积是底面积的倍，则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了圆锥的侧面积展开计算，熟练掌握弧长公式，扇形面积公式是解题的关键．
设圆锥的母线为，底面半径为，侧面展开图的扇形圆心角为，根据圆锥侧面积与底面积的关系建立方程求解即可；
【详解】解：设圆锥的母线为，底面半径为，侧面展开图的扇形圆心角为，
根据圆锥侧面积与底面积的关系有，其中，
，
，
，
故选：D
【变式8-3】（23-24·云南·模拟预测）如图，菱形的周长为48，以点为圆心，为半径画圆弧得到扇形（阴影部分）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，且该圆锥的高为8．则扇形（阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、圆锥侧面积的计算，由题意得出，即圆锥的母线长为，由勾股定理得出底面半径为，再由圆锥侧面积公式计算即可得出答案．
【详解】解：∵菱形的周长为48，
∴，即圆锥的母线长为，
∵该圆锥的高为8，
∴底面半径为，
∴由圆锥侧面积公式得：，
∴，
故选：B．
【题型9 圆锥中的实际应用】
【例9】（23-24九年级·安徽阜阳·阶段练习）图1中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形围成圆锥时，恰好重合．已知这种加工材料的顶角，圆锥底面圆的直径为．
(1)求图2中圆锥的母线的长．
(2)求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形的性质．
（1）由于圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到，从而求出，再由即可求解；
（2）先根据等腰直角三角形的性质得到，再利用扇形的面积公式，利用进行计算．
【详解】（1）解：根据题意得，
，
∴；
（2）解：，，，
而，
，
．
【变式9-1】（23-24·安徽·二模）《九章算术》中有如下问题：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆高5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 斛．

【答案】22
【分析】根据米堆的底部的弧度即底面圆周的四分之一为8尺，可求出圆锥的底面半径，从而计算出米堆的体积，用体积除以每斛的体积即可求得斛数．
【详解】解：设米堆所在圆锥的底面半径为尺，由题意，得：，
∴，
∴米堆的体积为：，
∴米堆的斛数为：；
故答案为：22．
【点睛】本题考查了圆锥的计算及弧长的计算，解题的关键是从实际问题中抽象出圆锥的知识，难度不大．
【变式9-2】（23-24九年级·贵州铜仁·阶段练习）如图是一款近似圆锥形帐篷，其侧面展开后是一个半径为、圆心角为的扇形，制作这顶帐篷（侧面与底面）需要多少平方米的材料？（结果保留）

【答案】
【分析】本题考查了圆锥的侧面积与底面积的计算，先由扇形面积公式计算出帐篷的侧面需要的材料，设帐篷的底面半径为，则，求出底面半径，从而得出帐篷的底面需要的材料，即可得解．
【详解】解：由题意得：帐篷的侧面需要的材料为：，
设帐篷的底面半径为，则，
解得：，
帐篷的底面需要的材料为，
制作这顶帐篷（侧面与底面）需要的材料为：．
【变式9-3】（23-24·湖南邵阳·模拟预测）在一次科学探究实验中，小明将半径为的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形．
(1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线长为，开口圆的直径为．当滤纸片重叠部分三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明；
(2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为，开口圆的直径为，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？
【答案】(1)能，见解析
(2)
【分析】此题考查了圆锥侧面积实际应用．
（1）证明表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等．即可得到结论；
（2）求出扇形弧长为，则圆心角为，滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为，由重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半，进一步即可得到滤纸重叠部分每层面积．
【详解】（1）解：如图所示：
∵表面紧贴的两圆锥形的侧面展开图为圆心角相同的两扇形，
∴表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等．
由于滤纸围成的圆锥形只有最外层侧面紧贴漏斗内壁，故只考虑该滤纸圆锥最外层的侧面和漏斗内壁圆锥侧面的关系．
将圆形滤纸片按图示的步骤折成四层且每层为圆，
则围成的圆锥形的侧面积．
∴它的侧面展开图是半圆，其圆心角为度，
如将漏斗内壁构成的圆锥侧面也抽象地展开，展开的扇形弧长为：，
该侧面展开图的圆心角为．
由此可以看出两圆锥的侧面展开得到的扇形，它们的圆心角相等．
∴该滤纸围成的圆锥形必能紧贴漏斗内壁．
（2）如果抽象地将母线长为，开口圆直径为的特殊规格的漏斗内壁圆锥侧面展开，得到的扇形弧长为，
圆心角为，
滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为，
又∵重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半，
∴滤纸重叠部分每层面积．
【题型10 求圆锥侧面中最短距离】
【例10】（23-24·湖北十堰·中考真题）如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）

