2024-2025学年湖南省衡阳市蒸湘区华新实验中学八年级（上）入学数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省衡阳市蒸湘区华新实验中学八年级（上）入学
数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1.若，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
2.已知是二元一次方程的一个解，则的值为( )
A. B. C. D.
3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.对方程去分母，正确的是( )
A. B.
C. D.
5.我国古代孙子算经记载“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是说：“每三人共乘一辆车，最终剩余辆车；每人共乘一辆车，最终有人无车可乘，问人和车的数量各是多少？”下面四个同学的思考正确的是( )
小聪：设共有人，根据题意得：；
小明：设共有人，根据题意得：；
小玲：设共有车辆，根据题意得：；
小丽：设共有车辆，根据题意得：．
A. 小聪、小丽 B. 小聪、小明 C. 小明、小玲 D. 小明、小丽
6.如图，将沿射线方向移动，使点移动到点，得到，连接，若的面积为，则的面积为（ ）．
A. 2 B. 4 C. 6 D. 16
7.下列说法正确的是( )
A. 两个面积相等的图形一定是全等图形
B. 两个正方形是全等图形
C. 若两个图形的周长相等，则它们一定是全等图形
D. 两个全等图形的面积一定相等
8.正六边形和下列边长相同的正多边形地砖组合中，能铺满地面的是( )
A. 正方形 B. 正八边形
C. 正十二边形 D. 正四边形和正十二边形
9.已知不等式组的解集为，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 大于的任何数
10.如图，，，，，，是平面上的个点，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.已知二元一次方程，用含的代数式表示，则 ______．
12.方程是关于的一元一次方程，则 ______．
13.一个多边形的内角和与外角和的差为，则它的边数为______．
14.已知，，为的三边，且，满足关系式，若的周长为偶数，则的周长为______．
15.如图，在正五边形中，连接，交于点，则的度数为______．
16.如图，将边长为个单位的等边沿边向右平移个单位得到，则四边形的周长为______．
17.若关于的不等式组恰好有三个整数解，则的取值范围是______．
18.如图，在中，，、、分别平分的外角，内角，外角，以下结论：；；；
，其中正确的结论有______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。
19.（8分）解方程组：．
20.（8分）解不等式，并在数轴上表示出该不等式的解集．
21.（8分）关于、的方程组的解满足，，求实数的取值范围．
22.（8分）如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，都是格点．
将绕点逆时针旋转得到，画出；
画出关于点成中心对称的．
23.（8分）如图所示，已知，分别是的高和中线，，，，．
求的长．
求的面积．
24.（8分）阅读探索．
知识累积：解方程组，
解：设，，原方程组可变为
解方程组，得：，即，解得此种解方程组的方法叫换元法．
举一反三：运用上述方法解下列方程组：；
能力运用：已知关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解是______；
拓展提高：若方程组的解是，则方程组的解是______．
25.（8分）某小区积极响应全民健身运动，决定在小区内安装健身器材经调查：甲种健身器材的单价是乙种健身器材的单价的倍，购买个甲种健身器材和个乙种健身器材共需元．
求甲、乙种健身器材的单价各是多少元？
如果购买甲、乙种健身器材共个，且费用不超过元又知该小区至少需要安放个甲种健身器材，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？
26.（10分）如图，在中，．
、的平分线交于点，则的度数为______；
的外角、的平分线交于点，则的度数为______；
与的数量关系是______；
【问题深入】如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，请直接写出与的一个等量关系式：
如图，过的外角、的平分线的交点，作直线交于点，交于点，当时，与有怎样的数量关系？请直接写出结果．
参考答案
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19.解：，
得，，
解得：，
将代入得：，
解得：，
原方程组的解为：．
20.解：去分母，得：，
去括号得，，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化成 ，得：．
在数轴上表示不等式的解集，如图所示：

21.解：，
，得，
，
代入，解得：，
，，
，
，
．
22.解：如图所示，为所作；
如图所示，为所作；

23.解：，是边上的高，
，
，
答：的长度为；
如图，是直角三角形，，
，
又是边的中线，
．
答：．
24.解：设，，原方程组可变为，
解方程组，得：，即，
解得．
关于，的方程组的解为，
关于，的方程组的解为，
解得：；
方程组的解是，则，
的解为．
25.解：设乙种健身器材的单价是元，则甲种健身器材的单价是元，
根据题意得，
解得，，
答：甲种健身器材的单价是元，乙种健身器材的单价是元；
设购买甲种健身器材个，则购买乙种健身器材个，
根据题意得，
解得，
为整数，
可以为，，
一共有种购买方案，
方案：购买甲健身器材台，乙健身器材台；
需要资金，元；
方案：购买甲健身器材台，乙健身器材台；
需要资金，元；
，
当购买甲健身器材台，乙健身器材台，所需资金最小，最小值为元．
26.解：；
；
；
，理由如下：
由折叠的性质可知，，，
，，
，
，
由同理可证，，
，
；
；理由如下：
四边形的内角和为，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
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