人教版2024-2025九年级数学上册同步讲义专题专题23.4旋转全章专项复习【2大考点8种题型】(学生版+解析)
文档属性
| 名称 | 人教版2024-2025九年级数学上册同步讲义专题专题23.4旋转全章专项复习【2大考点8种题型】(学生版+解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-30 14:30:03 | ||
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文档简介
专题23.4 旋转全章专项复习【2大考点8种题型】
【人教版】
【考点1 图形的旋转】 1
【题型1 利用旋转的性质求角的度数】 2
【题型2 利用旋转的性质求线段长度】 3
【题型3 利用旋转的性质求面积】 4
【题型4 平面直角坐标系中的旋转变换】 5
【题型5 与旋转有关的探究性问题】 7
【考点2 中心对称】 10
【题型6 识别中心对称图形】 10
【题型7 中心对称的性质运用】 11
【题型8 与中心对有关的探究问题】 12
【考点1 图形的旋转】
知识点一 旋转的定义
在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。
知识点二 旋转的性质
旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。
理解以下几点：
图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。（3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。
知识点三 利用旋转性质作图
旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（2）对应点到旋转中心的距离相等，它就是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为：
①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心； ②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）
③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，的到各点的对应点； ④接：即连接到所连接的各点。
【题型1 利用旋转的性质求角的度数】
【例1】（23-24九年级·重庆·期中）如图，将正方形的边绕点顺时针旋转得到，连接，再将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（23-24九年级·河南新乡·期中）如图，中，，，P为三角形内一点． ，则的度数是 ．
【变式1-2】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（23-24九年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，两个全等的含角的直角三角板，将绕点逆时针旋转角（）得到，若交于点，连接，当 时，为等腰三角形．
【题型2 利用旋转的性质求线段长度】
【例2】（23-24九年级·上海·期末）如图，已知在中，，，点、点在边上，且，若，则 ．
【变式2-1】（23-24九年级·福建福州·期中）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的长是 ．
【变式2-2】（23-24九年级·上海长宁·期末）如图，正方形的边长为，将绕点旋转，得到，其中、的对应点分别是点、．如果点在正方形内，且到点、的距离相等，那么的长为 ．
【变式2-3】（23-24九年级·河南南阳·期末）如图，在矩形中，，点为边上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点落在点处，当点在矩形外部时，连接．若为直角三角形，则的长为 ．
【题型3 利用旋转的性质求面积】
【方法总结】解答图形旋转衍生的面积计算问题时,要善于分析图形面积之间的和差关系,并运用旋转的性质进行转化(旋转前后两个图形的面积相等),将不规则图形的面积转化为规则图形的面积.
【例3】（23-24九年级·江苏镇江·期中）如图，边长为1的正方形绕点C逆时针旋转后得到正方形，边与交于点E，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（23-24九年级·安徽芜湖·期中）如图，中，，，，，将绕点C逆时针旋转至，使得点恰好落在AB上，与BC交于点D，则的面积为 ．
【变式3-2】（23-24九年级·广东佛山·期中）如图，在中，，，O为的中点，将绕点O顺时针旋转得到，D、E分别在边和的延长线上，连接，若，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（23-24九年级·四川成都·期中）如图，绕点顺时针旋转得到，若是等边三角形，，则图中阴影部分得面积等于 ．
【题型4 平面直角坐标系中的旋转变换】
【方法总结】此类题目主要对旋转、勾股定理、轴对称等内容进行综合考查.要注意旋转中心的确定.
【例4】（2024·江苏徐州·模拟预测）在的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形的顶点坐标分别为，，，．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：
(1)将线段绕点C逆时针旋转，画出对应线段；
(2)在线段上画点E，使（保留画图过程的痕迹）；
(3)连接，画点E关于直线的对称点F，并简要说明画法．
【变式4-1】（23-24九年级·陕西汉中·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，．
(1)先向下平移2个单位，再向左平移5个单位得到（点、、分别与点A、B、C对应），请在图中画出；
(2)将绕点B顺时针旋转得到（点、分别与点A、C对应），请在图中画出，并写出点的坐标．
【变式4-2】（23-24九年级·河南郑州·期末）在平面直角坐标系中，的顶点为．
(1)平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后的；
(2)将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；
(3)已知将绕某一点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为______．
【变式4-3】（23-24九年级·内蒙古鄂尔多斯·期末）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
(1)作出绕点A逆时针旋转的．
(2)作出关于原点O成中心对称的．
(3)在x轴上找一点P使得最小，则P点坐标
(4)请直接写出以为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标 ．
【题型5 与旋转有关的探究性问题】
【方法总结】与旋转有关的探究性问题,考查操作、想象、探究能力.解决这类问题,需要首先确定旋转的角度和方向、旋转前后对应的角与边,明确旋转过程中的变量与不变量,利用旋转前后的图形全等进行边与角的计算.
【例5】（2024·山西大同·模拟预测）综合与实践：
如图1，已知点D是等边三角形边上的一点（不与点B，C重合）．
动手操作：
第一步：连接，以A为旋转中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接；
第二步：以D为旋转中心，将线段逆时针旋转，得到线段，连接，交于点M．
特例探究：
（1）如图2，当点D为中点时，点F恰好在上，请写出线段与的数量关系，并说明理由；
探索发现：
（2）如图1，当点D不是中点时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当，时，请直接写出的长．
【变式5-1】（23-24九年级·陕西西安·期末）（1）【探究发现】如图1，P是等边 内一点，，，求 的度数．
解：将 绕点B逆时针旋转到的位置，连接．，则是______三角形．
∴，
又∵，
∴
∴为直角三角形
∴∠APB的度数为______．
（2）【类比延伸】如图2，在正方形内部有一点P，连接 ，若 ，，，求的长；
（3）【拓展迁移】如图3，在正六边形内部有一点P，若 ，，，请直接写出 的度数及正六边形的边长．
【变式5-2】（23-24九年级·湖北孝感·期末）在“综合与实践”课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动．
(1)探究发现
如图，在等边内部有一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，若，则的度数是 ．
(2)类比延伸
如图，在中，，．在内部有一点，连接，若，试判断之间的数量关系，并说明理由．
(3)迁移应用
如图，在中，，．在直线的上方有一点，连接，若∠，则存在实数使得成立，请直接写出的值．
【变式5-3】（2024·吉林长春·二模）旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：和均为等腰直角三角形，，点为中点，将绕点旋转，连接、．
观察猜想：
（1）如图1，在旋转过程中，求证：；
探究发现：
（2）如图2，当点在内且三点共线时，试探究线段、与之间的数量关系，并说明理由；
解决问题：
（3）若中，，在旋转过程中，当且三点共线时，直接写出的长．
【考点2 中心对称】
知识点一 中心对称的定义
中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。
注意以下几点：
中心对称指的就是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。
知识点二 作一个图形关于某点对称的图形
要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键就是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可的出成中心对称图形。
知识点三 中心对称的性质
有以下几点：
关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分；
关于中心对称的两个图形能够互相重合，就是全等形；
关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。
知识点四 中心对称图形的定义
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就就是它的对称中心。
知识点五 关于原点对称的点的坐标
在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y）关于原点对称点为（-x,-y）。
【题型6 识别中心对称图形】
【例6】（23-24九年级·广东深圳·期中）下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2024·四川自贡·模拟预测）在图形“线段、矩形、等腰梯形、等边三角形、平行四边形”中是轴对称不是中心对称的图形有 ．
【变式6-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）我国古代典籍《周易》用“卦”描述世间万象的变化．下图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（23-24九年级·湖北黄冈·期中）下列四种图案中，是中心对称图形的有 个，
【题型7 中心对称的性质运用】
【例7】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在菱形中，连接，交于点．若与关于点成中心对称，连接．若，则的长为（ ）
A．15 B．14 C．13 D．12
【变式7-1】（23-24九年级·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，，点D与点C关于点E成中心对称，连接并延长，与的延长线交于点F．求证：是等腰三角形．
【变式7-2】（23-24九年级·福建泉州·期末）如图，中，，，．作出共于点A成中心对称的，其中点B对应点为，点C对应点为，则四边形的面积是（ ）
A．128 B． C．64 D．
【变式7-3】（2024·江苏泰州·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点、分别是直线与坐标轴的交点，点，点是边上的一点，，垂足为，点在边上，且、两点关于轴上某点成中心对称，连接、．线段长度的最小值为 ．
【题型8 与中心对有关的探究问题】
【例8】（2024·山西晋中·模拟预测）综合与实践
[动手操作]任意一个四边形通过剪裁，都可以拼接成一个三角形，方法如下：如图1，E，F，G，H分别是边，，，的中点，连接，P是线段的中点，连接，，沿线段，，剪开，将四边形分成①，②，③，④四部分，按如图2所示的方式即可拼成一个无缝隙也不重叠的．
关于在拼接过程中用到的图形的变换，说法正确的是（ ）
A．①→①是轴对称B．②→②是平移
C．③→③是中心对称D．④→④是中心对称
[性质探究]如图3，连接，，，判断四边形的形状，并说明理由．
[综合运用]若是一个边长为4的等边三角形，则四边形的对角线的最小值为__________．
【变式8-1】（23-24九年级·湖北荆州·期末）阅读下面材料，完成以下问题．如图1，如图2，将一张矩形纸片顺着中缝或对角线所在的直线翻折，其折痕将这个矩形一分为二，两部分的形状与大小完全一样．如图3，如图4，用两条直线将一个矩形分成面积相等的四部分.
