课时作业(十三) 定积分的简单应用
A组 基础巩固
1．在下面所给图形的面积S及相应的表达式中，正确的有( )
A．①③ B．②③
C．①④ D．③④
解析：①应是S＝[f(x)－g(x)]dx，
②应是S＝2dx－(2x－8)dx，
③和④正确．故选D.
答案：D
2.dx等于( )
A. B.
C．π D．2π
解析：令y＝，则(x－1)2＋y2＝1(y≥0)，因而dx表示圆(x－1)2＋y2＝1在x轴上方x∈[0,1]的面积，即圆面积的，即dx＝.
答案：A
3．曲线y＝x2＋2x与直线x＝－1，x＝1及x轴所围图形的面积为( )
A．2 B.
C. D.
解析：S＝－－1(x2＋2x)dx＋(x2＋2x)dx
＝－＋＝＋＝2.
答案：A
4．以初速40 m/s竖直向上抛一物体，t s时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为( )
A. m B. m
C. m D. m
解析：由v＝40－10t2＝0 t2＝4，t＝2.
∴h＝(40－10t2)dt＝
＝80－＝(m)．故选A.
答案：A
5．如图，阴影部分的面积是( )
A．2 B．2－
C. D.
解析：阴影部分的面积S＝ (3－x2－2x)dx
＝＝.
答案：C
6．由抛物线y＝x2－x，直线x＝－1，x＝1及x轴围成的图形面积为( )
A. B．1
C. D.
解析：S＝ (x2－x)dx＋＝1.
答案：B
7．抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积为________．
解析：由y′＝－2x＋4得在点A、B处切线的斜率分别为2和－2，则两直线方程分别为y＝2x－2和y＝－2x＋6，
由得两直线交点坐标为C(2,2)，
∴S＝S△ABC－(－x2＋4x－3)dx
＝×2×2－
＝2－＝.
答案：
8．已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1，若f(x)dx＝2f(a)成立，则a的值为__________．
解析：f(x)dx＝ (3x2＋2x＋1)dx，取F(x)＝x3＋x2＋x，
则F′(x)＝3x2＋2x＋1，原式＝F(1)－F(－1)＝4，所以2(3a2＋2a＋1)＝4，即3a2＋2a－1＝0，解得a＝－1或a＝.
答案：－1或
9．汽车以每小时32 km的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度a＝－1.8 m/s2刹车，则从开始刹车到停车，汽车所走的路程约为__________．
解析：当t＝0时，v0＝32 km/h＝ m/s＝ m/s.刹车后减速行驶，v(t)＝v0＋at＝－1.8t.停止时，v(t)＝0，则－1.8t＝0，得t＝ s，所以汽车所走的距离s＝eq \i\in(0,,)v(t)dt＝≈21.95(m)．
答案：21.95 m
10．求由曲线xy＝1及直线x＝y，y＝3所围成平面图形的面积．
解析：作出曲线xy＝1，直线x＝y，y＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．
求交点坐标：由得故A；
由得或(舍去)，故B(1,1)；
由得故C(3,3)，
B组 能力提升
11．椭圆＋＝1所围区域的面积为________．
解析：由＋＝1，得y＝±.
又由椭圆的对称性知，椭圆的面积为S＝4dx＝3dx.
由y＝，得x2＋y2＝16(y≥0)．
由定积分的几何意义知dx表示由直线x＝0，x＝4和曲线x2＋y2＝16(y≥0)及x轴所围成图形的面积，
∴dx＝×π×16＝4π，
∴S＝3×4π＝12π.
答案：12π
12．由曲线y＝x2＋4与直线y＝5x所围成的平面图形的面积是________．
解析：由得或
如图，所求面积为S＝ (5x－x2－4)dx＝
＝－
＝.
答案：
13．已知抛物线y＝x2－2x及直线x＝0，x＝a，y＝0所围成的平面图形的面积为，求a的值．
解得
或或
∴得a＝－1或a＝2，∴a的值为－1或2.
14．函数f(x)＝ax3＋bx2－3x，若f(x)为实数集R上的单调函数，且a≥－1，设点P的坐标为(b，a)，试求出点P的轨迹所形成的图形的面积S.
解析：当a＝0时，由f(x)在R上单调，知b＝0.
当a≠0时，f(x)在R上单调 f′(x)≥0恒成立或f′(x)≤0恒成立．∵f′(x)＝3ax2＋2bx－3，
∴∴a≤－b2且a≥－1.
因此满足条件的点P(b，a)在直角坐标平面xOy的轨迹所围成的图形是由曲线y＝－x2与直线y＝－1所围成的封闭图形．
联立解得或如图，
其面积S＝dx＝＝(3－1)－(－3＋1)＝4.
15．一点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v＝t2－4t＋3(m/s)运动，求：
(1)在t＝4 s时的位置；
(2)在t＝4 s时运动的路程．
解析：(1)在时刻t＝4 s时该点的位置为
(t2－4t＋3)dt＝＝(m)，
即在t＝4 s时该点距出发点 m.
(2)因为v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，
所以在区间[0,1]及[3,4]上，υ(t)≥0，在区间[1,3]上，v(t)≤0，
所以在t＝4 s时的路程为
s＝(t2－4t＋3)dt＋＋
(t2－4t＋3)dt＝(t2－4t＋3)dt－(t2－4t＋3)dt＋(t2－4t＋3)dt＝4(m)，
即在t＝4 s时运动的路程为4 m.课时作业(十一) 定积分的概念
A组 基础巩固
1．定积分(－3)dx等于( )
A．－6 B．6
C．－3 D．3
解析：由定积分的几何意义知，(－3)dx表示由x＝1，x＝3，y＝0及y＝－3所围成的矩形面积的相反数，故(－3)dx＝－6.
答案：A
2．已知定积分f(x)dx＝8，且f(x)为偶函数，则f(x)dx等于( )
A．0 B．16
C．12 D．8
解析：偶函数图象关于y轴对称，故f(x)dx＝2f(x)dx＝16.
答案：B
3．下列命题不正确的是( )
A．若f(x)是连续的奇函数，则f(x)dx＝0
B．若f(x)是连续的偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dx
C．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则f(x)dx＞0
D．若f(x)在[a，b]上连续且f(x)dx＞0，则f(x)在[a，b]上恒正
解析：A项，因为f(x)是奇函数，图象关于原点对称，所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等，故积分是0，所以A项正确；B项，因为f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，故y轴两侧的图象都在x轴上方或下方且面积相等，故B项正确；由定积分的几何意义知，C项显然正确；D项，f(x)也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f(x)＞0的曲线围成的面积比f(x)＜0的曲线围成的面积大．
答案：D
4．设f(x)是[a，b]上的连续函数，则f(x)dx－f(t)dt的值( )
A．大于零 B．等于零
C．小于零 D．不能确定
解析：定积分的值只与被积函数和积分区间有关，与积分变量用什么字母表示无关.f(t)dx和f(x)dt都表示曲线y＝f(x)与x＝a，x＝b及y＝0所围成的曲边梯形的面积，它们的值相等．故选B.
答案：B
5．下列各阴影部分的面积S不可以用S＝[f(x)－g(x)]dx求出的是( )
A B
C D
解析：定积分S＝[f(x)－g(x)]dx的几何意义是求函数f(x)与g(x)之间的阴影部分的面积，必须注意f(x)的图象要在g(x)的图象上方．对照各选项可知，D项中f(x)的图象不全在g(x)的图象上方．故选D.
答案：D
6．若f(x)dx＝3，g(x)dx＝2，则[f(x)＋g(x)]dx＝__________.
解析：∵[f(x)＋g(x)]dx＝f(x)dx＋
g(x)dx＝3＋2＝5.
答案：5
7．若eq \i\in(0,,)cosxdx＝1，则由x＝0，x＝π，f(x)＝sinx及x轴围成的图形的面积为__________．
解析：由正弦函数与余弦函数的图象，知f(x)＝sinx，x∈[0，π]的图象与x轴围成的图形面积等于g(x)＝cosx，x∈的图象与x轴围成的图形的面积的2倍，所以S＝sinxdx＝2.
答案：2
8．直线x＝1，x＝－1，y＝0及曲线y＝x3＋sinx围成的平面图形的面积可表示为__________．
解析：因y＝x3＋sinx为奇函数，
故 (x3＋sinx)dx＝－(x3＋sinx)dx＜0.
所以S＝2(x3＋sinx)dx.
答案：2(x3＋sinx)dx
9．计算 (－x3)dx的值．
解析：如图阴影所示：
由定积分的几何意义得
dx＝π×32＝π，
x3dx＝0.
由定积分的性质得
(－x3)dx＝dx－－3x3dx＝π.
B组 能力提升
10．已知函数f(x)＝求f(x)在区间[－1,3π]上的定积分．
解析：由定积分的几何意义知：
∵f(x)＝x5是奇函数，故x5dx＝0；
eq \i\in(,3,)sinxdx＝0(如图(1)所示)；
xdx＝(1＋π)(π－1)＝(π2－1)(如图(2)所示)．
图(1)
图(2)
∴f(x)dx＝x5dx＋xdx＋∫sinxdx
＝xdx＝(π2－1)．
11．求证：＜dx＜1.
证明：如图，dx表示阴影部分面积，△OAB的面积是，正方形OABC的面积是1，显然，△OAB的面积＜阴影部分面积＜正方形OABC的面积，即＜dx＜1.课时作业(二) 导数
A组 基础巩固
1．y＝x2在x＝1处的导数为( )
A．2x B．2
C．2＋Δx D．1
解析：∵f(x)＝x2，x＝1，
∴Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－1＝2Δx＋(Δx)2.
∴＝2＋Δx，当Δx→0时，→2，∴f′(1)＝2.
