人教版2024-2025九年级数学上册同步讲义专题专题24.10求圆中阴影部分的面积【九大题型】(学生版+解析)

专题24.10 求圆中阴影部分的面积【九大题型】
【人教版】
【题型1 直接法】 1
【题型2 相加法】 2
【题型3 相减法】 3
【题型4 加减法与混合型图形】 4
【题型5 旋转法】 5
【题型6 拼接法】 6
【题型7 割补法】 8
【题型8 重组法】 9
【题型9 等积转化法】 10
【题型1 直接法】
【例1】（2024·吉林·中考真题）某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由和扇形组成，分别与交于点A，D．，，，则阴影部分的面积为 （结果保留）．
【变式1-1】（2024·河南驻马店·二模）如图1所示，点C 是半圆上一个动点，点 C 从点 A 开始向终点 B 运动的整个过程中， 的长l与时间t（秒）的函数关系如图2所示，则点C 运动3秒时，扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，若，则扇形（阴影部分）的面积是 ．（结果保留）
【变式1-3】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，是边长均为6的正八边形和正六边形的组合图形，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则阴影部分的面积是 ．
【题型2 相加法】
【例2】（2024·山东泰安·中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（23-24九年级·浙江台州·期中）如图，矩形内接于，，，则图中阴影部分的面积为 ．
【变式2-2】（23-24九年级·福建福州·期末）如图，在扇形中，，，点为的中点，连接，，交点为，点为的中点，连接，，，则图中阴影部分的面积为 ．
【变式2-3】（23-24九年级·浙江金华·期末）如图，已知是的直径，且，点为半圆上的一个动点（不与点重合），在延长线上，作，的平分线，相交于点，则 ；在点移动的过程中，线段扫过的面积 ．
【题型3 相减法】
【例3】（2024九年级·江苏·专题练习）如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点P的直线折叠，点O恰好落在上的点Q处，折痕交于点P，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2024·云南红河·二模）如图，扇形的半径为2，，连接，则弧与线段围成的区域（阴影部分）的面积是 ．
【变式3-2】（2024·山西晋中·三模）如图，是的对角线，，以点为圆心，的长为半径作，交边于点，交边于点，连接．若，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（23-24九年级·河南开封·阶段练习）如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，图中的圆弧为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【题型4 加减法与混合型图形】
【例4】（2024·宁夏银川·一模）如图，正方形的边长为4，分别以点A，C为圆心，长为半径画弧，分别交对角线于点E，F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2024·辽宁锦州·二模）如图所示，扇形的半径长为3，，再以点A为圆心，长为半径作弧，交弧于点C，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（23-24九年级·浙江温州·开学考试）如图，矩形内接于，在上取一点，连接，，过点作，交于点，，，，则阴影部分的面积为 ．
【变式4-3】（2024·山东济南·模拟预测）如图，在平行四边形中，，点是中点，在上取一点，以点为圆心，的长为半径作圆，该圆与边恰好相切于点，连接，若图中阴影部分面积为，则 ．
【题型5 旋转法】
【例5】（2024·内蒙古包头·三模）如图，正六边形的外接圆的半径为，过圆心的两条直线、的夹角为，则图中的阴影部分的面积和为 ．
【变式5-1】（2024·河南·模拟预测）如图所示，中，，将绕点顺时针旋转，得到，点的轨迹是，点的轨迹是，与相交于点，则图中阴影部分的面积为 ．

【变式5-2】（2024·四川乐山·模拟预测）如图，矩形中，，，现将矩形绕点顺时针旋转后得到矩形，则边扫过的面积（阴影部分）为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2024·山东潍坊·二模）如图，在中，，若进行下列操作：①将 绕点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧；②以A为圆心，线段为半径得到弧，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【题型6 拼接法】
【例6】（2024九年级·全国·专题练习）求下图中阴影部分的面积．（结果保留）
【变式6-1】（2024·吉林长春·一模）如图，已知菱形的边长为2，、两点在扇形的弧上，，则图中阴影部分图形的面积之和为 ．

【变式6-2】（2024九年级·江苏·专题练习）如图，在半径为2，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆交于点D，连接，则阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