我们知道，矩形是一种特殊的平行四边形，对于一般的平行四边形（如图4），是否和矩形一样，也存在这样的直线，将其面积二等分，或进一步将其面积四等分？它们之间又有什么规律呢？
问题1：平分平行四边形的面积，除以下两种方法以外（图5、图6），你还有其他什么方法，请在图7中画出来．
问题2：通过平分平行四边形的面积，你能平分下面图案（图8）的面积，请在图8中画出来
问题3：老师将两个正方形按照图9所示的方式摆放，请你试着将整个图形的面积平分．
问题4：如图10，平面直角坐标系中放着6个边长为1个单位的小正方形，经过原点的直线恰好将6个正方形分成面积相等的两部分，请你画出这条直线，并直接写出该直线的表达式．
【变式8-2】（23-24九年级·江苏淮安·期中）如图，是等边三角形，边在直线l上，动点O在直线l上（O不与点B重合）．
操作探究1：在图中作出关于点O的中心对称图形，连接，，则四边形的形状是__________．
操作探究2：如图，若把等边三角形改为等腰三角形，动点O在直线l上（O不与点B重合），与关于O成中心对称，当在C的右侧且时，判断四边形的形状，并说明理由．
操作探究3：若是任意三角形，且点A在直线l的上方，动点O在直线l上（O不与点B重合），在下图中已作出关于点O的中心对称图形．的一个参考图形，连接，当与满足什么关系时，四边形是正方形，直接写出答案．
【变式8-3】（23-24九年级·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，以、为边作，点为中点，连接、．
(1)分别求出线段和线段所在直线解析式；
(2)点为线段上的一个动点，作点关于点的中心对称点，设点横坐标为，用含的代数式表示点的坐标（不用写出的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，
①当点移动到的边上时，求点坐标；
②为中点，为中点，连接、．请利用备用图探究，直接写出在点的运动过程中，周长的最小值和此时点的坐标．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
专题23.4 旋转全章专项复习【2大考点8种题型】
【人教版】
【考点1 图形的旋转】 1
【题型1 利用旋转的性质求角的度数】 2
【题型2 利用旋转的性质求线段长度】 6
【题型3 利用旋转的性质求面积】 12
【题型4 平面直角坐标系中的旋转变换】 17
【题型5 与旋转有关的探究性问题】 24
【考点2 中心对称】 35
【题型6 识别中心对称图形】 36
【题型7 中心对称的性质运用】 38
【题型8 与中心对有关的探究问题】 42
【考点1 图形的旋转】
知识点一 旋转的定义
在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。
知识点二 旋转的性质
旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。
理解以下几点：
图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。（3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。
知识点三 利用旋转性质作图
旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（2）对应点到旋转中心的距离相等，它就是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为：
①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心； ②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）
③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，的到各点的对应点； ④接：即连接到所连接的各点。
【题型1 利用旋转的性质求角的度数】
【例1】（23-24九年级·重庆·期中）如图，将正方形的边绕点顺时针旋转得到，连接，再将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质．
连接，根据正方形的性质求得，，由得到，通过“”证明，即可解答．
【详解】解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴
∵由旋转得，
∴，
∴，
∴，
由旋转可得，即，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：C．
【变式1-1】（23-24九年级·河南新乡·期中）如图，中，，，P为三角形内一点． ，则的度数是 ．
【答案】或度
【分析】本题考查了旋转性质以及勾股定理，勾股逆定理等知识内容，先把三角形绕点顺时针旋转，点C的对应点为点E，连接，根据勾股定理得，根据勾股逆定理判断，是直角三角形，即可作答．
【详解】解：∵，，
故把三角形绕点顺时针旋转，点C的对应点为点E，连接，如图所示：
由旋转性质得
则，
∴，
∵，
∴，
故，
即，
故答案为：．
【变式1-2】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查利用旋转的性质，出现等腰三角形，利用好三角形的外角和三角形内角和是解决问题的关键，直接设,利用方程思想可以直接算出的度数．
【详解】解：设；
∵；
∴；
∴；
∵；
∴；
∵；
∴；
∴；
即，；
由旋转的性质可知，；
∴；
故选：C．
【变式1-3】（23-24九年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，两个全等的含角的直角三角板，将绕点逆时针旋转角（）得到，若交于点，连接，当 时，为等腰三角形．
【答案】或
【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和，等边对等角，解题的关键是表示出各个内角，再分三种情况，根据等边对等角列方程求解．
【详解】解：由旋转可知：，
∴，
∴，
而，
当时，
，即，无解；
当时，
，即，
解得：；
当时，
，即，
解得：；
综上：当或时，为等腰三角形．
故答案为：或．
【题型2 利用旋转的性质求线段长度】
【例2】（23-24九年级·上海·期末）如图，已知在中，，，点、点在边上，且，若，则 ．
【答案】8
【分析】首先根据题意可得，，，将绕点逆时针旋转至，点的对应点为点，连接，易知，再证明 ，由全等三角形的性质可得，设，则，在中，由勾股定理可得，代入数值并解得的值，然后计算的值即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
如下图，将绕点逆时针旋转至，点的对应点为点，连接，
则，
∴，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
∴在中，可有，
即，解得，
∴，
∴．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键．
【变式2-1】（23-24九年级·福建福州·期中）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的长是 ．
【答案】
【分析】连接，过作交的延长线点，则，利用勾股定理求出，即得到，解题即可．
【详解】∵绕点逆时针旋转得到，
∴，
连接,则为等边三角形，
∴°
∵，
∴，
∴过作交的延长线点，
∴
∴在中，
，
∴，
∴,
∴在中，
，
故答案为:．
【点睛】本题考查勾股定理，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，构造直角三角形利用勾股定理计算是解题的关键．
【变式2-2】（23-24九年级·上海长宁·期末）如图，正方形的边长为，将绕点旋转，得到，其中、的对应点分别是点、．如果点在正方形内，且到点、的距离相等，那么的长为 ．
【答案】/
【分析】作的垂直平分线，交于，交于，作，交于点，连接、、，由题意可知当在上时满足到点、的距离相等，得到，根据正方形性质可证明，从而推出，然后判定四边形是矩形，结合垂直平分，推出，即可根据勾股定理可算出，得到，最后再由勾股定理算出，即可得到答案．
【详解】作的垂直平分线，交于，交于，作，交于点，连接、、
由题意可知，当旋转到上时，到点、的距离相等，且
四边形是正方形
，，
，
在和中
，，
四边形是矩形
又 垂直平分，
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形的旋转，垂直平分线的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，根据题意找到位置并作出相应的辅助线是解题的关键．
【变式2-3】（23-24九年级·河南南阳·期末）如图，在矩形中，，点为边上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点落在点处，当点在矩形外部时，连接．若为直角三角形，则的长为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，分和两种情况进行解答即可求解，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形和相似三角形解决问题．
【详解】解：分两种情况讨论：
如图中，当时，
，
，
共线，
，
，
，
，
，
，
；
②如图中，当时，作于，于，设，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
或（不合题意，舍去）
；
综上所述，当是直角三角形时，的值为或．
【题型3 利用旋转的性质求面积】
【方法总结】解答图形旋转衍生的面积计算问题时,要善于分析图形面积之间的和差关系,并运用旋转的性质进行转化(旋转前后两个图形的面积相等),将不规则图形的面积转化为规则图形的面积.
【例3】（23-24九年级·江苏镇江·期中）如图，边长为1的正方形绕点C逆时针旋转后得到正方形，边与交于点E，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，连接，证明三点共线，勾股定理求出的长，进而求出的长，利用分割法求出阴影部分的面积即可．
【详解】解：连接，
∵边长为1的正方形绕点C逆时针旋转后得到正方形，
∴，
∴，，
∵，
∴三点共线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选D．
【变式3-1】（23-24九年级·安徽芜湖·期中）如图，中，，，，，将绕点C逆时针旋转至，使得点恰好落在AB上，与BC交于点D，则的面积为 ．
【答案】
【分析】先证明是等边三角形，再证明是直角三角形，求出、的长即可解决问题．
【详解】解：在中，，，，
，
由旋转可得：，，
是等边三角形，
，
，
，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
由勾股定理，得，，
．
【点睛】本题考查旋转的性质、直角三角形30度角的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、三角形的内角和定理、三角形的面积等知识，证明是直角三角形是解题的关键．
【变式3-2】（23-24九年级·广东佛山·期中）如图，在中，，，O为的中点，将绕点O顺时针旋转得到，D、E分别在边和的延长线上，连接，若，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的性质可得，．根据旋转的性质可得，，则可得和都是等边三角形，则，则可得，由此得垂直平分，
，在中求出的长，则可知、的长，进而可得的长，从而可求得的面积．
【详解】连接，，
，，
∴，
∵O为的中点，
，，
，
∵将绕点O顺时针旋转得到，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
∴D点在的垂直平分线上，
是等边三角形，
，
即旋转角为，
，
是等边三角形，
∴，
∴F点在的垂直平分线上，
垂直平分，
设垂足为H，
，
，，
，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质、旋转的性质、线段垂直平分线的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键．
【变式3-3】（23-24九年级·四川成都·期中）如图，绕点顺时针旋转得到，若是等边三角形，，则图中阴影部分得面积等于 ．
【答案】
【分析】先利用旋转的性质得到，再解直角三角形可计算出、、、，然后利用图中阴影部分的面积进行计算．
【详解】解：如图所示：
是等边三角形，，
，，
绕点顺时针旋转得到，
，
在中，，，则，即；
同理，可得；
，由勾股定理可得，
，
，
在中，，则，从而得到，由勾股定理可得，
图中阴影部分的面积
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，勾股定理，含的直角三角形性质，等边三角形性质等知识，熟练掌握旋转性质，数形结合是解决问题的关键．
【题型4 平面直角坐标系中的旋转变换】
【方法总结】此类题目主要对旋转、勾股定理、轴对称等内容进行综合考查.要注意旋转中心的确定.
