2.2（4）二次函数y=a(x-h)2+k（a≠0）的图象与性质
一、教学目标
1．使学生会用描点法画二次函数y=a(x-h)2+k（a≠0）的图象．
2． 使学生能根据图象认识和理解二次函数的性质，说出二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标．
二、教学重点和难点
重点：会用描点法画二次函数y=a(x-h)2+k（a≠0）的图象，掌握它的性质．
难点：二次函数y=a(x-h)2+k图象与y=ax2图象之间的关系，a,h,k对二次函数图象的影响.
三、教学过程
（一）在同一直角坐标系中作出下列二次函数的图象
（1）填表：
… －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …
… 16 9 4 1 0 1 4 9 16 …
… …
… …
（2）在直角坐标系中，描点并画出函数和的图象：
对比左面三个函数的图象，它们有什么关系？
相同点：
不相同点：
联系：
函数的图象可由函数的图象向 平移 个单位得到的。
函数+2的图象可由函数的图象向 平移 个单位得到的。
函数+2的图象可由函数的图象先向 平移 个单位，
再向 平移 个单位得到的。
（二）根据上面的规律，猜想y=-3x2 ，y=-3（x+2）2
和y=-3（x+2）2-4的图象有什么关系？并尝试在
同一直角坐标系中画出它们的草图。
函数y=-3（x+2）2的图象可以看作是由函数的图象向 平移 个单位得到的
函数y=-3（x+2）2-4的图象可以看作是由函数的图象
得到的。
（三）：二次函数y=a(x-h)2+k的性质
（对比y=ax2、y=ax2+c和y=a(x-h)2的性质）
函数 y=ax2 y=ax2+c y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k
图象（草图）
图象（形状）
开口方向
增减性 a>0时，在对称轴的左侧,y随x的增大而 ，在对称轴的右侧,y随x的增大而 .a<0时，在对称轴的左侧,y随x的增大而 ，在对称轴的右侧,y随x的增大而 .
对称轴
顶点坐标
最值 a>0时，函数有最 值，是 ；a<0时，函数有最 值，是 ； a>0时，函数有最 值，是 ；a<0时，函数有最 值，是 ； a>0时，函数有最 值，是 ；a<0时，函数有最 值，是 ； a>0时，函数有最 值，是 ；a<0时，函数有最 值，是 ；
平移规律 平移规律：____________________________,函数 的图象可由的图象向 平移 个单位得到。函数的图象可由的图象向 平移 个单位得到。函数的图象可由的图象先向 平移 个单位再向 平移 个单位得到
注意：1. 增减性
当a>0时，和 在对称轴的左侧（即x 时）y随x的增大而 ，
在对称轴的右侧（即x 时）y随x的增大而 .
和
在对称轴的左侧（即x 时）y随x的增大而 ，
在对称轴的右侧（即x 时）y随x的增大而 .
当a<0时，和 在对称轴的左侧（即x 时）y随x的增大而 ，
在对称轴的右侧（即x 时）y随x的增大而 .
和
在对称轴的左侧（即x 时）y随x的增大而 ，
在对称轴的右侧（即x 时）y随x的增大而 .
