课时训练16 一元二次不等式及其解法
一、一元二次不等式的解法
1.不等式-x2-5x+6≤0的解集为( )
A.{x|x≥6或x≤-1}
B.{x|-1≤x≤6}
C.{x|-6≤x≤1}
D.{x|x≤-6或x≥1}
答案:D
解析:由-x2-5x+6≤0得x2+5x-6≥0,
即(x+6)(x-1)≥0,
∴x≥1或x≤-6.
2.(2015福建厦门高二期末,12)不等式的解集是 .
答案:{x|x<2或x>3}
解析:因为指数函数y=2x是增函数,
所以化为x2-5x+5>-1,
即x2-5x+6>0,解得x<2或x>3.
所以不等式的解集为{x|x<2或x>3}.
3.解不等式:-2
解:原不等式等价于不等式组
不等式①为x2-3x+2>0,解得x>2或x<1.
不等式②为x2-3x-10≤0,解得-2≤x≤5.
故原不等式的解集为[-2,1)∪(2,5].
二、三个二次之间的关系
4.(2015山东威海高二期中,8)不等式ax2+bx+2>0的解集是,则a-b的值为( )
A.14 B.-14 C.10 D.-10
答案:D
解析:不等式ax2+bx+2>0的解集是,可得-是一元二次方程ax2+bx+2=0的两个实数根,
∴-=-,-,
解得a=-12,b=-2.
∴a-b=-12-(-2)=-10.故选D.
5.如果ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>4},那么对于函数f(x)=ax2+bx+c,f(-1),f(2),f(5)的大小关系是 .
答案:f(2)解析:由ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>4}知a>0,且-2,4是方程ax2+bx+c=0的两实根,所以
可得
所以f(x)=ax2-2ax-8a=a(x+2)(x-4).
因为a>0,所以f(x)的图象开口向上.
又对称轴方程为x=1,f(x)的大致图象如图所示,由图可得f(2)6.(2015山东潍坊四县联考,11)不等式x2-ax-b<0的解集是(2,3),则不等式bx2-ax-1>0的解集是 .
答案:
解析:∵不等式x2-ax-b<0的解集为(2,3),
∴一元二次方程x2-ax-b=0的根为x1=2,x2=3.
根据根与系数的关系可得:
所以a=5,b=-6.
不等式bx2-ax-1>0,即不等式-6x2-5x-1>0,
整理,得6x2+5x+1<0,即(2x+1)(3x+1)<0,
解之得-∴不等式bx2-ax-1>0的解集是.
三、含参不等式的解法
7.不等式(x+1)(x-a)<0的解集为{x|-11的解集为 .
答案:{x|x<-2或x>1}
解析:由已知不等式(x+1)(x-a)<0的解集为{x|-1∴a=2.
∴不等式>1可化为>1,移项通分得>0,
∴(x+2)(x-1)>0,解得x<-2或x>1.
∴所求解集为{x|x<-2或x>1}.
8.解关于x的不等式2x2+ax+2>0.
解:对于方程2x2+ax+2=0,其判别式Δ=a2-16=(a+4)(a-4).
①当a>4或a<-4时,Δ>0,方程2x2+ax+2=0的两根为:
x1=(-a-),x2=(-a+).
∴原不等式的解集为
.
②当a=4时,Δ=0,方程有两个相等实根,x1=x2=-1;
当a=-4时,Δ=0,方程有两个相等实根,x1=x2=1.
∴原不等式的解集为{x|x≠±1}.
四、不等式恒成立问题
9.若一元二次不等式x2-ax+1>0恒成立,则a的取值范围是 .
答案:-2解析:由Δ=a2-4<0,解得-210.已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.
解:(1)当m2+4m-5=0,即m=1或m=-5时,显然m=1符合条件,m=-5不符合条件;
(2)当m2+4m-5≠0时,由二次函数对一切实数x恒为正数,
得
解得1综合(1)(2)得,实数m的取值范围为[1,19).
(建议用时:30分钟)
1.不等式-6x2-x+2≤0的解集是( )
A.
B.
C.
D.
答案:B
解析:原不等式等价于6x2+x-2≥0.方程6x2+x-2=0的两根为-,可得原不等式的解集为,或x≥.
