课时训练1 正弦定理
一、正弦定理变形的应用
1.在△ABC中,若角A,B,C对应的三边分别是a,b,c,则下列各式一定成立的是( )
A. B.
C.asin B=bcos A D.a=bsin A
答案:B
解析:在△ABC中,由正弦定理得,即.
2.(2015山东威海高二期中,4)已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C=3∶2∶1,那么对应的三边之比a∶b∶c等于( )
A.3∶2∶1 B.∶2∶1
C.∶1 D.2∶∶1
答案:D
解析:∵A∶B∶C=3∶2∶1,∴B=2C,A=3C,再由A+B+C=π,可得C=,故A=,B=,C=.
∴a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=1∶=2∶∶1.故选D.
3.在△ABC中,A=60°,a=3,则等于( )
A. B.
C. D.2
答案:D
解析:利用正弦定理及比例性质,得
=2.
二、利用正弦定理解三角形
4.(2015山东潍坊四县联考,2)在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b等于( )
A.4 B.4 C.4 D.
答案:A
解析:∵B=60°,C=75°,
∴A=180°-60°-75°=45°.
∴由正弦定理可得b==4.
故选A.
5.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,b=,B=60°,那么A=( )
A.45° B.135°
C.45°或135° D.60°
答案:A
解析:由正弦定理可得sin A=,但a
6.(2015河南南阳高二期中,2)在△ABC中,A=30°,AB=4,满足此条件的△ABC有两解,则边BC长度的取值范围为( )
A.(2,4) B.(2,4)
C.(4,+∞) D.(2,4)
答案:B
解析:∵满足条件的△ABC有两解,
∴ABsin 30°∴27.在△ABC中,a=,b=,B=45°,则A= .
答案:60°或120°
解析:由正弦定理,得sin A=.
∵a>b,∴A=60°或A=120°.
8.在△ABC中,已知a=5,B=120°,C=15°,求此三角形最大的边长.
解:∵B=120°,C=15°,
∴A=180°-B-C=180°-120°-15°=45°.
∵B最大,∴b最大.
由正弦定理,得
b=.
9.在△ABC中,已知a=2,c=,C=,求A,B,b.
解:∵,∴sin A=.
∵c>a,∴C>A.∴A=.
∴B=,b=+1.
三、判断三角形形状
10.(2015河北邯郸三校联考,7)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
答案:B
解析:∵bcos C+ccos B=asin A,
∴由正弦定理可得sin Bcos C+sin Ccos B=sin Asin A,
即sin(B+C)=sin Asin A,可得sin A=1,
故A=,故三角形为直角三角形.
故选B.
11.在△ABC中内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=2ccos A,c=2bcos A,则△ABC的形状为( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
答案:C
解析:由b=2ccos A,根据正弦定理,
得sin B=2sin Ccos A,
∵在三角形中,sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,
代入上式,可得sin Acos C+cos Asin C=2sin Ccos A,
即sin Acos C-cos Asin C=sin(A-C)=0,
又-π∴A-C=0,即A=C.
同理A=B,∴△ABC为等边三角形,故选C.
12.(2015山东威海高二期中,7)在△ABC中,若,则△ABC的形状是( )
A.直角三角形
B.等腰非等边三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
答案:C
解析:∵,
∴,
可化为,
即sin=sin=sin.
∵A,B,C均为三角形的内角,
∴A=B=C.
即△ABC为等边三角形.故选C.
(建议用时:30分钟)
1.(2015福建厦门高二期末,3)在△ABC中,若A=30°,B=45°,BC=,则AC等于( )
A. B.2 C.1 D.
答案:B
解析:由正弦定理可得,
从而有AC==2,故选B.
2.在△ABC中,已知a=5,c=10,A=30°,则B等于( )
A.105° B.60°
C.15° D.105°或15°
答案:D
解析:由正弦定理,得
,sin C=.
∵a再由A+B+C=180°,求出B=105°或15°.
3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若acos A=bsin B,则sin Acos A+cos2B=( )
A.- B. C.-1 D.1
答案:D
解析:根据正弦定理=2R得,
a=2Rsin A,b=2Rsin B,
∴acos A=bsin B可化为sin Acos A=sin2B.