2.平移规律：
例：y=2x2先向上平移5个单位，再向右平移2个单位，所得函数的解析式为 ，
y=2（x-7）2先向左平移5个单位，再向右平移1个单位，所得函数的解析式为 ，
y=2x2-7x+2 先向下平移8个单位，再向右平移1个单位，所得函数的解析式为
（四）在同一直角坐标系中，画出y=x2 ，y=x2+2 ，y=（x-2）2，y=（x-2）2+3
的草图。
（五）知识训练
1、回答下列问题：
①抛物线是由抛物线 怎样平移得到的？
②抛物线是由抛物线 怎样平移得到的？
③抛物线由抛物线怎样平移得到的？
④抛物线是由抛物线 怎样平移得到的？
⑤抛物线是由抛物线 怎样平移得到的？
2、填表
抛物线 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数的最值
（六）课下作业
1、把抛物线向上平移1个单位，再向左平移2个单位，得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
2、把向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
3、抛物线的顶点坐标是 （ ）
A．（1，2） B．（－1，2） C．（2，－1） D．（2，1）
4、若A、B、C为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是（ ）
A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜
5、抛物线的对称轴是 ，顶点坐标 ，
当x= 时，y有最 值，为
6、把抛物线向下平移2个单位，再向左平移1个单位，得到的抛物线是
7、一个二次函数的图象向下平移3个单位长度再向左平移2个单位后，得到二次函数y=的图象，试写出原二次函数的表达式．
8、一条抛物线其形状、开口方向与抛物线相同，对称轴与抛物线相同，且顶点的纵坐标是3，则这条抛物线的函数解析式是_______________．
9、已知抛物线与的开口方向和形状都相同，最低的坐标是（―2，―1）．求的解析式，并说明抛物线是怎样由平移得到的；
2
-2
4
-4
2
4
6
8
102.2二次函数y=ax2的图象和性质（1）
一、教学目标
1．使学生会用描点法画二次函数y=ax2的图象．
2．使学生能根据图象认识和理解二次函数的性质，说出二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标．
二、教学重点和难点
重点：会用描点法画二次函数y=ax2的图象，掌握它的性质．
难点：渗透数形结合思想．
三、教学过程
（一）画函数图象的一般步骤
1. 2. 3.
（二）在同一直角坐标系中作出下列二次函数的图象
1. y=x2 和y=2x2
解：(1) 图象
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … …
y=2x2 … …
(2) (3)用 线连接各点
2.y=-x2和y=-2x2
解：(1)
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … …
y=-2x2 … …
(2) (3)
（三）二次函数y=ax2的性质
1. 二次函数y=ax2的图象的形状是
2. 二次函数y=ax2是 对称图形，对称轴是 。
3. 二次函数y=ax2中a的取值决定了抛物线的 和
当a>0时，图象的开口 ，当a<0时，图象的开口
，开口越小； ，开口越大；
时，抛物线的开口大小、形状相同。
4. 二次函数y=ax2的增减性
当a>0时，在对称轴的左侧（即x 0时），y随x的增大而 ，（或y随x的减小而 ）
在对称轴的右侧（即x 0时），y随x的增大而 ，（或y随x的减小而 ）
当a<0时，在对称轴的左侧（即x 0时），y随x的增大而 ，（或y随x的减小而 ）
在对称轴的右侧（即x 0时），y随x的增大而 ，（或y随x的减小而 ）
5. 二次函数y=ax2的顶点：（ 是抛物线的顶点）
当a>0时，它是抛物线的最 点,函数有最 值，是
当a<0时，它是抛物线的最 点,函数有最 值，是
6. 二次函数y=ax2和y=-ax2有什么关系？
相同点：
不同点：
联系：
7.在同一直角坐标系中，画出y=3x2 ，y=-3x2 ，y=x2 和y=-x2的草图。
（四）知识训练
1、二次函数的图象是经过点（1，），（－2，）的抛物线，则=________，=________．
2、已知函数：①，②，③，④．