答案：B
2．设f(x)＝ax＋4 ，若f′(1)＝2，则a＝( )
A．2 B．－2
C．3 D．－3
解析：∵f′(1)＝
＝ ＝a，∴a＝2.
答案：A
3．一物体做直线运动，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度为( )
A．0 B．3
C．－2 D．3－2t
解析：∵＝＝3－Δt，
∴s′(0)＝ ＝3.
答案：B
4．已知函数f(x)在x＝1处的导数为1，则 ＝( )
A. B．1
C．2 D.
解析：∵f′(1)＝1，∴ ＝1，
∴ ＝ ＝.
答案：A
5．如果某物体做运动方程为s＝2(1－t2)的直线运动(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2 s末的瞬时速度为( )
A．－4.8 m/s B．－0.88 m/s
C．0.88 m/s D．4.8 m/s
解析：运动物体在1.2 s末的瞬时速度即为s在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得．
li
＝li
＝li2(－Δt－2.4)＝－4.8(m/s)．
答案：A
6．设f(x)在点x＝x0处可导，且f′(x0)＝－2，则
li ＝( )
A．0 B．2
C．－2 D．不存在
解析：li ＝
li ＝f′(x0)＝－2.
答案：C
7．函数y＝x＋在x＝1处的导数是__________．
解析：∵Δy＝1＋Δx＋－1－＝Δx－1＋＝，∴＝，因此，y′|x＝1＝ ＝0.
答案：0
8．某物体做匀速直线运动，其运动方程是s＝vt，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________．
解析：v0＝li ＝li
＝li ＝li ＝v.
答案：相等
9．已知函数f(x)＝求f′(1)·f′(－1)的值．
解析：当x＝1时，＝
＝
＝.
由导数的定义，得f′(1)＝li ＝.
当x＝－1时，＝
＝
＝Δx－2.
由导数的定义，得f′(－1)＝li (Δx－2)＝－2.
所以，f′(1)·f′(－1)＝×(－2)＝－1.
B组 能力提升
10．已知f′(x0)＝lieq \o(m,\s\do4(x→)) ，f(3)＝2，f′(3)＝－2，则li 的值是( )
A．4 B．6
C．8 D．不存在
解析：li ＝li
＝li ＝2－3li
＝2－3f′(3)＝8.
答案：C
11．已知a＝li ，
b＝li ，
c＝li ，
d＝li ，e＝li ，则a，b，c，d，e有相等关系的是________．
解析：a＝li ＝f′(x)，
b＝li ＝－li ＝－f′(x)，
c＝li ＝2li ＝2f′(x)，
d＝li
＝li
＝li ＋li
＝f′(x)＋f′(x)＝f′(x)，
e＝li ＝f′(x)，
故a＝d＝e＝f′(x)．
答案：a，d，e
12．已知一个质点从固定点A开始运动，位移函数为y＝f(t)＝t3＋3，求t＝4时，li 的值．
解析：∵Δy＝(Δt＋4)3＋3－(43＋3)＝(Δt)3＋12(Δt)2＋48Δt，
∴＝＝(Δt)2＋12Δt＋48，
∴li ＝li[(Δt)2＋12Δt＋48]＝48.
13．某一物体运动方程为s＝
求此物体在t＝1和t＝3时的速度．
解析：当t＝1时，s＝3t2＋2，
Δs＝s(t＋Δt)－s(t)＝3(1＋Δt)2＋2－(3＋2)＝6Δt＋3(Δt)2，∴v＝ ＝ ＝ (6＋3Δt)＝6.
当t＝3时，s＝29＋3(t－3)2，
Δs＝s(3＋Δt)－s(t)
＝29＋3(3＋Δt－3)2－29－3(3－3)2＝3(Δt)2.
∴v＝ ＝ ＝0.
所以物体在t＝1和t＝3时的速度分别是6和0.
14．设函数f(x)在x0处可导，求下列各式的值．
(1)li ；
(2)li ；
(3)li .
解析：(1)li
＝－mli ＝－mf′(x0)．
(2)li ＝
li ＝f′(x0)．
(3)原式
＝li
＝li －li
＝4li －5li
＝4f′(x0)－5f′(x0)＝－f′(x0)．课时作业(八) 函数的最大(小)值与导数
A组 基础巩固
1．函数y＝f(x)＝的最大值为( )
A．e－1 B．e
C．e2 D．10
解析：令y′＝＝＝0 x＝e.
当x＞e时，y′＜0；当0＜x＜e时，y′＞0，
所以y极大值＝f(e)＝e－1，
在定义域内只有一个极值，所以ymax＝e－1.
答案：A
2．函数f(x)＝＋x(x∈[1,3])的值域为( )
A．(－∞，1)∪(1，＋∞) B.
C. D.
解析：f′(x)＝－＋1＝，
所以在[1,3]上f′(x)＞0恒成立，即f(x)在[1,3]上单调递增．
所以f(x)的最大值是f(3)＝，最小值是f(1)＝.故选D.
答案：D
3．若函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为( )
A．－5 B．7
C．10 D．－19
解析：f′(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x－3)·(x＋1)．
令f′(x)＝0，得x＝3或－1.
∵x∈[－2，－1]时，f′(x)＜0，
∴f(x)在[－2，－1]上递减．
∴f(－2)＝2，即a＋2＝2，a＝0，它的最小值为f(－1)＝－5.
答案：A
4．f(x)＝2x－cosx在(－∞，＋∞)上( )
A．是增函数 B．是减函数
C．有最大值 D．有最小值
解析：∵f′(x)＝2＋sinx＞0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
答案：A
5．直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有相异的三个交点，则a的取值范围是( )
A．－2＜a＜2 B．－2≤a＜2
C．a＜－2或a＞2 D．a＜－2或a≥2
解析：可求得y＝x3－3x在x＝－1时取极大值2，
在x＝1时，取极小值－2，则y＝x3－3x的图象如图所示．
∴y＝a与y＝x3－3x的图象有相异的三个公共点时，－2＜a＜2.
答案：A
6．若函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( )
A．－10 B．－71
C．－15 D．－22
解析：f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．
由f′(x)＝0，得x＝3或x＝－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，
f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.
由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，
∴f(x)min＝k－76＝－71.
答案：B
7．函数y＝－x(x≥0)的最大值为__________．
解析：y′＝－1＝，令y′＝0得x＝.
∵0＜x＜时，y′＞0；x＞时，y′＜0.
∴x＝时，ymax＝－＝.
答案：
8．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝________.
解析：∵f′(x)＝3x2－3，∴当x＞1或x＜－1时，
f′(x)＞0；
当－1＜x＜1时，f′(x)＜0.
∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增．
∴f(x)min＝f(1)＝1－3－a＝－2－a＝n.
又∵f(0)＝－a，f(3)＝18－a，∴f(0)＜f(3)．
∴f(x)max＝f(3)＝18－a＝m，
∴m－n＝18－a－(－2－a)＝20.
答案：20
9．函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)，x∈[0,1]的值域为________．
解析：当0≤x≤1时，f′(x)＝ex(sinx＋cosx)＋ex(cosx－sinx)＝excosx＞0，所以f(x)在[0,1]上单调递增，则f(0)≤f(x)≤f(1)，
即函数f(x)的值域为.
答案：
10．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16.
(1)求a，b的值；
(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．
解析：(1)因f(x)＝ax3＋bx＋c，
故f′(x)＝3ax2＋b，
由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16，
故有即
化简得解得a＝1，b＝－12.
(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c；
f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)．
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.
当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＞0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；
当x∈(－2,2)时，f′(x)＜0，故f(x)在(－2,2)上为减函数；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．
由此可知f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x2＝2处取得极小值f(2)＝c－16.
由题设条件知16＋c＝28得c＝12.
此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝－16＋c＝－4，
因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4.
B组 能力提升
11．函数y＝x＋2cosx在上取最大值时，x的值为( )
A．0 B.
C. D.
解析：由y′＝1－2sinx＝0及x∈，解得x＝.∵f＝＋，f(0)＝2，f＝，∴当x＝时，f(x)取得最大值为f，故选B.
答案：B
12．函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)在区间上的值域为( )
A. [，e] B.
C．[1，e] D．(1，e]
解析：f′(x)＝ex(sinx＋cosx)＋ex(cosx－sinx)＝excosx.当0≤x≤时，f′(x)≥0，∴f(x)是上的增函数，∴f(x)的最大值为f＝
e，f(x)的最小值为f(0)＝.故选A.
答案：A
13．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意的x∈(0,1]都有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围为________．
解析：∵x∈(0,1]，f(x)≥0可化为a≥－.设g(x)＝－，则g′(x)＝.令g′(x)＝0，得x＝.当0＜x＜时，g′(x)＞0；当＜x≤1时，g′(x)＜0，∴g(x)在(0,1]上有极大值g＝4，它也是最大值，故a≥4.
答案：a≥4
14．设函数f(x)＝x＋ax2＋blnx，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.
(1)求a，b的值；
(2)证明：f(x)≤2x－2.
解析：(1)f′(x)＝1＋2ax＋.
由已知得得
解得a＝－1，b＝3.
(2)证明：f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由(1)知f(x)＝x－x2＋3lnx.
设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3lnx，
则g′(x)＝－1－2x＋＝－.
令g′(x)＝0得x＝1或x＝－(舍去)．
当0＜x＜1时， g′(x)＞0，当x＞1时，g′(x)＜0.
∴g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
∴g(x)max＝g(1)＝0，∴f(x)－(2x－2)≤0.
∴f(x)≤2x－2.
15．已知函数f(x)＝x3＋ax＋b(a，b∈R)在x＝2处取得极小值－.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若f(x)≤m2＋m＋在[－4,3]上恒成立，求实数m的取值范围．
解析：(1)f′(x)＝x2＋a，由f′(2)＝0，得a＝－4；
再由f(2)＝－，得b＝4.
所以f(x)＝x3－4x＋4，f′(x)＝x2－4.