∴sin Acos A+cos2B=sin2B+cos2B=1.
4.在△ABC中,角A,C的对边分别为a,c,C=2A,cos A=,则的值为( )
A.2 B. C. D.1
答案:C
解析:由正弦定理得=2cos A=.
5.在△ABC中,b=2,a=2,且三角形有解,则A的取值范围是( )
A.0°C.60°答案:B
解析:∵△ABC有解,∴b·sin A≤a,即sin A≤.
又a6.在△ABC中,若a=3,b=,A=60°,则角C的大小为 .
答案:90°
解析:由正弦定理得,,从而,
即sin B=,∴B=30°或B=150°.
由a>b可知B=150°不合题意,∴B=30°.
∴C=180°-60°-30°=90°.
7.在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若3b=2asin B,且cos B=cos C,则△ABC的形状是 .
答案:等边三角形
解析:由正弦定理可将3b=2asin B化为3sin B=2sin Asin B.∴sin A=.
∵△ABC为锐角三角形,∴A=.
又∵cos B=cos C,0∴△ABC为等边三角形.
8.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.asin Bcos C+csin Bcos A=b,且a>b,则B= .
答案:
解析:由正弦定理=2R,
得2Rsin Asin Bcos C+2Rsin Csin Bcos A=×2Rsin B.
由0即sin(π-B)=sin B=.
因为a>b,所以在△ABC中,B为锐角,则B=.
9.在△ABC中,已知a2tan B=b2tan A,试判断△ABC的形状.
解:由已知得,
由正弦定理得a=2Rsin A,b=2Rsin B(R为△ABC的外接圆半径),
∴.
∴sin Acos A=sin Bcos B.
∴sin 2A=sin 2B.
又A,B为三角形的内角,
∴2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=.
∴△ABC为等腰或直角三角形.
10.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对应的边,且b=6,a=2,A=30°,求ac的值.
解:由正弦定理得
sin B=.
由条件b=6,a=2,知b>a,所以B>A.
∴B=60°或120°.
(1)当B=60°时,C=180°-A-B=180°-30°-60°=90°.
在Rt△ABC中,C=90°,a=2,b=6,则c=4,
∴ac=2×4=24.
(2)当B=120°时,C=180°-A-B=180°-30°-120°=30°,∴A=C,则有a=c=2.
∴ac=2×2=12.课时训练4 三角形中的几何计算
一、与三角形面积有关的计算
1.在△ABC中,c=,b=1,B=30°,则△ABC的面积为( )
A. B.
C. D.
答案:B
解析:由余弦定理得:b2=a2+c2-2accos B,
即1=a2+3-2acos 30°,
化简得a2-3a+2=0.
∴a=1或a=2.
又S△ABC=acsin B=a,
∴S△ABC=.
2.钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=( )
A.5 B. C.2 D.1
答案:B
解析:根据三角形面积公式,得BA·BC·sin B=,即×1××sin B=,
得sin B=,其中C若B为锐角,则B=,所以AC==1=AB,易知A为直角,此时△ABC为直角三角形,不符合题意,所以B为钝角,即B=,所以AC=.
3.(2015山东威海高二期中,10)在△ABC中,a,b,c分别是A,B,C的对边,2sin=1,b=1,△ABC的面积是,则边c等于( )
A.2 B. C.2 D.2
答案:A
解析:∵sin,A∈(0,π),
∴2A+,可得A=.
∵b=1,△ABC的面积为.
∴S=bcsin A=,即×1×c×,
解得c=2,故选A.
4.在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2,则△ABC的面积等于 .
答案:2
解析:在△ABC中,根据正弦定理,得,
所以,解得sin B=1.
因为B∈(0°,120°),所以B=90°,所以C=30°
所以△ABC的面积S△ABC=·AC·BC·sin C=2.
5.(2015河南郑州高二期末,19)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2csin B.
(1)求角C的大小;
(2)若c2=(a-b)2+6,求△ABC的面积.
解:(1)由正弦定理,及b=2csin B,
得sin B=2sin Csin B,
∵sin B≠0,∴sin C=.
∵C为锐角,∴C=60°.
(2)由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=(a-b)2+ab,
∵c2=(a-b)2+6,∴ab=6.
则S△ABC=absin C=.
