第二章章末质量评估检测
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理( )
A．正确
B．推理形式不正确
C．两个“自然数”概念不一致
D．“两个整数”概念不一致
解析：三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的．
答案：A
2．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为( )
A．a1a2a3…a9＝29 B．a1＋a2＋…＋a9＝29
C．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9
解析：由等差数列性质，有a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5.易知D成立．
答案：D
3．已知f(x＋1)＝，f(1)＝1(x∈N*)，猜想f(x)的表达式为( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝
解析：f(2)＝，f(3)＝，f(4)＝，猜想f(x)＝.
答案：B
4．下列四类函数中，具有性质“对任意的x＞0，y＞0，函数f(x)满足[f(x)]y＝f(xy)”的是( )
A．指数函数 B．对数函数
C．一次函数 D．余弦函数
解析：当函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)时，对任意的x＞0，y＞0，有[f(x)]y＝(ax)y＝axy＝f(xy)，即指数函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)满足[f(x)]y＝f(xy)，可以检验，B，C，D选项均不满足要求．
答案：A
5．下列推理正确的是( )
A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logay
B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sinx＋siny
C．把a(b＋c)与ax＋y类比，则有ax＋y＝ax＋ay
D．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)
解析：(xy)z＝x(yz)是乘法的结合律，正确．
答案：D
6．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )
A．28 B．76
C．123 D．199
解析：记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.
答案：C
7．在平面直角坐标系内，方程＋＝1表示在x，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到空间直角坐标系内，在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为( )
A.＋＋＝1 B.＋＋＝1
C.＋＋＝1 D．ax＋by＋cz＝1
解析：类比到空间应选A.另外也可将点(a,0,0)代入验证．
答案：A
8．求证：＋＞.
证明：因为＋和都是正数，
所以为了证明＋＞，
只需证明(＋)2＞()2，
展开得5＋2＞5，即2＞0，
此式显然成立，
所以不等式＋＞成立．
上述证明过程应用了( )
A．综合法
B．分析法
C．综合法、分析法配合使用
D．间接证法
解析：证明过程中的“为了证明……”，“只需证明……”这样的语句是分析法所特有的，是分析法的证明模式．
答案：B
9．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是( )
A．假设三内角都不大于60°
B．假设三内角都大于60°
C．假设三内角至多有一个大于60°
D．假设三内角至多有两个大于60°
解析：假设应为“三内角都大于60°”．
答案：B
10．数列{an}满足a1＝，an＋1＝1－，则a2 013等于( )
A. B．－1
C．2 D．3
解析：∵a1＝，an＋1＝1－，
∴a2＝1－＝－1，
a3＝1－＝2，
a4＝1－＝，
a5＝1－＝－1，
a6＝1－＝2，
∴an＋3k＝an(n∈N*，k∈N*)
∴a2 013＝a3＋3×670＝a3＝2.
答案：C
11．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证：＜a”最终的索因应是( )
A．a－b＞0 B．a－c＞0
C．(a－b)(a－c)＞0 D．(a－b)(a－c)＜0
解析：要证＜a
只需证b2－ac＜3a2
∵a＋b＋c＝0，∴b＝－a－c
只需证(－a－c)2－ac＜3a2
只需证(c－a)(c＋2a)＜0
只需证(c－a)(c＋a－b－c)＜0
只需证(c－a)(a－b)＞0
故选C.
答案：C
12．观察式子：1＋＜，1＋＋＜，1＋＋＋＜，…，则可归纳出一般式子为( )
A．1＋＋＋…＋＜(n≥2)
B．1＋＋＋…＋＜(n≥2)
C．1＋＋＋…＋＜(n≥2)
D．1＋＋＋…＋＜(n≥2)
解析：由合情推理可得．
答案：C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．“因为AC，BD是菱形ABCD的对角线，所以AC，BD互相垂直且平分．”以上推理的大前提是__________．
答案：菱形对角线互相垂直且平分
14．已知x，y∈R，且x＋y＞2，且x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．
解析：“至少有一个”的反面为“一个也没有”即“x，y均不大于1”，亦即“x≤1且y≤1”．
答案：x，y均不大于1(或者x≤1且y≤1)
15．已知 ＝2， ＝3， ＝4，…， ＝6，a，b均为正实数，由以上规律可推测出a、b的值，则a＋b＝__________.
