13.3.1 等腰三角形的性质 课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
人教版 八年级数学上
13.3.1等腰三角形的性质
学习目标
1.理解并掌握等腰三角形的性质.(重、难点)
2.经历等腰三角形的性质的探究过程，能运用等腰三角形
的性质解决有关问题.(难点)
回顾旧知
定义及相关概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
A
C
B
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
下面我们一起来探究一下等腰三角形的其他性质。
合作探究
剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形ABC有什么特点？
合作探究
A
B
C
AB=AC
等腰三角形
合作探究
折一折：△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
A
C
D
B
折痕所在的直线是它的对称轴.
等腰三角形是轴对称图形.
合作探究
找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角， 由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.
重合的线段
重合的角
AB=AC
BD=CD
AD=AD
∠B=∠C
∠BAD=∠CAD
∠ADB=∠ADC
A
C
D
B
合作探究
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、
底边上的高互相重合.
（简写成“三线合一”）
等腰三角形的性质：
性质1：等腰三角形的两个底角相等.
（简写成“等边对等角”）
如何证明第一个性质呢？
A
D
C
B
合作探究
A
B
C
已知：△ABC中，AB=AC,
求证：∠B= C.
如何证明两个角相等呢？
可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证
如何构造两个全等的三角形呢？
合作探究
A
B
C
已知：△ABC中，AB=AC,
求证：∠B= C.
方法一：作底边上的中线
D
证明：
作底边的中线AD， 则BD=CD.
AB=AC ( 已知 )，
BD=CD ( 已作 )，
AD=AD (公共边)，
∴ △BAD≌ △CAD (SSS).
∴ ∠B=∠C (全等三角形的对应角相等).
在△BAD和△CAD中
还有其他的证法吗？
合作探究
A
B
C
已知：△ABC中，AB=AC,
求证：∠B= C.
方法二：作底边的垂线
D
证明：
作BC的垂线AD，则∠ADB=∠ADC=90°.
AB=AC ( 已知 ),
AD=AD (公共边),
∴ Rt△BAD ≌Rt△CAD (HL).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
在Rt△BAD和Rt△CAD中
合作探究
A
B
C
已知：△ABC中，AB=AC,
求证：∠B= C.
方法三：作顶角的平分线
D
证明：
作顶角的平分线AD，则∠BAD=∠CAD.
AB=AC ( 已知 ),
∠BAD=∠CAD ( 已作 ),
AD=AD (公共边),
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
在△BAD和△CAD中
合作探究
等腰三角形的性质：
性质1：等腰三角形的两个底角相等；
（简写成“等边对等角”）
符号语言：∵AB=AC(已知),
∴∠B=∠C(等边对等角).
下面我们小组合作
来证明性质2。
A
D
C
B
合作探究
∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)，
∴BD=CD,AD⊥BC（三线合一）
∵AB=AC, BD=CD (已知)，
∴∠1=∠2,AD⊥BC（三线合一）
∵AB=AC, AD⊥BC(已知)，
∴BD=CD, ∠1=∠2（三线合一）
符号语言：
A
D
C
B
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、
底边上的高互相重合．
（简写成“三线合一”）
1
2
典例精析
A
B
C
D
例1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC
各角的度数.
分析：（1）找出图中所有相等的角；
（2）指出图中有几个等腰三角形？
∠A=∠ABD,
∠C=∠BDC=∠ABC；
△ABC,
△ABD,
△BCD.
典例精析
A
B
C
D
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.
设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,
∴∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°解得x=36 °
在△ABC中， ∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
醍醐灌顶：在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解.
小试牛刀
1.等腰三角形的顶角是大于65°的锐角,则底角的度数可以是(　　)
A．20° B．35° C．45° D．55°
D
2.如图，已知△ABC的周长是24cm，AB=AC，AD⊥BC，
△ACD的周长为15cm，那么AD的长为（　　）
A．3cm B．4cm C．12cm D．24cm
A
B
C
D
A
小试牛刀
3．如图，a∥b，点A在直线a上，点C在直线b上，∠BAC＝90°，
AB＝AC，若∠2＝65°，则∠1的度数为( )
A．70° B．20°
C．60° D．25°
B
4.如果一个等腰三角形的一个角等于80°，那么该等腰三角形的
底角的度数是（　　）
A．20° B．80°或50° C．80° D．50°
B
小试牛刀
5.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数.
A
B
C
D
解：∵AB=AD， ∠BAD=26°
∴ ∠B=∠BDA=77°
∴∠ADC= ∠BAD+∠B=103°
∵∠ADC是△ABD的外角
∵AD=DC
∴ ∠C=∠ADC=38.5°
课后作业
今天我们收获了哪些知识？（畅所欲言）
1.等腰三角形有哪些性质的？符号语言是什么？
2.你学到了哪些证明线段相等或角相等的方法？
综合演练
2．如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是
50°，那么它的顶角的度数为 __．
40°或140°
1．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上的中线，点E是AD上任
意一点（不与点A、D重合），下列结论不一定正确的是( )
A．AD⊥BC B．∠EBC=∠ECB
C.∠ABE=∠ACE D．AE=BE
D
A
B
C
D
E
综合演练
3.如图，AB=AC，∠A=45°,AB的垂直平分线MN交AC与点D，求
∠DBC的度数.
A
B
C
D
M
N
解：∵AB=AC， ∠A=45°
∴ ∠ABC=∠C=67.5°
∴AD=BD
∵MN垂直平分AB
∴ ∠DBA=∠A=45°
∴ ∠DBC=∠ABC-∠ABD=22.5°
综合演练
4.如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC=90°，E是AB延长线一点，点
D在BC上，BE=BD,连接AD,DE和CE.
(1)求证：AD=CE;
(2)若∠CAD=20°，求∠DEC的度数.
A
B
E
D
C
综合演练
A
B
E
D
C
解（1）∵∠ABC=90°, ∠ABE=180°
∴ ∠BCE=90°
∴ △ABD ≌△CBE
∵AB=CB,DB=EB
∴ AD=CE
∴ ∠ABD=∠BCE
综合演练
A
B
E
D
C
解（2）∵∠ABC=90°, AB=AC
∴ ∠CAB=45°
∵△ABD ≌△CBE
∴ ∠DAB=20°
∵ ∠BDE是△CDE的外角
∵ ∠CAD=20°
∴ ∠BCE=∠DAB=20°
同理可得：∠BDE=45°
∴ ∠CED=∠BDE-∠DCE=25°
课后作业
教材81页习题13.3第2、4题．
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php