二、三角形中的有关计算
6.如图,在△ABC中,B=45°,D是BC边上一点,AD=10,AC=14,DC=6,则AB的长为( )
A.5 B.5
C.5 D.5
答案:D
解析:在△ACD中,cos C=.
∴sin C=.
在△ABC中,由正弦定理得,
∴AB==5.
7.如图,四边形ABCD中,B=C=120°,AB=4,BC=CD=2,该四边形面积为 .
答案:5
解析:连接BD,BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos 120°
=4+4+4,
∴BD=2.
S四边形=S△ABD+S△BCD
=×4×2×2×2sin 120°=5.
8.(2015福建宁德五校联考,20)如图,在平面四边形ABCD中,AB=3,AC=6,∠ACB=45°.
(1)求∠ACB的大小;
(2)若∠CAD=∠CBD=60°,求CD的长.
解:(1)在△ABC中,由正弦定理,得,
即.
整理,得sin∠ABC=1,则∠ABC=90°.
(2)由(1)得∠CAB=180°-90°-45°=45°,
又∵∠CAD=∠CBD=60°,∴∠ABD=30°.
在△ABD中,∠ADB=180°-105°-30°=45°,
由正弦定理,
得AD==3,
在△ABD中,由余弦定理得,CD2=AD2+AC2-2AD·AC·cos∠DAC=9+36-18=27,
∴CD=3.
三、与三角形有关的证明问题
9.在△ABC中,求证:.
证明:右边=
=·cos B-·cos A
=
==左边,
故结论成立.
10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,求证:=c.
证明:由余弦定理的推论得cos B=,cos A=,代入等式右边,得
右边=c
==左边,
∴=c.
(建议用时:30分钟)
1.已知方程x2sin A+2xsin B+sin C=0有重根,则△ABC的三边a,b,c的关系满足( )
A.b=ac B.b2=ac
C.a=b=c D.c=ab
答案:B
解析:由方程有重根,∴Δ=4sin2B-4sin Asin C=0,
即sin2B=sin Asin C,∴b2=ac.
2.在△ABC中,A=60°,b=1,S△ABC=,则角A的对边的长为( )
A. B. C. D.
答案:D
解析:∵S△ABC=bcsin A=×1×c×sin 60°=,
∴c=4.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos 60°=1+16-2×4×=13.
∴a=.
3.在△ABC中,已知a=3,cos C=,S△ABC=4,则b=( )
A. B.2 C.4 D.3
答案:B
解析:在△ABC中,sin C=,
则由S△ABC=absin C,得×3×b=4,∴b=2.
4.(2015河南南阳高二期中,5)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知三角形ABC的面积S=,则C的大小是( )
A.45° B.30° C.90° D.135°
答案:A
解析:∵△ABC中,S=absin C,a2+b2-c2=2abcos C,且S=,
∴absin C=abcos C.
整理,得sin C=cos C,即tan C=1,则C=45°.
故选A.
5.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,如果2b=a+c,B=30°,△ABC的面积为,则b等于( )
A.1+ B.
C. D.2+
答案:A
解析:由ac·sin 30°=,得ac=6,
由余弦定理得b2=a2+c2-2accos 30°
=(a+c)2-2ac-ac=4b2-12-6,
∴b=+1.
6.在△ABC中,B=60°,AB=1,BC=4,则BC边上的中线AD的长为 .
答案:
解析:∵AD2=AB2+BD2-2AB·BDcos 60°=3,
∴AD=.
7.在△ABC中,BC=2,B=,当△ABC的面积等于时,sin C= .
答案:
解析:由三角形的面积公式S=AB·BCsin,易求得AB=1,由余弦定理得AC=,再由三角形的面积公式S=AC·BCsin C=,即可得出sin C=.
8.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若C=120°,c=a,则a与b的大小关系是 .
答案:a>b
解析:由正弦定理得,.
∴sin A=.
∴A>30°,则B<30°.∴a>b.
9.(2015陕西高考,理17)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,b)与n=(cos A,sin B)平行.
(1)求A;
(2)若a=,b=2,求△ABC的面积.
(1)解:因为m∥n,所以asin B-bcos A=0.
由正弦定理,得sin Asin B-sin Bcos A=0.
又sin B≠0,从而tan A=.
