人教版2024-2025九年级数学上册同步讲义专题专题23.3旋转单元提升卷(人教版)(学生版+解析)

第23章 旋转单元提升卷
【人教版】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（23-24九年级·湖北荆州·期中）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）（23-24九年级·重庆忠县·期中）如图，将绕点C顺时针旋转后得到，且点恰好落在边上，若，则（　　）
A． B．α C． D．
3．（3分）（23-24九年级·浙江衢州·期中）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点B，C 的坐标分别为，，直线交y轴于点M．若 与关于点 M成中心对称，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（23-24九年级·全国·课后作业）如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（　　）
A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C
5．（3分）（23-24·北京海淀·二模）图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（ ）
A．区域①处 B．区域②处 C．区域③处 D．区域④处
6．（3分）（23-24·河北邯郸·三模）如图是由5个边长为1，且一个内角为的小菱形拼成的图形，P是其中4个小菱形的公共顶点．佳佳想到：“一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积”就将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把这五个菱形组成纸片剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（ ）

A． B． C． D．
7．（3分）（23-24九年级·福建福州·阶段练习）如图，点为线段的中点，为直线上方的一点，且满足，连接，以为腰，为直角顶点作等腰，连接，当最大，且最大值为2时，的长为（ ）．
A． B． C．4 D．
8．（3分）（23-24·内蒙古·中考真题）如图，在中，，将沿翻折得到，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点为的中点，连接．若，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）（23-24·河南商丘·模拟预测）如图，的顶点B，C都在坐标轴上，已知，，，且轴，将绕点C顺时针旋转，每次旋转，第2025次旋转后，点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）（23-24九年级·山东济南·期末）如图，正方形边长为，从出发沿对角线向运动，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，设，下列说法：①是直角三角形；②当时，；③有且只有一个实数，使得；④取中点，连接，，的面积随着的增大而增大．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（23-24九年级·湖南益阳·期中）如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为 ．
12．（3分）（23-24九年级·吉林长春·期末）如图，将绕点顺时针旋转，得到，则 ．
13．（3分）（23-24九年级·广东深圳·单元测试）如图所示，在中，，，，将沿着翻折得到，如图，将绕着点旋转到，连接，当时，四边形的面积为 ．
14．（3分）（23-24九年级·重庆沙坪坝·期中）如图，在等边中，是边上一个动点，连接．将线段绕点逆时针旋转得到，连接．若，则的周长最小值是 ．

15．（3分）（23-24九年级·四川成都·阶段练习）已知和都是等腰三角形，且，顶角．等腰的顶点在边上滑动，点在边的延长线上滑动．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结、，若是以为腰的等腰三角形，则 ．
16．（3分）（23-24·江苏苏州·模拟预测）如图，正方形的边长为2，点是边上的动点，连接、，将绕点顺时针旋转得到，将绕点逆时针旋转得到，连接，则线段的取值范围为 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（23-24九年级·湖北襄阳·期末）如图，网格中，每个小正方形边长为1．
(1)分别画出绕O点逆时针旋转所得及关于O点的中心对称图形；
(2)连结，，判断形状并证明；
(3)证明不在线段上．
18．（6分）（23-24·山东枣庄·模拟预测）如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，与交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
19．（8分）（23-24九年级·全国·专题练习）如图所示，图①中过圆心的一条直线将圆分成Ⅰ，Ⅱ两部分，图②中过平行四边形的中心（对角线交点）任作两条直线形成阴影部分Ⅰ，Ⅱ．
(1)图①②中的Ⅰ，Ⅱ两部分的面积均相等吗？
