人教版2024-2025九年级数学上册同步讲义专题专题23.1图形的旋转【十大题型】(学生版+解析)
文档属性
| 名称 | 人教版2024-2025九年级数学上册同步讲义专题专题23.1图形的旋转【十大题型】(学生版+解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-30 07:21:06 | ||
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文档简介
专题23.1 图形的旋转【十大题型】
【人教版】
【题型1 判断生活中的旋转现象】 1
【题型2 由旋转的性质判断结论正误】 3
【题型3 由旋转的性质进行求解】 4
【题型4 由旋转的性质证明线段相等或角相等】 5
【题型5 画旋转图形】 7
【题型6 旋转对称图形】 9
【题型7 旋转求坐标】 10
【题型8 旋转中的规律性问题】 11
【题型9 由旋转的性质求最值】 13
【题型10 图形的动态旋转】 14
知识点1：旋转
在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。
【题型1 判断生活中的旋转现象】
【例1】（23-24九年级·广西来宾·期末）有下列现象：①高层公寓电梯的上升：②传送带的移动；③方向盘的转动；④风车的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动．其中属于旋转的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1-1】（2024·吉林长春·三模）以如图（1）（以O为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换：①只要向右平移1个单位；②先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位；③先绕着点O旋转，再向右平移一个单位；④绕着的中点旋转即可．其中能得到图（2）的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②
【变式1-2】（23-24九年级·广东广州·期末）“玉兔”在月球表面行走的动力主要来自太阳光能，要使接收太阳光能最多，就要使光线垂直照射在太阳光板上．现在太阳光如图照射，那么太阳光板绕支点逆时针最小旋转（ ）可以使得接收光能最多．
A． B． C． D．
【变式1-3】（23-24九年级·重庆江津·期中）如果齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮E旋转的方向（ ）
A．顺时针 B．逆时针
C．顺时针或逆时针 D．不能确定
知识点2：旋转的性质
（1）对应点到旋转中心的距离相等；
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
（3）旋转前后的图形全等。
理解以下几点：
（1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。
（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。
（3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。
【题型2 由旋转的性质判断结论正误】
【例2】（23-24九年级·四川宜宾·期末）如图所示，是锐角三角形内一点，，是内不同于的另一点，、分别由、旋转而得，旋转角都为，则下列结论：①为等边三角形；②；③；④．其中正确的有（提示：有一个角是的等腰三角形是等边三角形）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【变式2-1】（23-24九年级·福建厦门·期末）如图，中，，，为直线上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则当取得最小值时，下列结论正确的是（ ）
A．直线 B．直线平分
C．直线与直线重合 D．直线与直线重合
【变式2-2】（23-24九年级·北京大兴·期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论：
①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC；
其中一定正确的是（ ）
A．①② B．②③
C．③④ D．②③④
【变式2-3】（23-24九年级·江苏南通·阶段练习）如图所示，在等边中，点是边上一点，连接，将绕着点逆时针旋转，得到，连接，则下列结论中：①；②；③；④，其中正确的结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型3 由旋转的性质进行求解】
【例3】（23-24九年级·贵州六盘水·期末）如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至点，若，则线段的长度为（ ）
A．4 B． C．6 D．
【变式3-1】（23-24九年级·福建·期末）将直角边长为的等腰直角三角形绕点A逆时针旋转后得到，则图中阴影部分的面积是 ．
【变式3-2】（23-24九年级·吉林长春·期末）如图，菱形纸片ABCD的一内角为60°，边长为2，将它绕对角线的交点O顺时针旋转90°后到的位置，则旋转前后两菱形重叠部分多边形的周长为( )
A．8 B． C． D．
【变式3-3】（23-24九年级·四川成都·期末）如图，等腰直角中，，将线段绕点C逆时针旋转（）得到线段，作点A关于线段所在直线的对称点E，连接和，分别交线段所在直线于点M和点F，若，，则的长为 ．
【题型4 由旋转的性质证明线段相等或角相等】
【例4】（23-24九年级·河南周口·期末）【猜测探究】
在中，．点D是直线上的一个动点，线段绕点C逆时针旋转α，得到线段，连接，．
（1）如图1，当，点D在边上运动时，线段，和之间的数量关系是______；
（2）如图2，当，点D运动到的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，将绕点C逆时针旋转得到，交于点F，连接．若，，，求线段的长．
【变式4-1】（23-24九年级·山东济南·期末）在等边三角形的内部有一点，连接，，以点为中心，把逆时针旋转得到，连接，．以点为中心，把顺时针旋转得到，连接，．
(1)判断和的大小关系，并说明理由；
(2)求证：；
(3)求证：四边形是平行四边形．
【变式4-2】（23-24九年级·安徽·期末）如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【变式4-3】（23-24九年级·河南信阳·期末）在中，，，为内一点，将绕点按逆时针方向旋转角得到，点的对应点分别为点．
(1)如图1，若三点在同一直线上，则_________（用含的代数式表示）；
(2)如图2，若三点在同一直线上，，过点作于点，探究线段之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，连接，若，，，将绕点旋转一周，当时，____________．
知识点2：旋转作图
旋转有两条重要性质：
任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
对应点到旋转中心的距离相等，它就是利用旋转的性质作图的关键。
步骤可分为：
①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；
②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）
③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，的到各点的对应点；
④接：即连接到所连接的各点。
【题型5 画旋转图形】
【例5】（23-24九年级·河南洛阳·期末）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
(1)画出将向下平移5个单位长度后的；
(2)画出关于点成中心对称的；
(3)画出绕点逆时针旋转的；
(4)在直线上找一点，使的周长最小．（说明：在网格中画出图形，标上字母即可）
【变式5-1】（23-24九年级·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出绕原点O顺时针旋转得到的；
(2)在y轴上取点P，使的面积是面积的倍，求点P的坐标．
【变式5-2】（23-24九年级·江苏泰州·期末）如图，在边长为的正方形网格中，的顶点都在格点上，将绕点逆时针旋转一定角度后，点落在格点处．
(1)旋转角为______ ；
(2)在图中画出旋转后的，其中、分别是、的对应点；
(3)点到直线的距离是______ ．
【变式5-3】（23-24九年级·辽宁沈阳·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，点．
(1)平移线段得到线段，若点A的对应点C的坐标为，点B的对应点为点D，在网格中请画出线段，并直接写出点D的坐标为_______；
(2)在（1）的条件下，在网格中请画出将线段绕点D按逆时针旋转后的线段，点C的对应点为点E，并直接写出点E的坐标为_______；
(3)在（2）的条件下，线段与线段存在一种变换关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标为_______．
【题型6 旋转对称图形】
【例6】（23-24九年级·上海松江·期末）在正三角形、正方形、正五边形和等腰梯形这四种图形中，是旋转对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式6-1】（2024·北京西城·模拟预测）如图，沿图中的右边缘所在的直线为轴将该图形向右翻折180°后，再将翻折后的正方形绕它的右下顶点按顺时针方向旋转90°，所得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2024·河北·模拟预测）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转或后，能与自身重合，所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题：
（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是 ；
A.矩形；B.正五边形；C.菱形；D.正六边形
（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有： （填序号）；
（3）下列三个命题：
①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形．其中真命题的个数有 个；
【变式6-3】（23-24九年级·全国·单元测试）下列四个图案是小明家在瓷砖厂选购的四种地砖图案，其中既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用平移来分析整个图案的形成过程的是（ ）
A． B． C． D．
【题型7 旋转求坐标】
【例7】（2024·天津东丽·二模）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形绕点顺时针旋转后得到正方形，那么点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-1】（23-24九年级·河北唐山·期中）如图，将线段绕点O顺时针旋转得到线段，那么的对应点的坐标是 ．
【变式7-2】（23-24九年级·浙江金华·期末）如图，正比例函数的图象经过，两点，其中m，n为整数，且.现将线段绕点B顺时针旋转得到线段，则点C的坐标为 ．
【变式7-3】（23-24九年级·河南南阳·期末）在平面直角坐标系中，A（0，3），B（4，0），把△AOB绕点O旋转，使点A，B分别落在点A′，B′处，若A′B′∥x轴，点B′在第一象限，则点A的对应点A′的坐标为（ ）
A．（） B．（） C．（） D．（）
【题型8 旋转中的规律性问题】
【例8】（23-24九年级·河南平顶山·期末）如图，在平面直角坐标系中，把边长为1的正方形绕着原点O顺时针旋转得到正方形，按照这样的方式，绕着原点O连续旋转2024次，得到正方形则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（23-24九年级·浙江杭州·期末）将正方体骰子（相对面上的点数1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1.在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换，若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成4次变换后，骰子朝上一面的点数是（ ）
A．6 B．5 C．3 D．1
【变式8-2】（23-24九年级·内蒙古鄂尔多斯·期末）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】（23-24九年级·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B分别在轴正半轴、轴正半轴上，顶点C，D在第一象限，已知，，将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【题型9 由旋转的性质求最值】
【例9】（23-24九年级·江苏南通·期末）如图，正方形的边长为4，，点E是直线上一个动点，连接，线段绕点B顺时针旋转得到，则线段长度的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】（23-24九年级·江苏盐城·期末）如图，线段，点为平面上一动点，且，将线段的中点绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最大值为 ．