由于0(2)解法一:由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,而a=,b=2,A=,
得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0.
因为c>0,所以c=3.
故△ABC的面积为bcsin A=.
解法二:由正弦定理,得,
从而sin B=.
又由a>b,知A>B,所以cos B=.
故sin C=sin(A+B)=sin
=sin Bcos+cos Bsin.
所以△ABC的面积为absin C=.
10.△ABC的三个内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,asin Asin B+bcos2A=a.
(1)求;
(2)若c2=b2+a2,求B.
解:(1)由正弦定理,得sin2Asin B+sin Bcos2A=sin A,
即sin B(sin2A+cos2A)=sin A.
故sin B=sin A,所以.
(2)由余弦定理和c2=b2+a2,
得cos B=.
由(1)知b2=2a2,故c2=(2+)a2.
可得cos2B=,
又cos B>0,故cos B=,所以B=45°.课时训练2 余弦定理
一、利用余弦定理解三角形
1.在△ABC中,a=1,B=60°,c=2,则b等于( )
A.1 B. C. D.3
答案:C
解析:b2=a2+c2-2accos B=1+4-2×1×2×=3,故b=.
2.在△ABC中,c2-a2-b2=ab,则角C为( )
A.60° B.45°或135°
C.150° D.30°
答案:C
解析:∵cos C==-,∴C=150°.
3.在△ABC中,已知sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的度数等于 .
答案:120°
解析:由正弦定理可得a∶b∶c=3∶5∶7,不妨设a=3,b=5,c=7,则c边最大,∴角C最大.
∴cos C==-.
∵0°4.(2015河南郑州高二期末,15)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=sin C,B=30°,b=2,则边c= .
答案:2
解析:∵在△ABC中,sin A=sin C,∴a=c.
又B=30°,由余弦定理,得cos B=cos 30°=,解得c=2.
二、判断三角形形状
5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b+c=2ccos2,则△ABC是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
答案:A
解析:∵b+c=2ccos2,且2cos2=1+cos A,
∴b+c=c(1+cos A),即b=ccos A.
由余弦定理得b=c·,
化简得a2+b2=c2,
∴△ABC是直角三角形.
6.在△ABC中,若sin2A+sin2BA.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.不能确定
答案:A
解析:由sin2A+sin2B所以cos C=<0,
所以∠C为钝角,
即△ABC为钝角三角形.
7.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若a=2bcos C,试判断△ABC的形状.
解法一:∵cos C=,代入a=2bcos C,
得a=2b·,
∴a2=a2+b2-c2,即b2-c2=0.
∴b=c.∴△ABC为等腰三角形.
解法二:根据正弦定理=2R,
得a=2Rsin A,b=2Rsin B,
代入已知条件得2Rsin A=4Rsin Bcos C,
即sin A=2sin Bcos C,
∵A=π-(B+C),∴sin A=sin(B+C).
∴sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C.
∴sin Bcos C-cos Bsin C=0.∴sin(B-C)=0.
又-π∴△ABC是等腰三角形.
三、正弦定理、余弦定理的综合应用
8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sin B=3sin C,则cos A的值为( )
A.- B. C. D.-
答案:A
解析:∵2sin B=3sin C,∴2b=3c.
又b-c=,∴a=2c,b=c.
∴cos A==-.
9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=bc,sin C=2sin B,则A= .
答案:
解析:∵sin C=2sin B,
∴由正弦定理得c=2b.
∵a2-b2=bc,
∴cos A=
=,
∴A=.
10.(2015山东威海高二期中,17)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c且满足4acos B-bcos C=ccos B.
(1)求cos B的值;
(2)若ac=12,b=3,求a,c.
解:(1)已知等式4acos B-bcos C=ccos B,利用正弦定理,得4sin Acos B-sin Bcos C=sin Ccos B,
整理,得4sin Acos B=sin(B+C),
即4sin Acos B=sin A,
∵sin A≠0,∴cos B=.
(2)∵ac=12,b=3,cos B=,
∴由b2=a2+c2-2accos B,
得a2+c2=24,
联立a2+c2=24与ac=12,解得a=c=2.
(建议用时:30分钟)
1.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,b=2,cos C= ,则sin B=( )
A. B. C. D.
答案:B
解析:由已知根据余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=4,
∴c=2,即B=C,
∴sin B=.