(2)工人师傅需把图③所示的一块木板分成面积相等的两部分，你认为应该怎样分？请画出示意图，并作简要说明．

20．（8分）（23-24九年级·湖北武汉·期末）在中，将绕点A顺时针旋转至，将绕点A逆时针旋转至（，），得到，使，我们称是的“旋补三角形”， 的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
(1)当为等边三角形时，画图研究的“旋补中线”与的数量关系是__________；
(2)如图，当为任意三角形时，（1）中的结论是否成立 并给予证明；
(3)若，，求的“旋补三角形”的周长．
21．（8分）（23-24九年级·吉林长春·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B都在格点上，按下列要求作图，使得所画图形的顶点均在格点上，并且所画图形不全等．
(1)在图1中以线段为边画一个中心对称的四边形；
(2)在图2中以线段为边画一个轴对称的四边形；
(3)在图3中以线段为边画一个中心对称并且轴对称的四边形．
22．（8分）（23-24九年级·山东济南·期末）在等边三角形的内部有一点，连接，，以点为中心，把逆时针旋转得到，连接，．以点为中心，把顺时针旋转得到，连接，．
(1)判断和的大小关系，并说明理由；
(2)求证：；
(3)求证：四边形是平行四边形．
23．（8分）（23-24九年级·四川成都·阶段练习）在平面直角坐标系中，等边的顶点在y轴正半轴上，顶点B，顶点C分别在第三象限和第四象限，且．
(1)如图1，当时．
①点B的坐标为______，点C的坐标为______．
②点P在x轴上，点Q是平面内任意一点，若以A，B，P，Q为顶点的四边形是矩形，求P点坐标；
③若点M在边上，点M绕O点顺时针旋转得到点，若点也在边上，请直接写出的坐标；
(2)当时，点M是等边边上的一动点，若点M绕O点顺时针旋转得到点，直接写出所有点组成图形的面积．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
第23章 旋转单元提升卷
【人教版】
参考答案与试题解析
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（23-24九年级·湖北荆州·期中）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是掌握定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形；如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形就是中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．
【详解】A、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、图形是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
2．（3分）（23-24九年级·重庆忠县·期中）如图，将绕点C顺时针旋转后得到，且点恰好落在边上，若，则（　　）
A． B．α C． D．
【答案】D
【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，关键是掌握旋转的性质．
由旋转的性质：旋转前、后的图形全等，得到，，由等腰三角形的性质得到，进而得到．
【详解】解：绕点顺时针旋转后得到
∴
，，
，
，
．
故选：D．
3．（3分）（23-24九年级·浙江衢州·期中）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点B，C 的坐标分别为，，直线交y轴于点M．若 与关于点 M成中心对称，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，待定系数法求一次函数解析式及等边三角形的性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键．
先求出点的坐标，再求出直线的函数解析式，进而得出点的坐标，最后根据点和点关于点对称即可解决问题．
【详解】解：过点作的垂线，垂足为，
点坐标为，点坐标为，
轴，且．
是等边三角形，
，，
，
点的坐标为．
令直线的函数解析式为，
则，
解得，
直线的函数解析式为．
令得，
，
点的坐标为．
与关于点成中心对称，
点和点关于点对称，
，
，
点的坐标为．
故选：C．
4．（3分）（23-24九年级·全国·课后作业）如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（　　）
A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C
【答案】A
【详解】试题分析：若以M为旋转中心，把正方形ABCD顺时针旋转90°，A点对应点为H，B点对应点为E，C点对应点为F，D点对应点为G，则可得到正方形EFGH；
若以O为旋转中心，把正方形ABCD旋转180°，A点对应点为G，B点对应点为H，C点对应点为E，D点对应点为F，则可得到正方形EFGH；
若以N为旋转中心，把正方形ABCD逆时针旋转90°，A点对应点为F，B点对应点为G，C点对应点为H，D点对应点为E，则可得到正方形EFGH．
故选A．