【变式9-2】（2024·江苏扬州·一模）如图，直角中，，，，点是边上一点，将绕点顺时针旋转到点，则长的最小值是 ．
【变式9-3】（23-24九年级·江苏无锡·期末）已知在矩形中，，，O为矩形的中心，在等腰中，，．则边上的高为 ；将绕点A按顺时针方向旋转一周，连接，取中点M，连接，则的最大值为 ．
【题型10 图形的动态旋转】
【例10】（23-24九年级·安徽合肥·期末）将一个三角板如图所示摆放，直线与直线相交于点，，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当 时，与三角板的直角边平行．
【变式10-1】（23-24九年级·四川成都·期末）新定义：已知射线、为内部的两条射线，如果，那么把叫作的幸运角．已知，射线与射线重合，并绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，射线与射线重合，并绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转，当射线OC旋转一周时运动停止．在旋转过程中，射线，，，中由两条射线组成的角是另外两条射线组成的角的幸运角时， 秒．（本题所有角都指的是小于180°的角）
【变式10-2】（23-24九年级·河南平顶山·期末）如图，点 D 是等边边上一点，且 ．将绕点A 顺时针旋转α（）得到，其中点B，D的对应点分别为．当直线经过的顶点时，的度数为 ．
【变式10-3】（23-24九年级·江苏无锡·阶段练习）如图，在平行四边形中，，点P从A点出发，沿射线以的速度运动，连接，将绕点C逆时针旋转，得到，连接．当 时，是直角三角形．
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专题23.1 图形的旋转【十大题型】
【人教版】
【题型1 判断生活中的旋转现象】 1
【题型2 由旋转的性质判断结论正误】 4
【题型3 由旋转的性质进行求解】 9
【题型4 由旋转的性质证明线段相等或角相等】 13
【题型5 画旋转图形】 21
【题型6 旋转对称图形】 28
【题型7 旋转求坐标】 31
【题型8 旋转中的规律性问题】 35
【题型9 由旋转的性质求最值】 39
【题型10 图形的动态旋转】 44
知识点1：旋转
在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。
【题型1 判断生活中的旋转现象】
【例1】（23-24九年级·广西来宾·期末）有下列现象：①高层公寓电梯的上升：②传送带的移动；③方向盘的转动；④风车的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动．其中属于旋转的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】根据旋转的定义进行判断即可．
【详解】解：①高层公寓电梯的上升，是平移，故不符合要求：
②传送带的移动，是平移，故不符合要求；
③方向盘的转动，是旋转，故符合要求；
④风车的转动，是旋转，故符合要求；
⑤钟摆的运动，是旋转，故符合要求；
⑥荡秋千运动，是旋转，故符合要求；
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的定义．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
【变式1-1】（2024·吉林长春·三模）以如图（1）（以O为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换：①只要向右平移1个单位；②先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位；③先绕着点O旋转，再向右平移一个单位；④绕着的中点旋转即可．其中能得到图（2）的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②
【答案】B
【分析】根据轴对称变换，平移变换，旋转变换的特征结合图形解答即可．
【详解】解：由图可知，图（1）先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位，即可得到图（2），故②符合题意 ；
图（1）先绕着点旋转，再向右平移一个单位，即可得到图（2），故③符合题意 ；
图（1）绕着的中点旋转即可得到图（2），故④符合题意 ；
图（1）只要向右平移1个单位不能得到图（2），故①不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了几何变换的类型，熟练掌握常见的几种几何变换－平移、翻折、旋转的特征是解题的关键．
【变式1-2】（23-24九年级·广东广州·期末）“玉兔”在月球表面行走的动力主要来自太阳光能，要使接收太阳光能最多，就要使光线垂直照射在太阳光板上．现在太阳光如图照射，那么太阳光板绕支点逆时针最小旋转（ ）可以使得接收光能最多．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据垂直的定义和旋转方向，计算可得．
【详解】解：由题意可得：
若要太阳光板于太阳光垂直，
则需要绕点A逆时针旋转90°-（180°-134°）=44°，
故选：B．
【点睛】本题考查了实际生活中的垂直的定义，旋转的定义，解题的关键是理解旋转分为顺时针和逆时针．
【变式1-3】（23-24九年级·重庆江津·期中）如果齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮E旋转的方向（ ）
A．顺时针 B．逆时针
C．顺时针或逆时针 D．不能确定
【答案】B
【分析】根据图示进行分析解答即可．
【详解】齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮B以顺时针方向旋转，齿轮C以逆时针方向旋转，齿轮D以顺时针方向旋转，齿轮E以逆时针方向旋转，
故选B．
【点睛】此题考查旋转问题，关键是根据图示进行解答．
知识点2：旋转的性质
（1）对应点到旋转中心的距离相等；
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
（3）旋转前后的图形全等。
理解以下几点：
（1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。
（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。
（3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。
【题型2 由旋转的性质判断结论正误】
【例2】（23-24九年级·四川宜宾·期末）如图所示，是锐角三角形内一点，，是内不同于的另一点，、分别由、旋转而得，旋转角都为，则下列结论：①为等边三角形；②；③；④．其中正确的有（提示：有一个角是的等腰三角形是等边三角形）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质以及两点之间线段最短．由于，分别由、旋转而得，旋转角都为，得到，，，，，，则和都是等边三角形，得到，，而，再进行判断即可．
【详解】
解：连，如图，
，分别由、旋转而得，旋转角都为，
，，，，，，
和都是等边三角形，所以①正确；
，
，所以②正确；
，所以③正确；
，
而，
，
，，，在一条直线上，
又，
，所以④错误．
故选：A
【变式2-1】（23-24九年级·福建厦门·期末）如图，中，，，为直线上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则当取得最小值时，下列结论正确的是（ ）
A．直线 B．直线平分
C．直线与直线重合 D．直线与直线重合
【答案】B
【分析】延长到E，使得，连接，先求出，，由旋转的性质可得 ，则，证明，得到，则点N在直线运动，故当时，最小，设当时，点N与点H重合，延长交于F，证明是等边三角形，得到，则，即直线平分．
【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接，
∵中，，，
∴，，
由旋转的性质可得 ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点N在直线运动，
∴当时，最小，
设当时，点N与点H重合，延长交于F，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴直线平分，
故选B．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质等等，确定N的运动轨迹是解题的关键．
【变式2-2】（23-24九年级·北京大兴·期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论：
①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC；
其中一定正确的是（ ）
A．①② B．②③
C．③④ D．②③④
【答案】C
【分析】根据旋转的性质，得到对应边相等，旋转角相等，从而去判断命题的正确性．
【详解】解：∵旋转，
∴，
但是旋转角不一定是，
∴不一定是等边三角形，
∴不一定成立，即①不一定正确；
∵旋转，
∴，故③正确；
∵旋转，
∴，
∵等腰三角形ACD和等腰三角形BCE的顶角相等，
∴它们的底角也相等，即，故④正确；
∵不一定成立，
∴不一定成立，
∴不一定成立，即②不一定正确．
故选：C．
【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握图形旋转的性质．
【变式2-3】（23-24九年级·江苏南通·阶段练习）如图所示，在等边中，点是边上一点，连接，将绕着点逆时针旋转，得到，连接，则下列结论中：①；②；③；④，其中正确的结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由题意可得∠EAB＝∠ACB＝∠ABC＝60°，BD＝BE，∠DBE＝60°，可判断①②，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角和可判断③④．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∠AEB＝∠BDC
∵将△BCD绕着点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴BE＝BD，∠DBE＝60°，∠EAB＝∠ACB＝60°
∴∠EAB＝∠ABC＝60°，△BED是等边三角形
∴AE∥BC
∵△BED是等边三角形
∴∠DEB＝60°
故①②正确
∵∠AEB＝∠BDC，∠AEB＝∠AED＋∠BED，∠BDC＝∠BAC＋∠ABD
∴∠AED＝∠ABD
故④正确
∵∠BDC＞60°，∠ADE＜60°
∴∠BDC≠∠ADE
故③错误．
故答案选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，证明△BED是等边三角形是本题的关键．
【题型3 由旋转的性质进行求解】
【例3】（23-24九年级·贵州六盘水·期末）如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至点，若，则线段的长度为（ ）
A．4 B． C．6 D．
【答案】D
【分析】过点作于，如图所示，由旋转性质得到，从而得到是等腰三角形，结合等腰三角形性质确定是线段的垂直平分线，再由正方形性质，利用三角形全等的判定得到，进而由全等性质得到，在中，由勾股定理求解即可得到答案．
【详解】解：过点作于，如图所示：
将边绕点逆时针旋转至点，
，
由等腰三角形三线合一性质可得是线段的垂直平分线，则，
在正方形中，，，
，
，
，
，
在和中，
，
，则，
在中，，，
则由勾股定理可得，
，
故选：D．
【点睛】本题考查正方形中求线段长，涉及旋转性质、等腰三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识，读懂题意，准确构造出辅助线，灵活运用相关几何性质求解是解决问题的关键．
【变式3-1】（23-24九年级·福建·期末）将直角边长为的等腰直角三角形绕点A逆时针旋转后得到，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质．关键是通过旋转的性质判断阴影部分三角形的特点，计算三角形的面积．
设与交于D点，根据旋转角，等腰直角的一锐角，可求，旋转前后对应边相等，对应角相等，，，根据勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式可求阴影部分面积．
【详解】解：设与交于D点，
根据旋转性质得，而，
∴，
又∵，
∴，
由勾股定理得，，
即，
∴，
∴阴影部分的面积．
故答案为：．
【变式3-2】（23-24九年级·吉林长春·期末）如图，菱形纸片ABCD的一内角为60°，边长为2，将它绕对角线的交点O顺时针旋转90°后到的位置，则旋转前后两菱形重叠部分多边形的周长为( )
A．8 B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查菱形的性质和直角三角形的性质．根据已知可得重叠部分是个八边形，从而求得其一边长即可得到其周长．
【详解】解：
根据旋转的性质可得阴影部分为各边长相等的八边形，
旋转前后两菱形里鲁部分多边形的周长是．
故选：C．
【变式3-3】（23-24九年级·四川成都·期末）如图，等腰直角中，，将线段绕点C逆时针旋转（）得到线段，作点A关于线段所在直线的对称点E，连接和，分别交线段所在直线于点M和点F，若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】过点C作交于点H，连接，根据题意得到，易证，由等腰三角形的性质推出，推出，证明，得到，进而证明是等腰直角三角形，即可证明是等腰直角三角形，推出利用勾股定理即可求出，即可求出的长．