【例4】（2024·江苏徐州·模拟预测）在的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形的顶点坐标分别为，，，．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：
(1)将线段绕点C逆时针旋转，画出对应线段；
(2)在线段上画点E，使（保留画图过程的痕迹）；
(3)连接，画点E关于直线的对称点F，并简要说明画法．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据题意，将线段是将线段绕点逆时针旋转即可；
（2）连接，交于点G，连接并延长交于点E，即为所求；
（3）连接和点与的交点F即为所求．
【详解】（1）如图所示：线段即为所求；
（2）如图所示：即为所求；
由（1）可得，是等腰直角三角形
∴，
由网格得，四边形是矩形，，交于点G，
∴点G是中点
∴平分
∴；
（3）连接，，与的交点F，点F即为所求，如图所示：
∵，
∴四边形是平行四边形
∵，
∴
∴四边形是菱形
∴，
由作图可得，
∴
∴
又∵
∴
∴，
∴垂直平分
∴点E和点F关于直线对称．
【点睛】本题考查了作图旋转变换，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定以及等腰三角形三线合一性质等知识，熟悉相关性质是解题的关键．
【变式4-1】（23-24九年级·陕西汉中·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，．
(1)先向下平移2个单位，再向左平移5个单位得到（点、、分别与点A、B、C对应），请在图中画出；
(2)将绕点B顺时针旋转得到（点、分别与点A、C对应），请在图中画出，并写出点的坐标．
【答案】(1)图见解析；
(2)图见解析，．
【分析】（1）先找到点A、B、C平移后的对应点、、，依次连接即可；
（2）线段绕点顺时针旋转得到，线段绕点顺时针旋转得到，依次连接，，即可．
本题考查了坐标与图形变换-平移和旋转，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】（1）解：点，，向下平移2个单位，再向左平移5个单位得，，，即，，，依次连接，，，则就是所求的三角形，如图：
（2）解：线段绕点顺时针旋转得到，线段绕点顺时针旋转得到，依次连接，则就是所求的三角形，如图：
由图可知，点的坐标为：．
【变式4-2】（23-24九年级·河南郑州·期末）在平面直角坐标系中，的顶点为．
(1)平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后的；
(2)将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；
(3)已知将绕某一点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为______．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)．
【分析】本题考查了坐标与图形，平移作图、旋转作图以及找出旋转中心，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）因为点的对应点的坐标为，所以找出点的坐标，最后依次连接，即可作答．
（2）因为将以点为旋转中心旋转，所以找出点的坐标，最后依次连接，即可作答
（3）运用数形结合思想，直接得与的旋转中心的坐标，即可作答．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
（3）解：由图得将绕某一点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为．
【变式4-3】（23-24九年级·内蒙古鄂尔多斯·期末）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
(1)作出绕点A逆时针旋转的．
(2)作出关于原点O成中心对称的．
(3)在x轴上找一点P使得最小，则P点坐标
(4)请直接写出以为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
(4)或或
【分析】本题主要考查作图----旋转变换，一次函数的图象与性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识
（1）作出的对应点即可；
（2）作出的对应点即可；
（3）作点C关于x轴在对称点，连接交x轴于点P，求出直线的解析式，求出与的交点坐标即可；
（4）画出点D的位置，写出坐标即可
【详解】（1）解：如图，即为所作
（2）解：即为所作
（3）解：作点C关于x轴在对称点，连接交x轴于点P，如图，
设直线的解析式为，
把代入得，
，
解得，，
所以，直线的解析式为，
令，得，
∴，
故答案为：；
（4）解：如图，
由图得，第四个顶点D的坐标为或或，
故答案为：或或
【题型5 与旋转有关的探究性问题】
【方法总结】与旋转有关的探究性问题,考查操作、想象、探究能力.解决这类问题,需要首先确定旋转的角度和方向、旋转前后对应的角与边,明确旋转过程中的变量与不变量,利用旋转前后的图形全等进行边与角的计算.
【例5】（2024·山西大同·模拟预测）综合与实践：
如图1，已知点D是等边三角形边上的一点（不与点B，C重合）．
动手操作：
第一步：连接，以A为旋转中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接；
第二步：以D为旋转中心，将线段逆时针旋转，得到线段，连接，交于点M．
特例探究：
（1）如图2，当点D为中点时，点F恰好在上，请写出线段与的数量关系，并说明理由；
探索发现：
（2）如图1，当点D不是中点时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当，时，请直接写出的长．
【答案】（1），理由见解析
（2）仍然成立，证明见解析
（3）
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确画出辅助线，构造全等三角形．
（1）根据等边三角形的性质，结合旋转的性质证是等边三角形，再证即可；
（2）连接，，根据证明，再证四边形是平行四边形即可得；
（3）作于G，根据勾股定理计算和的长，再根据等边三角形的性质求解即可．
【详解】解：（1）
理由如下：
∵是等边三角形，点D是的中点，
∴，．
∴．
由操作可知：，，，，
∴是等边三角形．
∵．
∴．
∴．
∴；
（2）仍然成立．理由如下：
连接，，如图所示，
∵和是等边三角形，
∴，，，
∴．
∴．
∴．
∴，．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（3）．
作于G，如图所示，
∵是等边三角形，，
∴．
∴．
∴．
∴．
【变式5-1】（23-24九年级·陕西西安·期末）（1）【探究发现】如图1，P是等边 内一点，，，求 的度数．
解：将 绕点B逆时针旋转到的位置，连接．，则是______三角形．
∴，
又∵，
∴
∴为直角三角形
∴∠APB的度数为______．
（2）【类比延伸】如图2，在正方形内部有一点P，连接 ，若 ，，，求的长；
（3）【拓展迁移】如图3，在正六边形内部有一点P，若 ，，，请直接写出 的度数及正六边形的边长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3），
【分析】（1）根据旋转的性质，得到是等边三角形，勾股定理逆定理，得到为直角三角形，进一步求解即可；
（2）把绕点B顺时针旋转90°得到，旋转的性质，推出是等腰直角三角形，求出，再利用勾股定理进行求解即可；
（3）将绕点A顺时针旋转得到，连接，求出；如图所示，过点A作于M，则，证明是直角三角形，即 ，即可得到；如图所示，过点B作交延长线与H，则，则，可得，进而得到，则，即正六边形的边长为．
【详解】解：（1）解：将 绕点B逆时针旋转到的位置，连接．，则是等边三角形，
∴，
又∵，，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴；
（2）如图，把绕点B顺时针旋转得到，
∴，
∵旋转角是，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，；
（3）∵六边形是正六边形，
∴，，
如图所示，将绕点A顺时针旋转得到，连接，
∴，，
∴；
如图所示，过点A作于M，则，
∴，
又∵，，
∴，
∴是直角三角形，即 ，
∴；
如图所示，过点B作交延长线与H，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴正六边形的边长为．
【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，正方形的性质等等，解题的关键是通过旋转，构造直角三角形．
【变式5-2】（23-24九年级·湖北孝感·期末）在“综合与实践”课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动．
(1)探究发现
如图，在等边内部有一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，若，则的度数是 ．
(2)类比延伸
如图，在中，，．在内部有一点，连接，若，试判断之间的数量关系，并说明理由．
(3)迁移应用
如图，在中，，．在直线的上方有一点，连接，若∠，则存在实数使得成立，请直接写出的值．
【答案】(1)；
(2)，理由见解析；
(3)．
【分析】（）由旋转的性质可得是等边三角形，由勾股定理的逆定理判定可得，再利用角的和差关系即可求解；
（）将绕点顺时针旋转得到，连接，得等腰直角，进而得，再由勾股定理即可得出结论；
（）将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，垂足为，得等腰，，进而可得，用勾股定理即可得出，再在等腰中求出即可得出结论．
【详解】（1）解：由旋转性质可知：，，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
如图中，将绕点逆时针旋转得到，连接，
由旋转性质可知：，，，
∴，，
∵，
∴，
，
∴，
∴；
（3）解：如图中，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，垂足为，
由旋转性质可知：，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【变式5-3】（2024·吉林长春·二模）旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：和均为等腰直角三角形，，点为中点，将绕点旋转，连接、．
观察猜想：
（1）如图1，在旋转过程中，求证：；
探究发现：
（2）如图2，当点在内且三点共线时，试探究线段、与之间的数量关系，并说明理由；
解决问题：
（3）若中，，在旋转过程中，当且三点共线时，直接写出的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
【分析】（1）如图所示，连接，根据等腰三角形的性质可证，由此即可求解；
（2）同（1）证明出，得到，再根据为等腰直角三角形得到，由此即可求解；
（3）根据题意分点F在线段上和点E在线段上两种情况讨论，然后根据得到，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】证明：如图所示，连接，延长交于点G，
∴，
∵为等腰直角三角形，，
∴，，
∵点为中点，
∴，平分，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）．
如图所示，连接，
同理可得，，
∵
∴，即
又∵
∴
∴
∵为等腰直角三角形
∴
∴；
（3）如图所示，当点F在线段上时，
由（2）得，
∴，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
如图所示，当点E在线段上时，
同理可证
∴，
∴
∵
∴
∴不合题意，应舍去，
综上所述，．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等角对等边，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，运用了分类讨论的思想．掌握旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【考点2 中心对称】
知识点一 中心对称的定义
中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。
注意以下几点：
中心对称指的就是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。
知识点二 作一个图形关于某点对称的图形
要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键就是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可的出成中心对称图形。
知识点三 中心对称的性质
有以下几点：
关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分；
关于中心对称的两个图形能够互相重合，就是全等形；
关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。
知识点四 中心对称图形的定义
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就就是它的对称中心。
知识点五 关于原点对称的点的坐标
在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y）关于原点对称点为（-x,-y）。
【题型6 识别中心对称图形】
【例6】（23-24九年级·广东深圳·期中）下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
【变式6-1】（2024·四川自贡·模拟预测）在图形“线段、矩形、等腰梯形、等边三角形、平行四边形”中是轴对称不是中心对称的图形有 ．
【答案】等腰梯形，等边三角形
【分析】本题考查了轴对称及中心对称的知识，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后的图形与原图形完全重合．本题根据轴对称图形与中心对称图形的概念，分别分析线段、矩形、等腰梯形、等边三角形、平行四边形是否符合即可．
【详解】解：线段和矩形是轴对称图形，也是中心对称图形；等腰梯形和等边三角形只是轴对称图形，不是中心对称图形；平行四边形只是中心对称图形．
故答案为：等腰梯形，等边三角形．
【变式6-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）我国古代典籍《周易》用“卦”描述世间万象的变化．下图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；根据中心对称图形的定义解答即可．
【详解】解：A.该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.该图形是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意，
故选：B．
【变式6-3】（23-24九年级·湖北黄冈·期中）下列四种图案中，是中心对称图形的有 个，
【答案】3
【分析】本题考查了中心对称图形的概念．一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：前三个图案能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原图重合，所以是中心对称图形；
最后一个图案不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原图重合，所以不是中心对称图形；
故答案为：3．
【题型7 中心对称的性质运用】