2.(2015河北邯郸三校联考,3)在△ABC中,如果sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4,那么cos C等于( )
A. B.- C.- D.-
答案:D
解析:由正弦定理可得sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=2∶3∶4,
可设a=2k,b=3k,c=4k(k>0),
由余弦定理可得cos C==-,故选D.
3.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若C=120°,c=a,则( )
A.a>b
B.aC.a=b
D.a与b的大小关系不能确定
答案:A
解析:由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C得2a2=a2+b2+ab,∴a2-b2=ab>0,∴a2>b2,∴a>b.
4.△ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,AC=6,则的值为( )
A.19 B.14 C.-18 D.-19
答案:A
解析:cos B=,
∴=||||cos B=7×5×=19.
5.在不等边三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中a为最大边,如果sin2(B+C)A. B.
C. D.
答案:D
解析:由题意得sin2A再由正弦定理得a20,
则cos A=>0,
∵0又a为最大边,∴A>.
因此得角A的取值范围是.
6.已知在△ABC中,2B=A+C,b2=ac,则△ABC的形状为 .
答案:等边三角形
解析:∵2B=A+C,又A+B+C=180°,∴B=60°.
又b2=ac,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-2accos 60°=a2+c2-ac,
∴有a2+c2-ac=ac,从而(a-c)2=0,
∴a=c,故△ABC为等边三角形.
7.(2015北京高考,12)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则= .
答案:1
解析:在△ABC中,由正弦定理知,=2cos A·=2cos A×cos A,
再根据余弦定理,得cos A=,
所以=1.
8.在△ABC中,角A,B,C的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则bccos A+accos B+abcos C的值为 .
答案:
解析:由余弦定理得bccos A+accos B+abcos C=.
9.在△ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cos Asin B=sin C,试判定△ABC的形状.
解:由(a+b+c)(a+b-c)=3ab,
得(a+b)2-c2=3ab,
即a2+b2-c2=ab.
∴cos C=.
∵0°∵A+B+C=180°,
∴sin C=sin(A+B).
又∵2cos Asin B=sin C,
∴2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B,
∴sin(A-B)=0.
∵A,B均为△ABC的内角,∴A=B.
因此△ABC为等边三角形.
10.在△ABC中,C=2A,a+c=10,cos A=,求b.
解:由正弦定理得=2cos A,
∴.
又a+c=10,∴a=4,c=6.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,
得,
∴b=4或b=5.
当b=4时,∵a=4,∴A=B.
又C=2A,且A+B+C=π,
∴A=,与已知cos A=矛盾,
不合题意,舍去.
当b=5时,满足题意,∴b=5.课时训练3 解三角形的实际应用举例
一、测量中的距离问题
1.有一长为10 m的斜坡,倾斜角为60°,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°,则坡底要延长的长度(单位:m)是( )
A.5 B.5 C.10 D.10
答案:D
解析:如图,在Rt△ABC中,AC=10,∠ACB=60°.
∴AB=5,BC=5,
在Rt△ABD中,∠ADB=30°,∴BD=15.
∴CD=BD-BC=10.
2.(2015福建宁德五校联考,14)一艘船以15 km/h的速度向东航行,船在A处看到灯塔B在北偏东60°处;行驶4 h后,船到达C处,看到灯塔B在北偏东15°处,这时船与灯塔的距离为 km.
答案:30
解析:根据题意画出图形,如图所示,可得B=75°-30°=45°,
在△ABC中,根据正弦定理得,,即,∴BC=30 km,
即此时船与灯塔的距离为30 km.
3.(2015福建厦门高二期末,15)如图,某观测站C在A城的南偏西20°,一条笔直公路AB,其中B在A城南偏东40°,B与C相距31千米.有一人从B出发沿公路向A城走去,走了20千米后到达D处,此时C,D之间的距离为21千米,则A,C之间的距离是 千米.
答案:24
解析:由已知得CD=21,BC=31,BD=20,
在△BCD中,由余弦定理得cos∠BDC==-.
设∠ADC=α,则cos α=,sin α=.
在△ACD中,由正弦定理,得AC==24.