【详解】解：如图，过点C作交于点H，连接，
点E与点A关于线段所在直线对称，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形判定与性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，对称的性质，正确作出辅助线构造三角形全等时解题的关键．
【题型4 由旋转的性质证明线段相等或角相等】
【例4】（23-24九年级·河南周口·期末）【猜测探究】
在中，．点D是直线上的一个动点，线段绕点C逆时针旋转α，得到线段，连接，．
（1）如图1，当，点D在边上运动时，线段，和之间的数量关系是______；
（2）如图2，当，点D运动到的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，将绕点C逆时针旋转得到，交于点F，连接．若，，，求线段的长．
【答案】（1），（2）不成立，见解析；（3）8
【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定，
（1）由旋转的性质得，，，利用等量代换可得
，证得，可得，即可得证；
（2）由旋转的性质得，，，利用等量代换可得，证得，可得，即可证明；
（3）在上取一点P，使，由旋转的性质得，，证得，可得，，从而可证是等边三角形，可得，即可求解．
【详解】解：（1）由旋转的性质得，，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）不成立，理由如下：
由旋转的性质得，，，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）在上取一点P，使，
由题意得，，，
∴，
∴，，
由题意得，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
即线段的长为8．
【变式4-1】（23-24九年级·山东济南·期末）在等边三角形的内部有一点，连接，，以点为中心，把逆时针旋转得到，连接，．以点为中心，把顺时针旋转得到，连接，．
(1)判断和的大小关系，并说明理由；
(2)求证：；
(3)求证：四边形是平行四边形．
【答案】(1)，理由见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据旋转的性质得，，则可判断为等边三角形，再利用为等边三角形得到，则可得到；
（2）通过证明得到；
（3）根据旋转的性质得，，则可判断为等边三角形，于是得到，再与（2）的证明方法一样证明得到，于是，加上，从而可判断四边形是平行四边形．
【详解】（1）解：，
理由如下：
以点为中心，把逆时针旋转得到，
，，
为等边三角形，
，
为等边三角形，
，，
，
，
；
（2）证明：在和中，
，
，
；
（3）证明：以点为中心，把顺时针旋转得到，
，，
为等边三角形，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
由（1）可知：
，
由（2）可知：，
又，
，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
【变式4-2】（23-24九年级·安徽·期末）如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】（1）根据旋转的性质得到，利用等边三角形的性质得到．则，即可得到结论；
（2）证明．则．证明是等边三角形．进一步得到．在中，由勾股定理即可得到的长．
【详解】（1）证明：由旋转的性质，知．
∵是等边三角形，
∴．
∴．
∴，
即．
（2）解：在和中，
∴．
∴．
∵，
∴是等边三角形．
∴．
∵，
∴．
在中，
【点睛】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【变式4-3】（23-24九年级·河南信阳·期末）在中，，，为内一点，将绕点按逆时针方向旋转角得到，点的对应点分别为点．
(1)如图1，若三点在同一直线上，则_________（用含的代数式表示）；
(2)如图2，若三点在同一直线上，，过点作于点，探究线段之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，连接，若，，，将绕点旋转一周，当时，____________．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据旋转的性质及三角形的内角和定理即可解答；
（2）根据旋转的性质及等腰直角三角形的性质即可解答；
（3）根据旋转的性质及等边三角形的性质得到，再利用勾股定理及全等三角形的性质即可解答．
【详解】（1）解：如图1中，
∵将绕点按逆时针方向旋转角得到，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）解：．理由如下：
如图2中，∵将绕点按逆时针方向旋转角90°得到，
∴，
∴，，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴．
（3）解：如图3中，过点作于点．
∵，
∴，都是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，，共线，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
知识点2：旋转作图
旋转有两条重要性质：
任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
对应点到旋转中心的距离相等，它就是利用旋转的性质作图的关键。
步骤可分为：
①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；
②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）
③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，的到各点的对应点；
④接：即连接到所连接的各点。
【题型5 画旋转图形】
【例5】（23-24九年级·河南洛阳·期末）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
(1)画出将向下平移5个单位长度后的；
(2)画出关于点成中心对称的；
(3)画出绕点逆时针旋转的；
(4)在直线上找一点，使的周长最小．（说明：在网格中画出图形，标上字母即可）
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
(3)图见解析
(4)图见解析
【分析】本题主要考查了利用平移变换，旋转变化作图，熟练掌握作图技巧是解题的关键．
（1）根据平移的方向和距离，即可得到向下平移个单位后的图形；
（2）根据旋转中心，旋转的方向以及角度，即可得到图像；
（3）分别找出对应点，连接即可；
（4）找出关于直线的对称点，连接，交直线于点，此时，则，使的周长最小．
【详解】（1）解：即为所求
（2）解：即为所求
（3）解：即为所求
（4）解：点P即为所求
【变式5-1】（23-24九年级·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出绕原点O顺时针旋转得到的；
(2)在y轴上取点P，使的面积是面积的倍，求点P的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)或
【分析】此题主要考查了旋转变换，坐标与图形：
（1）根据旋转的性质找出点A、B、C的对应点，然后用线段连接即可；
（2）设交y轴于点D，则点，先求出，可得，从而得到，即可求解．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：设交y轴于点D，则点，
，
∵的面积是面积的倍，
∴，
∴，
∴，
∴点P的坐标为或．
【变式5-2】（23-24九年级·江苏泰州·期末）如图，在边长为的正方形网格中，的顶点都在格点上，将绕点逆时针旋转一定角度后，点落在格点处．
(1)旋转角为______ ；
(2)在图中画出旋转后的，其中、分别是、的对应点；
(3)点到直线的距离是______ ．
【答案】(1)
(2)详见解析
(3)
【分析】本题考查作图旋转变换，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（1）连接、，利用网格特点推导出旋转角；
（2）依次找出、的对应点、，连接即可；
（3）利用等腰三角形的性质，在等腰直角三角形计算即可．
【详解】（1）解：连接、，，交格点，
网格为正方形，
，，
旋转角，
故答案为：；
（2）解：旋转后的如图所示：
（3）解：如图，作，点到直线的距离为的长，
在等腰直角三角形中，，
∴．
故答案为：．
【变式5-3】（23-24九年级·辽宁沈阳·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，点．
(1)平移线段得到线段，若点A的对应点C的坐标为，点B的对应点为点D，在网格中请画出线段，并直接写出点D的坐标为_______；
(2)在（1）的条件下，在网格中请画出将线段绕点D按逆时针旋转后的线段，点C的对应点为点E，并直接写出点E的坐标为_______；
(3)在（2）的条件下，线段与线段存在一种变换关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标为_______．
【答案】(1)图见解析，
(2)图见解析，
(3)或
【分析】此题考查了平移和旋转的作图，熟练掌握平移和旋转的性质是准确解题的关键．
（1）根据平移方式作图，写出点D的坐标即可；
（2）根据旋转方式作图，写出点E的坐标即可；
（3）根据旋转的性质找到旋转中心，写出坐标即可．
【详解】（1）解：线段即为所求，点D的坐标为，
故答案为：
（2）如图，线段即为所求，点E的坐标为，
故答案为：
（3）如图，线段与线段存在一种变换关系，即其中一条线段绕着某点旋转可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标为或，旋转角为，
故答案为：或
【题型6 旋转对称图形】
【例6】（23-24九年级·上海松江·期末）在正三角形、正方形、正五边形和等腰梯形这四种图形中，是旋转对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据旋转对称图形的定义：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，解答即可．
【详解】解：在正三角形、正方形、正五边形和等腰梯形，只有等边三角形、正方形、正五边形是旋转对称图形，共3个．
故选C
【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
【变式6-1】（2024·北京西城·模拟预测）如图，沿图中的右边缘所在的直线为轴将该图形向右翻折180°后，再将翻折后的正方形绕它的右下顶点按顺时针方向旋转90°，所得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据轴对称的性质得出翻折后图形，再利用旋转对称图形的概念得出即可．
【详解】解：以图的右边缘所在的直线为轴将该图形向右翻转180°后，圆在右上角，
再按顺时针方向旋转90°，圆在右下角．
故选C．
【点睛】考查了旋转变换与轴对称变换，利用旋转对称旋转180度后重合得出是解题关键．
【变式6-2】（2024·河北·模拟预测）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转或后，能与自身重合，所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题：
（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是 ；
A.矩形；B.正五边形；C.菱形；D.正六边形
（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有： （填序号）；
（3）下列三个命题：
①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形．其中真命题的个数有 个；
【答案】 B （1）（3）（5） 2
【分析】（1）根据旋转对称图形的定义即可解答；
（2）分别求出各图形的旋转角即可解答；
（3）根据旋转对称图形的定义判断即可．
【详解】（1）是旋转图形，不是中心对称图形是正五边形，故选B．
（2）图形（1）的旋转角为60°，120°，180°；图形（2）的旋转角为180°；图形（3）的旋转角为60°，120°，180°；图形（4）的旋转角为180°；图形（5）的旋转角为60°，120°，180°；图形（6）的旋转角为°，°，°，°，°；综上，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60°的图形是．
故答案为：．
（3）根据旋转对称图形的定义可得：①中心对称图形是旋转对称图形是真命题；②等腰三角形是旋转对称图形是假命题；③圆是旋转对称图形是真命题．所以真命题有2个．
故答案为：2．
【点睛】本题是新定义题目，熟练运用旋转对称图形的定义是解决问题的关键．
【变式6-3】（23-24九年级·全国·单元测试）下列四个图案是小明家在瓷砖厂选购的四种地砖图案，其中既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用平移来分析整个图案的形成过程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据旋转的定义及平移的定义逐项分析即可解答．
【详解】选项A、B、C、D四个选项中的图形都可以看成是图形的一半旋转180°得到；
由一个图形可以通过某一个基本图形平移得到，则这个图形可以分成几个相同的基本图形，且基本图形之间对应点的连线应该是平行的，可知选项A、B、D不能由平移得到，只有选项C选项的图形，可看成是由基本图形通过平移得到.