【例7】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在菱形中，连接，交于点．若与关于点成中心对称，连接．若，则的长为（ ）
A．15 B．14 C．13 D．12
【答案】A
【分析】本题考查了菱形的性质、中心对称的性质以及勾股定理等知识，根据菱形的性质、中心对称的性质，得到，根据题意得出，，利用勾股定理计算即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，与关于点成中心对称，，
∴，，，
∴，，
∴，
故选：A．
【变式7-1】（23-24九年级·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，，点D与点C关于点E成中心对称，连接并延长，与的延长线交于点F．求证：是等腰三角形．
【答案】见解析
【分析】本题考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，中心对称图形的性质等，先证明，得到，等量代换得到，即可证明．
【详解】证明：∵点D与点C关于点E中心对称，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴
∵，
∴，
∴是等腰三角形．
【变式7-2】（23-24九年级·福建泉州·期末）如图，中，，，．作出共于点A成中心对称的，其中点B对应点为，点C对应点为，则四边形的面积是（ ）
A．128 B． C．64 D．
【答案】D
【分析】根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，根据中心对称的性质以及平行四边形的判定定理，得出四边形是平行四边形，继而即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵中，，，．
∴,,
∴,
∵作出共于点A成中心对称的，
∴,，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形的面积为，
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称的性质，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，得出四边形是平行四边形是解题的关键．
【变式7-3】（2024·江苏泰州·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点、分别是直线与坐标轴的交点，点，点是边上的一点，，垂足为，点在边上，且、两点关于轴上某点成中心对称，连接、．线段长度的最小值为 ．
【答案】
【分析】过点F，D分别作垂直于y轴，垂足分别为G，H，证明，由全等三角形的性质得出，可求出，根据勾股定理得出，由二次函数的性质可得出答案；
【详解】过点F，D分别作垂直于y轴，垂足分别为G，H，
则，
记交y轴于点K，
∵D点与F点关于y轴上的K点成中心对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵直线的解析式为，
∴时，，
∴，
又∵，
设直线的解析式为
∴，
解得=，
∴直线的解析式为，
过点F作轴于点R，
∵D点的横坐标为m,
∴，
∴，
∵，
∴，
令，得，
∴．
∴当时，l的最小值为8，
∴的最小值为．
【点睛】待定系数法，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，二次函数的性质，勾股定理，中心对称的性质，直角三角形的性质等知识．
【题型8 与中心对有关的探究问题】
【例8】（2024·山西晋中·模拟预测）综合与实践
[动手操作]任意一个四边形通过剪裁，都可以拼接成一个三角形，方法如下：如图1，E，F，G，H分别是边，，，的中点，连接，P是线段的中点，连接，，沿线段，，剪开，将四边形分成①，②，③，④四部分，按如图2所示的方式即可拼成一个无缝隙也不重叠的．
关于在拼接过程中用到的图形的变换，说法正确的是（ ）
A．①→①是轴对称B．②→②是平移
C．③→③是中心对称D．④→④是中心对称
[性质探究]如图3，连接，，，判断四边形的形状，并说明理由．
[综合运用]若是一个边长为4的等边三角形，则四边形的对角线的最小值为__________．
【答案】[动手操作]C；[性质探究]平行四边形，理由见解析；[综合运用]
【分析】[动手操作]根据中心对称，平移变换等知识判断即可．
[性质探究]利用三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理证明即可．
[综合运用]如图，由[性质探究]可知，四边形是平行四边形，设交于点O，则，，把问题转化为求F′H+C′E的最小值，即求OF′+OC′的最小值．
【详解】解：[动手操作]观察图象可知②→②，③→③是中心对称，①→①，④→④是平移．
故选：C．
[性质探究]四边形是平行四边形．
理由：由题意可知，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
[综合运用]
如图4，过点O作直线，作于点T，连接交直线于点，连接，
此时的值最小，最小值的长．
∵在中，，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴的最小值．
【点睛】本题属于几何变换形综合题，考查了中心对称，平移变换，三角形的中位线定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
【变式8-1】（23-24九年级·湖北荆州·期末）阅读下面材料，完成以下问题．如图1，如图2，将一张矩形纸片顺着中缝或对角线所在的直线翻折，其折痕将这个矩形一分为二，两部分的形状与大小完全一样．如图3，如图4，用两条直线将一个矩形分成面积相等的四部分.
我们知道，矩形是一种特殊的平行四边形，对于一般的平行四边形（如图4），是否和矩形一样，也存在这样的直线，将其面积二等分，或进一步将其面积四等分？它们之间又有什么规律呢？
问题1：平分平行四边形的面积，除以下两种方法以外（图5、图6），你还有其他什么方法，请在图7中画出来．
问题2：通过平分平行四边形的面积，你能平分下面图案（图8）的面积，请在图8中画出来
问题3：老师将两个正方形按照图9所示的方式摆放，请你试着将整个图形的面积平分．
问题4：如图10，平面直角坐标系中放着6个边长为1个单位的小正方形，经过原点的直线恰好将6个正方形分成面积相等的两部分，请你画出这条直线，并直接写出该直线的表达式．
【答案】问题1：见详解，问题2：见详解，问题3：见详解，问题4：见详解，
【分析】问题1：设平行四边形对角线交于，过作直线即可；
问题2：通过平分平行四边形的面积，可知过中心对称图形的对称中心的直线平分这个中心对称图形的面积，过圆心作直线即可平分图8的面积；
问题3：设两个正方形的对角线交点分别为，，作直线即可平分整个图形的面积；
问题4：如图作直线恰好将6个正方形分成面积相等的两部分；用待定系数法可得该直线的表达式为．
本题考查一次函数的应用，涉及平分图形的面积，解题的关键是掌握过中心对称图形的对称中心的直线平分这个中心对称图形的面积．
【详解】解：问题1：设平行四边形对角线交于，过作直线，如图：
则直线平分平行四边形的面积；
问题2：通过平分平行四边形的面积，可知过中心对称图形的对称中心的直线平分这个中心对称图形的面积；
过圆心作直线，如图：
则直线平分图8的面积；
问题3：设两个正方形的对角线交点分别为，，作直线，如图：
则直线平分整个图形的面积；
问题4：如图：
，
直线恰好将6个正方形分成面积相等的两部分；
设直线的表达式为，
将代入得：，
解得，
该直线的表达式为．
【变式8-2】（23-24九年级·江苏淮安·期中）如图，是等边三角形，边在直线l上，动点O在直线l上（O不与点B重合）．
操作探究1：在图中作出关于点O的中心对称图形，连接，，则四边形的形状是__________．
操作探究2：如图，若把等边三角形改为等腰三角形，动点O在直线l上（O不与点B重合），与关于O成中心对称，当在C的右侧且时，判断四边形的形状，并说明理由．
操作探究3：若是任意三角形，且点A在直线l的上方，动点O在直线l上（O不与点B重合），在下图中已作出关于点O的中心对称图形．的一个参考图形，连接，当与满足什么关系时，四边形是正方形，直接写出答案．
【答案】操作探究1：作图见解析，平行四边形；操作探究2：四边形是矩形，理由见解析；操作探究3：或或．
【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，正方形的性质等等：
操作探究1：先根据题意画图，再由中心对称图形的定义可得，据此可证明结论；
操作探究2：根据等边对等角和三角形内角和定理证明，即可证明结论；
操作探究3：分当点C在线段上时，当点B在线段上时，当点O在线段上时，三种情况根据正方形的性质讨论求解即可．
【详解】解：操作探究1：补全图形如下所示：
由中心对称图形的性质可得，
∴四边形是平行四边形；
操作探究2：四边形是矩形，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形；
操作探究3：如图3-1所示，当点C在线段上时，
∵四边形是正方形，
∴；
如图3-2所示，当点B在线段上时，
∵四边形是正方形，
∴，
∴；
如图3-3所示，当点O在线段上时，
∵四边形是正方形，
∴，
∴；
综上所述，或或．
【变式8-3】（23-24九年级·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，以、为边作，点为中点，连接、．
(1)分别求出线段和线段所在直线解析式；
(2)点为线段上的一个动点，作点关于点的中心对称点，设点横坐标为，用含的代数式表示点的坐标（不用写出的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，
①当点移动到的边上时，求点坐标；
②为中点，为中点，连接、．请利用备用图探究，直接写出在点的运动过程中，周长的最小值和此时点的坐标．
【答案】(1)所在直线的解析式为；所在直线解析式为
(2)
(3)①或，②周长最小值为；
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出点和点的坐标，再用待定系数法求出线段和线段所在直线解析式即可；
（2）根据所在直线的解析式为，点横坐标为，得出点，再根据点和点关于点的中心对称点，即可得出点的坐标；
（3） ①根据题意进行分类讨论：当点在上时，当点在上时，即可得出结论；②过点作于点，过点作于点，通过证明，得出，延长，过点作于点，证明，进而得出，过点作，则，即可推出点在直线上运动，作点关于直线的对称点，当点，，在同一条直线上时，周长取最小值，即可求出 周长取最小值；根据中点坐标公式得出，，再证明点是中点，则，求出，根据点为中点，得出，最后根据，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵四边形为平行四边形，，
∴，
∵点为中点，
∴，
设所在直线的解析式为，
把，代入得：
，解得：，
∴所在直线的解析式为；
设所在直线解析式为，
把点，代入的：
，解得：，
∴所在直线解析式为．
（2）解：∵所在直线的解析式为，点横坐标为，
∴点，
设点，
∵点和点关于点的中心对称点，
∴，
整理得：，
∴；
（3）解：①当点在上时，
∵点在上，
∴，解得，
∴；
当点在上时，
∵，且在上，
∴，解得：，
∴；
综上：或；
②∵，，
∴，
∵为中点，为中点，
∴，
过点作轴于点，
∵，，
∴，
∴，则，
过点作于点，过点作于点，
∵点是点关于点的中心对称点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
延长，过点作于点，
∵点是中点，
∴，
∵，
∴，
∴，则，
∵，，
∴，
∵，，
∴设，
在中，根据勾股定理可得：，即，
解得：，
∴，
过点作，
∵，，，
∴，
则点在直线上运动，
作点关于直线的对称点，
根据轴对称的性质以及平行线间的距离处处相等可得，
当点，，在同一条直线上时，，此时周长取最小值，
在中，根据勾股定理可得：，
∴周长最小值为；
∵，，，为中点，为中点，
∴，，
∵，，
∴是的中位线，则点是中点，
∴，
过点作于点，
∵，，
∴，
∴
∵，
∴，即点为中点，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，平行四边形的性质，中心对称，勾股定理，轴对称，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法，中点坐标公式，正确作出辅助线，确定周长最小时各点的位置．
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【人教版】
【考点1 图形的旋转】 1
【题型1 利用旋转的性质求角的度数】 2
【题型2 利用旋转的性质求线段长度】 3
【题型3 利用旋转的性质求面积】 4
【题型4 平面直角坐标系中的旋转变换】 5
【题型5 与旋转有关的探究性问题】 7
【考点2 中心对称】 10
【题型6 识别中心对称图形】 10
【题型7 中心对称的性质运用】 11
【题型8 与中心对有关的探究问题】 12
【考点1 图形的旋转】
知识点一 旋转的定义
在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。
知识点二 旋转的性质
旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。
理解以下几点：
图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。（3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。
知识点三 利用旋转性质作图
旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（2）对应点到旋转中心的距离相等，它就是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为：
①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心； ②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）
③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，的到各点的对应点； ④接：即连接到所连接的各点。
【题型1 利用旋转的性质求角的度数】
【例1】（23-24九年级·重庆·期中）如图，将正方形的边绕点顺时针旋转得到，连接，再将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（23-24九年级·河南新乡·期中）如图，中，，，P为三角形内一点． ，则的度数是 ．
【变式1-2】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（23-24九年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，两个全等的含角的直角三角板，将绕点逆时针旋转角（）得到，若交于点，连接，当 时，为等腰三角形．
【题型2 利用旋转的性质求线段长度】
【例2】（23-24九年级·上海·期末）如图，已知在中，，，点、点在边上，且，若，则 ．
【变式2-1】（23-24九年级·福建福州·期中）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的长是 ．
【变式2-2】（23-24九年级·上海长宁·期末）如图，正方形的边长为，将绕点旋转，得到，其中、的对应点分别是点、．如果点在正方形内，且到点、的距离相等，那么的长为 ．
【变式2-3】（23-24九年级·河南南阳·期末）如图，在矩形中，，点为边上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点落在点处，当点在矩形外部时，连接．若为直角三角形，则的长为 ．
【题型3 利用旋转的性质求面积】
【方法总结】解答图形旋转衍生的面积计算问题时,要善于分析图形面积之间的和差关系,并运用旋转的性质进行转化(旋转前后两个图形的面积相等),将不规则图形的面积转化为规则图形的面积.