5．（3分）（23-24·北京海淀·二模）图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（ ）
A．区域①处 B．区域②处 C．区域③处 D．区域④处
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的定义求解可得．
【详解】如图所示的图形是中心对称图形，
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是利用中心对称的性质设计图案，掌握中心对称图形的性质是解题的关键．
6．（3分）（23-24·河北邯郸·三模）如图是由5个边长为1，且一个内角为的小菱形拼成的图形，P是其中4个小菱形的公共顶点．佳佳想到：“一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积”就将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把这五个菱形组成纸片剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．根据中心对称的性质即可作出剪痕，由三角形全等的性质即可证得，利用勾股定理即可求得．
【详解】解：如图，连接最左侧菱形的对角线交于点O，作直线，交延长线于点A，交最左侧菱形对边分别于点，交最右侧上方菱形一边于点F，过点作，垂足为G，
菱形是中心对称图形，
经过P、O的直线则把它剪成了面积相等的两部分，
由中心对称图形可知，
，
，
，
，
，
，
∴，
∴，
，
，
，
，
∴，
故选：B．
7．（3分）（23-24九年级·福建福州·阶段练习）如图，点为线段的中点，为直线上方的一点，且满足，连接，以为腰，为直角顶点作等腰，连接，当最大，且最大值为2时，的长为（ ）．
A． B． C．4 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算等知识，构造全等三角形是解题的关键．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，，利用证明，得，当C、H、D三点共线时，最大，从而求出的长，即可解决问题．
【详解】解：如图1中，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，．
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴定值，
∵，
∴当D，C，H共线时，的值最大，如图2中，
设，
∵点C为的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选B．
8．（3分）（23-24·内蒙古·中考真题）如图，在中，，将沿翻折得到，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点为的中点，连接．若，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了折叠的性质，旋转的性质，线段垂直平分线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质，三角形的面积，连接与相交于点，连接，由，可得，进而由折叠可得，，得到 ，即得，即可得为等腰直角三角形，即得，，又由旋转得，，，可得，，，即可得为等边三角形，得到，，进而得，，即得，可得，得到，即可得，由得四点共圆，即得，可得，由此可得，，得到，最后根据即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接与相交于点，连接，
∵，
∴，
由折叠可得，，
∴ ，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
又由旋转得，，，
∴，，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故选：．
9．（3分）（23-24·河南商丘·模拟预测）如图，的顶点B，C都在坐标轴上，已知，，，且轴，将绕点C顺时针旋转，每次旋转，第2025次旋转后，点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查坐标与图形变化旋转、等腰三角形的性质及点的坐标变化规律，熟知图形的性质及根据所给旋转方式发现每旋转四次，点对应点的坐标循环出现是解题的关键．先求出点的坐标，再由旋转可知，每旋转四次，点对应点的坐标循环出现，据此可解决问题．
【详解】解：，，
，．
在中，
．
，且轴，
点的坐标为．
，
每旋转四次，点对应点的坐标循环出现．
余1，
点的坐标与点的坐标相同．
将绕点顺时针旋转，如图所示，
分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和，
由旋转可知，
，，
，
．
在和中，
，
，
，．
，，
，，
，
点的坐标为，
即点的坐标为．
故选：A
10．（3分）（23-24九年级·山东济南·期末）如图，正方形边长为，从出发沿对角线向运动，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，设，下列说法：①是直角三角形；②当时，；③有且只有一个实数，使得；④取中点，连接，，的面积随着的增大而增大．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据正方形的性质可得，，再根据旋转的性质可得，，从而证得，得到，即可求得，可判断①正确；根据正方形的性质可得的长，再根据可得的长，再利用勾股定理可得，可判断②正确；根据题意列出关于面积的一元二次方程，求得有且只有一个实数，使得，可判断③正确；连接，作于点，可得，由，点为的中点，可得，则，从而求得，可判断④错误；即可解题．