解析：由题意归纳推理得＝6，
b＝62－1＝35，a＝6.
∴a＋b＝6＋35＝41.
答案：41
16．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为__________．
解析：解法的类比(特殊化)，易得两个正方体重叠部的体积为.
答案：
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立．
(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；
(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．
解析：(1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交．
结论是正确的，证明如下：设α∥β，且γ∩α＝a，则必有γ∩β＝b，若γ与β不相交，则必有γ∥β.
又α∥β，∴α∥γ，与γ∩α＝a矛盾，
∴必有γ∩β＝b.
(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错误的，这两个平面也可能相交．
18．(本小题满分12分)
△ABC中，三边a、b、c成等比数列．求证：acos2＋ccos2≥b.
证明：∵a、b、c成等比数列，
∴b2＝ac.
∴acos2＋ccos2＝＋
＝(a＋c)＋(acosC＋ccosA)
＝(a＋c)＋
＝(a＋c)＋b≥＋
＝b＋＝b
∴acos2＋ccos2≥b.
19．(本小题满分12分)
某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数；
①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；
②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；
③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解析：方法一：
(1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin15°cos15°
＝1－sin30°＝1－＝.
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－
sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)
＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.
方法二：
(1)同方法一．
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝＋－sinα·(cos30°cosα＋sin30°sinα)
＝－cos2α＋＋(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－sinαcosα－sin2α＝－cos2α＋＋cos2α＋·sin2α－sin2α－(1－cos2α)
＝1－cos2α－＋cos2α＝.
20．(本小题满分12分)
若a1＞0，a1≠1，an＋1＝(n＝1,2，…)．
(1)求证：an＋1≠an；
(2)令a1＝，写出a2、a3、a4、a5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式an(不要求证明)．
解析：(1)证明：若an＋1＝an，即＝an，
解得an＝0或1.
从而an＝an－1＝…＝a2＝a1＝0或1，
这与题设a1＞0，a1≠1相矛盾，
所以an＋1＝an不成立．
故an＋1≠an成立．
(2)由题意得a1＝，a2＝，
a3＝，a4＝，a5＝，
由此猜想：an＝.
21．(本小题满分12分)
先解答(1)，再通过结构类比解答(2)．
(1)求证：tan＝；
(2)设x∈R，a为非零常数，且f(x＋α)＝，试问：f(x)是周期函数吗？证明你的结论．
解析：(1)证明：由两角和的正切公式得
tan＝＝，
即tan＝，命题得证．
(2)猜想f(x)是以4a为周期的周期函数．
证明过程如下：
∵f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]
＝＝＝－.
∴f(x＋4a)＝f[(x＋2a)＋2a]
＝－＝f(x)．
∴f(x)是以4a为周期的周期函数．
∴f(x)是周期函数，其中一个周期为4a.
22．(本小题满分12分)
已知Cn＝(n＋1)·n，设Tn＝C1＋C2＋…＋Cn，试比较Tn与的大小，并予以证明．
解析：∵Cn＝(n＋1)n，
故Tn＝2×＋3×2＋4×3＋…＋(n＋1)n，①
Tn＝2×2＋3×3＋4×4＋…＋(n＋1)n＋1，②
由①－②，得
Tn＝1＋2＋3＋…＋n－(n＋1)n＋1
＝1＋－(n＋1)n＋1
＝－.
∴Tn＝3－，
∴Tn－＝3－－
＝，
于是确定Tn与的大小关系等价于比较2n与2n＋1的大小．
由2＜2×1＋1,22＜2×2＋1,23＞2×3＋1,24＞2×4＋1,25＞2×5＋1，…可猜想当n≥3时，2n＞2n＋1，证明如下：
ⅰ当n＝3时，由上可知显然成立．
ⅱ假设当n＝k时，2k＞2k＋1成立．
那么，当n＝k＋1时，
2k＋1＝2×2k＞2(2k＋1)＝4k＋2
＝2(k＋1)＋1＋(2k－1)＞2(k＋1)＋1，
所以当n＝k＋1时猜想也成立，
综合ⅰ和ⅱ，对一切n≥3的正整数，都有2n＞2n＋1.