【变式6-3】（23-24九年级·重庆·期末）如图，为直径，点C是上的一点，连接，以C为圆心，长为半径画圆弧，使点B在该圆弧上，再将分别沿向内翻折．若，则图中阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留π）
【题型7 割补法】
【例7】（2024·重庆江津·模拟预测）如图，矩形中，以C为圆心，为半径作圆弧交于点E，为半径作圆弧交于点F，连接，若，，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）
【变式7-1】（2024·贵州贵阳·一模）如图，是的内接三角形，是的直径，，，弦于，点是延长线上一点，且，连接．
(1)填空： °；
(2)判断与的位置关系，并说明理由；
(3)取的中点，连接，求图中阴影部分的面积．
【变式7-2】（2024·重庆渝北·模拟预测）如图，以矩形的顶点A为圆心，线段长为半径画弧，交边于点E，再以顶点C为圆心，线段长为半径画弧，交边于点F，若，则，和围成的阴影部分的面积是 ．
【变式7-3】（2024九年级·全国·专题练习）如图，将半径为4，圆心角为的扇形绕弧的中点逆时针旋转，点，的对应点分别为点，点落在上，点落在上，则图中阴影部分的面积为 ．
【题型8 重组法】
【例8】（23-24九年级·云南红河·期末）如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（2024九年级·江苏·专题练习）如图，在半径为2，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆交于点D，连接，则阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
【变式8-2】（2023·福建莆田·模拟预测）如图，以锐角的三条边为直径作圆．如果三角形外的阴影部分总面积为450，而三角形内部的深色阴影部分面积为90，则的面积为 ．
【变式8-3】（2023·内蒙古呼伦贝尔·一模）如图，的半径为2，是函数的图象，是函数的图象，是函数的图象，则阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
【题型9 等积转化法】
【例9】（22-23九年级·浙江宁波·开学考试）如图，是的直径，弦，垂足为E，， ，则图中阴影部分的面积是（ ）

A． B． C． D．π
【变式9-1】（2024九年级·全国·专题练习）如图，以为直径，点为圆心的半圆经过点，若 ，则图中阴影部分的面积是
【变式9-2】（2024·河南漯河·二模）如图，是半圆的直径，，将半圆绕点逆时针旋转，点的对应点，则图中阴影部分的面积是 ．
【变式9-3】（23-24九年级·四川成都·开学考试）（组合图形求面积）如图是平行四边形，，，，高，弧、分别以、为半径，弧、分别以、为半径，阴影部分的面积为多少？（取）
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专题24.10 求圆中阴影部分的面积【九大题型】
【人教版】
【题型1 直接法】 1
【题型2 相加法】 4
【题型3 相减法】 7
【题型4 加减法与混合型图形】 12
【题型5 旋转法】 15
【题型6 拼接法】 19
【题型7 割补法】 22
【题型8 重组法】 29
【题型9 等积转化法】 32
【题型1 直接法】
【例1】（2024·吉林·中考真题）某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由和扇形组成，分别与交于点A，D．，，，则阴影部分的面积为 （结果保留）．
【答案】
【分析】本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
利用阴影部分面积等于大扇形减去小扇形面积，结合扇形面积公式即可求解．
【详解】解：由题意得：，
故答案为：．
【变式1-1】（2024·河南驻马店·二模）如图1所示，点C 是半圆上一个动点，点 C 从点 A 开始向终点 B 运动的整个过程中， 的长l与时间t（秒）的函数关系如图2所示，则点C 运动3秒时，扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是动点问题的函数图象，弧长的计算，扇形的面积，先求解点C运动3 秒转过的圆心角以及半径，从而可得答案．
【详解】解：根据图2可知，当点C从点A开始向终点B运动用时12秒，转过的圆心角为180°，
∴点C运动3 秒转过的圆心角为
半圆长度，
∴．
∴扇形的面积为
故选 B．
【变式1-2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，若，则扇形（阴影部分）的面积是 ．（结果保留）
【答案】
【分析】本题考查了扇形面积的计算和圆周角定理．根据圆周角定理由，得到，，然后根据扇形面积公式计算扇形的面积．
【详解】解：如图，
，
，
，
扇形的面积．
故答案为：．
【变式1-3】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，是边长均为6的正八边形和正六边形的组合图形，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算．根据正八边形、正六边形的性质求出它的内角的度数，进而求出阴影部分扇形的圆心角的度数，由扇形面积的计算方法进行计算即可．
【详解】解：正八边形和正六边形，