二、测量中的高度与角度问题
4.如图,D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点的仰角分别是β,α(α<β),则A点距离地面的高度AB等于( )
A. B.
C. D.
答案:A
解析:在△ACD中,∠DAC=β-α,DC=a,∠ADC=α,由正弦定理得AC=,
∴在Rt△ACB中,AB=ACsin β=.
5.运动会开幕式上举行升旗仪式,在坡度15°的看台上,同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°,第一排和最后一排的距离为10 m(如图所示),则旗杆的高度为( )
A.10 m B.30 m C.10 m D.10 m
答案:B
解析:如图所示,由题意知∠AEC=45°,∠ACE=180°-60°-15°=105°,
∴∠EAC=180°-45°-105°=30°,
由正弦定理知,
∴AC==20(m),
∴在Rt△ABC中,AB=AC·sin∠ACB=30(m).
∴旗杆的高度为30 m.
6.当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即前往营救,同时把消息告知在甲船的南偏西30°,相距10 n mile C处的乙船,乙船立即朝北偏东θ角的方向沿直线前往B处救援,则sin θ的值等于( )
A. B. C. D.
答案:D
解析:根据题目条件可作图如图:
在△ABC中,AB=20,AC=10,∠CAB=120°,由余弦定理有BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠CAB=202+102-2×20×10cos 120°=700,
∴BC=10.
再由正弦定理得,
∴sin∠ACB=
=.
又0°<∠ACB<90°,
∴cos∠ACB=,
∴sin θ=sin(30°+∠ACB)
=sin 30°cos∠ACB+cos 30°sin∠ACB
=.
7.某海岛周围38 n mile有暗礁,一轮船由西向东航行,初测此岛在北偏东60°方向,航行30 n mile后测得此岛在东北方向,若不改变航向,则此船 触礁的危险(填“有”或“无”).
答案:无
解析:由题意在△ABC中,AB=30 n mile,∠BAC=30°,
∠ABC=135°,∴∠ACB=15°.
由正弦定理,得BC=·sin∠BAC=·sin 30°==15().
在Rt△BDC中,CD=BC=15(+1)>38.
∴无触礁的危险.
8.如图,在一个特定时段内,以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ且与点A相距10海里的位置C.
(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时);
(2)若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.
解:(1)因为AB=40,AC=10,∠BAC=θ,sin θ=,0°<θ<90°,
所以cos θ=.
由余弦定理得BC
==10,所以该船的行驶速度为v==15(海里/小时).
(2)设直线AE与BC的延长线相交于点Q.
在△ABC中,由余弦定理得
cos∠ABC=
=,
所以sin∠ABC=.
在△ABQ中,由正弦定理得
AQ==40.
因为AE=55>40=AQ,所以点Q位于点A和点E之间,且QE=AE-AQ=15.
过点E作EP⊥BC于点P,则EP为点E到直线BC的距离.
在Rt△QPE中,PE=QE·sin∠PQE=QE·sin∠AQC=QE·sin(45°-∠ABC)=15×=3<7.
故该船会进入警戒水域.
(建议用时:30分钟)
1.如图,已知两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的北偏东40°,灯塔B在观察站C的南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的( )的位置.
A.北偏东10°
B.北偏西10°
C.南偏东10°
D.南偏西10°
答案:B
解析:由图可知,∠ACB=180°-(40°+60°)=80°.
又∵AC=BC,
∴∠A=∠CBA=(180°-80°)=50°.
∵CE∥BD,∴∠CBD=∠BCE=60°,
∴∠ABD=60°-50°=10°.
∴灯塔A在灯塔B的北偏西10°的位置.
2.如图所示,为测一树的高度,在地面上选取A,B两点(点A,B与树根部在同一直线上),从A,B两点分别测得树尖的仰角为30°,45°,且A,B两点之间的距离为60 m,则树的高度为( )
A.(30+30) m B.(30+15) m
C.(15+30) m D.(15+3) m
答案:A
解析:设树高为h,则由题意得h-h=60,
∴h==30(+1)=(30+30)(m).
3.一艘客船上午9:30在A处,测得灯塔S在它的北偏东30°,之后它以32 n mile/h的速度继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时测得船与灯塔S相距8 n mile,则灯塔S在B处的( )
A.北偏东75°
B.东偏南75°
C.北偏东75°或东偏南75°
D.以上方位都不对
答案:C
解析:根据题意画出示意图,如图,
由题意可知AB=32×=16,
BS=8,∠A=30°.