故选C．
【点睛】本题主要考查旋转和平移的定义，掌握平移和旋转的特征是解题的关键．
【题型7 旋转求坐标】
【例7】（2024·天津东丽·二模）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形绕点顺时针旋转后得到正方形，那么点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据旋转和勾股定理计算OB1即可
【详解】解：连接OB
∵正方形绕点顺时针旋转后得到正方形
∴OB=OB1,OC=OC1，∠BOB1=45°
∴
∴
故选：C
【点睛】本题考查旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是关键
【变式7-1】（23-24九年级·河北唐山·期中）如图，将线段绕点O顺时针旋转得到线段，那么的对应点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，图形与坐标，由线段绕点顺时针旋转得到线段可以得出，，作轴于，轴于，证明，就可以得出，，再结合的坐标即可求解，证明两个三角形全等是解决问题的关键．
【详解】解：∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴．
作轴于，轴于，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，，
∴，
∴，．
∵，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：．
【变式7-2】（23-24九年级·浙江金华·期末）如图，正比例函数的图象经过，两点，其中m，n为整数，且.现将线段绕点B顺时针旋转得到线段，则点C的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查坐标与图形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，过点B作轴，且，，证明，推出，，再分别求出点C的横坐标和纵坐标即可．
【详解】解：如图，过点B作轴，且，，
，，
，；
线段绕点B顺时针旋转得到线段，
，，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
点C的坐标为，
故答案为：．
【变式7-3】（23-24九年级·河南南阳·期末）在平面直角坐标系中，A（0，3），B（4，0），把△AOB绕点O旋转，使点A，B分别落在点A′，B′处，若A′B′∥x轴，点B′在第一象限，则点A的对应点A′的坐标为（ ）
A．（） B．（） C．（） D．（）
【答案】A
【分析】设A′B′交y轴于T′，利用勾股定理可求出A′B′的长度，再利用三角形面积公式求出OT的长度，最后再利用勾股定理即可求出A′T′的长度，即可求出A′点坐标 ．
【详解】解：如图，设A′B′交y轴于T′．
∵A（0，3），B（4，0），
∴OA＝3，OB＝4，
∵∠A′OB′＝90°，OT'⊥A′B′，OA＝OA′＝3，OB＝OB′＝4，
∴AB＝A′B′＝==5，
∵ OA′ OB′＝ A′B′ OT′，
∴OT′＝，
∴A′T′＝＝，
∴A′（-，）．
故选：A．
【点睛】本题考查坐标与图形的变化-旋转，熟练利用勾股定理解直角三角形以及三角形的面积公式是解答本题的关键．
【题型8 旋转中的规律性问题】
【例8】（23-24九年级·河南平顶山·期末）如图，在平面直角坐标系中，把边长为1的正方形绕着原点O顺时针旋转得到正方形，按照这样的方式，绕着原点O连续旋转2024次，得到正方形则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查坐标系中的点的规律探究，根据题意，得到正方形每旋转8次回到原来的位置，利用，得到的坐标和点的坐标重合，即可得出结果．
【详解】解：由题意，可知：，每旋转次，正方形回到原来的位置，
∵，
∴的坐标和点的坐标重合，
∴点的坐标是；
故选A．
【变式8-1】（23-24九年级·浙江杭州·期末）将正方体骰子（相对面上的点数1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1.在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换，若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成4次变换后，骰子朝上一面的点数是（ ）
A．6 B．5 C．3 D．1
【答案】B
【分析】由题意结合图形判断出每次变换后，骰子朝上一面的点数，即可得出结论．
【详解】解：由题意结合图形可知：完成1次变换后，骰子朝上一面的点数为5；
完成2次变换后，骰子朝上一面的点数为6；
完成3次变换后，骰子朝上一面的点数为3；
完成4次变换后，骰子朝上一面的点数为5．
故选B．
【点睛】此题考查的是图形的旋转和探索规律题，结合题意和图形找出变换规律是解决此题的关键．
【变式8-2】（23-24九年级·内蒙古鄂尔多斯·期末）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据旋转的性质分别求出第1、2、3、时，点的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点的对应点的坐标．
【详解】解：如图．
，
在第一象限的角平分线上，
叶片每秒绕原点顺时针转动，
，，，，
点的坐标以每4秒为一个周期依次循环，
，
第时，点的对应点的坐标与相同，为．
故选：．
【变式8-3】（23-24九年级·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B分别在轴正半轴、轴正半轴上，顶点C，D在第一象限，已知，，将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点C作轴于点E，连接，求出点C坐标，矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，，得到每循环4次与原图形重合，根据，得到第2025旋转结束时，点C的坐标与第1旋转结束时点C的坐标相同．根据矩形绕点O逆时针旋转1，即线段绕点O逆时针旋转，得到线段，其中点落在第二象限．求出点的坐标，即可得出结果．
本题考查坐标系下图形的旋转，点的规律探究．解题的关键是确定旋转过程中点的坐标规律．
【详解】解：如图，过点C作轴于点E，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
∵矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，，
∴每循环4次与原图形重合，
∵，
∴第2025次旋转结束时，点C的坐标与第1次旋转结束时点C的坐标相同，
即第2025次旋转结束时，点C落在第二象限，
如图，过点作轴于点，
则，，
，，
，
，，
，
∴第2025次旋转结束时，点C的坐标为．
故选：B
【题型9 由旋转的性质求最值】
【例9】（23-24九年级·江苏南通·期末）如图，正方形的边长为4，，点E是直线上一个动点，连接，线段绕点B顺时针旋转得到，则线段长度的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，在上截取，使，连接，过点D作于点H，证明，得出，点F在直线上运动，当点F与H重合时，的值最小，求出最小值即可．
【详解】解：连接，在上截取，使，连接，过点D作于点H，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴点F在直线上运动，当点F与H重合时，的值最小，
∵，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，垂线段最短，直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，得出点F在直线上运动，当点F与H重合时，的值最小，是解题的关键．
【变式9-1】（23-24九年级·江苏盐城·期末）如图，线段，点为平面上一动点，且，将线段的中点绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最大值为 ．
【答案】
【分析】正确作出辅助线见解析，然后证明，再根据勾股定理得出的长，最后得出结论．
【详解】解：，
点在以为直径的圆上运动，取的中点，连接，
，
取的中点，连接，为的中点，
为的中位线，
，，
如图所示，过点作，且，连接，，
将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
的最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，中位线，全等三角形的判定与性质，圆周角的性质及勾股定理．
【变式9-2】（2024·江苏扬州·一模）如图，直角中，，，，点是边上一点，将绕点顺时针旋转到点，则长的最小值是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．取的中点为点，连接，过点作，垂足为，在直角中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出的长，的度数，再根据线段的中点定义可得，从而可得，然后利用旋转的性质可得：，，从而利用等式的性质可得，进而利用证明，最后利用全等三角形的性质可得，再根据垂线段最短，即可解答．
【详解】解：取的中点为点，连接，过点作，垂足为，
，
，，，
，，
点是的中点，
，
，
由旋转得：，，
，
，
，
，
，
，
当时，即当点和点重合时，有最小值，且最小值为2，
长的最小值是2，
故答案为：2
【变式9-3】（23-24九年级·江苏无锡·期末）已知在矩形中，，，O为矩形的中心，在等腰中，，．则边上的高为 ；将绕点A按顺时针方向旋转一周，连接，取中点M，连接，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】作于点I，由，，得，，则，所以边上的高为；延长到点G，使，连接，由，得到，再求得，由三角形中位线定理得，因为，所以，由此求出的最大值.
【详解】解：作于点I，
∵ ，，
∴，，
∴，
∴边上的高为；
延长到点G，使，连接，
∵，
∴ ，
∵四边形是矩形，，
∴，
∴，
∵F、M分别是、的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最大值为，
故答案为：；.
【点睛】此题重点考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、勾股定理、三角形的中位线定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.
【题型10 图形的动态旋转】
【例10】（23-24九年级·安徽合肥·期末）将一个三角板如图所示摆放，直线与直线相交于点，，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当 时，与三角板的直角边平行．
【答案】5或35或65或95或125
【分析】根据题意，分6种情况讨论：当时，当时，当第二次平行于时，当第二次平行于时，当第三次平行于时，当第三次平行于时，画出对应的图形，利用平行线的性质，计算得到答案．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，是解答本题的关键．
【详解】解：如图， 时，
延长交于D点，
则，，
，
，
，
，
，
解得；
②如图：时，
，，
，
，
，
解得；
③如图第二次平行于时，
设与的交点为E，
则，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得；
④如图第二次平行于时，
，，
∵，
∴，
∴，
解得；
⑤如图：第三次平行于时，
则，，
，
，
又，
，
∴，
解得；
⑥如图：第三次平行于时，
，，
，
，
∴，
解得（舍去）．
综上，所有满足条件的t的值为：5或35或65或95或125．
故答案为：5或35或65或95或125
【变式10-1】（23-24九年级·四川成都·期末）新定义：已知射线、为内部的两条射线，如果，那么把叫作的幸运角．已知，射线与射线重合，并绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，射线与射线重合，并绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转，当射线OC旋转一周时运动停止．在旋转过程中，射线，，，中由两条射线组成的角是另外两条射线组成的角的幸运角时， 秒．（本题所有角都指的是小于180°的角）
【答案】，15，
【分析】根据边的运动分类讨论即可．
【详解】解：①如图
当，
则
解得：
②如图
当，
则
解得：
③如图
当，
则
解得：
故答案为：，15，
【点睛】本题考查了新定义，相关知识点有：角的计算、分类讨论思想等，分情况讨论是解题关键．
【变式10-2】（23-24九年级·河南平顶山·期末）如图，点 D 是等边边上一点，且 ．将绕点A 顺时针旋转α（）得到，其中点B，D的对应点分别为．当直线经过的顶点时，的度数为 ．
【答案】或或
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识．明确直线经过的顶点时的情况是解题的关键．
由题意知，当直线经过的顶点时，分经过顶点，经过顶点，两种情况求解；当经过顶点时，如图1，证明是等边三角形，是等边三角形，则，；当时，重合，经过顶点，此时；当经过顶点，时，此时不成立；当重合， 经过顶点，如图3，同理，是等边三角形，则，，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，当直线经过的顶点时，分经过顶点，经过顶点，两种情况求解；
当经过顶点时，如图1，
由旋转的性质可知，，，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
当时，重合， 经过顶点，如图2，
此时；
当经过顶点时，
当，此时重合，，
当，此时不成立；
当重合， 经过顶点，如图3，
同理，是等边三角形，
∴，
∴，
综上所述，的度数为或或，
故答案为：或或．
