2.5（2）二次函数与一元二次方程
一、教学目标
利用二次函数的图象求一元二次方程近似解.
二、教学重点和难点
重点：利用数形结合的思想估计一元二次方程近似解
难点：用逼近法求一元二次方程近似解
三、教学过程
(一)复习回顾
1.若方程的根为和，则二次函数的图象与x轴交点坐标是 .
2.二次函数的图象如图所示，则一元二次方程
的解为 .
(二)探究新知
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程的根吗？
1.自主探索
（1）观察二次函数的图象，抛物线与x轴的交点的横坐标约
为________________.
（2）由图象可知，方程有 个根，
一个根在 和 之间，另一个根在
和 （填两个整数）.
（3）估计方程的近似根是 （精确到0.1）
2.小结反思（小组合作交流，解决问题）
利用二次函数的图象求一元二次方程近似根的一般步骤
步骤一：____________________________________________________
步骤二：____________________________________________________
步骤三：____________________________________________________
3.及时强化
试用二次函数的图象估计下列方程的近似根
（1），（2）.
(三)探巩固训练
1.二次函数的图象如图所示，则一元二次方程 的近似根是 （精确到0.1）
2. 如图，已知抛物线的对称轴为，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（3，2） C．（3，3） D．（4，3）
3.利用二次函数的图象求一元二次方程 的近似根.
4.如图，一个圆形喷水池的中央竖立安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径流下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m) 与水平距离x(m)之间的关系式是（x>0）.柱子OA的高度为多少米？若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？(结果保留根号)
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O
x
y
A
x = 2
B2.5（3）二次函数与一元二次方程——二次函数a、b、c、△的作用
一、教学目标
1．经历根据及的符号画二次函数的示意图的过程，感受数形结合的思想．
2．根据二次函数的示意图确定及的符号，培养识图能力．
二、教学重点和难点
重点：根据二次函数的示意图确定及的符号，培养识图能力．
难点：经历根据及的符号画二次函数的示意图的过程，感受数形结合的思想．
三、教学过程
（一）知识梳理：二次函数y=ax2+bx+c中a，b，c，△与图象的关系
字母的符号 决定图象的作用
a
a、b
ab>0
ab<0
c
△ △=0
△>0
△<0
（二）典例讲解
1.由所给y＝ax2＋bx＋c的图象确定a、b、c及b2－4ac的符号．
图1：a 、b 、c 、b2－4ac
图2：a 、b 、c 、b2－4ac
图3：a 、b 、c 、b2－4ac
图4：a 、b 、c 、b2－4ac
图5：a 、b 、c 、b2－4ac
图6：a 、b 、c 、b2－4ac
2.(1)的图象经过第 象限；的图象经过第 象限．
(2)画出下列函数图象的示意图
①； ②； ③； ④．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，根据图像填空：
(用“＞”、“＝”、“＜”填空)
(1)a 0，b 0，c 0，△ 0；
(2)a＋b＋c 0，a－b＋c 0；
(3)；．
（三）巩固训练
1.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，
有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a＋c；③4a＋2b＋c＞0；④2c＜3b；
⑤a＋b＞m(am＋b)(m≠0)其中正确的有 ．
2.（1）函数y＝ax＋m，y＝a(x＋m)2＋k在同一平面坐标系中的图像大致是( )
(2)已知反比例函数的图象如右图所示，则二次函数的图象大致为（ ）
(3)y＝ax＋b与y＝ax2＋bx＋c(ac0)在同一直角坐标系中的图象是 ( )
（四）课下作业
1.如图所示,在同一坐标系中,作出①②③的图象,则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是(填序号)____________
2.二次函数的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
3.二次函数的图象如图，下列判断错误的是（ ）
A． B． C． D．
4.二次函数的图象如图所示，则下列关系式中错误的是（ ）
A．a＜0 B．c＞0 C．＞0 D．＞0
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（第1题图） （第2题图） （第3题图） （第4题图）
5.小强从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：
①；② ；③；④ ； ⑤.其中正确信息的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6.如图为二次函数的图象，给出下列说法：①；②方程的根为；③；④当时，y随x值的增大而增大；⑤当时，．
其中，正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号）
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（第5题图） （第6题图）
7.函数y=ax＋1与y=ax2＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（ ）
8.函数在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）
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9.已知的图象如图所示，则的图象一定过第___________象限。
项
目
字
母
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
Oo
y
x
O
2
1
y
x
-
1
O
1
2
x=1
－1
x
y
O
1
A B C D
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
o
A
y
x
o
B
C
y
x
o
D
y
x
o
x
y
o
y
x
O
1
－1
A． B． C． D．
y
x
O
第9题图2.5（1）二次函数与一元二次方程
一、教学目标
1.理解二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程根的个数之间的对应关系；
2．会利用二次函数的图象与x轴交点的横坐标解相应的一元二次方程．
二、教学重点和难点
重点：理解二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系
难点：理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标
三、教学过程
(一)情景导入
二次函数的图象如下图所示．
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每个图象与x轴有几个交点？
一元二次方程有几个实数根？分别求出来
二次函数的图象与x轴交点的坐标分别和一元二次方程的根有什么关系？
二次函数的图象与x轴交点的坐标分别和一元二次方程的根有什么关系？
结论：1. 二次函数的图象与x轴的交点有 情况，分别是：
、 、
2. 一元二次方程的根有 情况，分别是：
、 、
3. 二次函数的图象与x轴交点的 就是
一元二次方程的根
4. 二次函数与一元二次方程的关系
根的判别式 一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况 y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的个数 y=ax2+bx+c的图象和ax2+bx+c=0根的关系
△﹥0
△=0
△﹤0
(二)知识应用
1.观察二次函数、和的图象，并分别说出方程的、和根．
2.判断下列函数的图象与轴是否有公共点，若有，写出交点坐标．
(1) (2) (3)
(三)拓展提升
1.已知抛物线
(1)当取何值时，抛物线与轴有两个交点？
(2)当取何值时, 抛物线与轴只有一个公共点？并求出这个公共点的坐标．
(3)当取何值时，抛物线与轴没有一个公共点？若函数值总是大于0，求的取值范围．
(4)当取何值时，抛物线与坐标轴只有一个公共点？
2.已知二次函数，
(1) 说明：对于任意实数，该二次函数图象与轴必有两个不同交点．
(2) 若图象与轴的两个交点为、，与轴的交点为C，且点坐标为（，），求点、C点的坐标．
(3)在（2）的条件下，求△ABC的面积．
(4)若抛物线的顶点为D，在（2）的条件下，求四边形ABCD的面积．
(四)课下作业
1.若方程的根为和，则二次函数的图象与x轴交点坐标是 .
2.二次函数的图象如图所示，则一元二次方程
的解为 .
3．已知抛物线的图象与轴有两个交点，那么一元二次方程的根的情况是 ．
4．抛物线与轴的交点坐标是 ，与轴的交点坐标是 ．
5．若抛物线与坐标轴只有一个交点，则= ．
6．已知抛物线的图象与轴有两个交点，则的取值范围7．已知二次函数的图象与轴交于、两点，在抛物线上的有一点，且△的面积等于，则点的坐标为 ．
7．已知：抛物线，说明：此抛物线与轴必有两个不同交点．
8．已知抛物线与轴交于、两点（A在B的左侧），与轴交于 点，顶点为，求
（1）长；
（2）△的面积；
（3）四边形的面积．
x
y
O
x
y
O
x
y
O
