2024-2025学年湖北省“问津教育联合体”高二9月联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖北省“问津教育联合体”高二9月联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.点关于平面对称点的坐标是( )
A. B. C. D.
2.从小到大排列的数据，，，，，，，，，，，的下四分位数为( )
A. B. C. D.
3.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. “直线，不相交”是“直线，为异面直线”的充分不必要条件
4.在下列条件中，点与，，三点一定共面的是( )
A. B.
C. D.
5.现利用随机数表法从编号为，，，，，的支水笔中随机选取支，选取方法是从下列随机数表第行的第个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的水笔编号小于的概率为( )
A. B. C. D.
6.某校科技社利用打印技术制作实心模型如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台其中半球的体积为，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为 ，
A. B.
C. D.
7.正方体中，为中点，则直线，所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
8.在直三棱柱中，且，已知该三棱柱的体积为，且该三棱柱的外接球表面积为，若将此三棱柱掏空保留表面，不计厚度后放入一个球，则该球的最大半径为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在件产品中，有一等品件，二等品件一等品和二等品都是正品，次品件，现从中取出件产品记事件为：“件都是一等品”，事件为：“件一等品件二等品”，事件为：“件次品件正品”，事件为：“至少有件是一等品”，则下列结论中不成立的是( )
A. 事件，为互斥事件 B. 事件，为相互独立事件
C. D.
10.某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是( )
A. 考生参赛成绩的平均分约为分
B. 考生参赛成绩的第百分位数约为分
C. 分数在区间内的频率为
D. 用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，则成绩在区间应抽取人
11.如图，在四棱锥中，底面，底面为边长为的菱形，，，为对角线，的交点，，为的中点则下列说法正确的是( )
A.
B. 三棱锥的外接球的半径为
C. 当异面直线和所成的角为时，
D. 点到平面与到平面的距离相等
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.第六届世界互联网大会发布了项“世界互联网领先科技成果”，其中有项成果均属于芯片领域现有名学生从这项“世界互联网领先科技成果”中分别任选项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则至少有名学生选择“芯片领域”的概率为 ．
13.如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半
平面内，且都垂直于已知，，，则的长为 ．
14.已知三棱锥中，为等边三角形，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，
试用向量，，表示向量
若，，，，求的值．
16.本小题分
甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，每轮比赛甲、乙各射击一次，已知甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，每轮比赛中甲、乙两人射击的结果互不影响，求下列事件的概率：
第一轮射击中恰好有一人中靶
经过两轮射击，两人共中靶次．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，，面，且的面积为．
求证：面
当四棱锥的外接球体积最小时，求平面与平面所成二面角的余弦值．
18.本小题分
随机抽取名学生，测得他们的身高单位：，按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．
求频率分布直方图中的值及身高在及以上的学生人数
估计该校名学生身高的分位数．
若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，，，记总体平均数为，方差为，证明：
．
19.本小题分
如图，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图，连接，．
求证：
点是线段上一动点．
当为的中点时，求直线与平面所成角的正弦值
是否存在，使二面角的正切值为，若存在，求出点的位置若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：，，
故，
点为的中点，
故；
由题意得，，，
又，
所以
，
即．
16.解：设“甲中靶”，“乙中靶”，由题意，，
记“第一轮射击中恰好有一人中靶”为事件，共种情况：甲中靶、乙脱靶和甲脱靶、乙中靶，则
记“经过两轮射击，两人共中靶次”为事件，分种情况：甲次都中靶、乙次中靶次脱靶和
甲次中靶次脱靶、乙次都中靶，则
．

17.证明：平面，平面，
，
又，，、平面，
平面，
因为在平面内，，
是正方形，，
又，、平面，
平面；
由可得平面，
因为平面，所以，
设，，
设四棱锥的外接球的半径为，
由可得，，互相垂直，
故，当且仅当，即，时取等号，
故当四棱锥的外接球体积最小时，，，
连接，交于点，
因为是正方形，
所以，又因为，，且、平面，
所以平面，因为平面，
所以，
过作交于，连接，
因为，且、平面，
故平面，
因为平面，
所以，
所以为平面与平面所成的二面角的平面角，
由题可得，，
所以，
在中，由余弦定理得
，
平面与平面所成二面角的余弦值为．
18.解：由频率分布直方图可知，
解得，
身高在及以上的学生人数人；
的人数占比为，
的人数占比为，
所以该校名生学身高的分位数落在，
设该校名生学身高的分位数为，
则，解得，
故该校名生学身高的分位数为．
由题得；
又
同理，
．

19.证明：因为，分别为，的中点，
所以，
因为，
所以，
所以，
又，，，平面，
所以平面，
又平面，
故，
即；
因为，，，
所以，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
于是，，，，
当为的中点时有，则，
设平面的法向量，
则有，
令，得，，
所以是平面的一个法向量，
因为，，
所以直线与平面所成角的正弦值为；
假设线段上存在点，使二面角的正切值为，
即使二面角的余弦绝对值为，
设，则，，
所以，
又，
易得平面的一个法向量为，
设平面的法向量，
解得，令，得，
则是平面的一个法向量，
由图形可以看出二面角的夹角为锐角，
故二面角的余弦值为，
则有，，
即，解得，，
又因为，所以，
故线段上存在点为靠近点的四等分点，使二面角的正切值为．
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