【变式10-3】（23-24九年级·江苏无锡·阶段练习）如图，在平行四边形中，，点P从A点出发，沿射线以的速度运动，连接，将绕点C逆时针旋转，得到，连接．当 时，是直角三角形．
【答案】1或7
【分析】由题意得：，如图，连接，作的平分线交于点E，则，证明为等边三角形，为等边三角形，可证得，从而得到，然后分两种情况：当时，当时，即可求解．
【详解】解：由题意得：，
如图，连接，作的平分线交于点E，则，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，，
∴，
由旋转的性质得，，
∴为等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，此时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：；
当时，如图，此时，，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
解得：；
综上所述，当或1时，是直角三角形．
故答案为：7或1
【点睛】本题是平行四边形综合题．需要掌握旋转的性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形周长的计算、直角三角形的判定等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
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【人教版】
【题型1 判断生活中的旋转现象】 1
【题型2 由旋转的性质判断结论正误】 3
【题型3 由旋转的性质进行求解】 4
【题型4 由旋转的性质证明线段相等或角相等】 5
【题型5 画旋转图形】 7
【题型6 旋转对称图形】 9
【题型7 旋转求坐标】 10
【题型8 旋转中的规律性问题】 11
【题型9 由旋转的性质求最值】 13
【题型10 图形的动态旋转】 14
知识点1：旋转
在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。
【题型1 判断生活中的旋转现象】
【例1】（23-24九年级·广西来宾·期末）有下列现象：①高层公寓电梯的上升：②传送带的移动；③方向盘的转动；④风车的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动．其中属于旋转的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1-1】（2024·吉林长春·三模）以如图（1）（以O为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换：①只要向右平移1个单位；②先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位；③先绕着点O旋转，再向右平移一个单位；④绕着的中点旋转即可．其中能得到图（2）的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②
【变式1-2】（23-24九年级·广东广州·期末）“玉兔”在月球表面行走的动力主要来自太阳光能，要使接收太阳光能最多，就要使光线垂直照射在太阳光板上．现在太阳光如图照射，那么太阳光板绕支点逆时针最小旋转（ ）可以使得接收光能最多．
A． B． C． D．
【变式1-3】（23-24九年级·重庆江津·期中）如果齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮E旋转的方向（ ）
A．顺时针 B．逆时针
C．顺时针或逆时针 D．不能确定
知识点2：旋转的性质
（1）对应点到旋转中心的距离相等；
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
（3）旋转前后的图形全等。
理解以下几点：
（1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。
（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。
（3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。
【题型2 由旋转的性质判断结论正误】
【例2】（23-24九年级·四川宜宾·期末）如图所示，是锐角三角形内一点，，是内不同于的另一点，、分别由、旋转而得，旋转角都为，则下列结论：①为等边三角形；②；③；④．其中正确的有（提示：有一个角是的等腰三角形是等边三角形）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【变式2-1】（23-24九年级·福建厦门·期末）如图，中，，，为直线上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则当取得最小值时，下列结论正确的是（ ）
A．直线 B．直线平分
C．直线与直线重合 D．直线与直线重合
【变式2-2】（23-24九年级·北京大兴·期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论：
①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC；
其中一定正确的是（ ）
A．①② B．②③
C．③④ D．②③④
【变式2-3】（23-24九年级·江苏南通·阶段练习）如图所示，在等边中，点是边上一点，连接，将绕着点逆时针旋转，得到，连接，则下列结论中：①；②；③；④，其中正确的结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型3 由旋转的性质进行求解】
【例3】（23-24九年级·贵州六盘水·期末）如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至点，若，则线段的长度为（ ）
A．4 B． C．6 D．
【变式3-1】（23-24九年级·福建·期末）将直角边长为的等腰直角三角形绕点A逆时针旋转后得到，则图中阴影部分的面积是 ．
【变式3-2】（23-24九年级·吉林长春·期末）如图，菱形纸片ABCD的一内角为60°，边长为2，将它绕对角线的交点O顺时针旋转90°后到的位置，则旋转前后两菱形重叠部分多边形的周长为( )
A．8 B． C． D．
【变式3-3】（23-24九年级·四川成都·期末）如图，等腰直角中，，将线段绕点C逆时针旋转（）得到线段，作点A关于线段所在直线的对称点E，连接和，分别交线段所在直线于点M和点F，若，，则的长为 ．
【题型4 由旋转的性质证明线段相等或角相等】
【例4】（23-24九年级·河南周口·期末）【猜测探究】
在中，．点D是直线上的一个动点，线段绕点C逆时针旋转α，得到线段，连接，．
（1）如图1，当，点D在边上运动时，线段，和之间的数量关系是______；
（2）如图2，当，点D运动到的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，将绕点C逆时针旋转得到，交于点F，连接．若，，，求线段的长．
【变式4-1】（23-24九年级·山东济南·期末）在等边三角形的内部有一点，连接，，以点为中心，把逆时针旋转得到，连接，．以点为中心，把顺时针旋转得到，连接，．
(1)判断和的大小关系，并说明理由；
(2)求证：；
(3)求证：四边形是平行四边形．
【变式4-2】（23-24九年级·安徽·期末）如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【变式4-3】（23-24九年级·河南信阳·期末）在中，，，为内一点，将绕点按逆时针方向旋转角得到，点的对应点分别为点．
(1)如图1，若三点在同一直线上，则_________（用含的代数式表示）；
(2)如图2，若三点在同一直线上，，过点作于点，探究线段之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，连接，若，，，将绕点旋转一周，当时，____________．
知识点2：旋转作图
旋转有两条重要性质：
任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
对应点到旋转中心的距离相等，它就是利用旋转的性质作图的关键。
步骤可分为：
①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；
②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）
③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，的到各点的对应点；
④接：即连接到所连接的各点。
【题型5 画旋转图形】
【例5】（23-24九年级·河南洛阳·期末）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
(1)画出将向下平移5个单位长度后的；
(2)画出关于点成中心对称的；
(3)画出绕点逆时针旋转的；
(4)在直线上找一点，使的周长最小．（说明：在网格中画出图形，标上字母即可）
【变式5-1】（23-24九年级·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出绕原点O顺时针旋转得到的；
(2)在y轴上取点P，使的面积是面积的倍，求点P的坐标．
【变式5-2】（23-24九年级·江苏泰州·期末）如图，在边长为的正方形网格中，的顶点都在格点上，将绕点逆时针旋转一定角度后，点落在格点处．
(1)旋转角为______ ；
(2)在图中画出旋转后的，其中、分别是、的对应点；
(3)点到直线的距离是______ ．
【变式5-3】（23-24九年级·辽宁沈阳·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，点．
(1)平移线段得到线段，若点A的对应点C的坐标为，点B的对应点为点D，在网格中请画出线段，并直接写出点D的坐标为_______；
(2)在（1）的条件下，在网格中请画出将线段绕点D按逆时针旋转后的线段，点C的对应点为点E，并直接写出点E的坐标为_______；
(3)在（2）的条件下，线段与线段存在一种变换关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标为_______．
【题型6 旋转对称图形】
【例6】（23-24九年级·上海松江·期末）在正三角形、正方形、正五边形和等腰梯形这四种图形中，是旋转对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式6-1】（2024·北京西城·模拟预测）如图，沿图中的右边缘所在的直线为轴将该图形向右翻折180°后，再将翻折后的正方形绕它的右下顶点按顺时针方向旋转90°，所得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2024·河北·模拟预测）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转或后，能与自身重合，所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题：
（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是 ；
A.矩形；B.正五边形；C.菱形；D.正六边形
（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有： （填序号）；
（3）下列三个命题：
①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形．其中真命题的个数有 个；
【变式6-3】（23-24九年级·全国·单元测试）下列四个图案是小明家在瓷砖厂选购的四种地砖图案，其中既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用平移来分析整个图案的形成过程的是（ ）
A． B． C． D．
【题型7 旋转求坐标】
【例7】（2024·天津东丽·二模）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形绕点顺时针旋转后得到正方形，那么点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-1】（23-24九年级·河北唐山·期中）如图，将线段绕点O顺时针旋转得到线段，那么的对应点的坐标是 ．
【变式7-2】（23-24九年级·浙江金华·期末）如图，正比例函数的图象经过，两点，其中m，n为整数，且.现将线段绕点B顺时针旋转得到线段，则点C的坐标为 ．
【变式7-3】（23-24九年级·河南南阳·期末）在平面直角坐标系中，A（0，3），B（4，0），把△AOB绕点O旋转，使点A，B分别落在点A′，B′处，若A′B′∥x轴，点B′在第一象限，则点A的对应点A′的坐标为（ ）
A．（） B．（） C．（） D．（）
【题型8 旋转中的规律性问题】
【例8】（23-24九年级·河南平顶山·期末）如图，在平面直角坐标系中，把边长为1的正方形绕着原点O顺时针旋转得到正方形，按照这样的方式，绕着原点O连续旋转2024次，得到正方形则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（23-24九年级·浙江杭州·期末）将正方体骰子（相对面上的点数1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1.在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换，若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成4次变换后，骰子朝上一面的点数是（ ）
A．6 B．5 C．3 D．1
【变式8-2】（23-24九年级·内蒙古鄂尔多斯·期末）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】（23-24九年级·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B分别在轴正半轴、轴正半轴上，顶点C，D在第一象限，已知，，将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【题型9 由旋转的性质求最值】