令f′(x)＝x2－4＞0，得x＞2或x＜－2.
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)．
(2)因为f(－4)＝－，f(－2)＝，f(2)＝－，
f(3)＝1，所以函数f(x)在[－4,3]上的最大值为.
要使f(x)≤m2＋m＋在[－4,3]上恒成立，
只需m2＋m＋≥，解得m≥2或m≤－3.
所以实数m的取值范围是(－∞，－3]∪[2，＋∞)．课时作业(十) 曲边梯形的面积、
汽车行驶的路程
A组 基础巩固
1．和式 (xi＋1)可表示为( )
A．(x1＋1)＋(x5＋1)
B．x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋1
C．x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋5
D．(x1＋1)(x2＋1)…(x5＋1)
解析： (xi＋1)＝(x1＋1)＋(x2＋1)＋(x3＋1)＋(x4＋1)＋(x5＋1)＝x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋5.
答案：C
2．求由抛物线y＝2x2与直线x＝0，x＝t(t＞0)，y＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t]等分成n个小区间，则第i－1个区间为( )
A.
B.
C.
D.
解析：在[0，t]上等间隔插入(n－1)个分点，把区间[0，t]等分成n个小区间，每个小区间长度均为，故第i－1个区间为.
答案：D
3．已知某物体运动的速度为v＝t3，t∈[0,1]，若把区间4等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的近似值为( )
A. B.
C. D.
解析：s≈×＝＝.
答案：D
4．设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0＜x1＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b，把区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式Sn＝f(ξi)Δx(其中Δx为小区间的长度)，那么Sn的大小( )
A．与f(x)和区间[a，b]有关，与分点的个数n和ξi的取法无关
B．与f(x)和区间[a，b]的分点的个数n有关，与ξi的取法无关
C．与f(x)和区间[a，b]的分点的个数n，ξi的取法都有关
D．与f(x)和区间[a，b]的ξi的取法有关，与分点的个数n无关
解析：用分点a＝x0＜x1＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b把区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式Sn＝f(ξi)·Δx.若对和式求极限，则可以得到函数y＝f(x)的图象与直线x＝a，x＝b，y＝0围成的区域的面积，在求极限之前，和式的大小与函数式、分点的个数和变量的取法都有关．
答案：C
5．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶，甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是( )
A．在t1时刻，甲车在乙车前面
B．t1时刻后，甲车在乙车后面
C．在t0时刻，两车的位置相同
D．t0时刻后，乙车在甲车前面
解析：因为变速直线运动的物体在某一时间区间上的路程等于在这一区间上的函数图象与x轴之间区域的面积．图中各部分的面积我们用a，b，c，d表示，如图，故当时间为t0时，甲走过的路程是a＋c，乙走过的路程是c；当时间为t1时，甲走过的路程是a＋c＋d，乙走过的路程是c＋d＋b.
从图象可知a＞b，所以在t1时刻a＋c＋d＞c＋d＋b，即甲车的路程大于乙车的路程，A正确；
t1时刻后，甲车走过的路程逐渐小于乙车走过的路程，但甲车不一定在乙车后面，B错；
t0时刻，甲、乙走过的路程不一样，两车的位置不相同，C错；
t0时刻后，t1时刻时，甲车走过的路程大于乙车走过的路程，D错．
答案：A
6．求由抛物线f(x)＝x2，直线x＝0，x＝1以及x轴所围成的平面图形的面积时，若将区间[0,1]5等分，如图所示，以小区间中点的纵坐标为高，则所有矩形的面积之和为__________．
解析：S＝×
＝0.33.
答案：0.33
7．如图，曲线C：y＝2x(0≤x≤2)两端分别为M，N，且NA⊥x轴于点A，把线段OA分成n等份，以每一段为边作矩形，使其与x轴平行的边的一个端点在曲线C上，另一端点在曲线C的下方，设这n个矩形的面积之和为Sn，则[(2n－3)(－1)Sn]＝__________.
解析：依题意可知从原点开始，矩形的高成等比数列，首项为1，公比为2，
则Sn＝(1＋2＋2＋…＋2)＝·＝·.
所以[(2n－3)(－1)Sn]
＝ ＝12.
答案：12
8．已知自由落体的物体速率为v＝gt(g为常数)，则物体从t＝0到t＝4所走的路程为__________．
解析：物体从t＝0到t＝4所走的路程就是速率—时间曲线与时间轴所围成图形的面积，因为t＝0时，v＝0；t＝4时，v＝4g，所以所走路程s＝×4×4g＝8g.
答案：8g
9．求由直线x＝1，x＝2，y＝0及曲线y＝围成的图形的面积S.
解析：(1)分割：将区间[1,2]等分成n个小区间，记第i个区间为(i＝1,2，…，n)，其长度为Δx＝－＝.每个小区间对应的小曲边梯形的面积记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，则小曲边梯形的和为S＝ΔSi.
(2)近似代替：因为1＋＜ ＜1＋，所以可用f近似代替函数在这个小区间上的函数值，则小曲边梯形的面积ΔSi可用以f为高，为底边长的小矩形的面积ΔSi′近似代替．即
ΔSi≈ΔSi′＝f·Δx
＝·
＝(i＝1,2，…，n)．
(3)求和：
Sn＝ΔSi′＝
＝＋＋…＋
＝n
＝n·
＝，
从而得到S的近似值S≈Sn＝.
(4)取极限：当n趋向于无穷大时，Sn越来越趋向于S，所以S＝Sn＝.
所以由直线x＝1，x＝2，y＝0及曲线y＝围成的图形的面积S为.
B组 能力提升
10．汽车做变速直线运动，在时刻t的速度(单位：km/h)为v(t)＝t2＋2，那么它在1≤t≤2(单位：h)这段时间行驶的路程为多少？
解析：将区间[1,2]等分成n个小区间，第i个小区间为(i＝1,2，…，n)．
第i个时间区间的路程的近似值为
Δξi≈Δξ′i＝v(t)·＝v·
＝＋＋，
于是sn＝Δξ′i＝
＝n·＋·(0＋1＋2＋…＋n－1)＋[12＋22＋…＋(n－1)2]
＝3＋·＋·
＝3＋＋.
所以s＝sn
＝
＝.
答：这段时间行驶的路程为 km.
11．如图所示，求图中曲边梯形的面积．(只要求写出极限形式)
解析：(1)分割：如图所示，将区间[a，b]任意分割成n个小区间，其分点记为：
x1，x2，…，xn－1，x0＝a，xn＝b，即x0＝a＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn＝b，每个区间记为[xi－1，xi](i＝1,2，…，n)．
(2)近似代替：在每个小区间上任取一点，记为ξi(xi－1＜ξi＜xi)并记Δxi＝xi－xi－1.
以小区间长度Δxi为底，f(ξi)为高的小矩形面积f(ξi)Δxi，设小曲边梯形面积为ΔAi(i＝1,2，…，n)，
则有ΔAi≈f(ξi)ΔAi(i＝1,2，…，n)．
(3)求和：将所有n个小矩形面积加起来，得
Sn＝f(ξ1)Δx1＋f(ξ2)Δx2＋…＋f(ξn)Δxn＝f(ξi)·Δxi.①
(4)取极限：如果分点的数目无限增多，且每个小区间的长度趋近于零时，和式①的极限存在，则和式①的极限就是所求曲边梯形的面积S.
即S＝f(ξi)Δxi.课时作业(一) 变化率问题
A组 基础巩固
1．已知函数f(x)＝－x2＋x，则f(x)从－1到－0.9的平均变化率为( )
A．3 B．0.29 C．2.09 D．2.9
解析：∵f(－1)＝－(－1)2＋(－1)＝－2，
f(－0.9)＝－(－0.9)2＋(－0.9)＝－1.71，
∴平均变化率为＝＝2.9.
答案：D
2．已知函数f(x)＝x2＋4上两点A，B，xA＝1，xB＝1.3，则直线AB的斜率为( )
A．2 B．2.3 C．2.09 D．2.1
解析：∵f(1)＝5，f(1.3)＝5.69，
∴kAB＝＝＝2.3.
答案：B
3．已知函数y＝x2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则等于( )
A．2 B．2x
C．2＋Δx D．2＋(Δx)2
解析：＝＝＝2＋Δx.
答案：C
4．质点运动规律s(t)＝t2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为( )
A．6.3 B．36.3 C．3.3 D．9.3
解析：∵s(3)＝12，s(3.3)＝13.89，
∴平均速度＝＝＝6.3.
答案：A
5．在求平均变化率时，自变量的增量Δx应满足( )
A．Δx＞0 B．Δx＜0
C．Δx＝0 D．Δx≠0
解析：自变量的增量Δx的值可正、可负，但不能取零．
答案：D
6．已知A、B两车在十字路口相遇后，又沿不同方向继续前进，其中A车向北行驶，速度为30 km/h，B车向东行驶，速度为40 km/h，那么A，B两车间直线距离增加的速度为( )
A．50 km/h B．60 km/h
C．80 km/h D．65 km/h
解析：设经过时间t两车间的距离为s，
则s＝＝50t(km)，
＝＝50(km/h)．
答案：A
7．当汽球体积由V1＝0 cm3增加到V2＝36π cm3时气球的平均膨胀率为__________．
解析：由平均膨胀率定义可知：＝＝(cm/cm3)，其中r(V)＝，r(36π)＝＝3(cm)．
答案： cm/cm3
8．已知函数f(x)＝，则此函数f(x)＝在[1,1＋Δx]上的平均变化率为__________．
解析：＝＝＝－.
答案：－
9．一质点的运动方程是s＝5－3t2，则在时间[1,1＋Δt]上的平均速度为__________．
解析：＝＝＝－6－3Δt.
答案：－6－3Δt
10．已知某物体按照s(t)＝3t2＋t＋4(t的单位：s，s的单位：m)的规律做直线运动，求该物体在4 s附近的平均速度．
解析：＝＝
＝
＝25＋3Δt.