【详解】解：四边形是正方形，为对角线，
，，，
线段绕点顺时针旋转得到，
，，
又，，
，
在和中：
，
，
，
，
是直角三角形，
故①正确；
正方形边长为，
，
，，，
，
，
故②正确；
由题可知：，
要，则，
整理得：，
解得：，
有且只有一个实数，使得，
故③正确；
如图，连接，作于点，则，
，
与的边上的高相等，
，点为的中点，
，
，
，
的面积不随着的变化而变化，
故④错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解一元二次方程，旋转的性质，直角三角形性质，综合运用以上知识是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（23-24九年级·湖南益阳·期中）如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】在直角中，根据角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得，依据中心对称可得，据此即可求解．
本题主要考查了直角三角形的性质：的锐角所对的直角边等于斜边的一半，以及旋转的性质．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵与关于中心对称，
∴，
故答案为：．
12．（3分）（23-24九年级·吉林长春·期末）如图，将绕点顺时针旋转，得到，则 ．
【答案】/70度
【分析】本题考查了旋转的性质，多边形内角和，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
由旋转的性质可知，，，由点恰好在的延长线上，可得，则，根据，计算求解即可．
【详解】解：由旋转的性质可知，，，
∵点恰好在的延长线上，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．（3分）（23-24九年级·广东深圳·单元测试）如图所示，在中，，，，将沿着翻折得到，如图，将绕着点旋转到，连接，当时，四边形的面积为 ．
【答案】
【分析】过点作交的延长线于，构造直角三角形，利用勾股定理即可．
【详解】解：如图（2），过点作交的延长线于，由翻折得
∵．
，
．
．
．
．
是矩形，
，，
．
．
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，矩形性质，翻折、旋转的性质，梯形面积等，解题关键对翻折、旋转几何变换的性质要熟练掌握和运用．
14．（3分）（23-24九年级·重庆沙坪坝·期中）如图，在等边中，是边上一个动点，连接．将线段绕点逆时针旋转得到，连接．若，则的周长最小值是 ．

【答案】/
【分析】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．过点作于，利用等边三角形的性质以及勾股定理可计算出，再根据旋转的性质得，，则可判断为等边三角形，易知，，证明，可知，所以的周长，利用垂线段最短得点运动到点时，取最小值，即可获得答案．
【详解】解：过点作于，如图，

∵为等边三角形，
∴，
∴，，
∴，
∵线段绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴的周长，
∵是边上一个动点，
∴当点运动到点时，取最小值，最小值为，
∴的周长最小值为．
故答案为：．
15．（3分）（23-24九年级·四川成都·阶段练习）已知和都是等腰三角形，且，顶角．等腰的顶点在边上滑动，点在边的延长线上滑动．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结、，若是以为腰的等腰三角形，则 ．
【答案】或
【分析】本题考查了全等三角形的性质、等腰三角形的性质、旋转的性质，连接，证明，得出，，证明出、、三点共线，再分两种情况，分别求解即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接，
，
由题意得：，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴、、三点共线，
当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的度数为或，
故答案为：或．
16．（3分）（23-24·江苏苏州·模拟预测）如图，正方形的边长为2，点是边上的动点，连接、，将绕点顺时针旋转得到，将绕点逆时针旋转得到，连接，则线段的取值范围为 ．
【答案】/
【分析】本题是正方形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，不等式的性质等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，作于点，可证得，得出，，同理：，，得出，再证得四边形是矩形，得出，，，再运用勾股定理即可求得答案．
【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，作于点，
则，