【例9】（23-24九年级·江苏南通·期末）如图，正方形的边长为4，，点E是直线上一个动点，连接，线段绕点B顺时针旋转得到，则线段长度的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】（23-24九年级·江苏盐城·期末）如图，线段，点为平面上一动点，且，将线段的中点绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最大值为 ．
【变式9-2】（2024·江苏扬州·一模）如图，直角中，，，，点是边上一点，将绕点顺时针旋转到点，则长的最小值是 ．
【变式9-3】（23-24九年级·江苏无锡·期末）已知在矩形中，，，O为矩形的中心，在等腰中，，．则边上的高为 ；将绕点A按顺时针方向旋转一周，连接，取中点M，连接，则的最大值为 ．
【题型10 图形的动态旋转】
【例10】（23-24九年级·安徽合肥·期末）将一个三角板如图所示摆放，直线与直线相交于点，，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当 时，与三角板的直角边平行．
【变式10-1】（23-24九年级·四川成都·期末）新定义：已知射线、为内部的两条射线，如果，那么把叫作的幸运角．已知，射线与射线重合，并绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，射线与射线重合，并绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转，当射线OC旋转一周时运动停止．在旋转过程中，射线，，，中由两条射线组成的角是另外两条射线组成的角的幸运角时， 秒．（本题所有角都指的是小于180°的角）
【变式10-2】（23-24九年级·河南平顶山·期末）如图，点 D 是等边边上一点，且 ．将绕点A 顺时针旋转α（）得到，其中点B，D的对应点分别为．当直线经过的顶点时，的度数为 ．
【变式10-3】（23-24九年级·江苏无锡·阶段练习）如图，在平行四边形中，，点P从A点出发，沿射线以的速度运动，连接，将绕点C逆时针旋转，得到，连接．当 时，是直角三角形．
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专题23.1 图形的旋转【十大题型】
【人教版】
【题型1 判断生活中的旋转现象】 1
【题型2 由旋转的性质判断结论正误】 4
【题型3 由旋转的性质进行求解】 9
【题型4 由旋转的性质证明线段相等或角相等】 13
【题型5 画旋转图形】 21
【题型6 旋转对称图形】 28
【题型7 旋转求坐标】 31
【题型8 旋转中的规律性问题】 35
【题型9 由旋转的性质求最值】 39
【题型10 图形的动态旋转】 44
知识点1：旋转
在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。
【题型1 判断生活中的旋转现象】
【例1】（23-24九年级·广西来宾·期末）有下列现象：①高层公寓电梯的上升：②传送带的移动；③方向盘的转动；④风车的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动．其中属于旋转的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】根据旋转的定义进行判断即可．
【详解】解：①高层公寓电梯的上升，是平移，故不符合要求：
②传送带的移动，是平移，故不符合要求；
③方向盘的转动，是旋转，故符合要求；
④风车的转动，是旋转，故符合要求；
⑤钟摆的运动，是旋转，故符合要求；
⑥荡秋千运动，是旋转，故符合要求；
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的定义．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
【变式1-1】（2024·吉林长春·三模）以如图（1）（以O为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换：①只要向右平移1个单位；②先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位；③先绕着点O旋转，再向右平移一个单位；④绕着的中点旋转即可．其中能得到图（2）的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②
【答案】B
【分析】根据轴对称变换，平移变换，旋转变换的特征结合图形解答即可．
【详解】解：由图可知，图（1）先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位，即可得到图（2），故②符合题意 ；
图（1）先绕着点旋转，再向右平移一个单位，即可得到图（2），故③符合题意 ；
图（1）绕着的中点旋转即可得到图（2），故④符合题意 ；
图（1）只要向右平移1个单位不能得到图（2），故①不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了几何变换的类型，熟练掌握常见的几种几何变换－平移、翻折、旋转的特征是解题的关键．
【变式1-2】（23-24九年级·广东广州·期末）“玉兔”在月球表面行走的动力主要来自太阳光能，要使接收太阳光能最多，就要使光线垂直照射在太阳光板上．现在太阳光如图照射，那么太阳光板绕支点逆时针最小旋转（ ）可以使得接收光能最多．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据垂直的定义和旋转方向，计算可得．
【详解】解：由题意可得：
若要太阳光板于太阳光垂直，
则需要绕点A逆时针旋转90°-（180°-134°）=44°，
故选：B．
【点睛】本题考查了实际生活中的垂直的定义，旋转的定义，解题的关键是理解旋转分为顺时针和逆时针．
【变式1-3】（23-24九年级·重庆江津·期中）如果齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮E旋转的方向（ ）
A．顺时针 B．逆时针
C．顺时针或逆时针 D．不能确定
【答案】B
【分析】根据图示进行分析解答即可．
【详解】齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮B以顺时针方向旋转，齿轮C以逆时针方向旋转，齿轮D以顺时针方向旋转，齿轮E以逆时针方向旋转，
故选B．
【点睛】此题考查旋转问题，关键是根据图示进行解答．
知识点2：旋转的性质
（1）对应点到旋转中心的距离相等；
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
（3）旋转前后的图形全等。
理解以下几点：
（1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。
（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。
（3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。
【题型2 由旋转的性质判断结论正误】
【例2】（23-24九年级·四川宜宾·期末）如图所示，是锐角三角形内一点，，是内不同于的另一点，、分别由、旋转而得，旋转角都为，则下列结论：①为等边三角形；②；③；④．其中正确的有（提示：有一个角是的等腰三角形是等边三角形）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质以及两点之间线段最短．由于，分别由、旋转而得，旋转角都为，得到，，，，，，则和都是等边三角形，得到，，而，再进行判断即可．
【详解】
解：连，如图，
，分别由、旋转而得，旋转角都为，
，，，，，，
和都是等边三角形，所以①正确；
，
，所以②正确；
，所以③正确；
，
而，
，
，，，在一条直线上，
又，
，所以④错误．
故选：A
【变式2-1】（23-24九年级·福建厦门·期末）如图，中，，，为直线上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则当取得最小值时，下列结论正确的是（ ）
A．直线 B．直线平分
C．直线与直线重合 D．直线与直线重合
【答案】B
【分析】延长到E，使得，连接，先求出，，由旋转的性质可得 ，则，证明，得到，则点N在直线运动，故当时，最小，设当时，点N与点H重合，延长交于F，证明是等边三角形，得到，则，即直线平分．
【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接，
∵中，，，
∴，，
由旋转的性质可得 ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点N在直线运动，
∴当时，最小，
设当时，点N与点H重合，延长交于F，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴直线平分，
故选B．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质等等，确定N的运动轨迹是解题的关键．
【变式2-2】（23-24九年级·北京大兴·期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论：
①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC；
其中一定正确的是（ ）
A．①② B．②③
C．③④ D．②③④
【答案】C
【分析】根据旋转的性质，得到对应边相等，旋转角相等，从而去判断命题的正确性．
【详解】解：∵旋转，
∴，
但是旋转角不一定是，
∴不一定是等边三角形，
∴不一定成立，即①不一定正确；
∵旋转，
∴，故③正确；
∵旋转，
∴，
∵等腰三角形ACD和等腰三角形BCE的顶角相等，
∴它们的底角也相等，即，故④正确；
∵不一定成立，
∴不一定成立，
∴不一定成立，即②不一定正确．
故选：C．
【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握图形旋转的性质．
【变式2-3】（23-24九年级·江苏南通·阶段练习）如图所示，在等边中，点是边上一点，连接，将绕着点逆时针旋转，得到，连接，则下列结论中：①；②；③；④，其中正确的结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由题意可得∠EAB＝∠ACB＝∠ABC＝60°，BD＝BE，∠DBE＝60°，可判断①②，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角和可判断③④．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∠AEB＝∠BDC
∵将△BCD绕着点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴BE＝BD，∠DBE＝60°，∠EAB＝∠ACB＝60°
∴∠EAB＝∠ABC＝60°，△BED是等边三角形
∴AE∥BC
∵△BED是等边三角形
∴∠DEB＝60°
故①②正确
∵∠AEB＝∠BDC，∠AEB＝∠AED＋∠BED，∠BDC＝∠BAC＋∠ABD
∴∠AED＝∠ABD
故④正确
∵∠BDC＞60°，∠ADE＜60°
∴∠BDC≠∠ADE
故③错误．
故答案选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，证明△BED是等边三角形是本题的关键．
【题型3 由旋转的性质进行求解】
【例3】（23-24九年级·贵州六盘水·期末）如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至点，若，则线段的长度为（ ）
A．4 B． C．6 D．
【答案】D
【分析】过点作于，如图所示，由旋转性质得到，从而得到是等腰三角形，结合等腰三角形性质确定是线段的垂直平分线，再由正方形性质，利用三角形全等的判定得到，进而由全等性质得到，在中，由勾股定理求解即可得到答案．
【详解】解：过点作于，如图所示：
将边绕点逆时针旋转至点，
，
由等腰三角形三线合一性质可得是线段的垂直平分线，则，
在正方形中，，，
，
，
，
，
在和中，
，
，则，
在中，，，
则由勾股定理可得，
，
故选：D．
【点睛】本题考查正方形中求线段长，涉及旋转性质、等腰三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识，读懂题意，准确构造出辅助线，灵活运用相关几何性质求解是解决问题的关键．
【变式3-1】（23-24九年级·福建·期末）将直角边长为的等腰直角三角形绕点A逆时针旋转后得到，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质．关键是通过旋转的性质判断阴影部分三角形的特点，计算三角形的面积．
设与交于D点，根据旋转角，等腰直角的一锐角，可求，旋转前后对应边相等，对应角相等，，，根据勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式可求阴影部分面积．
【详解】解：设与交于D点，
根据旋转性质得，而，
∴，
又∵，
∴，
由勾股定理得，，
即，
∴，
∴阴影部分的面积．
故答案为：．
【变式3-2】（23-24九年级·吉林长春·期末）如图，菱形纸片ABCD的一内角为60°，边长为2，将它绕对角线的交点O顺时针旋转90°后到的位置，则旋转前后两菱形重叠部分多边形的周长为( )
A．8 B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查菱形的性质和直角三角形的性质．根据已知可得重叠部分是个八边形，从而求得其一边长即可得到其周长．
【详解】解：
根据旋转的性质可得阴影部分为各边长相等的八边形，
旋转前后两菱形里鲁部分多边形的周长是．
故选：C．