即该物体在4 s附近的平均速率为(25＋3Δt)m/s.
B组 能力提升
11．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则等于( )
A．4 B．4＋2Δx
C．4＋2(Δx)2 D．4x
解析：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－2×12＋1＝4Δx＋2(Δx)2，∴＝＝4＋2Δx.
答案：B
12．曲线y＝－2x2＋1在点(0,1)处的平均变化率为( )
A．－2(Δx)2 B．－(Δx)2
C．2Δx D．－2Δx
解析：∵中的Δy是函数值y随x的增量Δx变化而产生的增量，即Δy＝f(0＋Δx)－f(0)＝f(Δx)－f(0)＝－2(Δx)2＋1－1＝－2(Δx)2，∴＝＝－2Δx.故选D.
答案：D
13．一水库的蓄水量与时间关系图象如图所示，试指出哪一段时间(以两个月计)蓄水效果最好？哪一段时间蓄水效果最差？
解析：由题图可知6月到8月蓄水量增加最多，9月至11月蓄水量减少最多，所以6月至8月蓄水效果最好，9月至11月蓄水效果最差．
14．比较余弦函数y＝cosx在x＝与x＝π附近的变化率的大小．
解析：y＝cosx在x＝附近的变化率
k1＝＝；
y＝cosx在x＝π附近的变化率
k2＝＝.
∵Δx很小，∴当Δx＞0时，sinΔx＞0,1＞cosΔx＞0，
∴k1＜0，k2＞0，∴k1＜k2；
当Δx＜0时，sinΔx＜0,1＞cosΔx＞0，∴k1＜0，k2＜0，k2－k1＝(1－cosΔx＋sinΔx)
＝＞0，∴k2＞k1.
综上知y＝cosx在x＝π附近的变化率大于在x＝附近的变化率．
15．已知函数y＝log2x＋1.
(1)求函数在[2,2.1]上的平均变化率．
(2)若自变量从x0增加到x0＋Δx，该函数的平均变化率又是多少(x0＞0)
解析：(1)∵x1＝2，x2＝2.1，Δx＝x2－x1＝0.1，
∴f(x1)＝log22＋1＝2，f(x2)＝log22.1＋1≈2.07，
∴＝＝＝0.7.
(2)∵x1＝x0，x2＝x0＋Δx，
∴f(x0)＝log2x0＋1，f(x0＋Δx)＝log2(x0＋Δx)＋1，
∴Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝log2(x0＋Δx)－log2x0＝log2＝log2.
∴＝log2÷Δx＝log2.课时作业(九) 生活中的优化问题举例
A组 基础巩固
1．有边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起做成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，则剪去的小正方形的边长应为( )
A．18 B．10
C．8 D．1
解析：设正方形的边长为x，则
V＝(8－2x)(5－2x)x＝2(2x3－13x2＋20x)，
V′＝4(3x2－13x＋10)，
令V′＝0，得x＝1，
所以当x＝1时，容积V取最大值为18.
答案：D
2．若一球的半径为r，则内接于球的圆柱的侧面积最大为( )
A．2πr2 B．πr2
C．4πr2 D.πr2
解析：如图，设内接圆柱的底面半径为R，母线长为l，则R＝rcosθ，l＝2rsinθ，
∴S侧＝2πrcosθ·2rsinθ＝4πr2sinθcosθ.
S′＝4πr2(cos2θ－sin2θ)＝4πr2cos2θ＝0，∴θ＝.
当θ＝，即R＝r时，S侧最大且(S侧)max＝2πr2.
答案：A
3．用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒．所做的铁盒的容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( )
A．6 B．8
C．10 D．12
解析：设截去的小正方形的边长为x cm，铁盒的容积为V cm3，由题意，得V＝x(48－2x)2(0＜x＜24)，V′＝12(24－x)(8－x)．令V′＝0，则在(0,24)内有x＝8，故当x＝8时，V有最大值．
答案：B
4．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，销售为Q，销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )
A．30元 B．60元
C．28 000元 D．23 000元
解析：设毛利润为L(P)，由题意知，
L(P)＝PQ－20Q＝Q(P－20)
＝(8 300－170P－P2)(P－20)
＝－P3－150P2＋11 700P－166 000，
所以L′(P)＝－3P2－300P＋11 700.
令L′(P)＝0，解得P＝30或P＝－130(舍去)．
此时，L(30)＝23 000.
根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元．
答案：D
5．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm3，其底面两邻边长之比为1∶2，则它的长为________cm，宽为________cm，高为________cm时，可使表面积最小．
解析：设底面两邻边长分别为x cm,2x cm，则高h＝＝.
∴表面积S＝4x2＋2(x＋2x)·＝4x2＋(x＞0)．
∴S′＝8x－＝(x3－27)．
令S′＝0，解得S在(0，＋∞)内的唯一可能的极值点为x＝3，∴x＝3时函数取极值，且就是它的最小值．
答案：6 3 4
6．做一个容积为256 dm3的方底无盖水箱，它的高为__________dm时最省料．
解析：设底面边长为x dm，则高h＝，
其表面积为S＝x2＋4××x＝x2＋，
S′＝2x－，令S′＝0，得x＝8，
则高h＝＝4(dm)．
答案：4
7．一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为__________时，帐篷的体积最大．
解析：设OO1为x m，底面正六边形的面积为S m2，帐篷的体积为V m3.
则由题设可得正六棱锥底面边长为
＝(m)，
于是底面正六边形的面积为
S＝6×()2＝(8＋2x－x2)．
帐篷的体积为
V＝×(8＋2x－x2)(x－1)＋(8＋2x－x2)
＝(8＋2x－x2)
＝(16＋12x－x3)，
求导数，得V′＝(12－3x2)．
令V′＝0，解得x＝2或x＝－2(不合题意，舍去)．
当1＜x＜2时，V′＞0；当2＜x＜4时，V′＜0.
所以当x＝2时，V最大．
答案：2 m
8．一艘轮船在航行时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每千米的费用总和最小？
解析：设轮船速度为x(x＞0)千米/时的燃料费用为Q元，则Q＝kx3，由6＝k×103，
可得k＝.∴Q＝x3.
∴总费用y＝·＝x2＋.
∵y′＝－.令y′＝0，得x＝20.
∴当x∈(0,20)时，y′＜0，此时函数单调递减，
当x∈(20，＋∞)时，y′＞0，此时函数单调递增．
∴当x＝20时，y取得最小值，
∴此轮船以20千米/时的速度行驶每千米的费用总和最小．
B组 能力提升
9．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝x3－x＋8(0＜x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．
(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
解析：(1)当x＝40时，
汽车从甲地到乙地行驶了＝2.5小时，要耗油×2.5＝17.5(升)．
(2)当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，
依题意得h(x)＝×＝x2＋－(0＜x≤120)，
h′(x)＝－＝(0＜x≤120)．
令h′(x)＝0，得x＝80.
因为x∈(0,80)时，h′(x)＜0，h(x)是减函数；
x∈(80,120)时，h′(x)＞0，h(x)是增函数，
所以当x＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25(升)．
因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．
即汽车以80千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．
10．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
解析：(1)设隔热层厚度为x cm，
由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝，
再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝.
而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－.
令f′(x)＝0，即＝6，
解得x＝5或x＝－(舍去)．
当0≤x＜5时，f′(x)＜0；
当5＜x≤10时，f′(x)＞0.
故x＝5时是f(x)的最小值点，
对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.
当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元．课时作业(六) 函数的单调性与导数
A组 基础巩固
1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
解析：f′(x)＝ex＋ex(x－3)＝ex(x－2)，
令f′(x)＞0，得x－2＞0，x＞2，
∴f(x)的递增区间是(2，＋∞)．
答案：D
2．已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如右图所示，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是( )
A B
C D
解析：由图象可获得如下信息：
(1)函数y＝f(x)与y＝g(x)两个函数在x＝x0处的导数相同，故两函数在x＝x0处的切线平行或重合．
(2)通过导数的正负及大小可以知道函数y＝f(x)和y＝g(x)为增函数且y＝f(x)增长的越来越慢，而y＝g(x)增长的越来越快．
答案：D
3．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )
A．y＝sinx B．y＝xex
C．y＝x3－x D．y＝lnx－x
解析：B中，y′＝(xex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)＞0在(0，＋∞)上恒成立，∴y＝xex在(0，＋∞)上为增函数．
对于A，C，D都存在x＞0，使y′＜0的情况．
答案：B
4．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x＞0时，有f′(x)＞0，g′(x)＞0，则当x＜0时，有( )
A．f′(x)＞0，g′(x)＞0
B．f′(x)＞0，g′(x)＜0
C．f′(x)＜0，g′(x)＞0
D．f′(x)＜0，g′(x)＜0
解析：由已知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．
∵x＞0时，f′(x)＞0，g′(x)＞0，
∴f(x)，g(x)在(0，＋∞)上递增．
∴x＜0时，f(x)递增，g(x)递减．
∴x＜0时，f′(x)＞0，g′(x)＜0.
答案：B
5．若函数y＝a(x3－x)的单调减区间为，则a的取值范围是( )
A．a＞0 B．－1＜a＜0
C．a＞1 D．0＜a＜1
解析：y′＝a(3x2－1)＝3a.
当－＜x＜时，＜0，要使y＝a(x3－x)在上单调递减，只需y′＜0，即a＞0.
答案：A
6．已知f(x)＝x3－ax在(－∞，－1]上递增，则a的取值范围是( )
A．a＞3 B．a≥3
C．a＜3 D．a≤3
解析：由f(x)＝x3－ax，得f′(x)＝3x2－a.
由3x2－a≥0对于一切x∈(－∞，－1]恒成立，
又3x2≥3，且a≤3.