，，
，
．
故答案为：．
【题型2 相加法】
【例2】（2024·山东泰安·中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用等知识点，熟练掌握扇形的面积公式是关键．
如图：连接，作于点B，得三角形是等边三角形，求出，再根据，即可解答．
【详解】解：如图：连接，作于点B，
∵，
∴三角形是等边三角形，
∴，
∴
∴,
∴．
故选：A．
【变式2-1】（23-24九年级·浙江台州·期中）如图，矩形内接于，，，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查矩形的性质、扇形的面积公式等知识，解题的关键是学会用转化的扇形解决问题，属于中考常考题型．根据求解即可．
【详解】
四边形是矩形，，
，
，，
，
，
故答案为：．
【变式2-2】（23-24九年级·福建福州·期末）如图，在扇形中，，，点为的中点，连接，，交点为，点为的中点，连接，，，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查求不规则图形的面积，用扇形的面积减去三角形的面积得到弓形阴影的面积，再加上两个三角形阴影的面积，求解即可．
【详解】解：∵在扇形中，，，点为的中点，
∴，，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积为；
故答案为：．
【变式2-3】（23-24九年级·浙江金华·期末）如图，已知是的直径，且，点为半圆上的一个动点（不与点重合），在延长线上，作，的平分线，相交于点，则 ；在点移动的过程中，线段扫过的面积 ．
【答案】
【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，角平分线的定义，三角形的外角性质，勾股定理，扇形的面积等知识，设，，构建方程组求出 ；取的中点，以为圆心， 为半径作，是直径，则点在上运动，则扫过的面积扇形的面积的面积，利用扇形面积公式和三角形面积公式计算即可求解；解题的关键是找到点的运动轨迹．
【详解】解：∵的平分线相交于点，
∴可以假设，，
则有，，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴；
取的中点，以为圆心，为半径作，是直径，则点在上运动，
∵，，，
∴，
则扫过的面积扇形的面积的面积，
，
；
故答案为：，．
【题型3 相减法】
【例3】（2024九年级·江苏·专题练习）如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点P的直线折叠，点O恰好落在上的点Q处，折痕交于点P，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，根据折叠可知，，，，进而可得是等边三角形，则，进而求得的面积，根据阴影部分面积求解即可．
【详解】解：连接，交于E，
∵沿对折O和Q重合，，
∴，，，，
∴，是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积
．
故选：D．
【点睛】此题主要考查三角形的折叠问题、等边三角形的性质、扇形面积以及特殊角三角函数值的运用，掌握以上知识是解题的关键．
【变式3-1】（2024·云南红河·二模）如图，扇形的半径为2，，连接，则弧与线段围成的区域（阴影部分）的面积是 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了扇形和三角形的面积计算，掌握扇形和三角形的面积计算公式是解题关键．
由图可知阴影部分与三角形组成扇形，代入题目中数据先求出扇形与三角形的面积即可．
【详解】扇形的半径为2，，
，
扇形的面积：，
阴影部分面积扇形的面积三角形面积 ，
故答案为：．
【变式3-2】（2024·山西晋中·三模）如图，是的对角线，，以点为圆心，的长为半径作，交边于点，交边于点，连接．若，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形的面积的计算，熟练掌握分割法是解题的关键．连接，根据平行四边形的性质得到是等边三角形，求得，根据已知条件得到四边形是平行四边形，求得，根据三角形和扇形的面积公式即可求解．
【详解】如图，连接．
，．
是等边三角形．
，
，
，
．
．
．
四边形是平行四边形，
故选：C
【变式3-3】（23-24九年级·河南开封·阶段练习）如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，图中的圆弧为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形外接圆与外心，扇形面积的计算，添加正确的辅助线是解题的关键．作的垂直平分线，作的垂直平分线，设与相交于点，连接，证明，根据阴影部分面积的面积即可得到答案．
【详解】解：作的垂直平分线，作的垂直平分线，设与相交于点，连接，则点是外接圆的圆心，
由题意得：，
，
，
，
是直角三角形，
，
，
阴影部分面积
，
，
故选D．
【题型4 加减法与混合型图形】
【例4】（2024·宁夏银川·一模）如图，正方形的边长为4，分别以点A，C为圆心，长为半径画弧，分别交对角线于点E，F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了正方形的性质，扇形面积计算，勾股定理，先根据正方形的性质，得出，，，根据勾股定理求出，得出，根据，求出结果即可．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴
