课时作业(十八) 简单的线性规划问题
A组 基础巩固
1．设变量x，y满足则2x＋3y的最大值为( )
A．20 B．35
C．45 D．55
解析：根据不等式组确定平面区域，再平移目标函数求最大值．作出不等式组对应的平面区域(如下图)，平移直线y＝－x，易知直线经过可行域上的点A(5,15)时，2x＋3y取得最大值55，故选D.
答案：D
2．已知向量a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b.若x，y满足不等式|x|＋|y|≤1，则z的取值范围为( )
A．[－2,2] B．[－2,3]
C．[－3,2] D．[－3,3]
解析：因为a⊥b，所以2(x＋z)＋3(y－z)＝0，则z＝2x＋3y，x，y满足不等式|x|＋|y|≤1，则点(x，y)的可行域如下图中阴影部分所示．当z＝2x＋3y经过点A(0,1)时，z＝2x＋3y取得最大值3；当z＝2x＋3y经过点C(0，－1)时，z＝2x＋3y取得最小值－3.
答案：D
3．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为( )
A．2 B．1
C．－ D．－
解析：已知的不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，显然当点M与点A重合时直线OM的斜率最小，由直线方程x＋2y－1＝0和3x＋y－8＝0，解得A(3，－1)，故OM斜率的最小值为－.
答案：C
4．若实数x，y满足不等式组且x＋y的最大值为9，则实数m＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：
如图首先根据目标函数有最大值，可知m>0(否则平面区域不封闭，则最值不存在)．即m>0时，可行域如图．
结合图形当将直线x＋y＝0平移至点A时，目标函数z＝x＋y取得最大值9，因此点A可视为两直线x＋y＝9,2x－y－3＝0的交点，联立方程可得A(4,5)．又点A在直线x－my＋1＝0上，代入直线方程可得m＝1.
答案：C
5．在平面直角坐标系中，动点M(x，y)满足条件动点Q在曲线(x－1)2＋y2＝上，则|MQ|的最小值为( )
A. B.
C．1－ D.－
解析：圆(x－1)2＋y2＝的圆心坐标为(1,0)，半径r＝，则圆心到可行域的最小距离为到直线x－y＋2＝0的距离，即d＝＝，∴|MQ|的最小值为d－r＝，故选A.
答案：A
6．设x，y满足约束条件若目标函数z＝abx＋y(a>0，b>0)的最大值为8，则a＋b的最小值为________．
解析：画出约束条件表示的规划区域，如图．
当目标函数z＝abx＋y运动到A(1,4)时，目标函数z取得最大值，即8＝ab＋4，∴ab＝4.
∵(－)2≥0，
∴a＋b－2≥0，即a＋b≥2＝4.
答案：4
7．已知点P(x，y)满足点A(2,0)，则||·sin∠AOP(O为坐标原点)的最大值为________．
解析：
由于||sin∠AOP＝||×＝yp，故将不等式组表示的可行域作出，如右图易知点P的纵坐标取得最大值，解得yp＝.
答案：
8．已知变量x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围是________．
解析：由变量x，y满足约束条件1≤x＋y≤4，－2≤x－y≤2，在坐标系中画出可行域，如图中的阴影部分所示，为四边形ABCD，其中A(3,1)，kAD＝1，kAB＝－1.目标函数z＝ax＋y(其中a>0)中的z表示斜率为－a的一族平行直线在y轴上的截距的大小，若仅在点(3,1)处取得最大值，则斜率应小于kAB＝－1，即－a<－1，所以a的取值范围是(1，＋∞)．
答案：(1，＋∞)
9．设z＝2y－2x＋4，式中x，y满足条件，求z的最大值和最小值．
解：
作出不等式组的可行域(如右图所示)．
令t＝2y－2x，则z＝t＋4.
将t＝2y－2x变形得直线l：y＝x＋.
则其与y＝x平行，平移直线l时t的值随直线l的上移而增大，故当直线l经过可行域上的点A时，t最大，z最大；当直线l经过可行域上的点B时，t最小，z最小．
∴zmax＝2×2－2×0＋4＝8，
zmin＝2×1－2×1＋4＝4.