图象开口向下的函数是 ；图象开口向上的函数是 ．（填序号）
3、二次函数的图象开口向________，对称轴是________，顶点坐标_____ ____，当_______时，随的增大而增大，当_______时，随的增大而减小，
当=______时，有最______值,为 ．
4、函数的图象开口方向________，对称轴是_______，顶点坐标__________，
在y轴的左侧，随的增大而______，在y轴的右侧，随的增大而______．
当=_______时，函数有最______值,为 ．
5. 已知函数的图象是抛物线，则的值为_______
6、已知二次函数，则的值为_______
7、已知二次函数的图象开口向下，则的值为_______
8、当=______时，是二次函数，且当时，随增大而减小．
9、已知函数是y关于x的二次函数，请回答下列问题：
（1）求满足条件的m值；
（2）当m为何值时，此抛物线有最低点？这时，当x取何值时，y值随x值的增大而减小？
（3）当m为何值时，此抛物线有最高点？最高点坐标是多少？当x在什么范围内，
y的值随x的值增大而增大？
10、已知二次函数的图象经过点A（2，-3）、B（3，）
（1）求a与m的值；
（2）写出该图象上点B的对称点的坐标
（3）当x取何值时，y随x的增大而减小？
（4）当x取何值时，y有最大值（或最小值）？2.2（2）二次函数y=ax2+c（a≠0）的图象和性质（2）
一、教学目标
1．使学生会用描点法画二次函数y=ax2+c（a≠0）的图象．
2． 使学生能根据图象认识和理解二次函数的性质，说出二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标．
二、教学重点和难点
重点：会用描点法画二次函数y=ax2+c的图象，掌握它的性质．
难点：渗透数形结合思想．
三、教学过程
（一）在同一直角坐标系中作出下列二次函数的图象
（1）填表：
… －2 －1 0 1 2 …
… 4 1 0 1 4 …
… …
…
（2）在直角坐标系中，描点并画出函数和的图象：
对比左面三个函数的图象，它们有什么关系？
相同点：
不相同点：
联系：
函数的图象可以由函数的图象向 平移 个单位得到的。
函数的图象可以由函数的图象向 平移 个单位得到的。
（二）根据上面的规律，猜想y=-3x2 ，y=-3x2+2
和y=-3x2-2的图象有什么关系？并尝试在
同一直角坐标系中画出它们的草图。
函数的图象可以看作是由函数的图象向 平移 个单位得到的。
函数的图象可以看作是由函数的图象向 平移 个单位得到的。
（三）二次函数y=ax2+c的性质（对比y=ax2的性质）
函数 y=ax2 y=ax2+c
图象（草图）
图象（形状）
对称轴
开口方向
增减性 a>0时，在对称轴的左侧（即x 0时）y随x的增大而 ，在对称轴的右侧（即x 0时）y随x的增大而 .a<0时，在对称轴的左侧（即x 0时）y随x的增大而 ，在对称轴的右侧（即x 0时）y随x的增大而 .
顶点坐标
最值 a>0时，函数有最 值，是 ；a<0时，函数有最 值，是 ； a>0时，函数有最 值，是 ；a<0时，函数有最 值，是 ；
平移规律 平移规律：____________________________,函数的图象可由的图象向 平移 个单位得到。
注意：1. 由于二次函数y=ax2+c的顶点坐标为（ ， ），（顶点在 轴上）
所以二次函数y=ax2+c中c的取值决定了抛物线
当c>0时，抛物线交于y轴的 ；
当c<0时，抛物线交于y轴的 ；
当c=0时，抛物线经过
（四）在同一直角坐标系中，
画出y=x2+2 ，y=x2+2 ，
y=-x2-2 和y=-x2-2的草图。
（五）知识训练
1、抛物线的开口_______,对称轴是________，顶点坐标是_______，
它可以看作是由抛物线向_______平移______个单位得到的，
当x_____时，y随x的增大而增大，当x______时，y随x的增大而减小.
当x______时，y取得最____值，为______.
2、函数，的开口_______,对称轴是________，顶点坐标是_______，
它可以看作是由抛物线向_______平移______个单位得到的。
当x_____时，y随x的增大而增大，当x______时，y随x的增大而减小.
当x_____时，y取得最____值，为______.
3、如果将二次函数的图象沿y轴向上平移1个单位长度，那么所得图象的关系式为____________.