若a＜3，则f′(x)＞0对于一切x∈(－∞，－1]恒成立．
若a＝3，x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0恒成立；
当x＝－1时，f′(－1)＝0，∴a≤3.
答案：D
7．函数f(x)＝的单调增区间为__________．
解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝.
令f′(x)＞0，则1－lnx＞0，lnx＜1，得0＜x＜e，
即函数f(x)＝的单调增区间为(0，e)．
答案：(0，e)
8．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为(－1,3)，则b＝__________，c＝________.
解析：f′(x)＝3x2＋2bx＋c，
由条件知即
解得b＝－3，c＝－9.
答案：－3 －9
9．已知函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为____________．
解析：设g(x)＝f(x)－2x－4，则g′(x)＝f′(x)－2.
∵对任意x∈R，f′(x)＞2，∴g′(x)＞0.
∴g(x)在R上为增函数．
又g(－1)＝f(－1)＋2－4＝0，
∴x＞－1时，g(x)＞0.
∴由f(x)＞2x＋4，得x＞－1.
答案：(－1，＋∞)
10．已知f(x)＝lnx＋＋ax(a∈R)，求f(x)在[2，＋∞)上是单调函数时a的取值范围．
解析：f′(x)＝－＋a＝.
①当a＝0时，f′(x)＝在x∈[2，＋∞)上，f′(x)＞0，
∴f(x)在[2，＋∞)上是单调函数，符合题意．
②当a＜0时，令g(x)＝ax2＋x－1，
则f(x)在[2，＋∞)上只能单调递减，
∴f′(x)≤0在[2，＋∞)上恒成立，
∴g(x)≤0在[2，＋∞)上恒成立．
又∵g(x)＝ax2＋x－1＝a2－－1的对称轴为x＝－＞0，
∴－－1≤0，∴a≤－.
③当a＞0时，f(x)在[2，＋∞)上只能递增，
∴f′(x)≥0在[2，＋∞)上恒成立．
∴g(x)≥0在[2，＋∞)上恒成立．
又∵g(x)＝ax2＋x－1，对称轴为x＝－＜0，
∴g(2)≥0，∴a≥－.
又∵a＞0，∴a＞0.
综上所述，实数a的取值范围为∪[0，＋∞)．
B组 能力提升
11．已知函数f(x)的定义域是R，且x≠kπ＋(k∈Z)，若函数f(x)满足f(x)＝f(x＋π)，且当x∈时，f(x)＝2x＋sinx，设a＝f(－1)，b＝f(－2)，c＝f(－3)，则( )
A．c＜b＜a B．b＜c＜a
C．a＜c＜b D．c＜a＜b
解析：∵当x∈时，f(x)＝2x＋sinx，
∴f′(x)＝2＋cosx＞0，f(x)为增函数．又函数f(x)满足f(x)＝f(x＋π)，∴b＝f(－2)＝f(π－2)，c＝f(－3)＝f(π－3)．∵－＜－1＜π－3＜π－2＜，∴a＜c＜b，故选C.
答案：C
12．已知f(x)＝x3－3x，过点A(1，m)(m≠－2)可作曲线y＝f(x)的三条切线，则m的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(－2,3)
C．(－1，－2) D．(－3，－2)
解析：∵f(x)＝x3－3x，∴f′(x)＝3x2－3.设切点为(x，y)，则切线的斜率k＝3x2－3＝＝，整理，得2x3－3x2＋m＋3＝0，由题意得方程2x3－3x2＋m＋3＝0有三个根．再设g(x)＝2x3－3x2＋m＋3，则g′(x)＝6x2－6x＝6x(x－1)．令g′(x)＝0，得x＝0或x＝1.当x∈(－∞，0]时，g(x)为增函数；当x∈(0,1)时，g(x)为减函数；当x∈[1，＋∞)时，g(x)为增函数；则解得－3＜m＜－2，故m的取值范围是(－3，－2)，故选D.
答案：D
13．(1)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为[－1,2]，求b，c的值；
(2)已知f(x)＝ax3＋x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围．
解析：(1)∵函数f(x)的导函数为f′(x)＝3x2＋2bx＋c.
由题设知－1＜x＜2是不等式3x2＋2bx＋c＜0的解集，
∴－1,2是方程3x2＋2bx＋c＝0的两个实根，
∴－1＋2＝－b，－1×2＝，即b＝－，c＝－6.
(2)∵f′(x)＝3ax2＋1，且f(x)有三个单调区间，
∴方程3ax2＋1＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝02－4×3a×1＞0，∴a＜0.
即实数a的取值范围为a＜0.
14．已知x＞0，证明不等式ln(1＋x)＞x－x2成立．
证明：设f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2，其定义域为(－1，＋∞)，则f′(x)＝－1＋x＝.
当x＞－1时，f′(x)＞0，则f(x)在(－1，＋∞)内是增函数．
∴当x＞0时，f(x)＞f(0)＝0.
∴当x＞0时，不等式ln(1＋x)＞x－x2成立．
15．已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
(2)证明：f(x)＝x3－ax－1的图象不可能总在直线y＝a的上方．
解析：(1)∵3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，
∴a≥3x2.
但当x∈(－1,1)时，0＜3x2＜3，∴a≥3，
即当a≥3时，f(x)在(－1,1)上单调递减．
(2)证明：取x＝－1，得f(－1)＝a－2＜a，
即存在点(－1，a－2)在f(x)＝x3－ax－1的图象上，且在直线y＝a的下方．
即f(x)的图象不可能总在直线y＝a的上方．课时作业(十二) 微积分基本定理
A组 基础巩固
1.(cosx＋1)dx等于( )
A．1 B．0
C．π＋1 D．π
解析：(cosx＋1)dx＝(sinx＋x)＝sinπ＋π－0＝π.
答案：D
2．设f(x)＝则－1f(x)dx的值是( )
A. x2dx
B. 2xdx
C. x2dx＋2xdx
D. 2xdx＋x2dx
解析：f(x)dx＝2xdx＋x2dx.
答案：D
3．若dx＝3＋ln2，则a的值是( )
A．6 B．4
C．3 D．2
解析：dx＝(x2＋lnx)
＝(a2＋lna)－(1＋ln1)
＝(a2－1)＋lna
＝3＋ln2.
∴∴a＝2.
答案：D
4．若函数f(x)＝xm＋nx的导函数是f′(x)＝2x＋1，则f(－x)dx＝( )
A. B.
C. D.
解析：∵f(x)＝xm＋nx的导函数是f′(x)＝2x＋1，
∴f(x)＝x2＋x，
∴f(－x)dx＝(x2－x)dx
＝＝.
答案：A
5．若f(x)＝则f(2 012)等于( )
A．1 B．2
C. D.
解析：当x＞0时，f(x)＝f(x－4)，即f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)的周期为4，所以f(2 012)＝f(0)＝20＋sin3x＝1＋＝.故选C.
答案：C
6．已知f(x)dx＝9x2dx，则[f(x)＋6]dx＝( )
A．9 B．12
C．15 D．18
解析：根据定积分的性质，得[f(x)＋6]dx＝
f(x)dx＋6dx.
∵f(x)dx＝9x2dx＝3x3|＝3，
∴[f(x)＋6]dx＝3＋6×2＝15.
答案：C
7．已知t＞0，若(2x－2)dx＝3，则t＝__________.
解析：由题意知t2－2t＝3，解得t＝－1或3，又t＞0，所以t＝3.
答案：3
8．已知α∈，则当(cosx－sinx)dx取得最大值时，α＝__________.
解析：(cosx－sinx)dx＝(sinx＋cosx)＝sinα＋cosα－＝2sin－，由α∈知当α＝时，(cosx－sinx)dx取得最大值2－.
答案：
9．已知t>1，若(2x＋1)dx＝t2，则t＝________.
解析：(2x＋1)dx＝(x2＋x)＝t2＋t－2，从而t2＋t－2＝t2，解得t＝2.
答案：2
10．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，f(x)dx＝－2，求a、b、c的值．
解析：由f(－1)＝2得a－b＋c＝2，①
又f′(x)＝2ax＋b，∴f′(0)＝b＝0，②
而f(x)dx＝(ax2＋bx＋c)dx
＝
＝a＋b＋c，
∴a＋b＋c＝－2，③
由①②③式得a＝6，b＝0，c＝－4.
B组 能力提升
11．已知函数f(a)＝sinxdx，则f＝( )
A．1 B．1－cos1
C．0 D．cos1－1
解析：∵f＝∫0sinxdx＝－cosx|0＝－(－cos0)＝1，
∴f＝f(1)＝sinxdx＝－cosx|＝1－cos1.
答案：B
12.|x2－4|dx＝( )
A. B.
C. D.
解析：∵|x2－4|＝
∴|x2－4|dx＝(x2－4)dx＋(4－x2)dx＝＋＝
＋＝－3－＋8＋8－＝.
答案：C
13．求函数f(a)＝(6x2＋4ax＋a2)dx的最小值．
解析：∵(6x2＋4ax＋a2)dx＝(2x3＋2ax2＋a2x)|＝2＋2a＋a2，即f(a)＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1，∴当a＝－1时，f(a)有最小值1.
14．计算定积分|2x＋3|＋|3－2x|)dx.
解析：方法一：令2x＋3＝0，解得x＝－；
令3－2x＝0，解得x＝.
(|2x＋3|＋|3－2x|)dx＝eq \i\in(-3,,) (－2x－3＋3－2x)dx＋eq \i\in(,,) (2x＋3＋3－2x)dx＋eq \i\in(-,3,) (2x＋3－3＋2x)dx
＝eq \i\in(-3,,) (－4x)dx＋eq \i\in(,,)6dx＋eq \i\in(,3,)4xdx
＝－4·＋6x＋4·
＝45.