【例3】（23-24九年级·江苏镇江·期中）如图，边长为1的正方形绕点C逆时针旋转后得到正方形，边与交于点E，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（23-24九年级·安徽芜湖·期中）如图，中，，，，，将绕点C逆时针旋转至，使得点恰好落在AB上，与BC交于点D，则的面积为 ．
【变式3-2】（23-24九年级·广东佛山·期中）如图，在中，，，O为的中点，将绕点O顺时针旋转得到，D、E分别在边和的延长线上，连接，若，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（23-24九年级·四川成都·期中）如图，绕点顺时针旋转得到，若是等边三角形，，则图中阴影部分得面积等于 ．
【题型4 平面直角坐标系中的旋转变换】
【方法总结】此类题目主要对旋转、勾股定理、轴对称等内容进行综合考查.要注意旋转中心的确定.
【例4】（2024·江苏徐州·模拟预测）在的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形的顶点坐标分别为，，，．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：
(1)将线段绕点C逆时针旋转，画出对应线段；
(2)在线段上画点E，使（保留画图过程的痕迹）；
(3)连接，画点E关于直线的对称点F，并简要说明画法．
【变式4-1】（23-24九年级·陕西汉中·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，．
(1)先向下平移2个单位，再向左平移5个单位得到（点、、分别与点A、B、C对应），请在图中画出；
(2)将绕点B顺时针旋转得到（点、分别与点A、C对应），请在图中画出，并写出点的坐标．
【变式4-2】（23-24九年级·河南郑州·期末）在平面直角坐标系中，的顶点为．
(1)平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后的；
(2)将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；
(3)已知将绕某一点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为______．
【变式4-3】（23-24九年级·内蒙古鄂尔多斯·期末）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
(1)作出绕点A逆时针旋转的．
(2)作出关于原点O成中心对称的．
(3)在x轴上找一点P使得最小，则P点坐标
(4)请直接写出以为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标 ．
【题型5 与旋转有关的探究性问题】
【方法总结】与旋转有关的探究性问题,考查操作、想象、探究能力.解决这类问题,需要首先确定旋转的角度和方向、旋转前后对应的角与边,明确旋转过程中的变量与不变量,利用旋转前后的图形全等进行边与角的计算.
【例5】（2024·山西大同·模拟预测）综合与实践：
如图1，已知点D是等边三角形边上的一点（不与点B，C重合）．
动手操作：
第一步：连接，以A为旋转中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接；
第二步：以D为旋转中心，将线段逆时针旋转，得到线段，连接，交于点M．
特例探究：
（1）如图2，当点D为中点时，点F恰好在上，请写出线段与的数量关系，并说明理由；
探索发现：
（2）如图1，当点D不是中点时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当，时，请直接写出的长．
【变式5-1】（23-24九年级·陕西西安·期末）（1）【探究发现】如图1，P是等边 内一点，，，求 的度数．
解：将 绕点B逆时针旋转到的位置，连接．，则是______三角形．
∴，
又∵，
∴
∴为直角三角形
∴∠APB的度数为______．
（2）【类比延伸】如图2，在正方形内部有一点P，连接 ，若 ，，，求的长；
（3）【拓展迁移】如图3，在正六边形内部有一点P，若 ，，，请直接写出 的度数及正六边形的边长．
【变式5-2】（23-24九年级·湖北孝感·期末）在“综合与实践”课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动．
(1)探究发现
如图，在等边内部有一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，若，则的度数是 ．
(2)类比延伸
如图，在中，，．在内部有一点，连接，若，试判断之间的数量关系，并说明理由．
(3)迁移应用
如图，在中，，．在直线的上方有一点，连接，若∠，则存在实数使得成立，请直接写出的值．
【变式5-3】（2024·吉林长春·二模）旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：和均为等腰直角三角形，，点为中点，将绕点旋转，连接、．
观察猜想：
（1）如图1，在旋转过程中，求证：；
探究发现：
（2）如图2，当点在内且三点共线时，试探究线段、与之间的数量关系，并说明理由；
解决问题：
（3）若中，，在旋转过程中，当且三点共线时，直接写出的长．
【考点2 中心对称】
知识点一 中心对称的定义
中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。
注意以下几点：
中心对称指的就是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。
知识点二 作一个图形关于某点对称的图形
要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键就是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可的出成中心对称图形。
知识点三 中心对称的性质
有以下几点：
关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分；
关于中心对称的两个图形能够互相重合，就是全等形；
关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。
知识点四 中心对称图形的定义
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就就是它的对称中心。
知识点五 关于原点对称的点的坐标
在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y）关于原点对称点为（-x,-y）。
【题型6 识别中心对称图形】
【例6】（23-24九年级·广东深圳·期中）下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2024·四川自贡·模拟预测）在图形“线段、矩形、等腰梯形、等边三角形、平行四边形”中是轴对称不是中心对称的图形有 ．
【变式6-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）我国古代典籍《周易》用“卦”描述世间万象的变化．下图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（23-24九年级·湖北黄冈·期中）下列四种图案中，是中心对称图形的有 个，
【题型7 中心对称的性质运用】
【例7】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在菱形中，连接，交于点．若与关于点成中心对称，连接．若，则的长为（ ）
A．15 B．14 C．13 D．12
【变式7-1】（23-24九年级·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，，点D与点C关于点E成中心对称，连接并延长，与的延长线交于点F．求证：是等腰三角形．
【变式7-2】（23-24九年级·福建泉州·期末）如图，中，，，．作出共于点A成中心对称的，其中点B对应点为，点C对应点为，则四边形的面积是（ ）
A．128 B． C．64 D．
【变式7-3】（2024·江苏泰州·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点、分别是直线与坐标轴的交点，点，点是边上的一点，，垂足为，点在边上，且、两点关于轴上某点成中心对称，连接、．线段长度的最小值为 ．
【题型8 与中心对有关的探究问题】
【例8】（2024·山西晋中·模拟预测）综合与实践
[动手操作]任意一个四边形通过剪裁，都可以拼接成一个三角形，方法如下：如图1，E，F，G，H分别是边，，，的中点，连接，P是线段的中点，连接，，沿线段，，剪开，将四边形分成①，②，③，④四部分，按如图2所示的方式即可拼成一个无缝隙也不重叠的．
关于在拼接过程中用到的图形的变换，说法正确的是（ ）
A．①→①是轴对称B．②→②是平移
C．③→③是中心对称D．④→④是中心对称
[性质探究]如图3，连接，，，判断四边形的形状，并说明理由．
[综合运用]若是一个边长为4的等边三角形，则四边形的对角线的最小值为__________．
【变式8-1】（23-24九年级·湖北荆州·期末）阅读下面材料，完成以下问题．如图1，如图2，将一张矩形纸片顺着中缝或对角线所在的直线翻折，其折痕将这个矩形一分为二，两部分的形状与大小完全一样．如图3，如图4，用两条直线将一个矩形分成面积相等的四部分.