4、已知抛物线与函数的图象形状相同，且抛物线沿对称轴平行移动两个单位，就能与抛物线完全重合，则
5、
函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值 最___值，是___ 最___值，是___ 最___值，是___ 最___值，是___
6、在同一直角坐标系中画出二次函数的草图，
回答下列问题：
（1）这几个函数的图象的形状是否相同？
（2）分别说出这几个函数的图象的开口方向、顶点坐标和对称轴；
开口方向: _______，_______，_______，
顶点坐标: _______，_______，_______，
对称轴: _______，_______，_______
（3）说明函数的图象可以分别由函数的图象经过怎样的平移得到。
2
-2
4
-4
2
4
6
8
102.2（3）二次函数y=a（x+h）2 和y=a(x-h)2（a≠0）的图象与性质
一、教学目标
1．使学生会用描点法画二次函数y=a（x+h）2 和y=a(x-h)2（a≠0）的图象．
2． 使学生能根据图象认识和理解二次函数的性质，说出二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标．
二、教学重点和难点
重点：会用描点法画二次函数y y=a（x+h）2 和y=a(x-h)2（a≠0）的图象，掌握它的性质．
难点：渗透数形结合思想．
三、教学过程
（一）在同一直角坐标系中作出下列二次函数的图象
（1）填表：
… －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …
… 16 9 4 1 0 1 4 9 16 …
… …
…
（2）在直角坐标系中，描点并画出函数和的图象：
对比左面三个函数的图象，它们有什么关系？
相同点：
不相同点：
联系：
函数的图象可以由函数的图象向 平移 个单位得到的。
函数的图象可以由函数的图象向 平移 个单位得到的。
（二）根据上面的规律，猜想y=-3x2 ，y=-3（x-2）2
和y=-3（x+2）2的图象有什么关系？并尝试在
同一直角坐标系中画出它们的草图。
函数y=-3（x-2）2的图象可以看作是由函数的图象向 平移 个单位得到的。
函数y=-3（x+2）2的图象可以看作是由函数的图象向 平移 个单位得到的。
（三）二次函数y= y=a(x+h)2 和y=a(x-h)2的性质
（对比y=ax2和y=ax2+c的性质）
函数 y=ax2 y=ax2+c y=a（x+h）2 y=a(x-h)2
图象（草图）
图象（形状）
开口方向
增减性 a>0时，在对称轴的左侧,y随x的增大而 ，在对称轴的右侧,y随x的增大而 .a<0时，在对称轴的左侧,y随x的增大而 ，在对称轴的右侧,y随x的增大而 .
对称轴
顶点坐标
最值 a>0时，函数有最 值，是 ；a<0时，函数有最 值，是 ； a>0时，函数有最 值，是 ；a<0时，函数有最 值，是 ； a>0时，函数有最 值，是 ；a<0时，函数有最 值，是 ； a>0时，函数有最 值，是 ；a<0时，函数有最 值，是 ；
平移规律 平移规律：____________________________________________,函数 的图象可由的图象向 平移 个单位得到。函数的图象可由的图象向 平移 个单位得到。函数的图象可由的图象向 平移 个单位得到。
注意：1. 增减性
当a>0时，和 在对称轴的左侧（即x 时），y随x的增大而 ，
在对称轴的左侧（即x 时），y随x的增大而 .
在对称轴的左侧（即x 时），y随x的增大而 ，
在对称轴的左侧（即x 时），y随x的增大而 .
在对称轴的左侧（即x 时），y随x的增大而 ，
在对称轴的右侧（即x 时），y随x的增大而 .
当a<0时，和 在对称轴的左侧（即x 时），y随x的增大而 ，
在对称轴的左侧（即x 时），y随x的增大而 .
在对称轴的左侧（即x 时），y随x的增大而 ，
在对称轴的左侧（即x 时），y随x的增大而 .
在对称轴的左侧（即x 时），y随x的增大而 ，
在对称轴的右侧（即x 时），y随x的增大而 .
2.平移规律：
例：y=2x2向下平移5个单位，所得函数的解析式为 ，
y=2x2向左平移5个单位，所得函数的解析式为 ，
y=2x2先向上平移5个单位，再向右平移2个单位，所得函数的解析式为 ，
y=2（x-7）2向左平移5个单位，所得函数的解析式为 ，
y=2x2-7x+2 向右平移8个单位，所得函数的解析式为
（四）在同一直角坐标系中，画出y=x2 ，y=x2+2 ，y=x2-2，y=（x+4）2，
y=（x-4）2的草图。
（五）知识训练
1、抛物线的开口_______,对称轴是________，顶点坐标是_______，
它可以看作是由抛物线向_____平移______个单位得到的，
当x_____时，y随x的增大而增大，当x______时，y随x的增大而减小.
当x______时，y取得最____值，为______.
2、抛物线的开口______,对称轴是________,顶点坐标是________,
它可以看作是由抛物线____________向____平移_____个单位长度得到的，
当x_____时，y随x的增大而增大，当x______时，y随x的增大而减小.
当x______时，y取得最____值，为______.
3、函数的开口______,对称轴是________,顶点坐标是________,
它可以看作是由抛物线____________向____平移_____个单位长度得到的，
当x_____时，y随x的增大而增大，当x______时，y随x的增大而减小.
当x______时，y取得最____值，为______.