10．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目分别投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
解：设投资人对甲、乙两个项目分别投资x万元、y万元，盈利为z万元．根据题意可知
即
目标函数为z＝x＋0.5y.
作出可行域如下图阴影部分所示．
令z＝0作直线l：x＋0.5y＝0.
当直线l向上平移时，
所对应的z＝x＋0.5y的函数值随之增大，
所以当直线l经过可行域的顶点M时，
z＝x＋0.5y取得最大值．
顶点M是直线x＋y＝10与直线3x＋y＝18的交点，
解方程组
可以求得顶点M的坐标为(4,6)，
代入z＝x＋0.5y，得zmax＝4＋6×0.5＝7.
所以投资人对甲、乙两个项目分别投资4万元、6万元，才能确保可能的资金亏损不超过1.8万元，使可能的盈利最大．
B组 能力提升
11．已知O为坐标原点，点M的坐标为(a,1)(a>0)，点N(x，y)的坐标x，y满足不等式组若当且仅当时，·取得最大值，则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：作出不等式组所表示的可行域如下图，由目标函数·＝(a,1)·(x，y)＝ax＋y所表示的斜率为－a的平行直线系仅过点A(3,0)时，取得最大值可得－a
，故选D.
答案：D
12．设实数x，y满足不等式组且4x2＋y2的最小值为m，当9≤m≤25时，实数k的取值范围是________．
解析：不等式组所表示的可行域如图，点A的坐标为，其满足4x2＋y2取得最小值，此时最小值为m＝42＋2＝.由9≤m≤25，可得解得k∈[－2,5]．
答案：[－2,5]
13．已知求：
(1)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；
(2)z＝的取值范围．
解：(1)作出可行域如下图，计算得点A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)．
z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到点M(0,5)的距离的平方．
过点M作AC的垂线，易知垂足N在AC上，
故MN＝＝＝，
∴MN2＝2＝，
∴z的最小值为.
(2)z＝2·表示可行域内点(x，y)与定点Q连线斜率的2倍．
∵kQA＝，kQB＝，∴z的取值范围是.
14．某人民商场为使销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对即将出售的空调和冰箱相关数据进行调查，得出下表：
资金 每台空调或冰箱所需资金(百元) 月资金供应数量(百元)
空调 冰箱
成本 30 20 300
工人工资 5 10 110
每台利润 6 8
问：该商场怎样确定空调和冰箱的月供应量，才能使总利润最大？
解：设空调和冰箱月供应量分别为x台，y台，月总利润为z百元，
则，z＝6x＋8y
作可行域如下图，
∵y＝－x＋.其截距为，斜率为k＝－.
满足<|k|<，
欲z最大，必最大．
此时，直线y＝－x＋，必过A点，
由得A(4,9)．
故x＝4，y＝9时，zmax＝96(百元)．
答：所以，空调的月供应量为4台，冰箱的月供应量为9台时，才能使总利润最大，最大为96百元．课时作业(十六) 一元二次不等式及其解法
A组 基础巩固
1．二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集为( )
A．{x|x>3或x<－2} B．{x|x>2或x<－3}
C．{x|－2解析：二次函数的图象开口向下，故不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2答案：C
2．函数y＝对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m>2 B．m<2
C．m<0或m>2 D．0≤m≤2
解析：由题意知x2＋mx＋≥0对一切x∈R恒成立，∴Δ＝m2－2m≤0，∴0≤m≤2.
答案：D
3．关于x的不等式<0(其中a<－1)的解集为( )
A.
B.
C.∪
D．(－∞，－1)∪
解析：原不等式变形得：(ax－1)(x＋1)<0，
又a<－1，∴(x＋1)>0，
解得：x<－1或x>，
则原不等式的解集为(－∞，－1)∪.
答案：D
4．关于x的不等式63x2－2mx－m2<0的解集为( )
A.
B.
C.∪
D．以上答案都不对
解析：原不等式可化为·<0，需对m分三种情况讨论，即不等式的解集与m有关．
答案：D
5．若不等式|2x－3|>4与关于x的不等式x2＋px＋q>0的解集相同，则x2－px＋q<0的解集是( )
A.
B.
C.
D.