我们知道，矩形是一种特殊的平行四边形，对于一般的平行四边形（如图4），是否和矩形一样，也存在这样的直线，将其面积二等分，或进一步将其面积四等分？它们之间又有什么规律呢？
问题1：平分平行四边形的面积，除以下两种方法以外（图5、图6），你还有其他什么方法，请在图7中画出来．
问题2：通过平分平行四边形的面积，你能平分下面图案（图8）的面积，请在图8中画出来
问题3：老师将两个正方形按照图9所示的方式摆放，请你试着将整个图形的面积平分．
问题4：如图10，平面直角坐标系中放着6个边长为1个单位的小正方形，经过原点的直线恰好将6个正方形分成面积相等的两部分，请你画出这条直线，并直接写出该直线的表达式．
【变式8-2】（23-24九年级·江苏淮安·期中）如图，是等边三角形，边在直线l上，动点O在直线l上（O不与点B重合）．
操作探究1：在图中作出关于点O的中心对称图形，连接，，则四边形的形状是__________．
操作探究2：如图，若把等边三角形改为等腰三角形，动点O在直线l上（O不与点B重合），与关于O成中心对称，当在C的右侧且时，判断四边形的形状，并说明理由．
操作探究3：若是任意三角形，且点A在直线l的上方，动点O在直线l上（O不与点B重合），在下图中已作出关于点O的中心对称图形．的一个参考图形，连接，当与满足什么关系时，四边形是正方形，直接写出答案．
【变式8-3】（23-24九年级·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，以、为边作，点为中点，连接、．
(1)分别求出线段和线段所在直线解析式；
(2)点为线段上的一个动点，作点关于点的中心对称点，设点横坐标为，用含的代数式表示点的坐标（不用写出的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，
①当点移动到的边上时，求点坐标；
②为中点，为中点，连接、．请利用备用图探究，直接写出在点的运动过程中，周长的最小值和此时点的坐标．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
专题23.4 旋转全章专项复习【2大考点8种题型】
【人教版】
【考点1 图形的旋转】 1
【题型1 利用旋转的性质求角的度数】 2
【题型2 利用旋转的性质求线段长度】 6
【题型3 利用旋转的性质求面积】 12
【题型4 平面直角坐标系中的旋转变换】 17
【题型5 与旋转有关的探究性问题】 24
【考点2 中心对称】 35
【题型6 识别中心对称图形】 36
【题型7 中心对称的性质运用】 38
【题型8 与中心对有关的探究问题】 42
【考点1 图形的旋转】
知识点一 旋转的定义
在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。
知识点二 旋转的性质
旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。
理解以下几点：
图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。（3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。
知识点三 利用旋转性质作图
旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（2）对应点到旋转中心的距离相等，它就是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为：
①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心； ②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）
③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，的到各点的对应点； ④接：即连接到所连接的各点。
【题型1 利用旋转的性质求角的度数】
【例1】（23-24九年级·重庆·期中）如图，将正方形的边绕点顺时针旋转得到，连接，再将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质．
连接，根据正方形的性质求得，，由得到，通过“”证明，即可解答．
【详解】解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴
∵由旋转得，
∴，
∴，
∴，
由旋转可得，即，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：C．
【变式1-1】（23-24九年级·河南新乡·期中）如图，中，，，P为三角形内一点． ，则的度数是 ．
【答案】或度
【分析】本题考查了旋转性质以及勾股定理，勾股逆定理等知识内容，先把三角形绕点顺时针旋转，点C的对应点为点E，连接，根据勾股定理得，根据勾股逆定理判断，是直角三角形，即可作答．
【详解】解：∵，，
故把三角形绕点顺时针旋转，点C的对应点为点E，连接，如图所示：
由旋转性质得
则，
∴，
∵，
∴，
故，
即，
故答案为：．
【变式1-2】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查利用旋转的性质，出现等腰三角形，利用好三角形的外角和三角形内角和是解决问题的关键，直接设,利用方程思想可以直接算出的度数．
【详解】解：设；
∵；
∴；
∴；
∵；
∴；
∵；
∴；
∴；
即，；
由旋转的性质可知，；
∴；
故选：C．
【变式1-3】（23-24九年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，两个全等的含角的直角三角板，将绕点逆时针旋转角（）得到，若交于点，连接，当 时，为等腰三角形．
【答案】或
【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和，等边对等角，解题的关键是表示出各个内角，再分三种情况，根据等边对等角列方程求解．
【详解】解：由旋转可知：，
∴，
∴，
而，
当时，
，即，无解；
当时，
，即，
解得：；
当时，
，即，
解得：；
综上：当或时，为等腰三角形．
故答案为：或．
【题型2 利用旋转的性质求线段长度】
【例2】（23-24九年级·上海·期末）如图，已知在中，，，点、点在边上，且，若，则 ．
【答案】8
【分析】首先根据题意可得，，，将绕点逆时针旋转至，点的对应点为点，连接，易知，再证明 ，由全等三角形的性质可得，设，则，在中，由勾股定理可得，代入数值并解得的值，然后计算的值即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
如下图，将绕点逆时针旋转至，点的对应点为点，连接，
则，
∴，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
∴在中，可有，
即，解得，
∴，
∴．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键．
【变式2-1】（23-24九年级·福建福州·期中）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的长是 ．
【答案】
【分析】连接，过作交的延长线点，则，利用勾股定理求出，即得到，解题即可．
【详解】∵绕点逆时针旋转得到，
∴，
连接,则为等边三角形，
∴°
∵，
∴，
∴过作交的延长线点，
∴
∴在中，
，
∴，
∴,
∴在中，
，
故答案为:．
【点睛】本题考查勾股定理，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，构造直角三角形利用勾股定理计算是解题的关键．
【变式2-2】（23-24九年级·上海长宁·期末）如图，正方形的边长为，将绕点旋转，得到，其中、的对应点分别是点、．如果点在正方形内，且到点、的距离相等，那么的长为 ．
【答案】/
【分析】作的垂直平分线，交于，交于，作，交于点，连接、、，由题意可知当在上时满足到点、的距离相等，得到，根据正方形性质可证明，从而推出，然后判定四边形是矩形，结合垂直平分，推出，即可根据勾股定理可算出，得到，最后再由勾股定理算出，即可得到答案．
【详解】作的垂直平分线，交于，交于，作，交于点，连接、、
由题意可知，当旋转到上时，到点、的距离相等，且
四边形是正方形
，，
，
在和中
，，
四边形是矩形
又 垂直平分，
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形的旋转，垂直平分线的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，根据题意找到位置并作出相应的辅助线是解题的关键．
【变式2-3】（23-24九年级·河南南阳·期末）如图，在矩形中，，点为边上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点落在点处，当点在矩形外部时，连接．若为直角三角形，则的长为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，分和两种情况进行解答即可求解，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形和相似三角形解决问题．
【详解】解：分两种情况讨论：
如图中，当时，
，
，
共线，
，
，
，
，
，
，
；
②如图中，当时，作于，于，设，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
或（不合题意，舍去）
；
综上所述，当是直角三角形时，的值为或．
【题型3 利用旋转的性质求面积】
【方法总结】解答图形旋转衍生的面积计算问题时,要善于分析图形面积之间的和差关系,并运用旋转的性质进行转化(旋转前后两个图形的面积相等),将不规则图形的面积转化为规则图形的面积.
【例3】（23-24九年级·江苏镇江·期中）如图，边长为1的正方形绕点C逆时针旋转后得到正方形，边与交于点E，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，连接，证明三点共线，勾股定理求出的长，进而求出的长，利用分割法求出阴影部分的面积即可．
【详解】解：连接，
∵边长为1的正方形绕点C逆时针旋转后得到正方形，
∴，
∴，，
∵，
∴三点共线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选D．
【变式3-1】（23-24九年级·安徽芜湖·期中）如图，中，，，，，将绕点C逆时针旋转至，使得点恰好落在AB上，与BC交于点D，则的面积为 ．
【答案】
【分析】先证明是等边三角形，再证明是直角三角形，求出、的长即可解决问题．
【详解】解：在中，，，，
，
由旋转可得：，，
是等边三角形，
，
，
，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
由勾股定理，得，，
．
【点睛】本题考查旋转的性质、直角三角形30度角的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、三角形的内角和定理、三角形的面积等知识，证明是直角三角形是解题的关键．
【变式3-2】（23-24九年级·广东佛山·期中）如图，在中，，，O为的中点，将绕点O顺时针旋转得到，D、E分别在边和的延长线上，连接，若，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的性质可得，．根据旋转的性质可得，，则可得和都是等边三角形，则，则可得，由此得垂直平分，
，在中求出的长，则可知、的长，进而可得的长，从而可求得的面积．
【详解】连接，，
，，
∴，
∵O为的中点，
，，
，
∵将绕点O顺时针旋转得到，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
∴D点在的垂直平分线上，
是等边三角形，
，
即旋转角为，
，
是等边三角形，
∴，
∴F点在的垂直平分线上，
垂直平分，
设垂足为H，
，
，，
，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质、旋转的性质、线段垂直平分线的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键．
【变式3-3】（23-24九年级·四川成都·期中）如图，绕点顺时针旋转得到，若是等边三角形，，则图中阴影部分得面积等于 ．
【答案】
【分析】先利用旋转的性质得到，再解直角三角形可计算出、、、，然后利用图中阴影部分的面积进行计算．
【详解】解：如图所示：
是等边三角形，，
，，
绕点顺时针旋转得到，
，
在中，，，则，即；
同理，可得；
，由勾股定理可得，
，
，
在中，，则，从而得到，由勾股定理可得，
图中阴影部分的面积
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，勾股定理，含的直角三角形性质，等边三角形性质等知识，熟练掌握旋转性质，数形结合是解决问题的关键．
【题型4 平面直角坐标系中的旋转变换】
【方法总结】此类题目主要对旋转、勾股定理、轴对称等内容进行综合考查.要注意旋转中心的确定.