在△ABS中,由正弦定理得,sin S=,
∴S=45°或135°,
∴B=105°或15°,
即灯塔S在B处的北偏东75°或东偏南75°.
4.一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15°方向,与灯塔S相距20 n mile,随后货轮按北偏西30°的方向航行3 h后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为( )
A.) n mile/h
B.) n mile/h
C.) n mile/h
D.) n mile/h
答案:B
解析:如图,设货轮的时速为v,则在△AMS中,∠AMS=45°,∠SAM=105°,∠ASM=30°,SM=20,AM=3v.
由正弦定理得,
即v=
=)(n mile/h).
5.某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来,他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差,则第一辆车与第二辆车的距离d1与第二辆车与第三辆车的距离d2之间的关系为( )
A.d1>d2 B.d1=d2
C.d1答案:C
解析:如图,B,C,D分别是第一、二、三辆车所在的位置,由题意可知α=β.
在△PBC中,,
在△PCD中,,
∵sin α=sin β,sin∠PCB=sin∠PCD,
∴.
∵PB6.如图,某人于地面上C处观察一架迎面飞来的飞机在A处的仰角为30°,过1 min后到B再测得仰角为45°,如果该飞机以450 km/h的速度沿水平方向飞行,则飞机的高度为 km.
答案:
解析:如图,∠DCA=60°,∠DCB=45°,设飞机高为h,则BD=h,AD=h.
又AB=450×=7.5,
由AD-BD=AB得h-h=7.5.
∴h=.
7.一船以24 km/h的速度向正北方向航行,在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上,15 min后到点B处望见灯塔在船的北偏东75°方向上,则船在点B时与灯塔S的距离是 km.
答案:3
解析:如图,由条件知,AB=24×=6(km).
在△ABS中,∠BAS=30°,AB=6,∠ABS=180°-75°=105°,∴∠ASB=45°.
由正弦定理,得,
∴BS==3.
8.海上一观测站测得方位角为240°的方向上有一艘停止待修的商船,在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近,速度为90 n mile/h.此时海盗船距观测站10 n mile,20 min后测得海盗船距观测站20 n mile,再过 min,海盗船到达商船.
答案:
解析:如图,设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A,B,C处,20 min后,海盗船到达D处,在△ADC中,AC=10,AD=20,CD=30,
由余弦定理,得cos∠ADC=.
∴∠ADC=60°,在△ABD中,由已知,得∠ABD=30°,∠BAD=60°-30°=30°,
∴BD=AD=20,×60=(min).
9.如图,某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°方向,距离为12 km,在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°方向,距离为8 km,货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在北偏东120°方向,求:
(1)A处与D处的距离;
(2)灯塔C与D处的距离.
解:(1)在△ABD中,∠ADB=60°,∠B=45°,
由正弦定理得AD=
==24(km).
∴A处与D处的距离为24 km.
(2)在△ACD中,由余弦定理得
CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos 30°,
解得CD=8(km).
∴灯塔C与D处的距离为8 km.
10.某海上养殖基地A,接到气象部门预报,位于基地南偏东60°相距20(+1) n mile的海面上有一台风中心,影响半径为20 n mile,正以10 n mile/h的速度沿某一方向匀速直线前进,预计台风中心将从基地东北方向刮过且(+1) h后开始影响基地持续2 h.求台风移动的方向.
解:如图所示,设预报时台风中心为B,开始影响基地时台风中心为C,基地刚好不受影响时台风中心为D,则B,C,D在一直线上,且AD=20,AC=20.
由题意AB=20(+1),DC=20,
BC=(+1)×10.
在△ADC中,∵DC2=AD2+AC2,
∴∠DAC=90°,∠ADC=45°.
在△ABC中,由余弦定理得
cos∠BAC=.
∴∠BAC=30°.
又∵B位于A南偏东60°,60°+30°+90°=180°,
∴D位于A的正北方向.
又∠ADC=45°,∴台风移动的方向为向量的方向.即北偏西45°方向.
答:台风向北偏西45°方向移动.