解析：由|2x－3|>4得2x－3>4或2x－3<－4，则x>或x<－.由题意可得
则x2－px＋q<0对应方程x2－px＋q＝0的两根分别为，－，则x2－px＋q<0的解集是，故选D.
答案：D
6．已知f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(aA．a<α<βC．α解析：
∵α，β为f(x)＝0的两根，
∴α，β为f(x)＝(x－a)(x－b)＋2与x轴交点的横坐标．
∵a，b为(x－a)(x－b)＝0的根，
令g(x)＝(x－a)(x－b)，
∴a，b为g(x)与x轴交点的横坐标．
可知f(x)图象可由g(x)图象向上移2个单位得到，由图知选A.
答案：A
7．不等式x2＋mx＋>0恒成立的条件是________．
解析：x2＋mx＋>0恒成立，等价于Δ<0，
即m2－4×<0 0答案：08．函数f(x)＝log2＋的定义域为________．
解析：要使函数有意义，则需
即
∴其定义域为.
答案：
9．已知函数y＝的定义域为R，解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0.
解：∵函数y＝的定义域为R，
∴ax2＋2ax＋1≥0恒成立．
当a＝0时，1≥0，不等式恒成立；
当a≠0时，则解得0∵0≤a≤1，∴(1)当1－a>a，即0≤a<时，a10．若关于x的不等式ax2＋3x－1>0的解集是，
(1)求a的值；
(2)求不等式ax2－3x＋a2＋1>0的解集．
解：(1)依题意，可知方程ax2＋3x－1＝0的两个实数根为和1，
＋1＝－，×1＝－，解得a＝－2.
(2)－2x2－3x＋5>0,2x2＋3x－5<0.
因为2x2＋3x－5＝0有两根为x1＝1，x2＝－，
所以不等式的解集为.
B组 能力提升
11．如果不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集为{x|－2A
B
C
D
解析：∵不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－2∴∴
∴f(x)＝－x2－x＋2，
∴y＝f(－x)＝－x2＋x＋2，其图象开口向下且与x轴的交点坐标为(－1,0)，(2,0)．∴选C.
答案：C
12．若关于x的方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的两根均大于1，则m的取值范围是________．
解析：令f(x)＝8x2－(m－1)x＋m－7.
∵方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的两根均大于1，
∴由二次函数图象得
解得
∴m的取值范围是{m|m≥25}．
答案：{m|m≥25}
13．已知关于x的方程x2－2tx＋t2－1＝0的两实根介于(－2,4)之间，求t的取值范围．
解：令f(x)＝x2－2tx＋t2－1.
∵x2－2tx＋t2－1＝0的两实根介于(－2,4)之间，
∴
解得
∴－114．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(－1)＝0，是否存在常数a，b，c，使得不等式x≤f(x)≤(x2＋1)对一切实数x恒成立？并求出a，b，c的值．
解：已知f(－1)＝a－b＋c＝0，①
若存在常数a，b，c，使得x≤f(x)≤(x2＋1)恒成立，则令x＝1，得1≤f(1)≤1.∴f(1)＝a＋b＋c＝1.②
由①②，得b＝，a＋c＝，则f(x)＝ax2＋x＋－a.
∵x≤f(x)≤(x2＋1)对一切实数x都成立，
∴恒成立，
即恒成立．
a．对于不等式ax2－x＋－a≥0恒成立，
则即
∴a＝.
b．对于不等式x2＋x－a≤0恒成立，
则即
∴a＝.
∴a＝时，x≤f(x)≤(x2＋1)对一切实数x都成立，
∴存在常数a＝，b＝，c＝，
使得不等式x≤f(x)≤(x2＋1)对一切实数x都成立．章末综合能力测试
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是( )
A. B.
C． D.
解析：由9x2＋6x＋1≤0，得(3x＋1)2≤0，可求得其解为x＝－.
答案：D
2．已知正三角形ABC的两个顶点A(1,1)，B(1,3)，且顶点C在第一象限，若点(x，y)在△ABC内部，则z＝－x＋y的取值范围是( )
A．(1－，2) B．(0,2)
C．(－1,2) D．(0,1＋)
解析：利用线性规划知识，求解目标函数的取值范围．如下图．根据题意得C(1＋，2)．作直线－x＋y＝0，并平移，过点B(1,3)和C(1＋，2)时，z＝－x＋y分别取最大值和最小值，则－(1＋)＋2答案：A
3．某工厂第一年年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则( )
A．x＝ B．x≤
C．x> D．x≥
解析：由题意应有，A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，
∴1＋x＝≤，
∴x≤，故选B.