【例4】（2024·江苏徐州·模拟预测）在的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形的顶点坐标分别为，，，．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：
(1)将线段绕点C逆时针旋转，画出对应线段；
(2)在线段上画点E，使（保留画图过程的痕迹）；
(3)连接，画点E关于直线的对称点F，并简要说明画法．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据题意，将线段是将线段绕点逆时针旋转即可；
（2）连接，交于点G，连接并延长交于点E，即为所求；
（3）连接和点与的交点F即为所求．
【详解】（1）如图所示：线段即为所求；
（2）如图所示：即为所求；
由（1）可得，是等腰直角三角形
∴，
由网格得，四边形是矩形，，交于点G，
∴点G是中点
∴平分
∴；
（3）连接，，与的交点F，点F即为所求，如图所示：
∵，
∴四边形是平行四边形
∵，
∴
∴四边形是菱形
∴，
由作图可得，
∴
∴
又∵
∴
∴，
∴垂直平分
∴点E和点F关于直线对称．
【点睛】本题考查了作图旋转变换，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定以及等腰三角形三线合一性质等知识，熟悉相关性质是解题的关键．
【变式4-1】（23-24九年级·陕西汉中·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，．
(1)先向下平移2个单位，再向左平移5个单位得到（点、、分别与点A、B、C对应），请在图中画出；
(2)将绕点B顺时针旋转得到（点、分别与点A、C对应），请在图中画出，并写出点的坐标．
【答案】(1)图见解析；
(2)图见解析，．
【分析】（1）先找到点A、B、C平移后的对应点、、，依次连接即可；
（2）线段绕点顺时针旋转得到，线段绕点顺时针旋转得到，依次连接，，即可．
本题考查了坐标与图形变换-平移和旋转，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】（1）解：点，，向下平移2个单位，再向左平移5个单位得，，，即，，，依次连接，，，则就是所求的三角形，如图：
（2）解：线段绕点顺时针旋转得到，线段绕点顺时针旋转得到，依次连接，则就是所求的三角形，如图：
由图可知，点的坐标为：．
【变式4-2】（23-24九年级·河南郑州·期末）在平面直角坐标系中，的顶点为．
(1)平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后的；
(2)将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；
(3)已知将绕某一点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为______．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)．
【分析】本题考查了坐标与图形，平移作图、旋转作图以及找出旋转中心，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）因为点的对应点的坐标为，所以找出点的坐标，最后依次连接，即可作答．
（2）因为将以点为旋转中心旋转，所以找出点的坐标，最后依次连接，即可作答
（3）运用数形结合思想，直接得与的旋转中心的坐标，即可作答．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
（3）解：由图得将绕某一点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为．
【变式4-3】（23-24九年级·内蒙古鄂尔多斯·期末）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
(1)作出绕点A逆时针旋转的．
(2)作出关于原点O成中心对称的．
(3)在x轴上找一点P使得最小，则P点坐标
(4)请直接写出以为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
(4)或或
【分析】本题主要考查作图----旋转变换，一次函数的图象与性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识
（1）作出的对应点即可；
（2）作出的对应点即可；
（3）作点C关于x轴在对称点，连接交x轴于点P，求出直线的解析式，求出与的交点坐标即可；
（4）画出点D的位置，写出坐标即可
【详解】（1）解：如图，即为所作
（2）解：即为所作
（3）解：作点C关于x轴在对称点，连接交x轴于点P，如图，
设直线的解析式为，
把代入得，
，
解得，，
所以，直线的解析式为，
令，得，
∴，
故答案为：；
（4）解：如图，
由图得，第四个顶点D的坐标为或或，
故答案为：或或
【题型5 与旋转有关的探究性问题】
【方法总结】与旋转有关的探究性问题,考查操作、想象、探究能力.解决这类问题,需要首先确定旋转的角度和方向、旋转前后对应的角与边,明确旋转过程中的变量与不变量,利用旋转前后的图形全等进行边与角的计算.
【例5】（2024·山西大同·模拟预测）综合与实践：
如图1，已知点D是等边三角形边上的一点（不与点B，C重合）．
动手操作：
第一步：连接，以A为旋转中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接；
第二步：以D为旋转中心，将线段逆时针旋转，得到线段，连接，交于点M．
特例探究：
（1）如图2，当点D为中点时，点F恰好在上，请写出线段与的数量关系，并说明理由；
探索发现：
（2）如图1，当点D不是中点时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当，时，请直接写出的长．
【答案】（1），理由见解析
（2）仍然成立，证明见解析
（3）
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确画出辅助线，构造全等三角形．
（1）根据等边三角形的性质，结合旋转的性质证是等边三角形，再证即可；
（2）连接，，根据证明，再证四边形是平行四边形即可得；
（3）作于G，根据勾股定理计算和的长，再根据等边三角形的性质求解即可．
【详解】解：（1）
理由如下：
∵是等边三角形，点D是的中点，
∴，．
∴．
由操作可知：，，，，
∴是等边三角形．
∵．
∴．
∴．
∴；
（2）仍然成立．理由如下：
连接，，如图所示，
∵和是等边三角形，
∴，，，
∴．
∴．
∴．
∴，．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（3）．
作于G，如图所示，
∵是等边三角形，，
∴．
∴．
∴．
∴．
【变式5-1】（23-24九年级·陕西西安·期末）（1）【探究发现】如图1，P是等边 内一点，，，求 的度数．
解：将 绕点B逆时针旋转到的位置，连接．，则是______三角形．
∴，
又∵，
∴
∴为直角三角形
∴∠APB的度数为______．
（2）【类比延伸】如图2，在正方形内部有一点P，连接 ，若 ，，，求的长；
（3）【拓展迁移】如图3，在正六边形内部有一点P，若 ，，，请直接写出 的度数及正六边形的边长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3），
【分析】（1）根据旋转的性质，得到是等边三角形，勾股定理逆定理，得到为直角三角形，进一步求解即可；
（2）把绕点B顺时针旋转90°得到，旋转的性质，推出是等腰直角三角形，求出，再利用勾股定理进行求解即可；
（3）将绕点A顺时针旋转得到，连接，求出；如图所示，过点A作于M，则，证明是直角三角形，即 ，即可得到；如图所示，过点B作交延长线与H，则，则，可得，进而得到，则，即正六边形的边长为．
【详解】解：（1）解：将 绕点B逆时针旋转到的位置，连接．，则是等边三角形，
∴，
又∵，，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴；
（2）如图，把绕点B顺时针旋转得到，
∴，
∵旋转角是，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，；
（3）∵六边形是正六边形，
∴，，
如图所示，将绕点A顺时针旋转得到，连接，
∴，，
∴；
如图所示，过点A作于M，则，
∴，
又∵，，
∴，
∴是直角三角形，即 ，
∴；
如图所示，过点B作交延长线与H，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴正六边形的边长为．
【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，正方形的性质等等，解题的关键是通过旋转，构造直角三角形．
【变式5-2】（23-24九年级·湖北孝感·期末）在“综合与实践”课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动．
(1)探究发现
如图，在等边内部有一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，若，则的度数是 ．
(2)类比延伸
如图，在中，，．在内部有一点，连接，若，试判断之间的数量关系，并说明理由．
(3)迁移应用
如图，在中，，．在直线的上方有一点，连接，若∠，则存在实数使得成立，请直接写出的值．
【答案】(1)；
(2)，理由见解析；
(3)．
【分析】（）由旋转的性质可得是等边三角形，由勾股定理的逆定理判定可得，再利用角的和差关系即可求解；
（）将绕点顺时针旋转得到，连接，得等腰直角，进而得，再由勾股定理即可得出结论；
（）将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，垂足为，得等腰，，进而可得，用勾股定理即可得出，再在等腰中求出即可得出结论．
【详解】（1）解：由旋转性质可知：，，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
如图中，将绕点逆时针旋转得到，连接，
由旋转性质可知：，，，
∴，，
∵，
∴，
，
∴，
∴；
（3）解：如图中，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，垂足为，
由旋转性质可知：，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【变式5-3】（2024·吉林长春·二模）旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：和均为等腰直角三角形，，点为中点，将绕点旋转，连接、．
观察猜想：
（1）如图1，在旋转过程中，求证：；
探究发现：
（2）如图2，当点在内且三点共线时，试探究线段、与之间的数量关系，并说明理由；
解决问题：
（3）若中，，在旋转过程中，当且三点共线时，直接写出的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
【分析】（1）如图所示，连接，根据等腰三角形的性质可证，由此即可求解；
（2）同（1）证明出，得到，再根据为等腰直角三角形得到，由此即可求解；
（3）根据题意分点F在线段上和点E在线段上两种情况讨论，然后根据得到，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】证明：如图所示，连接，延长交于点G，
∴，
∵为等腰直角三角形，，
∴，，
∵点为中点，
∴，平分，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）．
如图所示，连接，
同理可得，，
∵
∴，即
又∵
∴
∴
∵为等腰直角三角形
∴
∴；
（3）如图所示，当点F在线段上时，
由（2）得，
∴，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
如图所示，当点E在线段上时，
同理可证
∴，
∴
∵
∴
∴不合题意，应舍去，
综上所述，．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等角对等边，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，运用了分类讨论的思想．掌握旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【考点2 中心对称】
知识点一 中心对称的定义
中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。
注意以下几点：
中心对称指的就是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。
知识点二 作一个图形关于某点对称的图形
要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键就是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可的出成中心对称图形。
知识点三 中心对称的性质
有以下几点：
关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分；
关于中心对称的两个图形能够互相重合，就是全等形；
关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。
知识点四 中心对称图形的定义
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就就是它的对称中心。
知识点五 关于原点对称的点的坐标
在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y）关于原点对称点为（-x,-y）。
【题型6 识别中心对称图形】
【例6】（23-24九年级·广东深圳·期中）下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
【变式6-1】（2024·四川自贡·模拟预测）在图形“线段、矩形、等腰梯形、等边三角形、平行四边形”中是轴对称不是中心对称的图形有 ．
【答案】等腰梯形，等边三角形