由旋转得：，，，
，，
，，
，，
正方形的边长为2，点是边上的动点，
设，则，
，，
在和中，
，
，
，，
同理：，，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
在中，，
，
，
，
即，
，
线段的取值范围为．
故答案为：．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（23-24九年级·湖北襄阳·期末）如图，网格中，每个小正方形边长为1．
(1)分别画出绕O点逆时针旋转所得及关于O点的中心对称图形；
(2)连结，，判断形状并证明；
(3)证明不在线段上．
【答案】(1)图见解析
(2)为直角三角形，证明见解析
(3)详见解析
【分析】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了勾股定理的逆定理．
（1）利用网格特点和旋转的性质画出和；
（2）先计算出，，，然后根据勾股定理的逆定理进行判断；
（3）计算可判断不在线段上．
【详解】（1）如图，和为所作；
（2）为直角三角形．
理由如下：，，，
，
为直角三角形；
（3）证明：，，，
，
不在线段上
18．（6分）（23-24·山东枣庄·模拟预测）如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，与交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，证明是解题的关键．
（1）由旋转的性质可得，证明，根据全等三角形的对应边相等即可得出；
（2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，那么．由，得出，再根据三角形外角的性质即可求出结果．
【详解】（1）证明：，
．
将线段绕点旋转到的位置，
．
在与中，
，
，
；
（2）解：，，
，
．
，
，
．
19．（8分）（23-24九年级·全国·专题练习）如图所示，图①中过圆心的一条直线将圆分成Ⅰ，Ⅱ两部分，图②中过平行四边形的中心（对角线交点）任作两条直线形成阴影部分Ⅰ，Ⅱ．
(1)图①②中的Ⅰ，Ⅱ两部分的面积均相等吗？
(2)工人师傅需把图③所示的一块木板分成面积相等的两部分，你认为应该怎样分？请画出示意图，并作简要说明．

【答案】(1)相等，见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质、中心对称图形的性质：经过对称中心的直线将中心对称图形分成面积相等的两部分．
（1）圆是中心对称图形，根据圆的性质，过圆心的直线可将圆分成面积相等的两部分，平行四边形为中心对称图形，过对称中心的直线可将平行四边形分成面积相等的两部分，据此就能得出结论；
（2）根据（1）中的结论可知，过中心对称图形的对称中心的直线可将此图形分成面积相等的两部分，将原图形进行分割或补全，将其变成两个中心对称图形．本题中可将木板分成左右两个矩形，连接两个矩形的对称中心即可，注意答案不唯一．
【详解】（1）解：图①②中的Ⅰ、Ⅱ两部分的面积相等．
理由：∵圆是轴对称图形，
∴过圆心的直线把圆分成面积相等的两部分，
∴图①中的Ⅰ、Ⅱ两部分的面积相等．
图②：
∵过平行四边形中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分，
∴，
两式相加即可得到面积Ⅰ与面积Ⅱ相等．
（2）解：
答案不唯一，如图③，将木板分成左右两个矩形，过两个矩形的对称中心的直线，把此图形分成面积相等的两部分．
理由：过矩形对称中心的直线可将矩形分成面积相等的两部分．
20．（8分）（23-24九年级·湖北武汉·期末）在中，将绕点A顺时针旋转至，将绕点A逆时针旋转至（，），得到，使，我们称是的“旋补三角形”， 的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
(1)当为等边三角形时，画图研究的“旋补中线”与的数量关系是__________；
(2)如图，当为任意三角形时，（1）中的结论是否成立 并给予证明；
(3)若，，求的“旋补三角形”的周长．
【答案】(1)
(2)结论仍然成立，证明见解析
(3)
【分析】（1）由旋转的性质和等边三角形的性质可得，，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得，再进行等量代换，即可解题；
（2）延长至点，使得，连接、，证明四边形为平行四边形，再由“”可证，利用全等三角形性质和平行四边形性质即可解题；
（3）根据题意得到，结合等腰三角形性质和勾股定理可求，再结合旋转的性质即可求解．
【详解】（1）解：由旋转的性质可知，，，
为等边三角形，
，，
，
，
，是的中线，
，，
，
，
即；
故答案为：；
（2）解：结论仍然成立，
证明如下：
延长至点，使得，连接、，
是的中线，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
由旋转的性质可知，，，
，
，
；
（3）解： ，
，
，是的中线，
，
，
，
的“旋补三角形”的周长为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，直角三角形性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