答案：B
4．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：a＋b＝x＋y，cd＝xy，x>0，y>0，则＝≥＝4，当且仅当x＝y时取等号．
答案：D
5．已知关于x的不等式<2的解集为P.若1 P，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，0]∪[1，＋∞)
B．[－1,0]
C．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
D．(－1,0]
解析：∵不等式<2的解集为P，且1 P，
∴≥2，即≤0，∴－1答案：D
6．已知x>1，y>1，且xy＝16，则log2x·log2y( )
A．有最大值2 B．等于4
C．有最小值3 D．有最大值4
解析：∵x>1，y>1，且xy＝16，∴log2x>0，log2y>0且log2x＋log2y＝log216＝4.
∴log2x·log2y≤2＝4(当且仅当x＝y＝4时取等号)．
答案：D
7．如图，某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车的运营总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N)为二次函数关系．若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运( )
A．3年 B．4年
C．5年 D．6年
解析：由图象知抛物线顶点坐标为(6,11)，且过点(4,7)．设y＝a(x－6)2＋11，将点(4,7)代入，得
7＝a(4－6)2＋11，∴a＝－1.
∴y＝－(x－6)2＋11＝－x2＋12x－25.
∴年平均利润为＝－x－＋12＝12－.
∵x＋≥10，
∴当x＝5时，有最大值2.故选C.
答案：C
8．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈成立，则a的最小值为( )
A．0 B．－2
C．－ D．－3
解析：∵不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈成立，
∴对一切x∈，ax≥－x2－1，即a≥－成立．
令g(x)＝－＝－.
易知g(x)＝－在内为增函数．
∴当x＝时，g(x)max＝－.
∴a的取值范围是a≥－，即a的最小值是－.
故选C.
答案：C
9．已知a1>a2>a3>0，则使得(1－aix)2<1(i＝1,2,3)都成立的x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：“求(1－aix)2<1(i＝1,2,3)都成立的x的取值范围”实质上是求不等式组的解集，由于这几个不等式结构一样，则其中解集“最小”的一个不等式的解集即是不等式组的解集．(1－aix)2<1即ax2－2aix<0，aix(aix－2)<0.
∵ai>0，∴这个不等式可化为x<0，
∴0因此0答案：B
10．已知log2(x＋y)＝log2x＋log2y，则x＋y的取值范围是( )
A．(0,1] B．[2，＋∞)
C．(0,4] D．[4，＋∞)
解析：由题设，得log2(x＋y)＝log2(xy)，
∴x＋y＝xy，且x>0，y>0，∴y＝>0，
∴x>1.∴x＋y＝x＋＝x－1＋＋2≥4，
当且仅当x－1＝，即x＝2(负值舍去)时等号成立．即x＋y∈[4，＋∞)．
答案：D
11．某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为( )
A．31 200元 B．36 000元
C．36 800元 D．38 400元
解析：设租用A型车x辆，B型车y辆，目标函数为z＝1 600x＋2 400y，则约束条件为
作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点P(5,12)时，有最小值zmin＝36 800(元)．
答案：C
12．已知两条直线l1：y＝m和l2：y＝(m>0)，l1与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点C，D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b.当m变化时，的最小值为( )
A．16 B．8
C．8 D．4
解析：在平面直角坐标系下作出函数y＝|log2x|的图象如图所示，不妨设点A(x1，m)，B(x2，m)，C，D，则00)，则t＝m＋＝＋－≥4－＝，当且仅当2＝4，即m＝时，t取最小值为，此时的最小值为8.
答案：B
二、填空题(本题共4个小题，每小题5分，共20分)
13．若函数f(x)＝(2－a2)x＋a在区间[0,1]上恒为正，则实数a的取值范围是________．
解析：当2－a2＝0时，a＝±.
