第二十二章 二次函数 单元检测试题（含答案） 2024--2025学年人教版九年级数学上册

第二十二章《二次函数》单元检测题
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列函数中是二次函数的为（　　）
A．y＝3x﹣1 B．y＝3x2﹣1 C．y＝（x+1）2﹣x2 D．y＝x3+2x﹣3
2．对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的图象与性质，下列说法正确的是（　　）
A．对称轴是直线x＝1，最小值是2
B．对称轴是直线x＝1，最大值是2
C．对称轴是直线x＝﹣1，最小值是2
D．对称轴是直线x＝﹣1，最大值是2
3．二次函数y＝x2﹣（12﹣k）x+12，当x＞1时，y随着x的增大而增大，当x＜1时，y随着x的增大而减小，则k的值应取（　　）
A．12 B．11 C．10 D．9
4．将抛物线y＝x2－4x－4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（ ）
A．y＝(x＋1)2－13 B．y＝(x－5)2－3
C．y＝(x－5)2－13 D．y＝(x＋1)2－3
5．将抛物线y＝x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝（x﹣1）2+4 B．y＝（x﹣4）2+4
C．y＝（x+2）2+6 D．y＝（x﹣4）2+6
6．已知二次函数y=kx2﹣6x﹣9的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（　　）
A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k≥﹣1 D．k≥﹣1且k≠0
7．在同一坐标系中，一次函数y＝ax+1与二次函数y＝x2+a的图象可能是（　　）
A．B． C．D．
8．一个球从地面竖直向上弹起，经过t秒时球距离地面的高度h（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是（ ）
A．10 B．5 C．3 D．2.5
9．若点在二次函数的图象上，则的最大值是（ ）
A．0 B． C． D．2
10．二次函数的图象如图所示，对称轴为，则下列结论：①，②，③，④，⑤（其中m为任意实数）．中正确的个数是（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题(每题3分，共24分)
11．抛物线与轴的交点坐标为 ．
12．抛物线的顶点坐标是 .
13．对称轴为x=﹣2，顶点在x轴上，并与y轴交于点（0，3）的抛物线解析式为 ．
14．抛物线y=x2﹣k的顶点为P，与x轴交于A、B两点，如果△ABP是正三角形，那么k=　 　．
15．把y＝2x2﹣6x+4配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式是　 　．
16．将二次函数解析式配方成的形式为 ．
17．某种商品的价格为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格（单位：元）随每次降价的百分率的变化而变化，则与之间的关系式为 ．
18．如图,某运动员在10米跳台跳水比赛时估测身体(看成一点)在空中的运动路线是抛物线y=-x2+x(图中标出的数据为已知条件),运动员在空中运动的最大高度离水面为 米.
三.解答题(共46分,19题6分，20 ---24题8分)
19．如果二次函数y＝x2﹣x+c的图象过点（1，2），求这个二次函数的解析式，并写出该函数图象的对称轴．
20．若二次函数的图象的对称轴方程是x＝，并且图象过A（0，﹣4）和B（4，0）
（1）求此二次函数图象上点A关于对称轴x＝对称的点A′的坐标；
（2）求此二次函数的解析式．
21.在平面直角坐标系中，有抛物线y=x2+1，已知点A（0，2），P（m，n）是抛物线上一动点，过O、P的直线交抛物线于点D，若AP=2AD，求直线OP的解析式．
23．如图，如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，点P为直线上方抛物线上的动点，连接，，直线与抛物线的对称轴l交于点E．
(1)求：①抛物线的解析式；②直线的解析式；
(2)求：①的面积最大值；②点E的坐标；
(3)点M是抛物线的对称轴l上一动点．是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
24．如图，抛物线与轴交于，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点为直线下方抛物线上的两点，点的横坐标比点的横坐标大，过点作轴交于点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)如图，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
答案解析
一、选择题:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C D B C C D B B
二、填空题
11．
12．(-5，-3)
13．
14．【答案】x1＝-1，x2＝5
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：设二次函数与x轴的另一交点的横坐标为x
由题意得：（x+5）÷2=2
解得x=-1
所以方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为：x1＝-1，x2＝5
故答案为：x1＝-1，x2＝5
【分析】设二次函数与x轴的另一交点的横坐标为x，根据二次函数图象的对称性可求出方程的解。
15．【答案】2
16． 17．
18．.
三.解答题
19．解：把点（1，2）代入二次函数y＝x2﹣x+c得，
2＝1﹣1+c，c＝2；
故这个二次函数的解析式为y＝x2﹣x+2；对称轴为x＝﹣＝．
20．解：（1）A′（3，﹣4）；
（2）设此二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
由题意，得，
解得．
∴y＝x2﹣3x﹣4．
21.【答案】解：∵P（m，n）是抛物线y=x2+1上一动点，∴m2+1=n，∴m2=4n-4，∵点A（0，2），∴AP===n，∴点P到点A的距离等于点P的纵坐标，过点D作DE⊥x轴于E，过点P作PF⊥x轴于F，∵AP=2AD，∴PF=2DE，∴OF=2OE，设OE=a，则OF=2a，∴×（2a）2+1=2（a2+1），解得a=，∴a2+1=×2+1=，∴点D的坐标为（，），设OP的解析式为y=kx，则k=，解得k=，∴直线OP的解析式为y=x．
【解析】根据点P在抛物线上用n表示出m2，再利用勾股定理列式求出AP，从而得到点P到点A的距离等于点P的纵坐标，过点D作DE⊥x轴于E，过点P作PF⊥x轴于F，根据AP=2AD判断出PF=2DE，得到OF=2OE，设OE=a，表示出OF=2a，然后代入抛物线解析式并列出方程求出a的值，再求出点D的坐标，最后利用待定系数法求一次函数解析式解答．
22. 解：(1)∵函数的图象过A(1，0)，B(0，3)，
∴
解得
故抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.
(2)抛物线的对称轴为直线x＝－1，且当x＝0时，y＝3，∴当x＝－2时，y＝3，故当y＜3时，x的取值范围是x＜－2或x＞0.
23．（1）解：①将代入得:
，解得 ，
；
②令 则，
解得或 ，
∴，
设直线的解析式为代入得：
，解得 ，
；
（2）解：①过点作轴交于，
设，则，
，
，
∴当时, 的面积有最大值，最大值为；
②抛物线的对称轴为直线，
当时，，
∴点E的坐标为；
（3）存在点,使得为等腰三角形，理由如下：
设,
∵点E的坐标为，
，
当时，，
解得(舍)或 ，
；
当时， ，
解得 或 ，
或 ；
当 时,
解得 ，
∴；
综上所述: 点坐标为或或或 ．
24．（1）解：把代入，得：
解得：
抛物线的解析式为．
（2）∵抛物线与轴交于点，令，则，
点的坐标为
设直线的解析式为，把点的坐标代入得：
解得：
直线的解析式为．
点为直线下方抛物线上的两点，设，则
，
当时，
；
（3）由题意可得：
的对称轴为
抛物线与轴交于点
．
如图：当为矩形一边时，且点在轴的下方，过作轴．
在的对称轴为
，即点
点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点，则点向右平移个单位、向下平移个单位可得到．
如图：当为矩形一边时，且点在轴的上方，的对称轴为与轴交于．
在的对称轴为
，即
，即点
点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点，则点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点．
如图：当为矩形对角线时，设．
的中点的坐标为，依题意得：
解得：
又
解得：
解得：
∴点E的坐标为或
综上，存在或或或使以点为顶点的四边形是矩形．
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