21．（8分）（23-24九年级·吉林长春·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B都在格点上，按下列要求作图，使得所画图形的顶点均在格点上，并且所画图形不全等．
(1)在图1中以线段为边画一个中心对称的四边形；
(2)在图2中以线段为边画一个轴对称的四边形；
(3)在图3中以线段为边画一个中心对称并且轴对称的四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质及判定作图，即可，
（2）根据等腰梯形的性质作图，即可，
（3）根据正方形的性质及判定作图，即可，
本题考查了，网格作图，平行四边形的性质及判定，正方形的性质及判定，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．
【详解】（1）解：∵平行四边形是中心对称图形，
∴将线段向右平移两个单位，即可得到平行四边形，
作图，如下，
（2）解：∵等腰梯形是轴对称图形，
∴以线段为腰，作等腰梯形，
作图，如下，
（3）解：∵正方形是中心对称图形，也是轴对称图形，
∴以线段为一边，做正方形，
作图，如下．
22．（8分）（23-24九年级·山东济南·期末）在等边三角形的内部有一点，连接，，以点为中心，把逆时针旋转得到，连接，．以点为中心，把顺时针旋转得到，连接，．
(1)判断和的大小关系，并说明理由；
(2)求证：；
(3)求证：四边形是平行四边形．
【答案】(1)，理由见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据旋转的性质得，，则可判断为等边三角形，再利用为等边三角形得到，则可得到；
（2）通过证明得到；
（3）根据旋转的性质得，，则可判断为等边三角形，于是得到，再与（2）的证明方法一样证明得到，于是，加上，从而可判断四边形是平行四边形．
【详解】（1）解：，
理由如下：
以点为中心，把逆时针旋转得到，
，，
为等边三角形，
，
为等边三角形，
，，
，
，
；
（2）证明：在和中，
，
，
；
（3）证明：以点为中心，把顺时针旋转得到，
，，
为等边三角形，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
由（1）可知：
，
由（2）可知：，
又，
，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
23．（8分）（23-24九年级·四川成都·阶段练习）在平面直角坐标系中，等边的顶点在y轴正半轴上，顶点B，顶点C分别在第三象限和第四象限，且．
(1)如图1，当时．
①点B的坐标为______，点C的坐标为______．
②点P在x轴上，点Q是平面内任意一点，若以A，B，P，Q为顶点的四边形是矩形，求P点坐标；
③若点M在边上，点M绕O点顺时针旋转得到点，若点也在边上，请直接写出的坐标；
(2)当时，点M是等边边上的一动点，若点M绕O点顺时针旋转得到点，直接写出所有点组成图形的面积．
【答案】(1)①，；②或或或；③
(2)
【分析】（1）①设交y轴于点D，根据等边三角形的性质，结合，证明得到，，进而求出，推出，利用直角三角形的特征即可得到，进而求出，即可得出结果；②分点在x轴正半轴上和负半轴上两种情况讨论，根据矩形的性质结合直角三角形的特征求解即可；③设与x轴交于点G，连接，证明是等边三角形，推出点与点重合，利用勾股定理求出，即可解答；
（2）根据点与点重合时，点与点重合时，得到的运动轨迹为线段，同理得到所有点组成的图形为等边三角形，即可求解．
【详解】（1）解：①设交y轴于点D，
是等边三角形，
，
，
，
，
在与中，，
，
同理得：
，
，
，
，
，
，
，
；
②如图，当点在x轴正半轴上，且为边时，
四边形是矩形，
，
由①知，则，
，
，
，
；
如图，当点在x轴正半轴上，且为对角线时，设点，
四边形是矩形，
，
，即，
解得：或（舍去），
；
如图，当点在x轴负半轴上，且为边时，过点B作轴于点H，
轴，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；
如图，当点在x轴负半轴上，且为对角线时，设点，
四边形是矩形，
，
，即，
解得：（舍去），或
；
综上，以A，B，P，Q为顶点的四边形是矩形时，P点坐标为或或或；
③如图，设与x轴交于点G，连接，
，
，
，
，，
是等边三角形，
，，
，
在上，
是的中点，
，
点与点重合，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：如图，
点与点重合时，
由旋转的性质得：，
同理，点与点重合时，
由旋转的性质得：，
由（1）③可得，是等边三角形，
同理得：是等边三角形，
，
，
，
的运动轨迹为线段，
，
，
，
同理得：，
为等边三角形，
所有点组成的图形为等边三角形，
同理（1）①可得，
，
，
所有点组成图形面积为．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查旋转的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，三角形全等判定与性质，直角三角形的特征，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，矩形的性质等知识，解题的关键是会用参数表示点的坐标，线段的长，学会用分类讨论的思想思考问题．
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