2.函数y=+log2(x+2)的定义域为( )
A.(-∞,-1)∪(3,+∞)
B.(-∞,-1]∪[3,+∞)
C.(-2,-1]
D.(-2,-1]∪[3,+∞)
答案:D
解析:要使函数有意义,x的取值需满足
解得-23.已知00的解集为( )
A. B.{x|x>a}
C. D.
答案:A
解析:∵01,即a<,
∴不等式的解集为.
4.在R上定义运算=ad-bc,若成立,则x的取值范围是( )
A.{x|x<-4或x>1} B.{x|-4C.{x|x<-1或x>4} D.{x|-1答案:B
解析:由已知=x2+3x,=4,
∴x2+3x<4,即x2+3x-4<0,解得-45.若关于x的不等式ax-b>0的解集为(1,+∞),则关于x的不等式>0的解集为( )
A.(-1,2) B.(-∞,-1)∪(2,+∞)
C.(1,2) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
答案:B
解析:因为关于x的不等式ax-b>0的解集为(1,+∞),所以a>0,且=1,即a=b,所以关于x的不等式>0可化为>0,其解集是(-∞,-1)∪(2,+∞).
6.已知二次方程ax2+bx+c=0的两个根是-2,3,若a>0,那么ax2-bx+c>0的解集是 .
答案:{x|x<-3或x>2}
解析:由题意知∴b=-a,c=-6a.
∴不等式ax2-bx+c>0,化为ax2+ax-6a>0,
又∵a>0,∴x2+x-6>0,而方程x2+x-6=0的根为-3和2,
∴不等式的解集是{x|x<-3或x>2}.
7.已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立,则实数a的取值范围是 .
答案:(0,8)
解析:由题意得,Δ=(-a)2-4×2a<0.
即a2-8a<0,∴08.设0≤α≤π,不等式8x2-(8sin α)x+sin α≥0的解集为R,则α的取值范围是 .
答案:
解析:由已知不等式的解集为R,
∴Δ=64sin2α-32sin α≤0,解得0≤sin α≤.
∴由y=sin x的图象知,
当0≤α≤π时,解得0≤α≤≤α≤π.
9.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+4x-5<0的解集为B,
(1)求A∪B;
(2)若不等式x2+ax+b<0的解集是A∪B,求ax2+x+b<0的解集.
解:(1)解不等式x2-2x-3<0,得A={x|-1解不等式x2+4x-5<0,得B={x|-5∴A∪B={x|-5(2)由x2+ax+b<0的解集为{x|-5∴解得
∴2x2+x-15<0.
∴不等式解集为.
10.解关于x的不等式:ax2-2≥2x-ax(a<0).
解:原不等式移项得ax2+(a-2)x-2≥0,
化简为(x+1)(ax-2)≥0.
∵a<0,∴(x+1)≤0.
当-2当a=-2时,x=-1;
当a<-2时,-1≤x≤.
综上所述,
当-2当a=-2时,解集为{x|x=-1};
当a<-2时,解集为.课时训练18 简单的线性规划问题
一、求线性目标函数的最值
1.(2015广东湛江高二期末,10)若实数x,y满足若z=x+2y,则z的最大值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:B
解析:作出不等式组对应的平面区域,
由z=x+2y,得y=-x+,平移直线y=-x+,
由图象可知当直线经过点A(0,1)时,直线y=-x+的截距最大,此时z最大,代入目标函数得z=2.故选B.
2.(2015河南郑州高二期末,7)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=2x+3y的最小值为( )
A.6 B.7
C.8 D.23
答案:B
解析:画出不等式表示的可行域,如图,
让目标函数表示直线y=-在可行域上平移,知在点B处目标函数取到最小值,解方程组得(2,1).
所以zmin=4+3=7.故选B.
3.设变量x,y满足约束条件则z=x-3y的最小值为 .
答案:-8
解析:作出可行域如图阴影部分所示.
可知当x-3y=z经过点A(-2,2)时,z有最小值,此时z的最小值为-2-3×2=-8.
二、求非线性目标函数的最值
4.若实数x,y满足的取值范围是( )
A.(0,1) B.(0,1]
C.(1,+∞) D.[1,+∞)
答案:C
解析:实数x,y满足的相关区域如图中的阴影部分所示.