所以当n＝1,2时，Tn＜；
当n≥3时，Tn＞(n为正整数)．课时作业(十四) 合情推理
A组 基础巩固
1．如图，观察图形规律，在其右下角的空格处画上合适的图形，应为( )
解析：观察图中每一行，每一列的规律，从形状和是否有阴影入手．每一行，每一列中三种图形都有，故填长方形．又每一行每一列中的图形的颜色应有二黑一白，故选A.
答案：A
2．观察下列各等式：＋＝2，＋＝2，＋＝2，＋＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )
A.＋＝2
B.＋＝2
C.＋＝2
D.＋＝2
解析：观察发现：每个等式的右边均为2，左边是两个分数相加，分子之和等于8，分母中被减数与分子相同，减数都是4，因此只有A正确．
答案：A
3．有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )
第一个图案
第二个图案
第三个图案
A．26 B．31
C．32 D．36
解析：有菱形纹的正六边形个数如下表：
图案 1 2 3 …
个数 6 11 16 …
由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.
答案：B
4．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝，可推知扇形面积公式S扇等于( )
A. B.
C. D．不可类比
解析：类比方法：扇形→三角形，弧长→底边长，半径→高，猜想S扇＝.
答案：C
5．下面使用类比推理，得出正确结论的是( )
A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b”
B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”
C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“＝＋(c≠0)”
D．“ax·ay＝ax＋y”类比推出“logax·logay＝loga(x＋y)”
答案：C
6．我们知道：周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是
__________________________________________________________________________.
解析：平面图形与立体图形的类比：周长→表面积，正方形→正方体，面积→体积，矩形→长方体，圆→球．
答案：表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体和球中，球的体积最大
7．观察下列等式
(1＋1)＝2×1
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5
……
照此规律，第n个等式可为__________________________．
解析：观察规律，等号左侧为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，
等号右侧分两部分，一部分是2n，另一部分是1×3×…×(2n－1)．
答案：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)
8．已知 ＝2，＝3，＝4，…，若 ＝6(a，b∈R)，则a＋b＝__________.
解析：根据题意，由于＝2，＝3，＝4，…，那么可知＝6，a＝6，b＝6×6－1＝35，所以a＋b＝41.
答案：41
9．已知f(x)＝，分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论．
解析：f(x)＝，
所以f(0)＋f(1)＝＋＝，
f(－1)＋f(2)＝＋＝，
f(－2)＋f(3)＝＋＝.
归纳猜想一般性结论；f(－x)＋f(x＋1)＝.
证明如下：f(－x)＋f(x＋1)＝＋
＝＋＝＋
＝＝＝.
B组 能力提升
10．观察下列两个等式：
①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝①；
②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝.②
由上面两个等式的结构特征，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．
解析：由①②知若两角差为30°，则它们的相关形式的函数运算式的值均为.
猜想：若β－α＝30°，则β＝30°＋α，sin2α＋cos2β＋sinα·cosβ＝，也可直接写成sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝.
下面进行证明：
左边＝＋＋sinαcos(α＋30°)
＝＋＋sinα(cosαcos30°－sinαsin30°)
＝－·cos2α＋＋·cos2α－sin2α＋
sin2α－＝＝右边．
故sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝.
11．我们知道
12＝1
22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1，
32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1，
42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1，
…
n2＝(n－1)2＋2(n－1)＋1，
左右两边分别相加，得
n2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋n
所以1＋2＋3＋…＋(n－1)＝.
类比上述推理方案写出求12＋22＋32＋…＋n2的表达式的过程．
解析：记S1(n)＝1＋2＋3＋…＋n，
S2(n)＝12＋22＋32＋…＋n2，…，Sk(n)＝1k＋2k＋3k＋…＋nk(k∈N*)．
已知
13＝1，
23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1，
33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1，
43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1，
…
n3＝(n－1)3＋3(n－1)2＋3(n－1)＋1.
将左右两边分别相加，得
S3(n)＝[S3(n)－n3]＋3[S2(n)－n2]＋3[S1(n)－n]＋n.