方法二：设f(x)＝|2x＋3|＋|3－2x|＝如图，所求积分等于阴影部分面积，
即 (|2x＋3|＋|3－2x|)dx＝S＝2××(6＋12)×＋3×6＝45.
15．(1)已知f(x)是一次函数，其图象过点(1,4)，且f(x)dx＝1，求f(x)的解析式；
(2)设f(x)＝ax＋b，且 [f(x)]2dx＝1，求f(a)的取值范围．
解析：(1)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，因为函数的图象过点(1,4)，所以k＋b＝4.①
又f(x)dx＝(kx＋b)dx＝＝＋b，
所以＋b＝1.②
由①②得k＝6，b＝－2，所以f(x)＝6x－2.
(2)由 [f(x)]2dx＝1可知，
(ax＋b)2dx＝－1(a2x2＋2abx＋b2)dx
＝＝1，
即2a2＋6b2＝3且－≤b≤.
于是f(a)＝a2＋b＝－3b2＋b＋＝－32＋，
所以－≤f(a)≤.课时作业(四) 几个常见函数的导数
A组 基础巩固
1．已知f(x)＝xn，若f′(－1)＝－4，则n的值为( )
A．4 B．－4
C．5 D．－5
解析：f′(x)＝nxn－1，
f′(－1)＝n×(－1)n－1＝－4，∴n＝4.
答案：A
2．y＝x2在点处切线的倾斜角为( )
A. B.
C. D.
解析：设倾斜角为α，y′＝x，y′|x＝－1＝－＝tanα，∴α＝π，故选C.
答案：C
3．已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值等于( )
A．2 B．－2
C．±2 D．4
解析：f′(x)＝－，f′(m)＝－＝－，m2＝4，
∴m＝±2.
答案：C
4．若曲线y＝x在点(a，a)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝( )
A．64 B．32
C．16 D．8
解析：∵y′＝－x，
∴切线的斜率k＝－a，
∴切线的方程为y－a＝－a (x－a)．
令x＝0，得y＝a，
令y＝0，得x＝3a，
即三角形的面积S＝·3a·a＝18.
解得a＝64.
答案：A
5．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．不确定
解析：f′(x)＝3x2＝3，解得x＝±1，故有两个切点(1,1)和(－1，－1)，所以有两条切线．
答案：B
6．下列结论中不正确的是( )
A．若f(x)＝x4，则f′(2)＝32
B．若f(x)＝，则f′(2)＝－
C．若f(x)＝，则f′(1)＝－
D．若f(x)＝x－5，则f′(－1)＝－5
解析：对于A，∵f′(x)＝4x3，∴f′(2)＝4×23＝32，正确；对于B，∵f′(x)＝′＝(x)′＝－x，
∴f′(2)＝－×2＝－×＝－＝－，不正确；对于C，∵f′(x)＝＝′＝(x)′＝－x，∴f′(1)＝－，正确；对于D，∵f′(x)＝－5x－6，∴f′(－1)＝－5，正确．
答案：B
7．曲线y＝过点(4,2)的切线方程为( )
A．y＝x＋1 B．y＝x＋1
C．y＝－x＋ D．y＝x
解析：∵y′＝()′＝，∴切线的斜率为.由点斜式得过点(4,2)的切线方程为y－2＝(x－4)，即y＝x＋1.
答案：B
8．曲线y＝在点Q(16,8)处的切线斜率是________．
解析：∵y＝x，∴y′＝x，∴切线斜率为k＝×16＝.
答案：
9．设坐标平面上的抛物线C：y＝x2，过第一象限的点(a，a2)作抛物线C的切线l，则直线l与y轴的交点Q的坐标为________．
解析：∵y′＝2x，∴直线l的方程为y－a2＝2a(x－a)．令x＝0，得y＝－a2，∴直线l与y轴的交点的坐标为(0，－a2)．
答案：(0，－a2)
10．求与曲线y＝在点P(8,4)处的切线垂直的直线方程．
解析：∵y＝，∴y′＝()′＝(x)′＝x.
∵×8＝，∴经过点P(8,4)的切线的斜率为，故所求直线方程为y－4＝－3(x－8)，即3x＋y－28＝0.
B组 能力提升
11．曲线y＝x5的斜率等于5的切线方程为( )
A．5x－y－4＝0 B．5x－y＋4＝0
C．5x－y－4＝0或5x－y＋4＝0 D．5x－y＝0
解析：设切点为(x0，y0)，
∵y′＝5x4，∴5x＝5.∴x0＝1或x0＝－1，
∴切点坐标为(1,1)或(－1，－1)．
故所求切线为y－1＝5(x－1)或y＋1＝5(x＋1)，
即5x－y－4＝0或5x－y＋4＝0.
答案：C
12．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为( )
A. B.
C. D．1
解析：对y＝xn＋1(n∈N*)求导得y′＝(n＋1)xn.
令x＝1，得在点(1,1)处的切线的斜率k＝n＋1，
∴在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(xn－1)．
令y＝0，得xn＝，
∴x1·x2·…·xn＝×××…××＝， 故选B.
答案：B
13．曲线y＝和y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是________．
解析：由得交点A的坐标为(1,1)．
由y＝x2，得y′＝2x，∴y＝x2在点A(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
由y＝，得y′＝－，∴y＝在点A(1,1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即y＝－x＋2.
S△＝××1＝××1＝.
答案：
14．已知曲线方程为y＝f(x)＝x2，求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程．
解析：设切点P的坐标为(x0，x)．
∵y＝x2，∴y′＝2x，∴k＝f′(x0)＝2x0，
∴切线方程为y－x＝2x0(x－x0)．
将点B(3,5)代入上式，得5－x＝2x0(3－x0)，
即x－6x0＋5＝0，∴(x0－1)(x0－5)＝0，∴x0＝1或x0＝5，
∴切点坐标为(1,1)或(5,25)，
故所求切线方程为y－1＝2(x－1)或y－25＝10(x－5)，
即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.
15．求证：双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数．
证明：设P(x0，y0)为双曲线xy＝a2上任一点．
∵y′＝′＝－.
∴过点P的切线方程为y－y0＝－(x－x0)．
令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝2x0.
则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S＝··|2x0|＝2a2.
即双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a2.课时作业(七) 函数的极值与导数
A组 基础巩固
1．函数f(x)＝x＋2cosx在上的极大值点为( )
A．0 B.
C. D.
解析：f′(x)＝1－2sinx，令f′(x)＝0知x＝.
当0＜x＜时，f′(x)＞0；
当＜x＜时，f′(x)＜0.
∴当x＝时，f(x)有极大值．
答案：B
2．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题：
①f(x)是增函数，无极值；
②f(x)是减函数，无极值；
③f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)；
④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．
其中正确的命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：③④正确．f′(x)＝3x2－6x.
令f′(x)＝3x2－6x＞0，得x＞2或x＜0；
令f′(x)＝3x2－6x＜0，得0＜x＜2，
∴函数f(x)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，
在区间(0,2)上单调递减．当x＝0和x＝2时，
函数分别取得极大值0和极小值－4.
答案：B
3．已知函数y＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( )
A．(2,3) B．(3，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，3)
解析：因为函数y＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，所以有f′(2)＝0，而f′(x)＝6x2＋2ax＋36，代入得a＝－15.现令f′(x)＞0，解得x＞3或x＜2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．
答案：B
4．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的( )
A．极大值为，极小值为0
B．最大值为0，最小值为－
C．极小值为－，极大值为0
D．最小值为0，最大值为
解析：f′(x)＝3x2－2px－q.
∵f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，
∴f′(1)＝3－2p－q＝0，
且f(1)＝1－p－q＝0，
∴p＝2，q＝－1，
∴f′(x)＝3x2－4x＋1，f(x)＝x3－2x2＋x.
令f′(x)＝0，得x＝或x＝1.
当x＜时，f′(x)＞0；
当＜x＜1时，f′(x)＜0；
当x＞1时，f′(x)＞0.
∴f(x)＝x3－2x2＋x在上递增，
在上递减，在(1，＋∞)上递增．
∴当x＝时，f(x)极大值＝－＋＝；
当x＝1时，f(x)极小值＝1－2＋1＝0.
答案：A
5．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是( )
A B
C D
解析：由题意可得f′(－2)＝0，而且当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＜0，此时xf′(x)＞0；当x∈(－2，＋∞)时，f′(x)＞0，此时若x∈(－2,0)，xf′(x)＜0，若x∈(0，＋∞)，xf′(x)＞0，所以函数y＝xf′(x)的图象可能是C.
答案：C
6．设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则( )
A．a＜－1 B．a＞－1
C．a＜－ D．a＞－
解析：∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.令y′＝ex＋a＝0，则ex＝－a，∴x＝ln(－a)．又∵x＞0，
∴－a＞1，即a＜－1.
答案：A
7．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于__________．
解析：y′＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)．
由y′＝0，得x＝0或4.
且x∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时，y′＜0；
x∈(0,4)时，y′＞0.∴x＝4时取到极大值．
故－64＋96＋m＝13，解得m＝－19.
答案：－19
8．若函数y＝x·2x在x＝x0时取极小值，则x0＝__________.
解析：令y′＝2x＋x·2xln2＝2x(1＋xln2)＝0，
得x＝－.
∴当x＞－时，y′＞0，函数递增；
当x＜－时，y′＜0，函数递减．
∴x＝－时取极小值．
答案：－
9．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)．如图，则下列说法中不正确的是________．(填序号)
①当x＝时，函数取得最小值；②f(x)有两个极值点；③当x＝2时函数值取得极小值；④当x＝1时函数取得极大值．
解析：由图象可知，x＝1,2是函数的两极值点，∴②正确；
又x∈(－∞，1)∪(2，＋∞)时，y′＞0；
x∈(1,2)时，y′＜0，
∴x＝1是极大值点，
x＝2是极小值点，故③④正确．
答案：①
10．设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，求f(x)的单调区间与极值．
解析：由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.
