重庆市百强校2025届高三上学期开学数学试题（含答案）

重庆市百强校2025届高三上学期开学数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若命题，，则命题为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.若扇形的弧长为，面积为，则其圆心角正角为( )
A. B. C. D.
3.( )
A. B. C. D.
4.已知，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.下列函数的图象不存在对称中心的是( )
A. B. C. D.
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知，，若方程有个不等实数根，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次记事件两次的点数之和为偶数，两次的点数之积为奇数，第一次的点数大于，则( )
A. B. C. 与相互独立 D. 与相互独立
10.已知函数，满足，且对任意，都有，当取最小值时，则下列正确的是( )
A. 图象的对称轴方程为，
B. 在上的值域为
C. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象
D. 在上单调递减
11.已知，，则下列说法正确的是( )
A. 方程有且只有一个实根
B. 存在正整数，使得对任意的，都有成立
C. 若对任意的，都有成立，则
D. 若方程有两个不等实根，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点在抛物线上，则到的准线的距离为 ．
13.若对恒成立，则实数的取值范围为 ．
14.已知函数满足下列条件：为的极值点在区间上是单调函数，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足，，．
求数列的通项公式
设，数列的前项和为，求证：，．
16.本小题分
某学生兴趣小组，在研究所在学校的学生性别与身高身高分为低于和不低于的相关关系时，记事件“学生身高不低于”，事件“学生为女生”据该校以往的统计结果显示，，，．
求，
若从该校的其中一个班随机抽取名学生，依据该校以往的统计结果，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析学生的性别与身高是否大于有关
性别 身高 合计
低于 不低于
女
男
合计
为进一步验证中的判断，该学生兴趣小组准备再多抽几个班，每个班仍然抽取名学生，若要使得依据的独立性检验可以肯定中的判断，试确定至少需要抽多少个班．
参考公式及数据：，．
17.本小题分
在中，，，分别是角，，的对边，有．
若，求
若，求的面积最大值．
18.本小题分
已知双曲线的中心为坐标原点，左、右顶点分别为，，虚轴长为．
求双曲线的方程
过点的直线与的右支交于，两点，若直线与交于点．
(ⅰ)证明：点在定直线上
(ⅱ)若直线与交于点，求的值．
19.本小题分
已知函数存在极大值．
求的取值范围
若，求的值域．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或．
15.解：已知数列满足，，
当时，
当时，，
验证当时，，成立，
综上：，．
证明：
，
，单调递增，
时，，
，，，即，
因此：，．
16.解：
由全概率公式可得，解得．
完成列联表如下：
零假设为学生的性别与身高是否大于无关，
根据列联表中的数据，经计算得到，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为学生的性别与身高是否大于有关，此推断犯错误的概率不大于．
由题意可知，，
解得，要使新列联表中的数据都为整数，则需，
又因为，所以的最小值为，即的最小值为．
17.解：在中，，，，
由正弦定理，，
，
则有，
由于，
故．
原等式变为，
，
，
由正弦定理得，
，，，
由余弦定理知，
其中，时取等，
．
18.解：设双曲线的标准方程为，
依题意有：，，，
所以双曲线方程为．
证明：设直线方程为：，设，
联立方程，消去得：，
，，，
是双曲线上的点，
，，，，
直线，直线，
联立方程得，
，解得，
故点在定直线上
解：由双曲线对称性可知，点也在直线上，
设，，
点在直线上，所以，
点在直线上，所以，
所以
，
所以．
19.解：由题意，得，
则，
令，
则在上恒成立，
所以在上单减．
因为，，
所以：当，即时，，即在上恒成立，
即在上单增，无极大值，不合题意，舍
当，即时，存在，使得，
此时，当时，，
当时，，
则在上单增，在上单减．
所以存在极大值，符合题意．
综上，
由知，，且在上单调递减，，
，，
所以且与一一对应．
因为
，
令，，
则，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
又，，
所以，即
故的值域为
第1页，共1页