由此知S2(n)＝＝＝.课时作业(十五) 演绎推理
A组 基础巩固
1．下面几种推理中是演绎推理的是( )
A．因为y＝2x是指数函数，所以函数y＝2x经过定点(0,1)
B．猜想数列，，，…的通项公式为an＝(n∈N*)
C．由“平面内垂直于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中垂直于同一平面的两平面平行”
D．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2
解析：A为演绎推理，这里省略了大前提，B为归纳推理，C，D为类比推理．
答案：A
2．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a2＞0，那么这个演绎推理出错在( )
A．大前提 B．小前提
C．推理过程 D．没有出错
解析：要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提、小前提和结论及推理形式是否都正确，若这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．因为任何实数的平方都大于0，又因为a是实数，所以a2＞0，其中大前提是：任何实数的平方都大于0，它是不正确的．
答案：A
3．在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是( )
A．①④ B．②④
C．①③ D．②③
解析：根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x)＝2x＋1满足增函数的定义；结论是f(x)＝2x＋1为增函数，故①④正确．
答案：A
4．在R上定义运算 ：x y＝x(1－y)．若不等式(x－a) (x＋a)＜1对任意实数x都成立，则( )
A．－1＜a＜1 B．0＜a＜2
C．－＜a＜ D．－＜a＜
解析：因为x y＝x(1－y)，所以(x－a) (x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，即原不等式等价于(x－a)(1－x－a)＜1即x2－x－(a2－a－1)＞0.
所以Δ＝1＋4(a2－a－1)＜0即4a2－4a－3＜0.
解得－＜a＜.
答案：C
5．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)＜0.对任意正数a，b，若a＜b，则必有( )
A．bf(a)＜af(b) B．af(b)＜bf(a)
C．af(a)＜f(b) D．bf(b)＜f(a)
解析：构造函数F(x)＝xf(x)，则
F′(x)＝xf′(x)＋f(x)．
由题设条件知F(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递减．
若a＜b，则F(a)＞F(b)，即af(a)＞bf(b)．
又f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，
所以bf(a)＞af(a)＞bf(b)＞af(b)．故选B.
答案：B
6．以下推理过程省略的大前提为：
________________________________________________________________________.
因为a2＋b2≥2ab，
所以2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab.
解析：由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2＋b2，故大前提为：若a≥b，则a＋c≥b＋c.
答案：若a≥b，则a＋c≥b＋c
7．某一三段论推理，其前提之一为肯定判断，结论为否定判断，由此可以推断，该三段论的另一前提必为__________判断．
解析：根据三段论的特点，三段论的另一前提必为否定判断．
答案：否定
8．已知f(1,1)＝1，f(m，n)∈N*(m，n∈N*)，且对任意m，n∈N*都有：
①f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2 ②f(m＋1,1)＝2f(m,1)给出以下三个结论：
(1)f(1,5)＝9.(2)f(5,1)＝16.(3)f(5,6)＝26.
其中正确结论为__________．
解析：由条件可知，
因为f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，且f(1,1)＝1，
所以f(1,5)＝f(1,4)＋2＝f(1,3)＋4＝f(1,2)＋6＝f(1,1)＋8＝9.
又因为f(m＋1,1)＝2f(m,1)，
所以f(5,1)＝2f(4,1)＝22f(3,1)
＝23f(2,1)＝24f(1,1)＝16，
所以f(5,6)＝f(5,1)＋10＝24f(1,1)＋10＝26.
故(1)(2)(3)均正确．
答案：(1)(2)(3)
9．用三段论的形式写出下列演绎推理：
(1)正整数是自然数，3是正整数，所以3是自然数；
(2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；
(3)0.33是有理数．
解析：(1)大前提：正整数是自然数．
小前提：3是正整数．
结论：3是自然数．
(2)大前提：每一个矩形的对角线相等．
小前提：正方形是矩形．
结论：正方形的对角线相等．
(3)大前提：所有的循环小数是有理数．
小前提：0.33是循环小数．
结论：0.33是有理数．
10．已知α∥β，l⊥α，l∩α＝A(如图)，求证：l⊥β.
证明：如图，在平面β内任取一条直线b，
设平面γ是经过点A与直线b的平面，且γ∩α＝a.