A．5 B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，先根据直径求出底面周长，根据底面周长等于展开后扇形的弧长可求出圆锥的侧面展开后的圆心角，可得是等边三角形，即可求解．
【详解】解：连接，如图所示，

∵为底面圆的直径，，
设半径为r,
∴底面周长，
设圆锥的侧面展开后的圆心角为，
∵圆锥母线，
根据底面周长等于展开后扇形的弧长可得：，
解得：，
∴，
∵半径，
∴是等边三角形，
在中，，
∴蚂蚁爬行的最短路程为，
故选：B．
【点睛】本题考查平面展开—最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形。扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，化曲面为平面，进行求解．
【变式10-1】（23-24九年级·广西河池·期末）如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径长为，母线长为.在母线上的点处有一块爆米花残渣，且，一只蚂蚁从杯口的点处沿圆锥表面爬行到点，则此蚂蚁爬行的最短距离为 ．
【答案】
【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【详解】解：，
底面周长，
将圆锥侧面沿剪开展平得一扇形，此扇形的半径，弧长等于圆锥底面圆的周长
设扇形圆心角度数为，则根据弧长公式得：
，
，
即展开图是一个半圆，
点是展开图弧的中点，
，
连接，则就是蚂蚁爬行的最短距离，
在中由勾股定理得，
，
，
即蚂蚁爬行的最短距离是．
故答案为：．
【点睛】考查了平面展开最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
【变式10-2】（2015·山东青岛·二模）如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为6 cm，母线OE（OF）长为9cm．在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA = 3cm．在母线OE上的点B处有一只蚂蚁，且EB = 1cm．这只蚂蚁从点B处沿圆锥表面爬行到A点，则爬行的最短距离为 cm．
【答案】
【分析】最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．需先算出圆锥侧面展开图的扇形半径．看如何构成一个直角三角形，然后根据勾股定理进行计算．
【详解】如图，过点A作AH⊥OB于H．
∵OE=OF=9cm，FA=3cm，EB=1cm，
∴OA=6cm，OB=8cm．
圆锥的底面周长是π×6=6π，则6π=，
∴n=120°，
即圆锥侧面展开图的圆心角是120°．
∴∠EOF=60°，
∴AH=6×（cm），OH=6×=3（cm），
∴BH=OB-OH=5cm，
∴在直角△ABH中，由勾股定理得到：AB=（cm）．
【变式10-3】（23-24九年级·山东泰安·期末）如图1，圆锥底面圆半径为1，母线长为4，图2为其侧面展开图．
（1）求阴影部分面积（π可作为最后结果）；
（2）母线SC是一条蜜糖线，一只蚂蚁从A沿着圆锥表面最少需要爬多远才能吃到蜜糖？
【答案】（1）；（2）一只蚂蚁从A沿着圆锥表面最少需要爬2个单位长度才能吃到蜜糖
【分析】（1）如图2中，作SE⊥AF交弧AF于C．设图2中的扇形的圆心角为n°，由题意=2π 1，求出n即可解决问题；
（2）在图2中，根据垂线段最短求出AE，即为最短的长度．
【详解】解：（1）如图2中，作SE⊥AF交弧AF于C，
设图2中的扇形的圆心角为n°，由题意=2π 1，
∴n=90°，
∵SA=SF，
∴是等腰直角三角形，
∴
又 ，
∴=﹣8=4π﹣8．
（2）在图2中，∵SC是一条蜜糖线，AE⊥SC， AF=，AE=2，
∴一只蚂蚁从A沿着圆锥表面最少需要爬2个单位长度才能吃到蜜糖．
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