，
故选：A．
【变式4-1】（2024·辽宁锦州·二模）如图所示，扇形的半径长为3，，再以点A为圆心，长为半径作弧，交弧于点C，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了求不规则图形面积，等边三角形的性质与判定，连接，先证明是等边三角形，得到，再求出，，，据此根据图形面积之间的关系求解即可．
【详解】解：连接，
在扇形中，，，以A为圆心，长为半径画弧，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，，．
∴，
∴，
故选：C．
【变式4-2】（23-24九年级·浙江温州·开学考试）如图，矩形内接于，在上取一点，连接，，过点作，交于点，，，，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】根据勾股定理求出圆的半径，依据等腰直角三角形求出长，利用得到长，由图示可知代入数据计算即可．
【详解】解：连接，
∵矩形内接于，，
∴是直径，，
的半径为5，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查不规则图形的面积，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【变式4-3】（2024·山东济南·模拟预测）如图，在平行四边形中，，点是中点，在上取一点，以点为圆心，的长为半径作圆，该圆与边恰好相切于点，连接，若图中阴影部分面积为，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了切线的性质，扇形的面积，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，连接，过作于G，先判断，都是等腰直角三角形，则可求出，，然后根据求解即可．
【详解】解：连接，过作于G，
∵圆与边恰好相切于点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，，
∵阴影部分面积为，
∴，
∴，
即，
解得，
故答案为：．
【题型5 旋转法】
【例5】（2024·内蒙古包头·三模）如图，正六边形的外接圆的半径为，过圆心的两条直线、的夹角为，则图中的阴影部分的面积和为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正多边形与圆，扇形面积的计算，勾股定理的应用，连接，标注直线与圆的交点， 由正六边形的性质可得：，，三点共线，为等边三角形，证明扇形旋转后与扇形重合，可得，从而可得答案，熟记正六边形的性质是解本题的关键．
【详解】如图，连接，标注直线与圆的交点，
由正六边形的性质可得：，，三点共线，为等边三角形，
∴，，
∴，
∴扇形旋转后与扇形重合，，
∴，
∵为等边三角形，，
过作于，
∴，，，
∴
故答案为：．
【变式5-1】（2024·河南·模拟预测）如图所示，中，，将绕点顺时针旋转，得到，点的轨迹是，点的轨迹是，与相交于点，则图中阴影部分的面积为 ．

【答案】
【分析】本题主要考查了求扇形面积，图形的旋转问题，锐角三角函数等．连接，过点F作于点H，根据锐角三角函数可得，再由旋转的性质可得，，，从而得到是等边三角形，进而得到，继而得到，再由，即可求解．
【详解】解：如图，连接，过点F作于点H，

在中，，
∴，，
由旋转的性质得：，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：
【变式5-2】（2024·四川乐山·模拟预测）如图，矩形中，，，现将矩形绕点顺时针旋转后得到矩形，则边扫过的面积（阴影部分）为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了扇形的面积公式、旋转的性质、勾股定理等知识点，能够把不规则图形的面积转换为规则图形的面积成为解题的关键．
连接，则阴影部分的面积为扇形的面积减去扇形的面积，据此计算即可．
【详解】解：连接，
根据勾股定理得：，
∴,
∴．
故选：C．
【变式5-3】（2024·山东潍坊·二模）如图，在中，，若进行下列操作：①将 绕点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧；②以A为圆心，线段为半径得到弧，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意求出，，，，，再根据阴影部分的面积求解即可．此题考查了扇形面积的计算、等腰直角三角形，熟记扇形的面积公式是解题的关键．
【详解】解：，，
，
根据题意得，，，，，
阴影部分的面积
，
故选：A．
【题型6 拼接法】
【例6】（2024九年级·全国·专题练习）求下图中阴影部分的面积．（结果保留）
【答案】
【分析】本题考查了扇形的面积公式．根据阴影部分的面积等于3个扇形面积之和计算即可．
【详解】解：．
【变式6-1】（2024·吉林长春·一模）如图，已知菱形的边长为2，、两点在扇形的弧上，，则图中阴影部分图形的面积之和为 ．

【答案】/
【分析】本题主要考查了扇形面积的计算、等边三角形的判定与性质及菱形的性质．先求出的度数，进而可得出的度数之和，再根据扇形面积的计算公式即可解决问题．
【详解】解：四边形是菱形，
．
又，
，
是等边三角形，
，
又，
．
菱形的边长为2，
，
．
故答案为：．