表示阴影部分内的任意一点与坐标原点(0,0)连线的斜率,由图可知,的取值范围为(1,+∞).
5.在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值是 .
答案:
解析:由约束条件可画出可行域如图阴影部分所示.
由图可知OM的最小值即为点O到直线x+y-2=0的距离,即dmin=.
三、求线性规划中的参数
6.x,y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为( )
A.或1 B.2或
C.2或1 D.2或-1
答案:D
解析:作出可行域,如图中阴影部分所示.
由y=ax+z知z的几何意义是直线在y轴上的截距,故当a>0时,要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则a=2,当a<0时,要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则a=-1.
7.(2015山东潍坊四县联考,15)已知a>0,x,y满足若z=2x+y的最小值为1,则a= .
答案:
解析:因为a>0,作出不等式组表示的平面区域,
得到如图的△ABC及其内部,其中A(1,2),B(1,-2a),C(3,0).
由z=2x+y得y=-2x+z,
将直线y=-2x进行平移,可得当经过点B时,目标函数z达到最小值,此时z=1,即2-2a=1,解得a=.
8.当实数x,y满足时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值范围是 .
答案:
解析:画出可行域,如图中阴影部分所示,
设目标函数z=ax+y,则y=-ax+z,要使1≤z≤4恒成立,
则a>0,数形结合知满足即可,
解得1≤a≤,所以a的取值范围是.
四、线性规划中的实际应用
9.(2015河南南阳高二期中,20)某人上午7:00乘汽车以v1 km/h(30≤v1≤100)匀速从A地出发到相距300 km的B地,在B地不作停留,然后骑摩托车以v2 km/h(4≤v2≤20)匀速从B地出发到相距50 km的C地,计划在当天16:00至21:00到达C地,设乘汽车、骑摩托车的时间分别是x,y小时.如果已知所需的经费p=100+3(5-x)+2(8-y)元,那么v1,v2分别是多少时走的最经济,此时花费多少元
解:由题意得,x=,y=,
∵30≤v1≤100,4≤v2≤20,
∴3≤x≤10,≤y≤.
由题设中的限制条件得9≤x+y≤14,
于是得约束条件
目标函数p=100+3(5-x)+2(8-y)=131-3x-2y,作出可行域(如图),
设z=3x+2y,当y=-x+平移到过(10,4)点时在y轴上的截距最大,
此时p最小.
所以当x=10,y=4,即v1=30,v2=12.5时,pmin=93元.
(建议用时:30分钟)
1.已知点(x,y)构成的平面区域如图所示,z=mx+y(m为常数)在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个,则m的值为( )
A.- B. C. D.
答案:B
解析:观察平面区域可知直线y=-mx+z与直线AC重合,则解得m=.
2.设变量x,y满足约束条件则目标函数z=y-2x的最小值为( )
A.-7 B.-4
C.1 D.2
答案:A
解析:作约束条件所表示的可行域,如图所示,z=y-2x可化为y=2x+z,z表示直线在y轴上的截距,截距越大z越大,作直线l0:y=2x,平移l0,当l0过点A(5,3)时,z取最小值,且为-7,选A.
3.若A为不等式组表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为( )
A. B.1 C. D.2
答案:C
解析:如图所示,区域A表示的平面区域为△OBC内部及其边界组成的图形,当a从-2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC所围成的区域.
S四边形ODEC=S△OBC-S△BDE=2-.
4.如果点P在平面区域上,点Q在曲线x2+(y+2)2=1上,那么|PQ|的最小值为( )
A.-1 B.-1
C.2-1 D.-1
答案:A
解析:由图可知不等式组确定的区域为阴影部分(包括边界),点P到点Q的最小距离为点(-1,0)到点(0,-2)的距离减去半径1,|PQ|min=-1=-1.
5.已知x,y满足条件(k为常数),若目标函数z=x+3y的最大值为8,则k=( )
A.-16 B.-6 C.- D.6
答案:B
解析:由z=x+3y得y=-x+.
先作出的图象,
因为目标函数z=x+3y的最大值为8,所以x+3y=8与直线y=x的交点为C,解得C(2,2),代入直线2x+y+k=0,得k=-6,选B.
