山西省运城市2025届高三上学期开学摸底调研数学试题（含答案）

山西省运城市2025届高三上学期开学摸底调研数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则的虚部是
A. B. C. D.
2.命题：，的否定为
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知， ，则
A. B. C. D.
5.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
6.下列说法错误的是
A. 某校高一年级共有男女学生人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为人的样本，若样本中男生有人，则该校高一年级女生人数是
B. 数据，，，，，，，的第百分位数为
C. 在一元线性回归方程中，若线性相关系数越大，则两个变量的线性相关性越强
D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于
7.曲线在处的切线方程是
A. B.
C. D.
8.已知，则
A. B. C. D.
二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
9.已知正项等比数列的前项和为，公比为，若，，则__________．
10.双曲线的左、右焦点分别为、．是双曲线右支上一点，且直线的斜率为是面积为的直角三角形，则双曲线的方程为__________．
11.若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是__________．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
12.本小题分
记中的内角，，所对的边分别是，，，已知，
求；
若，且的面积为，求的周长．
13.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
若在恒成立，求实数的取值范围．
14.本小题分
如图，在四棱锥中，平面， ，，为的中点．
若，证明：平面；
已知，求平面和平面所成的二面角的正弦值．
15.本小题分
学习小组设计了如下试验模型：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子里有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有个红球和个白球，乙袋中有个红球和个白球．从这两个袋子中选择个袋子，再从该袋子中随机摸出个球，称为一次摸球．多次摸球直到摸出白球时试验结束．假设首次摸球选到甲袋或乙袋的概率均为．
求首次摸球就试验结束的概率；
在首次摸球摸出红球的条件下．
求选到的袋子为乙袋的概率；
将首次摸球摸出的红球放回原来袋子，继续进行第二次摸球时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球，请通过计算，说明选择哪个方案使得第二次摸球就试验结束的概率更大．
16.本小题分
已知点，在抛物线：上，按照如下方法依次构造点，，，过点作斜率为的直线与抛物线交于另一点，令为关于轴的对称点，记的坐标为，
求的值；
求证：数列是等差数列，并求，；
求的面积．
四、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
17.已知，则
A. B. 的图象关于直线对称
C. 的图象关于点对称 D. 在单调递增
18.设函数，则
A. 当时，有三个零点
B. 当时，无极值点
C. ，曲线对称中心的横坐标为定值
D. ，使在上是减函数
19.到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线设和且，动点满足，动点的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线，则下列描述正确的是( )
A. 曲线的方程是
B. 曲线关于坐标轴对称
C. 曲线与轴没有交点
D. 的面积不大于
参考答案
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12.解：在中，由正弦定理得，，
因为，
所以，
化简得，，
在中，由余弦定理得，，
又因为，所以；
由，
得，
由，
得，所以；
所以，
所以，所以的周长．
13.解：定义域为，．
当时，在上恒成立，所以在上单调递增
当时，解，即，解得，
解，得，则在上单调递增，
解，得，则在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增
当时，在上单调递增，在上单调递减．
由得，而，
，
令，，
在上单调递减，
，

14.解：因为平面，，平面，可知，，
且为的中点，则，
若，即，则，且，
，平面，
所以平面．
由题意可知：平面，，以为坐标原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为
则，，，，，
可得，，，，
设平面的法向量为，
则令，可得
设平面的法向量为，则
令，可得，
由题意可得：，，
所以平面和平面所成二面角的正弦值为
15.解：设摸球一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“摸出白球”为事件，“摸出红球”为事件．
所以．
所以摸球一次就试验结束的概率为．
因为事件，是对立事件，
所以．
所以，
所以选到的袋子为乙袋的概率为．
由可得，，
所以方案一、取到白球的概率为．
方案二、取到白球的概率为，
因为．
所以方案二取到白球的概率更大，即选择方案二使第二次摸球就试验结束的概率更大．

16.解：因为点在抛物线上，
则，解得．
证明：由可知：，即，，
因为点在抛物线上，则，且，
过，且斜率为的直线，
联立方程可得，
解得或，
所以，可得，
所以数列是以首项为，公差为的等差数列，
所以，．
由题意可知：，，，
梯形的面积为：
，即，
同理可得，
梯形的面积为：
，
即，
则的面积为：
．
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