3.3（2）垂径定理---垂径定理的应用
一、教学目标
运用垂径定理及其逆定理解决问题．
二、教学重点和难点
重点：运用垂径定理及其逆定理解决问题．
难点：运用垂径定理及其逆定理解决问题，以及应用时如何添加辅助线
三、教学过程
（一）复习回顾：
1. 复述垂径定理和推论
垂径定理_____________________________________________________
垂径定理的推论：______________________________________________________________
2.概念辨析：
①垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. （ ）
②平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（ ）
③经过弦的中点的直径一定垂直于弦. （ ）
④圆的两条平行弦所夹的弧相等. （ ）
⑤弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）
（二）典型例题
例1. 如图,一条公路的转 ( http: / / www.21cnjy.com )弯处是一段圆弧,点O是这段弧的圆心,AB=300m,C是弧AB上一点,OC⊥AB,垂足为D,CD=45, 求这段弯路的半径。
解：连接OA
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例2：如图是两个同心圆，AB是大圆的弦，与小圆交于C、D两点，则AC=BD试说明理由
例3：如图，直径AB与弦CD交于E点，且E是CD中点，CD=8, AE=2,求直径AB
（三）、课堂练习：
1.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB=16m，半径OA=10m，则中间柱CD的高度为多少米？
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2.在直径为1000mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB=800mm，则油的
最大深度为多少mm？
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3.如图，某花园小区一圆 ( http: / / www.21cnjy.com )形管道破裂，修理工准备更换一段新管道，现在量得污水水面宽度为80cm，水面到管道顶部距离为20cm，则修理工应准备内直径是多少 cm的管道？
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4.如图是一单位拟建的大门示意图，上部 ( http: / / www.21cnjy.com )是一段直径为10米的圆弧形，下部是矩形ABCD，其中AB=3.7米，BC=6米，则弧AD的中点到BC的距离是多少米？
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5. 一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度(AB)为16米，拱高(CD)为4米，求：
⑴桥拱半径
⑵若大雨过后，桥下河面宽度(EF)为12米，求水面涨高了多少？
A
B
E
F
M
C
D
O
E3.3（1）垂径定理
一、教学目标
1．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理；
2．运用垂径定理及其逆定理解决问题．
二、教学重点和难点
重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．
难点：垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线
三、教学过程
（一）情境引入：
1．如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD ( http: / / www.21cnjy.com )，使CD⊥AB，垂足为M．
（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能图中有哪些等量关系？
（3）你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明）
（二）知识探究：
【探究一】通过上面的证明过程，我们可以得到：
1.垂径定理_____________________________________________________
2.注意：
①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧。
③定理中的两个条件缺一不可——______________，______________．
3.给出几何语言
如图，已知在⊙O中，AB是弦，CD是直径，如果CD⊥AB,垂足为E, 那么AE=_______,=______,=________
4．辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？
【探究二】
1.如图，AB是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.
（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
2.垂径定理的推论：______________________________________________________________
3．辨析：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．”如果该定理
少了“不是直径”，是否也能成立？
反例：
4.如图，在⊙O中，AB是弦（不是直径），CD是直径，
（1）如果AE=BE那么CD____AB,=____=____
(2)如果= 那么CD____AB，AE______BE，=____
（3）如果=那么CD____AB，AE_____BE，=______
（三）典例讲解：
1．例：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（ ( http: / / www.21cnjy.com )即图中,点0是所在圆的圆心），其中CD=600m，E为上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径．
2.如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？
（四）巩固训练：
题组一
1.如图，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB于C，若AO=5,OC=3,求弦AB的长。
2.⊙O的弦AB为5cm，所对的圆心角为120°，求圆心O到这条弦AB的距离。
题组二
3.如图：将半径为2厘米的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（ ）
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4.如图，在⊙O中，AB为弦，C,D是AB上两点，且AC=BD,试判断OC与OD的数量关系，
并说明理由。
5.如图，在⊙O中，直径CD过弦EF的中点G,∠EOD=60°，OE=5,求EF和DF的长
6.圆内一弦与直径相交成30°且分直径为1cm和5cm，则圆心到这条弦的距离为 CM
题组三
7.已知⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离为3，
则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有
（ ）个。 A.1 B.2 C.3 D.4
8.过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么OM长为（ ）
A．3cm B．6cm C． cm D．9cm
变式:①如图，P是半径为5的圆O内的一点，且OP=3，过点P且长度小于8的弦有（ ）
A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条
②如图, P是半径为5的圆O内的一点，且OP=3，过点P且长度
小于10且长度为整数的弦有______条.
8.已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB=12，CD=16，则AB和CD的距离为
9.已知：⊙Ｏ的半径ＯＡ＝１，ＡＢ＝,ＡＣ＝,求∠ＢＡＣ的度数.
10.已知，如图 ，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E,AE=1,BE=5, ∠AEC=450,求CD的长。
11.如图，∠C=90°，⊙C与AB相交于点D，AC=5，CB=12，则AD=_____
D
O
C
D
B
A
O
D
B
A
C
_
B
_
A
_
O