由题意知a＝时符合题意．
当2－a2≠0，即a≠±时，f(x)是一次函数，在[0,1]上是单调的，
∴即
解得0答案：(0,2)
14．在R上定义运算 ，a b＝ab＋2a＋b，则满足x (x－2)<0的实数x的取值范围为________．
解析：∵x (x－2)＝x·(x－2)＋2x＋x－2＝x2＋x－2，∴x (x－2)<0，即x2＋x－2<0，即(x＋2)(x－1)<0，∴实数x的取值范围为－2答案：(－2,1)
15．实系数一元二次方程x2＋ax＋2b＝0有两个根，一个根在区间(0,1)内，另一个根在区间(1,2)内，则的取值范围为________．
解析：设f(x)＝x2＋ax＋2b，由题意可知f(x)的图象如图1所示，
则有
图1
图2
点(a，b)对应区域如图2所示阴影部分(不含边界)，其中A(－3,1)，B(－2,0)，C(－1,0)，的几何意义是点(a，b)和点D(1,2)连线的斜率．
∵kAD＝＝，kCD＝＝1，
由图可知kAD<答案：
16．设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为6，则＋的最小值为________．
解析：作出可行域如图所示的阴影部分，平移直线l：ax＋by＝0，由于a>0，b>0，∴直线l的斜率为－<0，∴当直线l经过点A时，z＝ax＋by取得最大值6.
由
解得∴A(4,6)．
∴4a＋6b＝6.∴a＋b＝1且a>0，b>0.
∴＋＝＝＋＋≥＋2＝.(当且仅当＝，即a＝b时取等号)
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
求函数y＝的最小值．
解析：令t＝x2＋1，则t≥1，且x2＝t－1.
∴y＝＝＝＝t＋＋1.
∵t≥1，∴t＋≥2＝2，当且仅当t＝，即t＝1时，等号成立．
∴当t＝1时，min＝2，
此时x＝0，ymin＝t＋＋1＝3.
故当x＝0时，函数y取最小值，ymin＝3.
18．(本小题满分12分)
已知f(t)＝log2t，t∈[，8]，对于f(t)值域内的所有实数m，使不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立，求x的取值范围．
解析：∵t∈[，8]，f(t)∈.对于f(t)值域内的所有实数m，不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立，即m(x－2)＋(x－2)2>0恒成立．
当x＝2时，不等式不成立，∴x≠2.
令g(m)＝m(x－2)＋(x－2)2，为m的一次函数．
m∈，问题转化为g(m)在m∈上恒大于0，则解得x>2或x<－1.
19．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋a＋1.
(1)若a＝2，解关于x的不等式f(x)≥0；
(2)若对于a∈[－2,2]，f(x)<0恒成立，求实数x的取值范围．
解析：(1)若a＝2，则不等式f(x)≥0化为2x2－5x＋3≥0，
∴不等式f(x)≥0的解集为.
(2)∵ax2－(2a＋1)x＋a＋1＝a(x－1)2－(x－1)，
令g(a)＝a(x－1)2－(x－1)，则g(a)是关于a的一次函数，且一次项的系数为(x－1)2≥0，
∴当x－1＝0时，f(x)＝0不合题意；
当x≠1时，g(a)为[－2,2]上的增函数．
∵f(x)<0恒成立，
∴只要使g(a)的最大值g(2)<0即可，
即g(2)＝2(x－1)2－(x－1)<0，解得1综上，x的取值范围是.
20．(本小题满分12分)
某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y1与投资金额x的函数关系为y1＝18－，B产品的利润y2与投资金额x的函数关系为y2＝(注：利润与投资金额单位：万元)．
(1)该公司已有100万元资金，并全部投入A，B两种产品，其中x万元资金投入A产品，试把A，B两种产品利润总和表示为x的函数，并写出定义域；
(2)在(1)的条件下，试问：怎样分配这100万元资金，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？
解析：(1)若x万元资金投入A产品，则剩余的(100－x)万元资金投入B产品，利润总和f(x)＝18－＋＝38－－，x∈[0,100]．
(2)∵f(x)＝40－，x∈[0,100]，
∴f(x)≤40－2＝28，当且仅当＝时取等号，即x＝20.