【变式6-2】（2024九年级·江苏·专题练习）如图，在半径为2，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆交于点D，连接，则阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了扇形面积的计算．先根据题意可知，，从而证明，最后根据阴影部分的面积=扇形的面积的面积，进行解答即可．
【详解】解：由题意可知：，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∴弓形的面积=弓形的面积，
∴阴影部分的面积
=扇形的面积的面积
，
故选：C．
【变式6-3】（23-24九年级·重庆·期末）如图，为直径，点C是上的一点，连接，以C为圆心，长为半径画圆弧，使点B在该圆弧上，再将分别沿向内翻折．若，则图中阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留π）
【答案】
【分析】本题考查了求不规则图形的面积，根据题意分析得出阴影部分图形的面积和为是解题的关键．依题意，，则是等腰直角三角形， 然后根据图中阴影部分图形的面积和为，即可求解．
【详解】解：∵，以为圆心，长为半径画圆弧，使点在该圆弧上，
∴，
∵为直径，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵
∴，
∴图中阴影部分图形的面积和为，
故答案为：．
【题型7 割补法】
【例7】（2024·重庆江津·模拟预测）如图，矩形中，以C为圆心，为半径作圆弧交于点E，为半径作圆弧交于点F，连接，若，，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）
【答案】
【分析】连接交于点K，过点E作，垂足为，利用勾股定理求出，从而得到，证明四边形是矩形，得到，根据题意可得，即，求出，进而得到，得到，利用阴影部分的面积等于求解即可．
【详解】解：连接交于点K，过点E作，垂足为，
四边形是矩形，，，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
根据题意可得，，
，
，
，
，
利用阴影部分的面积等于
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，不规则图形面积的求法，涉及矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握这些性质和熟记扇形面积求法是解题的关键．
【变式7-1】（2024·贵州贵阳·一模）如图，是的内接三角形，是的直径，，，弦于，点是延长线上一点，且，连接．
(1)填空： °；
(2)判断与的位置关系，并说明理由；
(3)取的中点，连接，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)30
(2)与相切，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到结论；
（2）连接，根据垂径定理得到，，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理得到结论；
（3）根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到，连接，根据三角形中位线定理得到，，求得，得到，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：弦于，是的直径，
，
，
故答案为：30；
（2）解：与相切，
理由如下：
连接，如图所示：
弦于，是的直径，
，，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
与相切；
（3）解：是的直径，
，
，，
，
，
连接，如图所示：
点是的中点，
，
，
是的中位线，
，，
，
，
，
图中阴影部分的面积的面积扇形的面积的面积．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，垂径定理，扇形的面积的计算，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
【变式7-2】（2024·重庆渝北·模拟预测）如图，以矩形的顶点A为圆心，线段长为半径画弧，交边于点E，再以顶点C为圆心，线段长为半径画弧，交边于点F，若，则，和围成的阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查扇形的面积公式，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分割法求阴影部分面积．
如图，首先证明是等腰直角三角形，根据求解即可；
【详解】解：如图．
∵四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【变式7-3】（2024九年级·全国·专题练习）如图，将半径为4，圆心角为的扇形绕弧的中点逆时针旋转，点，的对应点分别为点，点落在上，点落在上，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查旋转的性质，扇形的面积，等腰三角形的判定和性质等，设与的交点为，连接、、，过点作于点，由可得，再证，是等腰直角三角形，求出相关线段长度，进而求出，，代入计算即可．
【详解】如图，设与的交点为，连接、、，过点作于点，
扇形绕点逆时针旋转得到扇形，
，扇形中空白部分的面积，
．
，
是等腰三角形，
，
，为弧的中点，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
