2024年北京朝阳六校联考高三9月考数学（PDF版，无答案）

2024北京朝阳六校联考高三 9月考
数 学
2024.9
（考试时间 120 分钟 满分 150 分）
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合 A = 0,1,2,3,4 , B = x 1 x 3 ，则 A B =（ ）
（A） 1, 2 （B） 1, 2,3 （C） 0,1, 2 （D） 0,1, 2,3
（2）下列函数在区间 (0,1)上为增函数的是（ ）
（ ） y =1 x （ ） y = x2
1
A B 2x （C） y = x （D） y =
x
（3）在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 x轴的非负半轴为始边，终边关于原点O 对称.若角 的
2 5
终边与单位圆⊙O 交于点 P( , )，则 cos =（ ）
3 3
2 2 5 5
（A） （B） （C） （D）
3 3 3 3
（4）已知 log2m log2n =1，则（ ）
（A）mn = 2 （B）m n = 2 （C）2m = n （D）m = 2n
（5）已知a,b 0且 ab = 2，则 (a +1)(b + 2) 的最小值为（ ）
（A）4 （B）6 （C） 2 2 （D）8
1
（6）已知函数 f (x) 是定义在[0,+ )上的增函数，则满足 f (2x 1) f 的 x的取值范围是（ ）
3
1 2 1 2 1 2 1 2
（A） , （B） , （C） , （D） ,
3 3 3 3 2 3 2 3
（7）若 a、b R，则“ a2 b2 ”成立是“ 2a cos a 2b cosb ”成立的（ ）条件
（A）充分不必要 （B）必要不充分
（C）充要 （D）既不充分也不必要
2 1 π π π
（8）已知函数 f (x) = cos x + sin xcos x ( 1) 的一个零点是 ，且 f (x) 在 , 上单调，则
2 2 6 16
=（ ）
5 7 9 11
（A） （B） （C） （D）
4 4 4 4
（9）成书于约两千多年前的我国古代数学典籍《九章算术》中记载了通过加减消元求解 n元一次方程组的
算法，直到拥有超强算力计算机的今天，这仍然是一种效率极高的算法.按照这种算法，求解n元一次方程
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组大约需要对实系数进行C n3 (C 为给定常数)次计算.1949 年，经济学家莱昂提夫为研究“投入产出模
型”(该工作后来获得 1973 年诺贝尔经济学奖)，利用当时的计算机求解一个 42 元一次方程组，花了约 56
机时.事实上，他的原始模型包含 500 个未知数，受限于机器算力而不得不进行化简以减少未知数.如果不
进行化简，根据未知数个数估计所需机时，结果最接近于（ ）
（A）103 机时 （B）104 机时 （C）105 机时 （D）106 机时
x+1
（10）已知函数 f (x) = xe kx + k ，有且只有一个负整数 x0 ，使 f (x0 )≤0成立，则 k 的取值范围是
（ ）
2 1 1 2 1
（A） , （B） 0, （C） (0,1 （D） ,
3e 2 2 3e 2
第二部分（非选择题 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
2
（11）已知cos = ，则 cos2 = ．
3
（12）已知函数 f (x) = 2sin ( x + )的部分图象如图所示.
①函数 f ( x)的最小正周期为 ；
②将函数 f ( x)的图象向左平移 t (t 0)个单位长度，得到函数 g (x)的图象.若函数 g (x)为偶函数，则 t
的最小值是 .
2
1 (b + c)
（13）在 ABC 中，若 BC 边上的高为 a ，则 的一个取值为_________.
3 bc
（14）如图所示，将一矩形花坛 ABCD扩建为一个更大的矩形花坛 AMPN ，要求点 B 在 AM 上，点D 在
AN 上，且对角线MN 过点C ，已知 AB = 4, AD = 3，当 BM = 时，矩形花坛 AMPN 的面积最
小．
1 2x 3 ,1≤ x≤ 2

（15）已知函数 f (x) = 1 x ，给出下列四个结论.
f , x 2
2 2
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1 1
①若函数 y = f (x) kx有 4 个零点，则实数 k的取值范围为 ,
24 6
1
②关于 x的方程 f (x) = 0(n
*
N )有 2n + 4个不同的解
2n
③对于实数 x [1,+ )，不等式 2xf (x) 3≤0恒成立
1 1
④当 x [2n 1, 2n ](n *N ) 时，函数 f (x) 的图象与 x轴围成的图形的面积为 1 1=
2 2
其中所有正确结论的序号是_______．
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 14 分）
3
已知函数 f (x) = sin xcos x 3 cos2 x + .
2
（Ⅰ）求函数 f ( x)的最小正周期及单调递减区间；
π 2π
（Ⅱ）求函数 f ( x)在 , 上的最值；
12 3
π 2 4π
（Ⅲ）若 f + = ，求cos 2 的值.
4 3 3
（17）（本小题 13 分）
π
函数 f (x) = sin( x + ) 0, 的部分图像如图所示.
2
（Ⅰ）求 f ( x)的解析式；
π π 2
（Ⅱ）若 x , , f (x) mf (x) 1≤0恒成立，求m的取值范围.
4 4
（18）（本小题 14 分）
在① sin A = 2 sin B ，② c = 5 ，③ a2 + b2 c2 = 2ab这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，
使得 ABC 存在且唯一，并解答补充完整后的问题．
3 10
问题：在 ABC 中，已知内角 A, B,C 的对边分别为 a，b，c ，且 cos B = ，________，________，求
10
ABC 的面积．
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注：如果选择的条件不符合要求，得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
（19）（本小题 15 分）
已知函数 f (x) = ex ln x ex + a．
（Ⅰ）若 a = 0，求函数 f ( x)的零点.
1
（Ⅱ）若 x ,1 使得 f (x0 )≥0成立，试求 a0 的取值范围：
e
f (x) a
（Ⅲ）当 g (x) = 在点 A(1, g (1))处的切线与函数 y = f (x) 2的图象交于点 B 时，若Δ 的面积
ex
为 e 1，试求 a的值．
（20）（本小题 14 分）
lnx
已知函数 f (x)= ．
x
（Ⅰ）求 f (x) 在[2,a](a 2) 上的最小值；
x f 2（Ⅱ）若关于 的不等式 (x) + mf (x) 0 有且仅有三个整数解，求实数m的取值范围．
（21）（本小题 15 分）
对于由有限个自然数组成的集合 A，定义集合 S(A) ={a + b | a A,b A}，记集合 S(A) 的元素个数
为 d (S (A))．定义变换T ，变换T 将集合 A变换为集合T (A) = A S(A) .
（Ⅰ）若 A ={0,1,2}，求 S(A) ，T (A) ；
（Ⅱ）若集合 A有 n个元素，证明：“ d (S(A)) = 2n 1 ”的充要条件是“集合 A中的所有元素能组成公差不
为 0 的等差数列”；
（Ⅲ）若 A {1，2，3，4，5，6，7，8}且{1,2，3，...，25，26} T (T (A)) ，求元素个数最少的集合 A．
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