故分别用20万元和80万元资金投资A，B两种金融产品，可以使公司获得最大利润，最大利润为28万元．
21．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(－1)＝0，是否存在常数a，b，c使不等式x≤f(x)≤(x2＋1)对一切实数x都成立．
解析：由f(－1)＝0，得a－b＋c＝0. ①
又对x∈R，不等式x≤f(x)≤(x2＋1)成立，取x＝1，
有1≤f(1)≤1，
∴f(1)＝1，故a＋b＋c＝1. ②
由①②可得b＝，c＝－a，
将其代入x≤f(x)≤(x2＋1)，
得x≤ax2＋x＋－a≤(x2＋1)对x∈R恒成立，
即对x∈R恒成立．
由③得 a＝.
由④得 a＝.
综合可知，存在常数a＝，b＝，c＝满足题意．
22．(本小题满分12分)
是否存在实数k，使得关于x的不等式4－kx－≤0在x>0时恒成立？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
解析：存在．将不等式4－kx－≤0变形，即－≤kx－4(x>0)．可设f1(x)＝－，f2(x)＝kx－4.
故f2(x)中参数k的几何意义是直线y＝kx－4的斜率．
由下图知当直线y＝kx－4与曲线y＝－相切时，关于x的方程－＝kx－4有唯一大于0的解，将方程整理成关于x的一元二次方程kx2－4x＋4＝0.
由Δ＝(－4)2－4×4×k＝0，可得k＝3.
又直线y＝kx－4过定点(0，－4)，故要使f1(x)≤f2(x)(x>0)恒成立，只需k≥3即可．
综上，存在实数k∈[3，＋∞)使不等式恒成立．课时作业(十九) 基本不等式
A组 基础巩固
1．若x>0，y>0，且＋＝1，则xy有( )
A．最大值64 B．最小值
C．最小值 D．最小值64
解析：xy＝xy＝2y＋8x≥2＝8，∴≥8，
即xy≥64，当且仅当即时等号成立．
答案：D
2．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( )
A．3 B．4
C. D.
解析：∵x＋2y＋2xy＝8，∴y＝>0，
∴－1＝(x＋1)＋－2≥2－2＝4，
当且仅当x＋1＝时“＝”成立，此时x＝2，y＝1.
答案：B
3．若a>0，b>0，且ln(a＋b)＝0，则＋的最小值是( )
A. B．1
C．4 D．8
解析：由a>0，b>0，ln(a＋b)＝0，得
∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时，取等号．
答案：C
4．已知x＋3y－2＝0，则3x＋27y＋1的最小值是( )
A．3 B．1＋2
C．6 D．7
解析：∵3x＋27y＋1＝3x＋33y＋1≥2＋1＝2×3＋1＝7，当且仅当3x＝33y且x＋3y－2＝0，即x＝1，y＝时，等号成立，∴所求最小值为7.
答案：D
5．设M是△ABC内一点，且△ABC的面积为1，定义f(M)＝(m，n，p)，其中m、n、p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积，若f(M)＝，则＋的最小值是( )
A．8 B．9
C．16 D．18
解析：△ABC的面积为△MBC，△MCA，△MAB的面积之和，∴＋x＋y＝1，即x＋y＝，＋＝(2x＋2y)＝10＋＋≥18.当且仅当x＝，y＝时等号成立．
答案：D
6．设a>b>c>0，则2a2＋＋－10ac＋25c2的最小值是( )
A．2 B．4
C．2 D．5
解析：∵a>b>c>0，∴原式＝a2＋＋－10ac＋25c2＋a2＝a2－ab＋＋ab＋＋(a－5c)2≥2＋2＋0＝4，当且仅当a(a－b)＝1，ab＝1，a－5c＝0时取等号．即当a＝，b＝，c＝时，所求式的最小值为4.
答案：B
7．函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn>0)上，则＋的最小值为________．
解析：函数y＝a(1－x)(a>0，a≠1)的图象恒过定点A(1,1)，因为点A在直线mx＋ny＝1上，所以m＋n＝1.
又因为mn>0，
所以＋＝·1＝(m＋n)
＝2＋＋≥2＋2＝4.
当且仅当m＝n时，取等号．
答案：4
8．若对任意的x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
解析：根据题意，令f(x)＝＝，∵x>0，∴x＋≥2，∴f(x)＝≤＝，当且仅当x＝1时，取得最大值.若使不等式恒成立，只需a≥即可．
答案：a≥
9．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：≥9.