令f′(x)＝0，得x＝ln2.
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，ln2) ln2 (ln2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) 单调递减↘? 2(1－ln2＋a) 单调递增↗?
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，
单调递增区间是(ln2，＋∞)；
且f(x)在x＝ln2处取得极小值．
极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)，无极大值．
B组 能力提升
11．函数f(x)＝ax2＋bx在x＝处有极值，则b的值为________．
解析：f′(x)＝2ax＋b，
∵函数f(x)在x＝处有极值，
∴f′＝2a·＋b＝0，即b＝－2，
故答案为－2.
答案：－2
12．已知函数y＝xf′(x)的图象如图(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，给出以下说法：
①函数f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数；
②函数f(x)在区间(－1,1)上单调递增；
③函数f(x)在x＝－处取得极大值；
④函数f(x)在x＝1处取得极小值．
其中正确的说法是________．
解析：①中，由图象知，当x∈(1，＋∞)时，
xf′(x)＞0，
故f′(x)＞0，f(x)在(1，＋∞)上是增函数，故正确；
②中，当x∈(－1,0)时，
xf′(x)＞0，故f′(x)＜0；
当x∈(0,1)时，xf′(x)＜0，
故f′(x)＜0.综上可知，
当x∈(－1,0)∪(0,1)时，f′(x)＜0，
故f(x)在区间(－1,0)，(0,1)上是减函数，故不正确；
③中，f(x)在区间(－1,0)上单调递减，
故x＝－不是极值点；
④中，f(x)在区间(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，故f(x)在x＝1处取得极小值，故正确．
答案：①④
13．如图，三次函数f(x)＝x3＋ax2＋x在区间[－1,1]上有极大值和极小值，求实数a的取值范围．
解析：∵f′(x)＝3x2＋2ax＋1，f(x)在[－1,1]上有极大值与极小值，
即f′(x)＝0在区间[－1,1]上有两个相异的实根，
∴方程3x2＋2ax＋1＝0在区间[－1,1]上有两个相异的实根，
则
解得
∴－2≤a＜－或＜a≤2，即常数a的取值范围是－2≤a＜－或＜a≤2.
14．已知函数f(x)＝x2＋blnx和g(x)＝的图象在x＝4处的切线互相平行．
(1)求b的值；
(2)求f(x)的极值．
解析：(1)对两个函数分别求导，得f′(x)＝2x＋，g′(x)＝＝.
依题意，有f′(4)＝g′(4)，
即8＋＝6，∴b＝－8.
(2)显然f(x)的定义域为(0，＋∞)．
由(1)知b＝－8，
∴f′(x)＝2x－＝.
令f′(x)＝0，解得x＝2或x＝－2(舍去)．
∴当0＜x＜2时，f′(x)＜0，当x＞2时，f′(x)＞0.
∴f(x)在(0,2)上是单调递减函数，在(2，＋∞)上是单调递增函数．
∴f(x)在x＝2时取得极小值，且极小值为f(2)＝4－8ln2.
15．设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.
(1)求f(x)的极值；
(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．
解析：(1)∵f′(x)＝3x2－2x－1.令f′(x)＝0，
即3x2－2x－1＝0，∴x＝－或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x － 1 (1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ?↗ 极大值 ?↘ 极小值 ↗?
∴f(x)的极大值是f＝＋a，
极小值是f(1)＝a－1.
(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，
当x→＋∞时，f(x)→＋∞；当x→－∞时，
f(x)→－∞，∴曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．
结合f(x)的单调性可知，当f(x)的极大值＋a＜0，
即a＜－时，它的极小值a－1小于0，
因此曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，它在(1，＋∞)上；
当f(x)的极小值a－1＞0，即a＞1时，
它的极大值＋a也大于0，
因此曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，
它在上，
∴a∈∪(1，＋∞)时，
曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点.课时作业(三) 导数的几何意义
A组 基础巩固
1．在曲线y＝x2上切线的倾斜角为的点是( )
A．(0,0) B．(2,4)
C. D.
解析：易求y′＝2x，设在点P(x0，x)处切线的倾斜角为，则2x0＝1，∴x0＝，∴P.
答案：D
2．设f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )
A．2 B．－1
C．1 D．－2
解析： ＝ ＝－1，即y′|x＝1＝－1，则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－1.
答案：B
3．已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)与f′(5)分别为( )
A．3,3 B．3，－1
C．－1,3 D．－1，－1
解析：由题意得f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1.
答案：B
4．已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )
A．3 B．2
C．1 D.
解析：设切点的横坐标为(x0，y0)，
∵曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，
∴y′＝－＝，解得x0＝3或x0＝－2(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为3，故选A.
答案：A
5．设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为( )
A．(1,0) B．(2,8)
C．(1,0)或(－1，－4) D．(2,8)或(－1，－4)
解析：f′(x)＝
＝＝3x2＋1.
由于曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，所以f(x)在P0处的导数值等于4，设P0(x0，y0)，有f′(x0)＝3x＋1＝4，解得x0＝±1，这时P0点的坐标为(1,0)或(－1，－4)．
答案：C
6．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于( )
A．2 B．4
C．6＋6Δx＋2(Δx)2 D．6
解析：∵y＝2x3，
∴y′＝＝ ＝
2 ＝2 [(Δx)2＋3xΔx＋3x2]＝6x2，∴点A(1,2)处切线的斜率为6.
答案：D
7．曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为( )
A．y＝3x－1 B．y＝－3x－5
C．y＝3x－5 D．y＝2x
解析：∵y′＝－3x2＋6x，∴y′|x＝1＝－3＋6＝3，故切线方程为y－2＝3(x－1)，即y＝3x－1，故选A.
答案：A
8．曲线y＝的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为__________．
解析：因为k＝y′＝ ＝ ＝
＝＝，所以x＝1.
答案：1
9．曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为__________．
解析：y′＝ ＝
＝3x2－1，
当x＝1时，y′＝2，即切线斜率k＝2.
所以切线方程为y－3＝2(x－1)，
即2x－y＋1＝0.
答案：2x－y＋1＝0
10．已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.
(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；
(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于点P的直线方程．
解析：(1)y′＝ ＝3x2－3.
则过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率k1＝f′(1)＝0，
∴所求直线的方程为y＝－2.
(2)设切点坐标为(x0，x－3x0)，
则直线l的斜率k2＝f′(x0)＝3x－3，
∴－2－(x－3x0)＝(3x－3)(1－x0)，
∴x－3x0＋2＝(3x－3)(x0－1)，
解得x0＝1(舍去)或x0＝－.
故所求直线斜率k＝3x－3＝－，
于是y－(－2)＝－(x－1)，即y＝－x＋.
B组 能力提升
11．设f(x)存在导函数，且满足 ＝－1，则曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )
A．2 B．－1
C．1 D．－2
解析： ＝ ＝f′(x)＝－1.
答案：B
12．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于1，则其切线方程有( )
A．一条 B．两条
C．多于两条 D．不确定
解析：由导数定义可得y′＝3x2，设切点为(x0，x)，由3x＝1，得x0＝±，即在点和点处有斜率为1的切线，故有两条．
答案：B
13．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．
解析：根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)，则y′|＝ ＝2x0＝1，所以x0＝，
所以切点坐标为，
切点到直线x－y－2＝0的距离d＝＝，
所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.
14．已知函数f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值．
解析：∵f′(x)＝
＝ ＝2ax，
∴f′(1)＝2a，即切线斜率k1＝2a.
∵g′(x)＝
＝
＝3x2＋b，
∴g′(1)＝3＋b，即切线斜率k2＝3＋b.
∵在交点(1，c)处有公共切线，∴2a＝3＋b. ①
又∵a＋1＝1＋b，即a＝b，代入①式可得
15．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
(1)求直线l2的方程；
(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积．
解析：(1)∵y′＝ ＝
＝2x＋1，
∴y′|x＝1＝3，所以直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3.
设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点P(x0，x＋x0－2)，
设直线l2的方程为y－(x＋x0－2)＝(2x0＋1)(x－x0)．
∵l1⊥l2，∴3(2x0＋1)＝－1，x0＝－.
∴直线l2的方程为y＝－x－.
(2)解方程组得
又直线l1、l2与x轴交点分别为(1,0)、，
∴所求三角形面积S＝××＝.第一章章末质量评估检测
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若f(x)＝sinα－cosx，则f′(x)等于( )
A．sinx B．cosx
C．cosα＋sinx D．2sinα＋cosx
解析：函数是关于x的函数，因此sinα是一个常数．
答案：A
2．函数f(x)＝sinx＋cosx在点(0，f(0))处的切线方程为( )
A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
解析：f′(x)＝cosx－sinx，
f′(0)＝cos0－sin0＝1，
∴f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为
y－1＝1×(x－0)即x－y＋1＝0.
答案：A
3．已知函数f(x)＝f′cosx＋sinx，则f＝( )
A. B.－1
C．1 D．0
解析：f′(x)＝f′(－sinx)＋cosx，
∴f′＝f′×＋cos，
∴f′＝－1，
∴f＝(－1)·cos＋sin＝1.
答案：C
4．函数f(x)＝x2－ln2x的单调递减区间是( )
A.
B.
C.，
D.，
解析：∵f′(x)＝2x－＝，
当0＜x≤时，f′(x)≤0.
答案：A
5．函数f(x)＝3x－4x3(x∈[0,1])的最大值是( )
A．1 B.
C．0 D．－1
解析：f′(x)＝3－12x2，
令f′(x)＝0，则x＝－(舍去)或x＝，
f(0)＝0，f(1)＝－1，f＝－＝1，
∴f(x)在[0,1]上的最大值为1.
答案：A
6．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3处取得极值，则a＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f′(－3)＝0.
∴3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，∴a＝5.