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，
那么它们的交线平行，大前提
α∥β，且α∩γ＝a，β∩γ＝b，小前提
所以a∥b.结论
如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，大前提
a α，且l⊥α，小前提
所以l⊥α.结论
如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它也与另一条直线垂直，大前提
a∥b，且l⊥a，小前提
所以l⊥b.结论
如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直，大前提
l⊥α，且直线b是平面β内的任意一条直线，小前提
所以l⊥β.结论
B组 能力提升
11．已知a，b，c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝ax＋b.当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1.
(1)求证：|c|≤1.
(2)当－1≤x≤1时，求证：－2≤g(x)≤2.
证明：(1)因为x＝0满足－1≤x≤1的条件，
所以|f(0)|≤1.
而f(0)＝c，所以|c|≤1.
(2)当a＞0时，g(x)在[－1,1]上是增函数，
所以g(－1)≤g(x)≤g(1)．
又g(1)＝a＋b＝f(1)－c，
g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c，
所以－f(－1)＋c≤g(x)≤f(1)－c，
又－1≤f(－1)≤1，－1≤f(1)≤1，－1≤c≤1，
所以－f(－1)＋c≥－2，f(1)－c≤2，
所以－2≤g(x)≤2.
当a＜0时，可用类似的方法，
证得－2≤g(x)≤2.
当a＝0时，g(x)＝b，f(x)＝bx＋c，
g(x)＝f(1)－c，
所以－2≤g(x)≤2.
综上所述，－2≤g(x)≤2.
12．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)．
(1)求证：数列{an＋1－an}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)若数列{bn}满足4b1－14b2－1…4bn－1＝(an＋1)bn(n∈N*)，求证：{bn}是等差数列．
解析：(1)证明：∵an＋2＝3an＋1－2an，
∴an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，
∴＝2(n∈N*)．
∵a1＝1，a2＝3，
∴数列{an＋1－an}是以a2－a1＝2为首项，2为公比的等比数列．
(2)解：由(1)，得an＋1－an＝2n(n∈N*)，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝2n－1(n∈N*)．
(3)证明：∵4b1－14b2－1…4bn－1＝(an＋1)bn，
∴4(b1＋b2＋…＋bn)－n＝2nbn，
∴2[(b1＋b2＋…＋bn)－n]＝nbn，①
2[(b1＋b2＋…＋bn＋bn＋1)－(n＋1)]＝(n＋1)bn＋1.②
②－①，得2(bn＋1－1)＝(n＋1)bn＋1－nbn，
即(n－1)bn＋1－nbn＋2＝0，③
nbn＋2－(n＋1)bn＋1＋2＝0.④
④－③，得nbn＋2－2nbn＋1＋nbn＝0，
即bn＋2－2bn＋1＋bn＝0，
∴bn＋2－bn＋1＝bn＋1－bn(n∈N*)．
∴{bn}是等差数列．课时作业(十七) 分析法
A组 基础巩固
1．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”，其过程应用了( )
A．分析法 B．综合法
C．综合法、分析法综合使用 D．间接证法
解析：从证明过程来看，是从已知条件入手，经过推导得出结论，符合综合法的证明思路．
答案：B
2．设P＝，Q＝－，R＝－，那么P，Q，R的大小关系是( )
A．P＞Q＞R B．P＞R＞Q
C．Q＞P＞R D．Q＞R＞P
解析：先比较R，Q的大小，可对R，Q作差，即Q－R＝－－(－)＝(＋)－(＋)．
又(＋)2－(＋)2＝2－2＜0，
∴Q＜R，由排除法可知，选B.
答案：B
3．要证－＜成立，a，b应满足的条件是( )
A．ab＜0且a＞b
B．ab＞0且a＞b
C．ab＜0有a＜b
D．ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b
解析：要证－＜，
只需证(－)3＜()3，
即证a－b－3＋3＜a－b，
即证＜，
只需证ab2＜a2b，即证ab(b－a)＜0.
只需ab＞0且b－a＜0或ab＜0，且b－a＞0.
故选D.
答案：D
4．已知a，b，c为不全相等的实数，P＝a2＋b2＋c2＋3，Q＝2(a＋b＋c)，则P与Q的大小关系是( )
A．P＞Q B．P≥Q
C．P＜Q D．P≤Q
解析：要比较P，Q的大小，只需比较P－Q与0的关系．因为P－Q＝a2＋b2＋c2＋3－2(a＋b＋c)＝a2－2a＋1＋b2－2b＋1＋c2－2c＋1＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2，又a，b，c不全相等，所以P－Q＞0，即P＞Q.