证明：方法一：因为a>0，b>0，a＋b＝1，
所以1＋＝1＋＝2＋.同理1＋＝2＋，
故＝＝5＋2≥5＋4＝9.
所以≥9
.
方法二：＝1＋＋＋＝1＋＋＝1＋，因为a，b为正数，a＋b＝1，
所以ab≤2＝，于是≥4，≥8，
因此≥1＋8＝9
10．已知函数y＝(x>－2)．
(1)求的取值范围．
(2)当x为何值时，y取何最大值？
解：(1)设x＋2＝t，x＝t－2，t>0(x>－2)，
则＝＝＝＝t＋－3≥2－3，∴的取值范围为[2－3，＋∞]．
(2)欲使y最大，必有最小，此时t＝，t＝，x＝－2，y＝，∴当x＝－2时，y最大，最大值为.
B组 能力提升
11．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cosC的最小值为( )
A. B.
C. D．－
解析：由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcosC.又c2＝(a2＋b2)，所以2abcosC＝(a2＋b2)，即cosC＝≥＝，所以选C.
答案：C
12．设a＋b＝2，b>0，则当a＝________时，＋取得最小值．
解析：a＋b＝2，则t＝＋＝＋.
①当a>0时，即a∈(0,2)时，
t＝＋＋≥＋2＝＋1＝，
当且仅当＝，即b＝2a时等号成立．
又∵a＋b＝2，∴此时a＝.
②当a<0时，t＝－＋＋≥－＋2＝－＋1＝，
当且仅当－＝－，即b＝－2a时等号成立．
又∵a＋b＝2，∴此时a＝－2.
综上所述，当a＝－2时，＋取得最小值为.
答案：－2
13．如图，已知小矩形花坛ABCD，AB＝3 m，AD＝2 m，现要将小矩形花坛建成大矩形花坛AMPN，使点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C.
(1)要使矩形AMPN的面积大于32 m2，AN的长应在什么范围内？
(2)M，N是否存在这样的位置，使矩形AMPN的面积最小？若存在，求出这个最小面积及相应的AM，AN的长度；若不存在，说明理由．
解：(1)设AM＝x，AN＝y(x>3，y>2)，矩形AMPN的面积为S，则S＝xy.
∵△NDC∽△NAM，∴＝，
∴x＝，
∴S＝(y>2)．
由>32，得28.
∴AN的长度应在或(8，＋∞)内．
(2)当y>2时，S＝＝3≥3×(4＋4)＝24，
当且仅当y－2＝，
即y＝4时，等号成立，解得x＝6.
∴存在M，N点，当AM＝6，AN＝4时，Smin＝24.
14．记F(x，y)＝x＋y－a(x＋2)，x、y∈(0，＋∞)．若对任意的x，y∈(0，＋∞)，恒有F(x，y)≥0，请求出a的取值范围．
解：由F(x，y)≥0，得x＋y≥a(x＋2)．
∵x>0，y>0，∴a≤.
∴a≤min.
∵2≤x＋2y.
∴≥＝，
当且仅当x＝2y>0时，等号成立．
∴a∈.课时作业(十七) 二元一次不等式(组)
与平面区域
A组 基础巩固
1．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是( )
A．a<5 B．a≥7
C．5≤a<7 D．a<5或a≥7
解析：先画出x－y＋5≥0和0≤x≤2表示的区域，再确定y≥a表示的区域．由图知：5≤a<7.
答案：C
2．若点P在所确定的平面区域内，则点P的纵坐标的取值范围为( )
A.≤a≤ B.≤a≤
C.≤a≤ D.≤a≤
解析：根据已知条件，由于点P的横坐标为，代入其中的两条限制直线方程中，则可以求出此时纵坐标的取值范围：≤a≤，从而答案为A.
答案：A
3．直线2x＋y－10＝0与不等式组表示的平面区域的公共点有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
解析：首先作出不等式组表示的平面区域，然后作直线2x＋y－10＝0，如图，发现直线与平面区域只有一个公共点(5,0)，故选B.