6.若变量x,y满足约束条件则z=x-2y的最大值为 .
答案:3
解析:线性约束条件对应的平面区域如图所示,由z=x-2y,得y=,当直线y=在y轴上的截距最小时,z取得最大值.由图知,当直线通过点A时,在y轴上的截距最小,
由解得A(1,-1).
所以zmax=1-2×(-1)=3.
7.记不等式组所表示的平面区域为D,若直线y=a(x+1)与D有公共点,则a的取值范围是 .
答案:
解析:作出如图所示的可行域,且A(0,4),B(1,1).
又∵直线y=a(x+1)过点C(-1,0),而kBC=,kAC=4.
从而直线y=a(x+1)与D有公共点时,a∈.
8.已知变量x,y满足则z=x+y-2的最大值为 .
答案:1
解析:作出可行域,如图所示的阴影部分,
由图知,目标函数z=x+y-2在点A处取最大值.又A(1,2),∴zmax=1+2-2=1.
9.设z=2y-2x+4,式中x,y满足求z的最大值和最小值.
解:作出满足条件的可行域如图:
作直线l:2y-2x=t,当l过点A(0,2)时,zmax=2×2-2×0+4=8.
当l过点B(1,1)时,zmin=2×1-2×1+4=4.
所以,z的最大值为8,最小值为4.
10.某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 min的广告,广告总费用不超过9万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/min和200元/min,规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别是0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元
解:设公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别是x min,y min,总收益为z万元,由题意得:
目标函数为z=3 000x+2 000y.
作出二元一次不等式组所表示的区域,即可行域,如图:
作直线l,即3 000x+2 000y=0,即3x+2y=0.平移直线l,从图中可知,当直线l过点M时,目标函数取得最大值.
由解得
即M(100,200).
则zmax=3 000x+2 000y=700 000(元),
即该公司在甲电视台做100 min广告,在乙电视台做200 min广告,公司收益最大,最大收益是70万元.课时训练17 二元一次不等式(组)与平面区域
一、二元一次不等式(组)表示的平面区域
1.点A(-2,b)不在平面区域2x-3y+5≥0内,则b的取值范围是( )
A.b> B.b>-9
C.b<1 D.b≤
答案:A
解析:由已知,2×(-2)-3b+5<0,
∴3b>1,∴b>.
2.表示图中阴影部分的二元一次不等式组是( )
A. B.
C. D.
答案:C
解析:取点(0,0)检验即可,或直接依据图象写出不等式组.
3.不等式组表示的平面区域是( )
A.矩形 B.三角形
C.直角梯形 D.等腰梯形
答案:D
解析:作出平面区域如图,所以平面区域为等腰梯形.
4.已知点P(1,-2)及其关于原点的对称点均在不等式2x+by+1>0表示的平面区域内,则b的取值范围是 .
答案:
解析:点P(1,-2)关于原点的对称点为点P'(-1,2).
由题意知
解得5.画出不等式x≤|y|≤2x表示的平面区域.
解:由x≤2x,得x≥0,当y>0时,有点(x,y)在一角形区域内(含边界);
当y≤0时,由对称性得出,点(x,y)也在一角形区域内(含边界),
综上,x≤|y|≤2x表示的平面区域如图阴影部分.
二、不等式组表示的平面区域的面积
6.若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分,则k的值是( )
A. B. C. D.
答案:A
解析:不等式组表示的平面区域如图中阴影部分△ABC所示.
由得A(1,1),
又B(0,4),C,
∴S△ABC=×1=.
设y=kx+与3x+y=4的交点为D,则由S△BCD=S△ABC=知xD=,
∴yD=.∴=k×,解得k=.
7.不等式组表示的平面区域的面积是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
答案:B
解析:不等式组等价于(1)或(2)
分别作出以上两个不等式组表示的区域,可以发现不等式组(1)表示一个点A,不等式组(2)表示的平面区域如图阴影部分所示,
从而它们的并集为不等式组(2)表示的区域,其中点A(0,1),B(-2,3),C(-2,-1),
于是其面积为S=×2×|3-(-1)|=4.