答案：A
5．下列不等式不成立的是( )
A．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca
B.＋＞(a＞0，b＞0)
C.－＜－(a≥3)
D.＋＞2
解析：对A，因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；
对B，
因为(＋)2＝a＋b＋2，()2＝a＋b，
所以＋＞；
对C，要证－＜－(a≥3)成立，只需证明＋＜＋，两边平方得2a－3＋2＜2a－3＋2，即证＜，两边平方得a2－3a＜a2－3a＋2，即0＜2.
因为0＜2显然成立，所以原不等式成立；
对于D，(＋)2－(2)2
＝12＋4－24＝4(－3)＜0，
所以＋＜2，故D错误．
答案：D
6．如果a＋b＞a＋b，则实数a，b应满足的条件是__________．
解析：a＋b＞a＋b
a－a＞b－b a(－)＞b(－)
(a－b)(－)＞0 (＋)(－)2＞0，
只需a≠b且a，b都不小于零即可．
答案：a≠b且a≥0，b≥0
7．设a＞0，b＞0，c＞0，若a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为__________．
解析：根据条件可知，欲求＋＋的最小值．
只需求(a＋b＋c)的最小值，
因为(a＋b＋c)＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9(当且仅当a＝b＝c时取“＝”)．
答案：9
8．如图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足__________时，BD⊥A1C(写上一个条件即可)．
解析：要证BD⊥A1C，只需证BD⊥平面AA1C.
因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD，
即可证明BD⊥平面AA1C，从而有BD⊥A1C.
答案：AC⊥BD(答案不唯一)
9．若a，b，c为不全相等的正数，求证：lg＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc.
证明：要证lg＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc，只需证lg≥lg(a·b·c)，
即证··＞abc.
因为a，b，c为不全相等的正数，
所以≥＞0，≥＞0，≥＞0，
且上述三式中等号不能同时成立，
所以··＞abc成立，
所以lg＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc成立．
10．求证：2cos(α－β)－＝.
证明：要证原等式，只需证：2cos(α－β)sinα－sin(2α－β)＝sinβ，①
因为①左边＝2cos(α－β)sinα－sin[(α－β)＋α]
＝2cos(α－β)sinα－sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα
＝cos(α－β)sinα－sin(α－β)cosα
＝sinβ.
所以①成立，所以原等式成立．
B组 能力提升
11．已知函数f(x)＝tanx，x∈，若x1，x2∈，且x1≠x2，求证：[f(x1)＋f(x2)]＞f.
证明：要证[f(x1)＋f(x2)]＞f，
只需证(tanx1＋tanx2)
＞tan，
只需证
＞(“化切为弦”)，
只需证
＞，
只需证
＞，
只需证明0＜cos(x1－x2)＜1.
由x1，x2∈，且x1≠x2可知0＜cos(x1－x2)＜1成立．
所以[f(x1)＋f(x2)]＞f.
12．已知n∈N，且n＞1，求证：logn(n＋1)＞logn＋1(n＋2)．
解析：要证明logn(n＋1)＞logn＋1(n＋2)，
即证明logn(n＋1)－logn＋1(n＋2)＞0.(*)
∵logn(n＋1)－logn＋1(n＋2)＝－logn＋1(n＋2)
＝.
又∵当n＞1时，logn＋1n＞0，且logn＋1(n＋2)＞0，logn＋1n≠logn＋1(n＋2)，
∴logn＋1n·logn＋1(n＋2)＜[logn＋1n＋logn＋1(n＋2)]2＝log[n(n＋2)]
＝log·(n2＋2n)＜log(n＋1)2＝1，
故1－logn＋1n·logn＋1(n＋2)＞0，
∴＞0.
