3.4（1）圆周角和圆心角的关系
一、教学目标
1．理解圆周角定义，掌握圆周角定理.
2．会熟练运用定理解决问题.
二、教学重点和难点
重点：圆周角定理及其应用
难点：圆周角定理证明过程中的“分类讨论”思想的渗透.
三、教学过程
（一）复习回顾：
1.圆心角的定义 ——顶点在圆心的角叫圆心角
2.圆心角的度数和它所对的弧的度数有何关系
如图：∠AOB 弧AB的度数
3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条 、两条 中有一组量相等，
那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
（二）探究新知：
【探究一】
问题：我们已经知道，顶点在圆心的角叫圆心角，那当角的顶点位置发生变化时,
我们得到几种情况
类比圆心角定义，得出圆周角定义：
顶点在 ,并且两边分别与圆还有 的角叫做圆周角.
练习
如图，指出图中的圆心角和圆周角
解：圆心角有 ，
圆周角有
识别图形：判断下列各图中的角是否是圆周角？并说明理由．
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【探究二】观察与思考
1.如图，AB为⊙O的直径，∠BOC、∠BAC分别是BC所对的圆心角、圆周角，
求出图（１）、（２）、（３）中∠BAC的度数．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )（4）
图（１）中∠BAC的度数是_____ 图（２）中∠BAC的度数是_____
图（３）中∠BAC的度数是_____．通过计算发现：∠BAC＝_____∠BOC．
由图（4）试证明这个结论：
证明：
【探究三】
如图， BC所对的圆心角有多少个？_______ BC所对的圆周角有多少个？_______
请在图中画出BC所对的圆心角和圆周角，并与同学们交流。
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2.思考与讨论
（1）观察上图，在画出的无数个圆周角中，这些圆周角与圆心O有几种位置关系？
共____种，分别是：_______________________________________________
设BC所对的圆周角为∠BAC，活动二中圆心O在∠BAC的一边上，对于这种位置关系，结论∠BAC＝∠BOC成立，对于下面两种圆心O与∠BAC的位置关系，结论∠BAC＝∠BOC还成立吗？试证明．
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图① 图②
证明：①
②
通过上述讨论得到：
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的________
符号语言：________________________________________
圆周角定理推论1：同弧或等弧所对的圆周角________
3.尝试练习
（1）如图，点A、B、C、D在⊙O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，∠BAC=350
(1) ∠BOC =_______°,理由是_________________________________________．
(2) ∠BDC =_______°,理由是_________________________________________．
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（2）如图，点A、B、C在⊙O上，
① 若∠BAC=60°，求∠BOC=______°② 若∠AOB=90°,求∠ACB=______°.
（三）巩固训练：
1.如图，点A、B、C都在⊙O上，∠ACB=40°，则∠AOB=_______
2.如图，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是_______
3.如图，AB是⊙O的直径，∠BOC=120°，CD⊥AB，则∠ABD＝___________。
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4. 已知AB为⊙O的一条弦，且长度与半径相等，则AB所对的圆周角的度数为_______
★5. 如图，AB、CD是⊙O的两条弦，交于点E,AC=800,BD=600,则∠BED=__________
D
O
E B
C
圆心角 圆周角
A3.4（2）圆周角和圆心角的关系
一、教学目标
1．掌握圆周角定理的2个推论的内容.
2．会熟练运用推论解决问题.
二、教学重点和难点
重点：圆周角定理的几个推论的应用.
难点：理解几个推论的“题设”和“结论”
三、教学过程
（一）复习回顾：
1. _____________________________________________________的角叫做圆周角；
2. 圆周角定理：_____________________________________________________
3. 圆周角定理推论1：_____________________________________________________
4.练习
⑴如图，点A、B、C、D在⊙O上，若∠BAC=40°，则∠BOC= °∠BDC= °
⑵如图，点A、B、C、D在同一个圆上， ( http: / / www.21cnjy.com )四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，在这8个角中，有几对相等的角？请把它们分别表示出来：__________________________________.
⑶如图，AC是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，CE∥AB，交⊙O于点E。图中哪些与∠BOC相等？
请分别把它们表示出来. _____________________________________________
⑷如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，∠BAC=40°，∠AED=75°，求∠ABD的度数.