【变式3-3】（23-24九年级·四川成都·期末）如图，等腰直角中，，将线段绕点C逆时针旋转（）得到线段，作点A关于线段所在直线的对称点E，连接和，分别交线段所在直线于点M和点F，若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】过点C作交于点H，连接，根据题意得到，易证，由等腰三角形的性质推出，推出，证明，得到，进而证明是等腰直角三角形，即可证明是等腰直角三角形，推出利用勾股定理即可求出，即可求出的长．
【详解】解：如图，过点C作交于点H，连接，
点E与点A关于线段所在直线对称，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形判定与性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，对称的性质，正确作出辅助线构造三角形全等时解题的关键．
【题型4 由旋转的性质证明线段相等或角相等】
【例4】（23-24九年级·河南周口·期末）【猜测探究】
在中，．点D是直线上的一个动点，线段绕点C逆时针旋转α，得到线段，连接，．
（1）如图1，当，点D在边上运动时，线段，和之间的数量关系是______；
（2）如图2，当，点D运动到的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，将绕点C逆时针旋转得到，交于点F，连接．若，，，求线段的长．
【答案】（1），（2）不成立，见解析；（3）8
【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定，
（1）由旋转的性质得，，，利用等量代换可得
，证得，可得，即可得证；
（2）由旋转的性质得，，，利用等量代换可得，证得，可得，即可证明；
（3）在上取一点P，使，由旋转的性质得，，证得，可得，，从而可证是等边三角形，可得，即可求解．
【详解】解：（1）由旋转的性质得，，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）不成立，理由如下：
由旋转的性质得，，，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）在上取一点P，使，
由题意得，，，
∴，
∴，，
由题意得，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
即线段的长为8．
【变式4-1】（23-24九年级·山东济南·期末）在等边三角形的内部有一点，连接，，以点为中心，把逆时针旋转得到，连接，．以点为中心，把顺时针旋转得到，连接，．
(1)判断和的大小关系，并说明理由；
(2)求证：；
(3)求证：四边形是平行四边形．
【答案】(1)，理由见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据旋转的性质得，，则可判断为等边三角形，再利用为等边三角形得到，则可得到；
（2）通过证明得到；
（3）根据旋转的性质得，，则可判断为等边三角形，于是得到，再与（2）的证明方法一样证明得到，于是，加上，从而可判断四边形是平行四边形．
【详解】（1）解：，
理由如下：
以点为中心，把逆时针旋转得到，
，，
为等边三角形，
，
为等边三角形，
，，
，
，
；
（2）证明：在和中，
，
，
；
（3）证明：以点为中心，把顺时针旋转得到，
，，
为等边三角形，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
由（1）可知：
，
由（2）可知：，
又，
，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
【变式4-2】（23-24九年级·安徽·期末）如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】（1）根据旋转的性质得到，利用等边三角形的性质得到．则，即可得到结论；
（2）证明．则．证明是等边三角形．进一步得到．在中，由勾股定理即可得到的长．
【详解】（1）证明：由旋转的性质，知．
∵是等边三角形，
∴．
∴．
∴，
即．
（2）解：在和中，
∴．
∴．
∵，
∴是等边三角形．
∴．
∵，
∴．
在中，
【点睛】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【变式4-3】（23-24九年级·河南信阳·期末）在中，，，为内一点，将绕点按逆时针方向旋转角得到，点的对应点分别为点．
(1)如图1，若三点在同一直线上，则_________（用含的代数式表示）；
(2)如图2，若三点在同一直线上，，过点作于点，探究线段之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，连接，若，，，将绕点旋转一周，当时，____________．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据旋转的性质及三角形的内角和定理即可解答；
（2）根据旋转的性质及等腰直角三角形的性质即可解答；
（3）根据旋转的性质及等边三角形的性质得到，再利用勾股定理及全等三角形的性质即可解答．
【详解】（1）解：如图1中，
∵将绕点按逆时针方向旋转角得到，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）解：．理由如下：
如图2中，∵将绕点按逆时针方向旋转角90°得到，
∴，
∴，，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴．
（3）解：如图3中，过点作于点．
∵，
∴，都是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，，共线，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
知识点2：旋转作图
旋转有两条重要性质：
任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
对应点到旋转中心的距离相等，它就是利用旋转的性质作图的关键。
步骤可分为：
①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；
②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）
③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，的到各点的对应点；
④接：即连接到所连接的各点。
【题型5 画旋转图形】
【例5】（23-24九年级·河南洛阳·期末）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
(1)画出将向下平移5个单位长度后的；
(2)画出关于点成中心对称的；
(3)画出绕点逆时针旋转的；
(4)在直线上找一点，使的周长最小．（说明：在网格中画出图形，标上字母即可）
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
(3)图见解析
(4)图见解析
【分析】本题主要考查了利用平移变换，旋转变化作图，熟练掌握作图技巧是解题的关键．
（1）根据平移的方向和距离，即可得到向下平移个单位后的图形；
（2）根据旋转中心，旋转的方向以及角度，即可得到图像；
（3）分别找出对应点，连接即可；
（4）找出关于直线的对称点，连接，交直线于点，此时，则，使的周长最小．
【详解】（1）解：即为所求
（2）解：即为所求
（3）解：即为所求
（4）解：点P即为所求
【变式5-1】（23-24九年级·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出绕原点O顺时针旋转得到的；
(2)在y轴上取点P，使的面积是面积的倍，求点P的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)或
【分析】此题主要考查了旋转变换，坐标与图形：
（1）根据旋转的性质找出点A、B、C的对应点，然后用线段连接即可；
（2）设交y轴于点D，则点，先求出，可得，从而得到，即可求解．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：设交y轴于点D，则点，
，
∵的面积是面积的倍，
∴，
∴，
∴，
∴点P的坐标为或．
【变式5-2】（23-24九年级·江苏泰州·期末）如图，在边长为的正方形网格中，的顶点都在格点上，将绕点逆时针旋转一定角度后，点落在格点处．
(1)旋转角为______ ；
(2)在图中画出旋转后的，其中、分别是、的对应点；
(3)点到直线的距离是______ ．
【答案】(1)
(2)详见解析
(3)
【分析】本题考查作图旋转变换，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（1）连接、，利用网格特点推导出旋转角；
（2）依次找出、的对应点、，连接即可；
（3）利用等腰三角形的性质，在等腰直角三角形计算即可．
【详解】（1）解：连接、，，交格点，
网格为正方形，
，，
旋转角，
故答案为：；
（2）解：旋转后的如图所示：
（3）解：如图，作，点到直线的距离为的长，
在等腰直角三角形中，，
∴．
故答案为：．
【变式5-3】（23-24九年级·辽宁沈阳·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，点．
(1)平移线段得到线段，若点A的对应点C的坐标为，点B的对应点为点D，在网格中请画出线段，并直接写出点D的坐标为_______；
(2)在（1）的条件下，在网格中请画出将线段绕点D按逆时针旋转后的线段，点C的对应点为点E，并直接写出点E的坐标为_______；
(3)在（2）的条件下，线段与线段存在一种变换关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标为_______．
【答案】(1)图见解析，
(2)图见解析，
(3)或
【分析】此题考查了平移和旋转的作图，熟练掌握平移和旋转的性质是准确解题的关键．
（1）根据平移方式作图，写出点D的坐标即可；
（2）根据旋转方式作图，写出点E的坐标即可；
（3）根据旋转的性质找到旋转中心，写出坐标即可．
【详解】（1）解：线段即为所求，点D的坐标为，
故答案为：
（2）如图，线段即为所求，点E的坐标为，
故答案为：
（3）如图，线段与线段存在一种变换关系，即其中一条线段绕着某点旋转可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标为或，旋转角为，
故答案为：或
【题型6 旋转对称图形】
【例6】（23-24九年级·上海松江·期末）在正三角形、正方形、正五边形和等腰梯形这四种图形中，是旋转对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据旋转对称图形的定义：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，解答即可．
【详解】解：在正三角形、正方形、正五边形和等腰梯形，只有等边三角形、正方形、正五边形是旋转对称图形，共3个．
故选C
【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
【变式6-1】（2024·北京西城·模拟预测）如图，沿图中的右边缘所在的直线为轴将该图形向右翻折180°后，再将翻折后的正方形绕它的右下顶点按顺时针方向旋转90°，所得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据轴对称的性质得出翻折后图形，再利用旋转对称图形的概念得出即可．
【详解】解：以图的右边缘所在的直线为轴将该图形向右翻转180°后，圆在右上角，
再按顺时针方向旋转90°，圆在右下角．
故选C．
【点睛】考查了旋转变换与轴对称变换，利用旋转对称旋转180度后重合得出是解题关键．
【变式6-2】（2024·河北·模拟预测）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转或后，能与自身重合，所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题：
（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是 ；
A.矩形；B.正五边形；C.菱形；D.正六边形
（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有： （填序号）；
（3）下列三个命题：
①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形．其中真命题的个数有 个；
【答案】 B （1）（3）（5） 2
【分析】（1）根据旋转对称图形的定义即可解答；
（2）分别求出各图形的旋转角即可解答；
（3）根据旋转对称图形的定义判断即可．
【详解】（1）是旋转图形，不是中心对称图形是正五边形，故选B．
（2）图形（1）的旋转角为60°，120°，180°；图形（2）的旋转角为180°；图形（3）的旋转角为60°，120°，180°；图形（4）的旋转角为180°；图形（5）的旋转角为60°，120°，180°；图形（6）的旋转角为°，°，°，°，°；综上，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60°的图形是．
故答案为：．
（3）根据旋转对称图形的定义可得：①中心对称图形是旋转对称图形是真命题；②等腰三角形是旋转对称图形是假命题；③圆是旋转对称图形是真命题．所以真命题有2个．
故答案为：2．
【点睛】本题是新定义题目，熟练运用旋转对称图形的定义是解决问题的关键．
【变式6-3】（23-24九年级·全国·单元测试）下列四个图案是小明家在瓷砖厂选购的四种地砖图案，其中既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用平移来分析整个图案的形成过程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据旋转的定义及平移的定义逐项分析即可解答．
【详解】选项A、B、C、D四个选项中的图形都可以看成是图形的一半旋转180°得到；
由一个图形可以通过某一个基本图形平移得到，则这个图形可以分成几个相同的基本图形，且基本图形之间对应点的连线应该是平行的，可知选项A、B、D不能由平移得到，只有选项C选项的图形，可看成是由基本图形通过平移得到.