8.在平面直角坐标系中,不等式组表示的平面区域的面积是 .
答案:4
解析:不等式组表示的平面区域是三角形,如图所示,则该三角形的面积是×4×2=4.
三、用二元一次不等式组表示实际问题
9.某公司从银行贷款不足250万元,分配给下属甲、乙两个工厂用以进行技术改造.已知甲厂可以从投入的金额中获取20%的利润,乙厂可以从投入的金额中获取25%的利润,如果该公司计划从这笔贷款中至少获利60万元,请列出甲、乙两个工厂分配到的贷款金额所满足的数学关系式,并画出相应的平面区域.
解:设甲、乙两个工厂分配到的贷款金额分别为x,y(单位:万元),
根据题意,可得
不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示.
(建议用时:30分钟)
1.下面四个点中,在平面区域内的点是( )
A.(0,0) B.(0,2) C.(-3,2) D.(-2,0)
答案:B
解析:可以验证仅有点(0,2)的坐标是不等式组的解,则点(0,2)在该不等式组表示的平面区域内.
2.已知点(a,2a-1),既在直线y=3x-6的上方,又在y轴的右侧,则a的取值范围是( )
A.(2,+∞) B.(5,+∞)
C.(0,2) D.(0,5)
答案:D
解析:∵(a,2a-1)在直线y=3x-6的上方,
∴3a-6-(2a-1)<0.即a<5.
又(a,2a-1)在y轴右侧,∴a>0.
∴03.由直线y=x,y=-x及x=1围成一个三角形区域,则表示该区域的不等式组是( )
A. B.
C. D.
答案:A
解析:由已知三条直线围成的三角形区域如图中阴影部分所示,从而代入点检验知A正确.
4.能正确表示满足不等式(x-y)(x+2y-2)≥0的点所在的区域的是( )
答案:A
解析:∵点(0,0)在(x-y)(x+2y-2)≥0表示的平面区域内,∴可排除C,D.
又∵点(-5,0)也在(x-y)(x+2y-2)≥0表示的平面区域内,∴排除B.
5.直线y=kx+1将不等式组表示的平面区域分为面积相等的两部分,则实数k的值为( )
A.1 B.-1
C.0 D.-2
答案:C
解析:不等式组表示的区域如图中阴影部分所示,△ABC是等腰直角三角形,且BC⊥x轴,点A(-1,1).直线y=kx+1经过点(0,1),要使直线将△ABC等分,则k=0.
6.如果点(5,b)在两条平行直线6x-8y+1=0和3x-4y+5=0之间,则b应取的整数值为 .
答案:4
解析:由已知得解得又∵b∈Z,∴b=4.
7.不等式组表示面积为1的直角三角形区域,则n= .
答案:4
解析:由已知图形为直角三角形,∴k=1.
从而区域如图所示,
则点A(1,1),C(1,n-1),B,∴S△ABC=(n-2)×=1,∴n=4或n=0(舍去).
8.已知D是由不等式组所确定的平面区域,则圆x2+y2=4在区域D内的弧长为 .
答案:
解析:作出区域D及圆x2+y2=4,如图所示,图中阴影部分所在圆心角θ=α+β所对弧长即为所求,易知图中两直线的斜率分别为,-,即tan α=,tan β=,tan θ=tan(α+β)==1,故θ=,从而弧长l=θ·R=×2=.
9.△ABC中,顶点A(3,-1),B(-1,1),C(1,3).写出△ABC区域所表示的二元一次不等式组.
解:如图:
AB,BC,CA三边所在直线的方程分别为x+2y-1=0,x-y+2=0,2x+y-5=0,由区域可得不等式组为
10.若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my-4=0相交于P,Q两点,且P,Q关于直线x+y=0对称,则不等式组表示的平面区域的面积是多少
解:P,Q关于直线x+y=0对称,故PQ与直线x+y=0垂直,直线PQ即是直线y=kx+1,故k=1.
又线段PQ为圆x2+y2+kx+my-4=0的一条弦,故该圆的圆心在线段PQ的垂直平分线上,
即在直线x+y=0上,
又圆心在上,
∴m=-k=-1,∴不等式组为
它表示的平面区域如图所示,故面积为.