．
故答案为：．
【题型8 重组法】
【例8】（23-24九年级·云南红河·期末）如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了扇形的面积公式，应用与设计作图．连接，则阴影部分面积，依此计算即可求解．
【详解】解：连接，
由题意得，阴影部分面积．
故选：A．
【变式8-1】（2024九年级·江苏·专题练习）如图，在半径为2，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆交于点D，连接，则阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了扇形面积的计算．先根据题意可知，，从而证明，最后根据阴影部分的面积=扇形的面积的面积，进行解答即可．
【详解】解：由题意可知：，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∴弓形的面积=弓形的面积，
∴阴影部分的面积
=扇形的面积的面积
，
故选：C．
【变式8-2】（2023·福建莆田·模拟预测）如图，以锐角的三条边为直径作圆．如果三角形外的阴影部分总面积为450，而三角形内部的深色阴影部分面积为90，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了扇形的面积的计算，圆的面积的计算，正确的识别图形找出各图形之间的关系是解题的关键． 设外的6个小弓形的面积和为
，观察图形得到外的3个半圆的面积和三角形外的阴影部分总面积外的3个半圆的面积和，得到的面积(另外3个半圆的面积和三角形内部的深色阴影部分面积)，于是得到答案
【详解】解：设外的6个小弓形的面积和为，
外的3个半圆的面积和三角形外的阴影部分总面积外的3个半圆的面积和，
∴的面积(另外3个半圆的面积和三角形内部的深色阴影部分面积)
[另外3个半圆的面积和(外的3个半圆的面积和)]
；
故答案为∶．
【变式8-3】（2023·内蒙古呼伦贝尔·一模）如图，的半径为2，是函数的图象，是函数的图象，是函数的图象，则阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了求扇形面积，二次函数与几何综合，解题的关键是对阴影部分的面积进行转换．
根据对称性得到阴影部分面积就是一个圆心角度数为，半径为2的扇形面积是解题的关键．
【详解】解：抛物线与抛物线的图象关于轴对称，
直线中当时，，
直线与轴的正半轴的夹角正切值为，故直线与x轴的正半轴的夹角为，且抛物线和抛物线的图象自身都关于轴对称，
∴根据图形的对称性，把左边阴影部分的面积对折到右边，可以得到阴影部分面积就是一个扇形面积，并且扇形的圆心角为，半径为2，
，
故选：B．
【题型9 等积转化法】
【例9】（22-23九年级·浙江宁波·开学考试）如图，是的直径，弦，垂足为E，， ，则图中阴影部分的面积是（ ）

A． B． C． D．π
【答案】A
【分析】本题主要考查了垂径定理、扇形面积公式等知识点，解题的关键是将求非规则图形的面积转化为求规则图形的面积．根据是的直径，弦，由垂径定理得，再根据三角函数的定义即可得出，可证明，即可得出．
【详解】∵是的直径，弦，
∴．
∵，
∴，，
∴．

又∵
∴，
在中，，
∴．
故选A．
【变式9-1】（2024九年级·全国·专题练习）如图，以为直径，点为圆心的半圆经过点，若 ，则图中阴影部分的面积是
【答案】/
【分析】本题考查了扇形面积的计算．求阴影面积常用的方法：直接用公式法；和差法；割补法．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．先利用圆周角定理的推论得到，则可判断为等腰直角三角形，接着判断和都是等腰直角三角形，于是得到，然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部分的面积．
【详解】解：为直径，
，
，
为等腰直角三角形，
，
和都是等腰直角三角形，
，，
．
故答案为：．
【变式9-2】（2024·河南漯河·二模）如图，是半圆的直径，，将半圆绕点逆时针旋转，点的对应点，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了求不规则图形的面积及旋转的性质，熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题．记与半圆交于点，连接，作于点，先证明是等腰直角三角形，再求出，根据三角形面积公式算出，再根据圆周角定理和扇形面积公式算出，即可解题．
【详解】解：记与半圆交于点，连接，作于点，
由旋转的性质可知，两个半圆面积相等，，
图中阴影部分的面积，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
图中阴影部分的面积是，
故答案为：．
【变式9-3】（23-24九年级·四川成都·开学考试）（组合图形求面积）如图是平行四边形，，，，高，弧、分别以、为半径，弧、分别以、为半径，阴影部分的面积为多少？（取）
【答案】
【分析】本题考查了扇形和平行四边形的面积公式，解答此题的关键是利用等面积转化，利用其它图形的面积推出阴影部分的面积．
由题意可知：，将题目所给数据代入此等量关系式，即可求出阴影部分的面积．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
．
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