这说明(*)式成立，∴logn(n＋1)＞logn＋1(n＋2)．课时作业(十九) 数学归纳法
A组 基础巩固
1．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是( )
A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确
B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确
C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确
D．假使n≤k(k≥1)时正确，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N*)
答案：B
2．某同学回答“用数学归纳法证明证明：①当n＝1时，显然命题是正确的；②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，有A．从k到k＋1的推理过程没有使用假设
B．假设的写法不正确
C．从k到k＋1的推理不严密
D．当n＝1时，验证过程不具体
答案：A
3．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋1)，第二步证明由“k到k＋1”时，左端增加的项数是( )
A．2k－1 B．2k
C．2k－1 D．2k＋1
答案：B
4．用数学归纳法证明＋＋＋…＋<1(n∈N*，n≥2)，由“k到k＋1”时，不等式左端的变化是( )
A．增加一项
B．增加和两项
C．增加和两项，同时减少一项
D．以上都不对
答案：C
5．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋＝2(＋＋…＋)时，若已知假设n＝k(k≥2)为偶数时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )
A．n＝k＋1时等式成立
B．n＝k＋2时等式成立
C．n＝2k＋2时等式成立
D．n＝2(k＋2)时等式成立
答案：B
6．平面上原有k个圆，它们相交所成圆弧共有f(k)段，若增加第k＋1个圆与前k个圆均有两个交点，且不过前k个圆的交点，试问前k个圆的圆弧增加__________段．
答案：2k
7．对于不等式(1)当n＝1时，<1＋2，不等式成立．
(2)假设n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即∴当n＝k＋1时，不等式成立．
上述证法第__________步错误．
答案：(2)
8．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝__________.
解析：当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5；当a＝3且n＝2时，310＋35不能被14整除，故a＝5.
答案：5
9．已知n∈N*，求证1·22－2·32＋…＋(2n－1)·(2n)2－2n·(2n＋1)2＝－n(n＋1)(4n＋3)．
证明：①当n＝1时，左边＝4－18＝－14＝(－1)×2×7＝右边．②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时成立，即1·22－2·32＋…＋(2k－1)·(2k)2－2k·(2k＋1)2＝－k(k＋1)(4k＋3)．当n＝k＋1时，1·22－2·32＋…＋(2k－1)·(2k)2－2k·(2k＋1)2＋(2k＋1)·(2k＋2)2－(2k＋2)·(2k＋3)2＝－k(k＋1)(4k＋3)＋(2k＋2)[(2k＋1)(2k＋2)－(2k＋3)2]＝－k(k＋1)(4k＋3)＋2(k＋1)·(－6k－7)＝－(k＋1)(k＋2)(4k＋7)＝－(k＋1)·[(k＋1)＋1][4(k＋1)＋3]，即当n＝k＋1时成立．综上所述，对一切n∈N*结论成立．
B组 能力提升
10．当n≥2，n∈N*时，求证：1＋＋＋…＋＞.
证明：(1)当n＝2时，左边＝1＋＞1.7，右边＝，左边＞右边．
(2)方法一：假设当n＝k(k≥2且k∈N*)不等式成立，即1＋＋＋…＋＞，则当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋＞＋＝＞＝＝＝右式，
即当n＝k＋1时，不等式也成立．
方法二：假设当n＝k(k≥2，且k∈N*)时不等式成立，即1＋＋＋…＋＞，则当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋＞＋，右边＝要证不等式成立，只需证＋＞，
只需证＞
只需证＋1＞k＋1，
只需证＞k，
只需证k2＋k＞k2，
只需证k＞0，由题设知显然成立．
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
方法三：假设当n＝k(k≥2，且k∈N*)时不等式成立，即1＋＋＋…＋＞，则当n＝k＋1时，
左边＝1＋＋＋…＋＋＞＋，
右边＝，
因为＋－＝＝＞0，
所以左边＞右边．
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
根据(1)和(2)，可知对一切n∈N*，且n≥2，不等式都成立．
11．已知某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n≥2，数列的前n项之积为n2.
(1)写出这个数列的前5项；
(2)写出这个数列的通项公式并加以证明．
解析：(1)已知a1＝1，由题意，得a1·a2＝22，∴a2＝22.
∵a1·a2·a3＝32，∴a3＝.
同理，可得a4＝，a5＝.
因此这个数列的前5项分别为1,4，，，.
(2)观察这个数列的前5项，猜测数列的通项公式应为：
an＝
下面用数学归纳法证明当n≥2时，an＝.
①当n＝2时，a2＝＝22，结论成立．
②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即ak＝.