4、若函数的图象是由函数的图象向右平移个单位长度得到的，则
5、在同一直角坐标系中作出二次函数的图象，通过观察，回答下列问题：
（1）这几个函数的图象的形状是否相同？
（2）分别说出这几个函数的图象的开口方向、顶点坐标和对称轴；
开口方向 对称轴 顶点坐标
（3）说明函数的图象可以分别由函数的图象经过怎样的平移得到。
6、指出下列二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标，必要时作草图进行验证：
开口方向 对称轴 顶点坐标
（1）
（2）
（3）
（5）
（6）
2
-2
4
-4
2
4
6
8
102.2（5）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质
一、教学目标
1．掌握用配方法把二次函数一般式y=ax2+bx+c（a≠0）变形为顶点式的方法；
2、能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式，解决一些问题.
二、教学重点和难点
重点：用配方法推导二次函数的对称轴和顶点坐标公式，并能熟练运用公式求二次
函数的对称轴和顶点坐标.
难点：能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题.
三、教学过程
（一）复习回顾：
1、填表：
函数 图象特征 函数的最值
开口方向 顶点坐标 对称轴
当＝ 时，最( )值＝
当＝ 时，最( )值＝
当＝ 时，最( )值＝
当＝ 时，最( )值＝
2、填空：
① ＝(＋ )2； ② ＝(－ )2；
③ ； ④ .
（二）探索与思考：
1：函数的图象是抛物线吗 你能研究的图象和性质吗
问题1：用配方法将二次函数化成的形式，
并指出它的开口方向、对称轴、 顶点坐标.
练习：确定下列二次函数的对称轴和顶点坐标：
（1） （2）
问题2：用配方法把二次函数化成的形式.
总结：二次函数的顶点坐标公式.
二次函数的对称轴是 ，顶点坐标是
练习：指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：
（1） （2） （3）
（三）二次函数的性质：
二次函数的图象是 ，它的顶点坐标是( ， )，
对称轴是 (当时， 对称轴是 ).
(1)若，开口向 ,当 时，函数有最 值 .
当 时,随的增大而 ; 当 时,随的增大而 .
(2)若，开口向 ,当 时，函数有最 值 .
当 时,随的增大而 ; 当 时,随的增大而 .
（四）二次函数=ax2、y=ax2+c、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k、y=ax2+bx+c的性质
函数 y=ax2 y=ax2+c y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c
图象（形状）
开口方向
增减性 a>0时，在对称轴的左侧,y随x的增大而 ，在对称轴的右侧,y随x的增大而 .a<0时，在对称轴的左侧,y随x的增大而 ，在对称轴的右侧,y随x的增大而 .
对称轴
顶点坐标
最值 a>0时，函数有最 值，是 ；a<0时，函数有最 值，是 ； a>0时，函数有最 值，是 ；a<0时，函数有最 值，是 ； a>0时，函数有最 值，是 ；a<0时，函数有最 值，是 ； a>0时，函数有最 值，是 ；a<0时，函数有最 值，是 ； a>0时，函数有最 值，是 ；a<0时，函数有最 值，是 ；
平移规律 平移规律：____________________________,函数 的图象可由的图象向 平移 个单位得到。函数的图象可由的图象向 平移 个单位得到。函数的图象可由的图象先向 平移 个单位再向 平移 个单位得到函数=a( )2+ 的图象可由的图象先向 平移 个单位再向 平移 个单位得到
（五）课下作业：
1、(1)二次函数通过配方化为y＝ ______ ___，其对称轴是____ __，顶点坐标为___ ____，抛物线开口____ ____，当x___ ____时，y随x 的增大而增大；当x_ ___时，y随x的增大而减小；当x＝____ __时，y 有最 值________．
(2)二次函数通过配方化为y＝ ______ ___，其对称轴是____ __，顶点坐标为___ ____，抛物线开口____ ____，当x___ ____时，y随x 的增大而增大；当x_ ___时，y随x的增大而减小；当x＝____ __时，y 有最 值________．
2、用配方法确定下列二次函数的对称轴和顶点坐标.
(1)； (2)
（3） （4）
3、用公式法确定下列二次函数的对称轴和顶点坐标.
(1)； (2) (3)；
3、已知二次函数，根据下列条件求m的值：
（1）图象经过原点；
（2）图象的对称轴是y轴；
（3）图象的顶点在x轴上。