答案：D
7．做直线运动的质点在任意位置x处，所受的力F(x)＝1＋ex，则质点沿着与F(x)相同的方向，从点x1＝0处运动到点x2＝1处，力F(x)所做的功是( )
A．1＋e B．e
C. D．e－1
解析：W＝F(x)dx＝(1＋ex)dx＝(x＋ex)＝(1＋e)－1＝e.
答案：B
8．设a＜b，函数y＝(x－a)2(x－b)的图象可能是( )
A B
C D
解析：当x＝a或b时，f(x)＝0，
f′(x)＝(x－a)(3x－a－2b)，
令f′(x)＝0得x＝a或x＝，
∵a＜b，∴a＜＜b，
∴f(x)在(－∞，a)及上是增函数，
在上是减函数，
x＝a是函数f(x)的极大值点，
x＝是函数f(x)的极小值点．故选C.
答案：C
9．设函数f(x)＝xex，则( )
A．x＝1为f(x)的极大值点
B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点
D．x＝－1为f(x)的极小值点
解析：利用导数的乘法法则求解．
∵f(x)＝xex，∴f′(x)＝ex＋xex＝ex(1＋x)．
∴当f′(x)≥0时，即ex(1＋x)≥0，即x≥－1，
∴x≥－1时函数y＝f(x)为增函数，同理可求，x＜－1时函数f(x)为减函数．
∴x＝－1时，函数f(x)取得极小值．
答案：D
10．已知y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3是R上的单调增函数，则b的取值范围是( )
A．b＜－1或b＞2 B．b≤－2或b≥2
C．－1＜b＜2 D．－1≤b≤2
解析：y′＝x2＋2bx＋(b＋2)．由于函数在R上单调递增，
∴x2＋2bx＋(b＋2)≥0在R上恒成立，
即Δ＝(2b)2－4(b＋2)≤0，解得－1≤b≤2.
答案：D
11．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产( )
A．6千台 B．7千台
C．8千台 D．9千台
解析：设利润为y，则
y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝18x2－2x3，
y′＝36x－6x2，
令y′＝0得x＝6或x＝0(舍)，
f(x)在(0,6)上是增函数，在(6，＋∞)上是减函数，
∴x＝6时y取得最大值．
答案：A
12．已知定义在R上的函数f(x)，f(x)＋x·f′(x)＜0，若a＜b，则一定有( )
A．af(a)＜bf(b) B．af(b)＜bf(a)
C．af(a)＞bf(b) D．af(b)＞bf(a)
解析：[x·f(x)]′＝x′f(x)＋x·f′(x)
＝f(x)＋x·f′(x)＜0，
∴函数x·f(x)是R上的减函数，
∵a＜b，∴af(a)＞bf(b)．
答案：C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知y＝ln，则y′＝__________.
解析：先将函数式化简后再求导数．
答案：－
14．设a＞0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝__________.
解析：S＝dx＝x＝a＝a2，
∴a＝.
答案：
15．已知函数f(x)＝x3－4ax2＋5x(a∈R)．
(1)当a＝1时，函数在区间[0,2]上的最大值是__________；
(2)若函数f(x)在区间(0,2]上无极值，则a的取值范围是__________．
解析：(1)a＝1时，f′(x)＝3x2－8x＋5，
令f′(x)＝0得：x＝1或x＝，
当x变化时，f(x)、f′(x)的变化情况如下表
x 0 (0,1) 1 2
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 0 ?↗ 2 ↘? ?↗ 2
∴f(x)在区间[0,2]上的最大值为2.
(2)函数f(x)在区间[0,2]上无极值，
即f′(x)＝3x2－8ax＋5＝0在(0,2]上无解或有两个相同的解，
当f′(x)＝0在(0,2]上无解，由8a＝∈[2，＋∞)，
则8a＜2即a＜，
当f′(x)＝0在(0,2]上有两个相同的解，得a＝，
综上，所求a的取值范围是a≤.
答案：(1)2 (2)a≤
16．若函数f(x)＝在区间(m,2m＋1)上单调递增，则实数m的取值范围是__________．
解析：f′(x)＝，令f′(x)＞0，得－1＜x＜1，即函数f(x)的增区间为(－1,1)．
又f(x)在(m,2m＋1)上单调递增，
所以解得－1＜m≤0.
答案：(－1,0]
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋b的图象在点P(0，f(0))处的切线方程是3x－y－2＝0.
(1)求a、b的值；
(2)设t∈[－2，－1]，函数g(x)＝f(x)＋(m－3)x在(t，＋∞)上为增函数，求m的取值范围．
解析：(1)f′(x)＝x2－2x＋a，所以切线的斜率k＝f′(0)＝a，
又切线方程为3x－y－2＝0，故a＝3.
而点P(0，b)在切线上，则b＝－2.
(2)因为f(x)＝x3－x2＋3x－2，所以g(x)＝x3－x2＋3x－2＋(m－3)x＝x3－x2＋mx－2，所以g′(x)＝x2－2x＋m，
又g(x)是(t，＋∞)上的增函数，
所以g′(x)≥0在t∈[－2，－1]上恒成立，
即t2－2t＋m≥0在t∈[－2，－1]上恒成立，
又函数h(t)＝t2－2t＋m在t∈[－2，－1]是减函数，
则h(x)min＝h(－1)＝m＋3≥0，所以m≥－3.
18．(本小题满分12分)
若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．
(1)求a和b的值；
(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．
解析：(1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，
解得a＝0，b＝－3.
(2)由(1)知f(x)＝x3－3x.因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2.
当x＜－2时，g′(x)＜0；当－2＜x＜1时，g′(x)＞0，故－2是g(x)的极值点．
当－2＜x＜1或x＞1时，g′(x)＞0，故1不是g(x)的极值点．
所以g(x)的极值点为－2.
19．(本小题满分12分)
某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x≥0)万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)＝a(x－1)＋2，g(x)＝6ln(x＋b)(a＞0，b＞0)．已知投资额为零时收益为零．
(1)求a，b的值；
(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．
解析：(1)由投资额为零时收益为零，可知f(0)＝－a＋2＝0，g(0)＝6lnb＝0，解得a＝2，b＝1.
(2)由(1)可得f(x)＝2x，g(x)＝6ln(x＋1)．
设投入经销B商品的资金为x万元(0＜x≤5)，则投入经销A商品的资金为(5－x)万元，设所获得的收益为S(x)万元，则S(x)＝2(5－x)＋6ln(x＋1)＝6ln(x＋1)－2x＋10(0＜x≤5)．
S′(x)＝－2，令S′(x)＝0，得x＝2.
当0＜x＜2时，S′(x)＞0，函数S(x)单调递增；
当2＜x≤5时，S′(x)＜0，函数S(x)单调递减．
所以，当x＝2时，函数S(x)取得最大值，S(x)max＝S(2)＝6ln3＋6≈12.6万元．
所以，当投入经销A商品3万元，B商品2万元时，他可获得最大收益，收益的最大值约为12.6万元．
20．(本小题满分12分)
设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.
(1)若a＝，求f(x)的单调区间；
(2)若当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．
解析：(1)a＝时，f(x)＝x(ex－1)－x2，
f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0；
当x∈(－1,0)时，f′(x)＜0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.
故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，
在(－1,0)上单调递减．
(2)f(x)＝x(ex－1－ax)．
令g(x)＝ex－1－ax，则g′(x)＝ex－a.
若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x≥0时g(x)≥0，
即f(x)≥0.
若a＞1，则当x∈(0，lna)时，g′(x)＜0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x∈(0，lna)时g(x)＜0，即
f(x)＜0.
综上，得a的取值范围为(－∞，1]．
21．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝x3－x，如果过点(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求m的取值范围．
解析：f′(x)＝3x2－1，曲线y＝f(x)在点M(t，f(t))处的切线方程为y－f(t)＝f′(t)(x－t)，
即y＝(3t2－1)x－2t3.
如果有一条切线过点(2，m)，则存在t，使m＝－2t3＋6t2－2.
若过点(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，则方程2t3－6t2＋m＋2＝0有三个相异的实数根．
记g(t)＝2t3－6t2＋m＋2，则g′(t)＝6t2－12t＝6t(t－2)．令g′(t)＝0，得t＝0或t＝2.
当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：
t (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞)
g′(t) ＋ 0 － 0 ＋
g(t) 增函数 极大值2＋m 减函数 极小值m－6 增函数
由g(t)的单调性，当极大值2＋m＜0或极小值m－6＞0时，方程g(t)＝0最多有一个实数根；
当2＋m＝0或m－6＝0时，方程g(t)＝0只有两个相异的实数根；
当时，方程g(t)＝0有三个相异的实数根，解得－2＜m＜6.
即如果过(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，得m∈(－2,6)．
22．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝x2－mlnx，h(x)＝x2－x＋a.
(1)当a＝0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；
(2)当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．
解析：(1)由f(x)≥h(x)，得m≤在(1，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝，则g′(x)＝，
当x∈(1，e)时，g′(x)＜0；
当x∈(e，＋∞)时，g′(x)＞0，
所以g(x)在(1，e)上递减，在(e，＋∞)上递增．
故当x＝e时，g(x)的最小值为g(e)＝e.
所以m≤e.
即m的取值范围是(－∞，e]．
(2)由已知可得k(x)＝x－2lnx－a.
函数k(x)在(1,3)上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x)＝x－2lnx与直线y＝a有两个不同的交点．
φ′(x)＝1－＝，
当x∈(1,2)时，φ′(x)＜0，φ(x)递减，
当x∈(2,3)时，φ′(x)＞0，φ(x)递增．
又φ(1)＝1，φ(2)＝2－2ln2，φ(3)＝3－2ln3，
要使直线y＝a与函数φ(x)＝x－2lnx有两个交点，则2－2ln2＜a＜3－2ln3.
即实数a的取值范围是(2－2ln2,3－2ln3)．