答案：B
4．在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为( )
A．－5 B．1
C．2 D．3
解析：由题意知不等式组所表示的平面区域为一个三角形，设为△ABC，
则A(1,0)，B(0,1)，C(1,1＋a)，且a>－1.
∵S△ABC＝2，∴(1＋a)×1＝2，∴a＝3.
答案：D
5．满足|x|＋|y|≤4的整点(横、纵坐标均为整数)的点(x，y)的个数为( )
A．16 B．17
C．40 D．41
解析：第一象限内点(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)满足要求；同理其他象限也各有6个，x，y轴上各有9个，但原点重复，所以共41个．
答案：D
6．在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为( )
A．2 B.
C. D．2
解析：画出不等式组表示的平面区域如下图阴影部分所示．
联立求出A.
联立求出B(2,3)．
故所求区域面积S＝×2×2＋×2×＝.故选B.
答案：B
7．已知向量m＝(a－2b，a)，n＝(a＋2b,3b)，且m，n的夹角为钝角，则在aOb平面上，点(a，b)所在的区域是( )
A B
C D
解析：∵m，n的夹角为钝角，
∴m·n<0 (a－2b，a)·(a＋2b,3b)＝a2－4b2＋3ab＝(a＋4b)·(a－b)<0
或故选A.
答案：A
8．若点P(m,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离为4，且点P在不等式2x＋y<3表示的平面区域内，则m＝________.
解析：由题意，得d＝＝＝4，
∴|m－2|＝5，∴m＝7或m＝－3.又2m＋3<3，
∴m<0，∴m＝－3.
答案：－3
9．某公司从银行贷款不足250万元，分配给下属甲、乙两个工厂用以进行技术改造．已知甲厂可以从投入的金额中获取20%的利润；乙厂可以从投入的金额中获取25%的利润．如果该公司计划从这笔贷款中至少获利60万元，请列出甲、乙两个工厂分配到的贷款金额所满足的数学关系式，并画出相应的平面区域．
解：设x，y分别表示甲、乙两个工厂分配到的贷款金额(单位：万元)，
根据题意，可得
不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分．
10．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，求a的取值范围．
解：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分．
作直线l：x＋y＝0，把直线l向上平移至过点B(1,0)的过程中，
原不等式组表示的平面区域是一个三角形，此时有0平移直线过点A后，继续向上平移，原不等式组表示的平面区域是一个三角形．
由求得点A的坐标为.
直线x＋y＝a过点A时，a＝，∴a≥，
综上所述，a的取值范围为0B组 能力提升
11．若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是( )
A. B.
C. D.
解析：如图所示：由题意知，直线y＝kx＋过点，又过线段BC的中点M，
∴k＝＝.
答案：A
12．已知点M(a，b)在不等式组确定的平面区域内，则点N(a＋b，a－b)所在的平面区域的面积是( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：由于点M在不等式组内，故有令a＋b＝m，a－b＝n，则2a＝m＋n,2b＝m－n，代入a，b满足的不等式组中，得到此不等式组表示的平面区域即为点N所在的平面区域．
如下图，画出此平面区域为一等腰直角三角形，面积为4.
答案：C
13．在△ABC中，各顶点坐标分别为A(3，－1)、B(－1,1)、C(1,3)，写出△ABC区域所表示的二元一次不等式组．
解：如图所示．
可求得直线AB、BC、CA的方程分别为x＋2y－1＝0，x－y＋2＝0,2x＋y－5＝0.
由于△ABC区域在直线AB右上方，
∴x＋2y－1≥0；
在直线BC右下方，∴x－y＋2≥0；
在直线AC左下方，∴2x＋y－5≤0，
∴△ABC区域可表示
为.
14．设不等式组所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x－4y－9＝0对称．对于Ω1中的任意点A与Ω2中的任意点B，|AB|的最小值等于( )
A. B．4
C. D．2
解析：因为平面区域Ω2与Ω1关于直线3x－4y－9＝0对称，所以所求|AB|的最小值，即为区域Ω1中的点到直线3x－4y－9＝0的距离的最小值的两倍．
画出不等式组所表示的平面区域Ω1，如图中的阴影部分，根据画出的不等式组表示的平面区域可以看出点G(1,1)到直线3x－4y－9＝0的距离最小，故|AB|的最小值为2×＝4.
答案：B