故选C．
【点睛】本题主要考查旋转和平移的定义，掌握平移和旋转的特征是解题的关键．
【题型7 旋转求坐标】
【例7】（2024·天津东丽·二模）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形绕点顺时针旋转后得到正方形，那么点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据旋转和勾股定理计算OB1即可
【详解】解：连接OB
∵正方形绕点顺时针旋转后得到正方形
∴OB=OB1,OC=OC1，∠BOB1=45°
∴
∴
故选：C
【点睛】本题考查旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是关键
【变式7-1】（23-24九年级·河北唐山·期中）如图，将线段绕点O顺时针旋转得到线段，那么的对应点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，图形与坐标，由线段绕点顺时针旋转得到线段可以得出，，作轴于，轴于，证明，就可以得出，，再结合的坐标即可求解，证明两个三角形全等是解决问题的关键．
【详解】解：∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴．
作轴于，轴于，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，，
∴，
∴，．
∵，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：．
【变式7-2】（23-24九年级·浙江金华·期末）如图，正比例函数的图象经过，两点，其中m，n为整数，且.现将线段绕点B顺时针旋转得到线段，则点C的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查坐标与图形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，过点B作轴，且，，证明，推出，，再分别求出点C的横坐标和纵坐标即可．
【详解】解：如图，过点B作轴，且，，
，，
，；
线段绕点B顺时针旋转得到线段，
，，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
点C的坐标为，
故答案为：．
【变式7-3】（23-24九年级·河南南阳·期末）在平面直角坐标系中，A（0，3），B（4，0），把△AOB绕点O旋转，使点A，B分别落在点A′，B′处，若A′B′∥x轴，点B′在第一象限，则点A的对应点A′的坐标为（ ）
A．（） B．（） C．（） D．（）
【答案】A
【分析】设A′B′交y轴于T′，利用勾股定理可求出A′B′的长度，再利用三角形面积公式求出OT的长度，最后再利用勾股定理即可求出A′T′的长度，即可求出A′点坐标 ．
【详解】解：如图，设A′B′交y轴于T′．
∵A（0，3），B（4，0），
∴OA＝3，OB＝4，
∵∠A′OB′＝90°，OT'⊥A′B′，OA＝OA′＝3，OB＝OB′＝4，
∴AB＝A′B′＝==5，
∵ OA′ OB′＝ A′B′ OT′，
∴OT′＝，
∴A′T′＝＝，
∴A′（-，）．
故选：A．
【点睛】本题考查坐标与图形的变化-旋转，熟练利用勾股定理解直角三角形以及三角形的面积公式是解答本题的关键．
【题型8 旋转中的规律性问题】
【例8】（23-24九年级·河南平顶山·期末）如图，在平面直角坐标系中，把边长为1的正方形绕着原点O顺时针旋转得到正方形，按照这样的方式，绕着原点O连续旋转2024次，得到正方形则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查坐标系中的点的规律探究，根据题意，得到正方形每旋转8次回到原来的位置，利用，得到的坐标和点的坐标重合，即可得出结果．
【详解】解：由题意，可知：，每旋转次，正方形回到原来的位置，
∵，
∴的坐标和点的坐标重合，
∴点的坐标是；
故选A．
【变式8-1】（23-24九年级·浙江杭州·期末）将正方体骰子（相对面上的点数1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1.在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换，若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成4次变换后，骰子朝上一面的点数是（ ）
A．6 B．5 C．3 D．1
【答案】B
【分析】由题意结合图形判断出每次变换后，骰子朝上一面的点数，即可得出结论．
【详解】解：由题意结合图形可知：完成1次变换后，骰子朝上一面的点数为5；
完成2次变换后，骰子朝上一面的点数为6；
完成3次变换后，骰子朝上一面的点数为3；
完成4次变换后，骰子朝上一面的点数为5．
故选B．
【点睛】此题考查的是图形的旋转和探索规律题，结合题意和图形找出变换规律是解决此题的关键．
【变式8-2】（23-24九年级·内蒙古鄂尔多斯·期末）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据旋转的性质分别求出第1、2、3、时，点的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点的对应点的坐标．
【详解】解：如图．
，
在第一象限的角平分线上，
叶片每秒绕原点顺时针转动，
，，，，
点的坐标以每4秒为一个周期依次循环，
，
第时，点的对应点的坐标与相同，为．
故选：．
【变式8-3】（23-24九年级·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B分别在轴正半轴、轴正半轴上，顶点C，D在第一象限，已知，，将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点C作轴于点E，连接，求出点C坐标，矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，，得到每循环4次与原图形重合，根据，得到第2025旋转结束时，点C的坐标与第1旋转结束时点C的坐标相同．根据矩形绕点O逆时针旋转1，即线段绕点O逆时针旋转，得到线段，其中点落在第二象限．求出点的坐标，即可得出结果．
本题考查坐标系下图形的旋转，点的规律探究．解题的关键是确定旋转过程中点的坐标规律．
【详解】解：如图，过点C作轴于点E，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
∵矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，，
∴每循环4次与原图形重合，
∵，
∴第2025次旋转结束时，点C的坐标与第1次旋转结束时点C的坐标相同，
即第2025次旋转结束时，点C落在第二象限，
如图，过点作轴于点，
则，，
，，
，
，，
，
∴第2025次旋转结束时，点C的坐标为．
故选：B
【题型9 由旋转的性质求最值】
【例9】（23-24九年级·江苏南通·期末）如图，正方形的边长为4，，点E是直线上一个动点，连接，线段绕点B顺时针旋转得到，则线段长度的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，在上截取，使，连接，过点D作于点H，证明，得出，点F在直线上运动，当点F与H重合时，的值最小，求出最小值即可．
【详解】解：连接，在上截取，使，连接，过点D作于点H，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴点F在直线上运动，当点F与H重合时，的值最小，
∵，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，垂线段最短，直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，得出点F在直线上运动，当点F与H重合时，的值最小，是解题的关键．
【变式9-1】（23-24九年级·江苏盐城·期末）如图，线段，点为平面上一动点，且，将线段的中点绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最大值为 ．
【答案】
【分析】正确作出辅助线见解析，然后证明，再根据勾股定理得出的长，最后得出结论．
【详解】解：，
点在以为直径的圆上运动，取的中点，连接，
，
取的中点，连接，为的中点，
为的中位线，
，，
如图所示，过点作，且，连接，，
将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
的最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，中位线，全等三角形的判定与性质，圆周角的性质及勾股定理．
【变式9-2】（2024·江苏扬州·一模）如图，直角中，，，，点是边上一点，将绕点顺时针旋转到点，则长的最小值是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．取的中点为点，连接，过点作，垂足为，在直角中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出的长，的度数，再根据线段的中点定义可得，从而可得，然后利用旋转的性质可得：，，从而利用等式的性质可得，进而利用证明，最后利用全等三角形的性质可得，再根据垂线段最短，即可解答．
【详解】解：取的中点为点，连接，过点作，垂足为，
，
，，，
，，
点是的中点，
，
，
由旋转得：，，
，
，
，
，
，
，
当时，即当点和点重合时，有最小值，且最小值为2，
长的最小值是2，
故答案为：2
【变式9-3】（23-24九年级·江苏无锡·期末）已知在矩形中，，，O为矩形的中心，在等腰中，，．则边上的高为 ；将绕点A按顺时针方向旋转一周，连接，取中点M，连接，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】作于点I，由，，得，，则，所以边上的高为；延长到点G，使，连接，由，得到，再求得，由三角形中位线定理得，因为，所以，由此求出的最大值.
【详解】解：作于点I，
∵ ，，
∴，，
∴，
∴边上的高为；
延长到点G，使，连接，
∵，
∴ ，
∵四边形是矩形，，
∴，
∴，
∵F、M分别是、的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最大值为，
故答案为：；.
【点睛】此题重点考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、勾股定理、三角形的中位线定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.
【题型10 图形的动态旋转】
【例10】（23-24九年级·安徽合肥·期末）将一个三角板如图所示摆放，直线与直线相交于点，，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当 时，与三角板的直角边平行．
【答案】5或35或65或95或125
【分析】根据题意，分6种情况讨论：当时，当时，当第二次平行于时，当第二次平行于时，当第三次平行于时，当第三次平行于时，画出对应的图形，利用平行线的性质，计算得到答案．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，是解答本题的关键．
【详解】解：如图， 时，
延长交于D点，
则，，
，
，
，
，
，
解得；
②如图：时，
，，
，
，
，
解得；
③如图第二次平行于时，
设与的交点为E，
则，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得；
④如图第二次平行于时，
，，
∵，
∴，
∴，
解得；
⑤如图：第三次平行于时，
则，，
，
，
又，
，
∴，
解得；
⑥如图：第三次平行于时，
，，
，
，
∴，
解得（舍去）．
综上，所有满足条件的t的值为：5或35或65或95或125．
故答案为：5或35或65或95或125
【变式10-1】（23-24九年级·四川成都·期末）新定义：已知射线、为内部的两条射线，如果，那么把叫作的幸运角．已知，射线与射线重合，并绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，射线与射线重合，并绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转，当射线OC旋转一周时运动停止．在旋转过程中，射线，，，中由两条射线组成的角是另外两条射线组成的角的幸运角时， 秒．（本题所有角都指的是小于180°的角）
【答案】，15，
【分析】根据边的运动分类讨论即可．
【详解】解：①如图
当，
则
解得：
②如图
当，
则
解得：
③如图
当，
则
解得：
故答案为：，15，
【点睛】本题考查了新定义，相关知识点有：角的计算、分类讨论思想等，分情况讨论是解题关键．
【变式10-2】（23-24九年级·河南平顶山·期末）如图，点 D 是等边边上一点，且 ．将绕点A 顺时针旋转α（）得到，其中点B，D的对应点分别为．当直线经过的顶点时，的度数为 ．
【答案】或或
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识．明确直线经过的顶点时的情况是解题的关键．
由题意知，当直线经过的顶点时，分经过顶点，经过顶点，两种情况求解；当经过顶点时，如图1，证明是等边三角形，是等边三角形，则，；当时，重合，经过顶点，此时；当经过顶点，时，此时不成立；当重合， 经过顶点，如图3，同理，是等边三角形，则，，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，当直线经过的顶点时，分经过顶点，经过顶点，两种情况求解；
当经过顶点时，如图1，
由旋转的性质可知，，，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
当时，重合， 经过顶点，如图2，
此时；
当经过顶点时，
当，此时重合，，
当，此时不成立；
当重合， 经过顶点，如图3，
同理，是等边三角形，
∴，
∴，
综上所述，的度数为或或，
故答案为：或或．
【变式10-3】（23-24九年级·江苏无锡·阶段练习）如图，在平行四边形中，，点P从A点出发，沿射线以的速度运动，连接，将绕点C逆时针旋转，得到，连接．当 时，是直角三角形．
【答案】1或7
【分析】由题意得：，如图，连接，作的平分线交于点E，则，证明为等边三角形，为等边三角形，可证得，从而得到，然后分两种情况：当时，当时，即可求解．
【详解】解：由题意得：，
如图，连接，作的平分线交于点E，则，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，，
∴，
由旋转的性质得，，
∴为等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，此时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：；
当时，如图，此时，，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
解得：；
综上所述，当或1时，是直角三角形．
故答案为：7或1
【点睛】本题是平行四边形综合题．需要掌握旋转的性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形周长的计算、直角三角形的判定等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
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