【分析】本题考查了轴对称及中心对称的知识，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后的图形与原图形完全重合．本题根据轴对称图形与中心对称图形的概念，分别分析线段、矩形、等腰梯形、等边三角形、平行四边形是否符合即可．
【详解】解：线段和矩形是轴对称图形，也是中心对称图形；等腰梯形和等边三角形只是轴对称图形，不是中心对称图形；平行四边形只是中心对称图形．
故答案为：等腰梯形，等边三角形．
【变式6-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）我国古代典籍《周易》用“卦”描述世间万象的变化．下图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；根据中心对称图形的定义解答即可．
【详解】解：A.该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.该图形是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意，
故选：B．
【变式6-3】（23-24九年级·湖北黄冈·期中）下列四种图案中，是中心对称图形的有 个，
【答案】3
【分析】本题考查了中心对称图形的概念．一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：前三个图案能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原图重合，所以是中心对称图形；
最后一个图案不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原图重合，所以不是中心对称图形；
故答案为：3．
【题型7 中心对称的性质运用】
【例7】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在菱形中，连接，交于点．若与关于点成中心对称，连接．若，则的长为（ ）
A．15 B．14 C．13 D．12
【答案】A
【分析】本题考查了菱形的性质、中心对称的性质以及勾股定理等知识，根据菱形的性质、中心对称的性质，得到，根据题意得出，，利用勾股定理计算即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，与关于点成中心对称，，
∴，，，
∴，，
∴，
故选：A．
【变式7-1】（23-24九年级·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，，点D与点C关于点E成中心对称，连接并延长，与的延长线交于点F．求证：是等腰三角形．
【答案】见解析
【分析】本题考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，中心对称图形的性质等，先证明，得到，等量代换得到，即可证明．
【详解】证明：∵点D与点C关于点E中心对称，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴
∵，
∴，
∴是等腰三角形．
【变式7-2】（23-24九年级·福建泉州·期末）如图，中，，，．作出共于点A成中心对称的，其中点B对应点为，点C对应点为，则四边形的面积是（ ）
A．128 B． C．64 D．
【答案】D
【分析】根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，根据中心对称的性质以及平行四边形的判定定理，得出四边形是平行四边形，继而即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵中，，，．
∴,,
∴,
∵作出共于点A成中心对称的，
∴,，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形的面积为，
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称的性质，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，得出四边形是平行四边形是解题的关键．
【变式7-3】（2024·江苏泰州·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点、分别是直线与坐标轴的交点，点，点是边上的一点，，垂足为，点在边上，且、两点关于轴上某点成中心对称，连接、．线段长度的最小值为 ．
【答案】
【分析】过点F，D分别作垂直于y轴，垂足分别为G，H，证明，由全等三角形的性质得出，可求出，根据勾股定理得出，由二次函数的性质可得出答案；
【详解】过点F，D分别作垂直于y轴，垂足分别为G，H，
则，
记交y轴于点K，
∵D点与F点关于y轴上的K点成中心对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵直线的解析式为，
∴时，，
∴，
又∵，
设直线的解析式为
∴，
解得=，
∴直线的解析式为，
过点F作轴于点R，
∵D点的横坐标为m,
∴，
∴，
∵，
∴，
令，得，
∴．
∴当时，l的最小值为8，
∴的最小值为．
【点睛】待定系数法，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，二次函数的性质，勾股定理，中心对称的性质，直角三角形的性质等知识．
【题型8 与中心对有关的探究问题】
【例8】（2024·山西晋中·模拟预测）综合与实践
[动手操作]任意一个四边形通过剪裁，都可以拼接成一个三角形，方法如下：如图1，E，F，G，H分别是边，，，的中点，连接，P是线段的中点，连接，，沿线段，，剪开，将四边形分成①，②，③，④四部分，按如图2所示的方式即可拼成一个无缝隙也不重叠的．
关于在拼接过程中用到的图形的变换，说法正确的是（ ）
A．①→①是轴对称B．②→②是平移
C．③→③是中心对称D．④→④是中心对称
[性质探究]如图3，连接，，，判断四边形的形状，并说明理由．
[综合运用]若是一个边长为4的等边三角形，则四边形的对角线的最小值为__________．
【答案】[动手操作]C；[性质探究]平行四边形，理由见解析；[综合运用]
【分析】[动手操作]根据中心对称，平移变换等知识判断即可．
[性质探究]利用三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理证明即可．
[综合运用]如图，由[性质探究]可知，四边形是平行四边形，设交于点O，则，，把问题转化为求F′H+C′E的最小值，即求OF′+OC′的最小值．
【详解】解：[动手操作]观察图象可知②→②，③→③是中心对称，①→①，④→④是平移．
故选：C．
[性质探究]四边形是平行四边形．
理由：由题意可知，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
[综合运用]
如图4，过点O作直线，作于点T，连接交直线于点，连接，
此时的值最小，最小值的长．
∵在中，，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴的最小值．
【点睛】本题属于几何变换形综合题，考查了中心对称，平移变换，三角形的中位线定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
【变式8-1】（23-24九年级·湖北荆州·期末）阅读下面材料，完成以下问题．如图1，如图2，将一张矩形纸片顺着中缝或对角线所在的直线翻折，其折痕将这个矩形一分为二，两部分的形状与大小完全一样．如图3，如图4，用两条直线将一个矩形分成面积相等的四部分.
我们知道，矩形是一种特殊的平行四边形，对于一般的平行四边形（如图4），是否和矩形一样，也存在这样的直线，将其面积二等分，或进一步将其面积四等分？它们之间又有什么规律呢？
问题1：平分平行四边形的面积，除以下两种方法以外（图5、图6），你还有其他什么方法，请在图7中画出来．
问题2：通过平分平行四边形的面积，你能平分下面图案（图8）的面积，请在图8中画出来
问题3：老师将两个正方形按照图9所示的方式摆放，请你试着将整个图形的面积平分．
问题4：如图10，平面直角坐标系中放着6个边长为1个单位的小正方形，经过原点的直线恰好将6个正方形分成面积相等的两部分，请你画出这条直线，并直接写出该直线的表达式．
【答案】问题1：见详解，问题2：见详解，问题3：见详解，问题4：见详解，
【分析】问题1：设平行四边形对角线交于，过作直线即可；
问题2：通过平分平行四边形的面积，可知过中心对称图形的对称中心的直线平分这个中心对称图形的面积，过圆心作直线即可平分图8的面积；
问题3：设两个正方形的对角线交点分别为，，作直线即可平分整个图形的面积；
问题4：如图作直线恰好将6个正方形分成面积相等的两部分；用待定系数法可得该直线的表达式为．
本题考查一次函数的应用，涉及平分图形的面积，解题的关键是掌握过中心对称图形的对称中心的直线平分这个中心对称图形的面积．
【详解】解：问题1：设平行四边形对角线交于，过作直线，如图：
则直线平分平行四边形的面积；
问题2：通过平分平行四边形的面积，可知过中心对称图形的对称中心的直线平分这个中心对称图形的面积；
过圆心作直线，如图：
则直线平分图8的面积；
问题3：设两个正方形的对角线交点分别为，，作直线，如图：
则直线平分整个图形的面积；
问题4：如图：
，
直线恰好将6个正方形分成面积相等的两部分；
设直线的表达式为，
将代入得：，
解得，
该直线的表达式为．
【变式8-2】（23-24九年级·江苏淮安·期中）如图，是等边三角形，边在直线l上，动点O在直线l上（O不与点B重合）．
操作探究1：在图中作出关于点O的中心对称图形，连接，，则四边形的形状是__________．
操作探究2：如图，若把等边三角形改为等腰三角形，动点O在直线l上（O不与点B重合），与关于O成中心对称，当在C的右侧且时，判断四边形的形状，并说明理由．
操作探究3：若是任意三角形，且点A在直线l的上方，动点O在直线l上（O不与点B重合），在下图中已作出关于点O的中心对称图形．的一个参考图形，连接，当与满足什么关系时，四边形是正方形，直接写出答案．
【答案】操作探究1：作图见解析，平行四边形；操作探究2：四边形是矩形，理由见解析；操作探究3：或或．
【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，正方形的性质等等：
操作探究1：先根据题意画图，再由中心对称图形的定义可得，据此可证明结论；
操作探究2：根据等边对等角和三角形内角和定理证明，即可证明结论；
操作探究3：分当点C在线段上时，当点B在线段上时，当点O在线段上时，三种情况根据正方形的性质讨论求解即可．
【详解】解：操作探究1：补全图形如下所示：
由中心对称图形的性质可得，
∴四边形是平行四边形；
操作探究2：四边形是矩形，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形；
操作探究3：如图3-1所示，当点C在线段上时，
∵四边形是正方形，
∴；
如图3-2所示，当点B在线段上时，
∵四边形是正方形，
∴，
∴；
如图3-3所示，当点O在线段上时，
∵四边形是正方形，
∴，
∴；
综上所述，或或．
【变式8-3】（23-24九年级·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，以、为边作，点为中点，连接、．
(1)分别求出线段和线段所在直线解析式；
(2)点为线段上的一个动点，作点关于点的中心对称点，设点横坐标为，用含的代数式表示点的坐标（不用写出的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，
①当点移动到的边上时，求点坐标；
②为中点，为中点，连接、．请利用备用图探究，直接写出在点的运动过程中，周长的最小值和此时点的坐标．
【答案】(1)所在直线的解析式为；所在直线解析式为
(2)
(3)①或，②周长最小值为；
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出点和点的坐标，再用待定系数法求出线段和线段所在直线解析式即可；
（2）根据所在直线的解析式为，点横坐标为，得出点，再根据点和点关于点的中心对称点，即可得出点的坐标；
（3） ①根据题意进行分类讨论：当点在上时，当点在上时，即可得出结论；②过点作于点，过点作于点，通过证明，得出，延长，过点作于点，证明，进而得出，过点作，则，即可推出点在直线上运动，作点关于直线的对称点，当点，，在同一条直线上时，周长取最小值，即可求出 周长取最小值；根据中点坐标公式得出，，再证明点是中点，则，求出，根据点为中点，得出，最后根据，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵四边形为平行四边形，，
∴，
∵点为中点，
∴，
设所在直线的解析式为，
把，代入得：
，解得：，
∴所在直线的解析式为；
设所在直线解析式为，
把点，代入的：
，解得：，
∴所在直线解析式为．
（2）解：∵所在直线的解析式为，点横坐标为，
∴点，
设点，
∵点和点关于点的中心对称点，
∴，
整理得：，
∴；
（3）解：①当点在上时，
∵点在上，
∴，解得，
∴；
当点在上时，
∵，且在上，
∴，解得：，
∴；
综上：或；
②∵，，
∴，
∵为中点，为中点，
∴，
过点作轴于点，
∵，，
∴，
∴，则，
过点作于点，过点作于点，
∵点是点关于点的中心对称点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
延长，过点作于点，
∵点是中点，
∴，
∵，
∴，
∴，则，
∵，，
∴，
∵，，
∴设，
在中，根据勾股定理可得：，即，
解得：，
∴，
过点作，
∵，，，
∴，
则点在直线上运动，
作点关于直线的对称点，
根据轴对称的性质以及平行线间的距离处处相等可得，
当点，，在同一条直线上时，，此时周长取最小值，
在中，根据勾股定理可得：，
∴周长最小值为；
∵，，，为中点，为中点，
∴，，
∵，，
∴是的中位线，则点是中点，
∴，
过点作于点，
∵，，
∴，
∴
∵，
∴，即点为中点，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，平行四边形的性质，中心对称，勾股定理，轴对称，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法，中点坐标公式，正确作出辅助线，确定周长最小时各点的位置．
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