∵a1·a2·…·ak－1＝(k－1)2，
a1·a2·…·ak－1·ak·ak＋1＝(k＋1)2，
∴ak＋1＝＝·＝＝.
这就是说当n＝k＋1时，结论也成立．
根据①②可知，当n≥2时，这个数列的通项公式是an＝.
∴这个数列的通项公式为an＝课时作业(十八) 反证法
A组 基础巩固
1．用反证法证明命题：“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：
①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；③假设直线AC，BD是共面直线．
则正确的序号顺序为( )
A．①②③ B．③①②
C．①③② D．②③①
解析：根据反证法的三个基本步骤“反设—归谬—结论”可知顺序应为③①②.
答案：B
2．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
解析：至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．
答案：A
3．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为( )
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
解析：假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线，故应选C.
答案：C
4．若△ABC能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
解析：分△ABC的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线AD(点D在BC上)，则∠ADB＋∠ADC＝π，若∠ADB为钝角，则∠ADC为锐角．而∠ADC＞∠BAD，∠ADC＞∠ABD，△ABD与△ACD不可能相似，与已知不符，只有当∠ADB＝∠ADC＝∠BAC＝时，才符合题意．
答案：B
5．设a，b∈(0，＋∞)，则a＋，b＋( )
A．都不大于2
B．都不小于2
C．至少有一个不大于2
D．至少有一个不小于2
解析：假设a＋＜2，b＋＜2，则＋＜4.① 又a，b∈(0，＋∞)，所以a＋＋b＋＝＋≥2＋2＝4.这与①式相矛盾，故假设不成立，即a＋，b＋至少有一个不小于2.
答案：D
6．△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内的一点，∠APB＞∠APC，求证：∠BAP＜∠CAP.用反证法证明时的假设为__________．
解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP＜∠CAP的对立面是∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP.
答案：∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP
7．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不防设∠A＝∠B＝90°.
正确顺序的序号排列为__________．
解析：由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.
答案：③①②
8．完成反证法证题的全过程．设a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．
证明：假设p为奇数，则a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数__________＝__________＝0.但0≠奇数，这一矛盾说明p为偶数．
解析：据题目要求及解题步骤，
因为a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数，
所以(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)也为奇数．
即(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)为奇数．
又因为a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个排列，
所以a1＋a2＋…＋a7＝1＋2＋…＋7，故上式为0.
所以奇数＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0.
答案：(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)
9．设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．
证明：假设数列{cn}是等比数列，则
(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)(an＋1＋bn＋1)．①
∵{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p，q，
∴a＝an－1an＋1，b＝bn－1bn＋1.
代入①并整理，得
2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1＝anbn，
即2＝＋.②
当p，q异号时，＋＜0，与②相矛盾；
当p，q同号时，由于p≠q，
∴＋＞2，与②相矛盾．故数列{cn}不是等比数列．
10．证明：1，，2不能为同一等差数列的三项．
证明：假设1，，2为同一等差数列的三项．
则有等差数列的定义知1×2＝()2＝3，
则2＝3不成立，
则假设不成立，
即原命题成立，即1，，2不能为同一等差数列的三项．
B组 能力提升
11．假设已知a，b，c∈(0,1)．
求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.
证明：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于.
因为0＜a＜1,0＜b＜1，
所以1－a＞0.由基本不等式，得≥＞＝.
同理，＞，
＞.
将这三个不等式两边分别相加，得
＋＋＞＋＋，
即＞，这是不成立的，
故(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.
12．已知函数f(x)在R上是增函数，a，b∈R.
(1)求证：如果a＋b≥0，那么f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；
(2)判断(1)中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论．
解析：(1)证明：当a＋b≥0时，a≥－b且b≥－a.
∵f(x)在R上是增函数，
∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，
∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
(2)解：(1)中命题的逆命题为“如果f(a)＋f(b)≥
f(－a)＋f(－b)，那么a＋b≥0”，此命题成立．
用反证法证明如下：
假设a＋b＜0，则a＜－b，∴f(a)＜f(－b)．
同理可得f(b)＜f(－a)．
∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，这与f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)矛盾，
故假设不成立，
∴.a＋b≥0成立，即(1)中命题的逆命题成立．