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（二）合作探究：
【探究一】
1.如图,BC是⊙O的直径,它所对的圆周角是锐角、钝角，还是直角？为什么？
2.如图，在⊙O中，圆周角∠BAC=90°，弦BC经过圆心吗？为什么？
通过上面的证明可得出圆周角定理的两条推论：
推论2. ________________________________________________。
推论3. ________________________________________________。
3. （1）小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形.下面所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形？为什么？
（2）如图，⊙O的直径AB=10cm，C为⊙O上的一点，∠B=30°，求AC的长.
【探究二】
1.如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径，请问∠BAD 与∠BCD
之间有什么关系？为什么？
2.如图，C点的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD之间有的关系还成立吗？为什么？
3.圆内接四边形概念
如图，两个四边形ABCD有什么共同的特点？
得出定义：四边形ABCD的的四个顶点都在⊙O上，这样的四边形叫做___________；
这个圆叫做___________.
4.通过议一议环节，我们我们发现∠BAD与∠BCD之间有什么关系？
推论4：圆内接四边形的对角___________.
5.练习
⑴如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠BCD=110°，则∠BAD为（ ）
A、140° B、110° C、90° D、70°
⑵如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE=64°，那么∠BOD=（ ）
A、128° B、100° C、64° D、32°
⑶如图，圆心角∠AOB=120°，P是劣弧AB上任一点（不与A，B重合），点C在AP的
延长线上，则∠BPC等于（ ）A、45° B、60° C、75° D、85°
⑷圆内接四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C=1：2：5，则∠D等于（ ）
A、60° B、120° C、140° D、150°
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（第1题图） （第2题图） （第3题图）
（三）典型例题
例1.如图，AB是⊙O的直径，若AB=AC
（1） BD 和 CD相等吗？为什么？
（2） BD与DE的大小有什么关系？为什么？
E
注意：直径所对的圆周角是直角，在圆的有关问题中经常遇到，同学们要高度重视.
解决这类问题，常常需作辅助线，即____________________________
例2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD=60°，∠ADC=50°,
求∠CEB的度数.
例3.如图，△ABC的顶点都在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径.△ABE与△ACD相似吗？为什么？
变式：如图，AD是⊙O的直径，AD⊥BC，△ABF与△ACB相似吗？
例4.如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外，CD、BD分别交⊙O于点E、F，比较
∠BAC与∠BDC的大小，并说明理由。
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变式训练：
如图，点A、B、C在⊙O上，点D在⊙O内，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，
比较∠BAC与∠BDC的大小，并说明理由．
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例5.船在航行过程中，船长常常通过 ( http: / / www.21cnjy.com )测定角度来确定是否会遇到暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”，当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁.
（1）当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？
（2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？ C E
A B
（四）课下作业
1、如图，AB是⊙O的直径，∠A=10°,则∠ABC=________.
2、如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠ACD=40°,则∠BCD=_______,∠BOD=_______.
3、如图，AB是⊙O的直径，D是⊙ ( http: / / www.21cnjy.com )O上的任意一点(不与点A、B重合)，延长BD到点C，使DC=BD，判断△ABC的形状：__________。
4、如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC=30°,则 AC的度数是( )
A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°
5、如图，四边形ＡＢＣＤ的顶点都在⊙O上，点Ｅ在ＤＡ延长线上，且弧BAD的度数为
１３０°，则∠ＢＡＥ的度数为________。
6、⊙O中，的度数是800，则弦AB所对的圆周角是________________
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7、如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，以OA为直径的⊙D与AC相交于点E，AC=10,求AE的长.
8、如图，点A、B、C、D在圆上，AB=8,BC=6,AC=10,CD=4.求AD的长.
9、利用三角尺可以画出圆的直径，为什么？你能用这种方法确定一个圆形工件的圆心吗？
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10.如图，△ABC的3个顶点都在⊙O上，直径AD=4，∠ABC=∠DAC，求AC的长。
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11.如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，P是CD上的任意一点(不与点C、D重合)，∠APC与
∠APD相等吗？为什么？
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12.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB=6, ∠DCB=30°，求弦BD的长。
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13、如图，△ABC的3个顶点都在⊙O上，D是AC的中点，BD交AC于点E，△CDE与△BDC相似吗？为什么？
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14、如图，在⊙O中，直径AB=10，弦AC=6，∠ACB的平分线交⊙O于点D。求BC和AD的长
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15. 如图， A、B、E、C四点都在⊙O上，AD是△ABC的高，∠CAD=∠EAB,AE是⊙O的直径吗？为什么？
第1题
_
O
_
C
_
B
_
A
_
B
_
A
_
O
