2.4 （1）二次函数的应用——最大（小）面积问题
一、教学目标
能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．
二、教学重点和难点
重点：能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题．
难点：能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大（小）面积问题．
三、教学过程
(一)情景导入
1. 如图,在一个直角三角形的内部画一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上，AN=40m，AM=30m，
(1).设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？
(2).设矩形的面积为,当取何值时,的最大值是多少
(二)变式探究
【探究一】
在上一个问题中，如果把矩形改为如图所示的位置，其顶点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.其它条件不变，那么矩形的最大面积是多少？
【探究二】
如图,已知△ABC是一等腰三角形铁板余料，AB=AC=20cm,BC=24cm.若在△ABC上
截出一矩形零件DEFG,使得EF在BC上,点D、G分别在边AB、AC上.问矩形DEFG的最大面积是多少
(三)课下作业
1.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为米，面积为S平方米.
(1)求S与的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
(3)若墙的最大可用长度为8米，求围成花圃的最大面积 .
2.如图，AD是ΔABC的高， BC＝6 ( http: / / www.21cnjy.com )0cm，AD ＝40cm，点E、F是BC边上的点，点M在AB边上，点N在AC边上，四边形MEFN是矩形，求矩形MEFN面积的最值。
3.正方形边长为4，、分别是、上的两个动点，当点在上运
动时，保持和垂直，
（1）证明：；
（2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；当点运动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积；
4.在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12，点P从点A出发沿AB边向点B以1/秒的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2/秒的速度移动.如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，设运动时间为t秒（0（1）运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8；
（2）设五边形APQCD的面积为S，写出S与t的函数关系式，t为何值时S最小？
求出S的最小值.
5.有一根直尺的短边长2，长边长10，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，其中直角三角形纸板的斜边长为12．按图1的方式将直尺的短边DE放置在直角三角形纸板的斜边AB上，且点D与点A重合．若直尺沿射线AB方向平行移动，如图2，设平移的长度为（），直尺和三角形纸板的重叠部分(即图中阴影部分)的面积为S ．
（1）当=0时，S=_________；当= 10时，S =_________；
（2）当0＜ ≤4时，如图2，求S与的函数关系式；
（3）当6＜＜10时，求S与的函数关系式；
（4）请你作出推测：当为何值时，阴影部分的面积最大？并写出最大值．
C
B
D
A
N
M
D
A
B
C
M
P
N
A
B
C
D
E
F
G
A
B
C
D
G
F
E
D
N
M
B
A
C
A
B
C
D
P
Q
A
B
C
备选图二
x
F
E
G
A
B
C
图2
A
B
C
备选图一
图1
(D)
E
F
C
B
A2.4 （2） 二次函数的应用——最大利润问题
一、教学目标
经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值.
二、教学重点和难点
重点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值
难点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值
三、教学过程
(一)情景导入
服装厂生产某品牌的T恤衫 ( http: / / www.21cnjy.com )成本是每件10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500件.请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？
(二)巩固训练
1.某旅社有客房120间，每间房的日租 ( http: / / www.21cnjy.com )金为160元时，每天都客满，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加10元时，那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？
2.某果园有100棵橙子树，平均每一棵 ( http: / / www.21cnjy.com )树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．
（1）果园增种多少棵橙子树时，果园橙子的总产量最多？
（2）增种多少棵橙子树时，可以使果园橙子的总产量在60420个以上？
（要求学生画出二次函数的图象，并根据图象回答问题）
(三)变式训练
1.某农户生产经销一种农副产品,已 ( http: / / www.21cnjy.com )知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现,该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系:ｗ=－2ｘ＋80.设这种产品每天的销售利润为ｙ(元).
(1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式.
(2)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大 最大利润是多少
(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少元
2．某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住
满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房
间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加元．
（1）房间每天的入住量（间）关于（元）的函数关系式．
（2）该宾馆每天的房间收费（元）关于（元）的函数关系式．
（3）该宾馆客房部每天的利润（元）关于（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，有最大值？最大值是多少？
3.某省有一种可食用的野生菌，上市时，外 ( http: / / www.21cnjy.com )商李经理按市场价格30元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元，而且这类野生菌在冷库中最多保存160天，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售．
（1）设天后每千克该野生菌的市场价格为元，试写出与之间的函数关系式．
（2）若存放天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为元，试写出与之间的函数关系式．
（3）李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润元？
（利润＝销售总额－收购成本－各种费用）
4．某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件。经市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件。设每件涨价元（为非负整数），每星期的销量为件．
⑴求与的函数关系式及自变量的取值范围；
⑵如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大？每星期的最大利润是多少？
5.随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图12-①所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图12-②所示（注：利润与投资量的单位：万元）
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；
（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？2.4 （3） 二次函数的应用
一、教学目标
通过建立适当的直角坐标系，让学生体验 ( http: / / www.21cnjy.com )从实际问题中抽象出函数关系式的过程，发展用数学的眼光观察现实世界和有条理地思考与表达的能力，进一步感受数学建模思想工作数学应用价值
二、教学重点和难点
重点：能够运用二次函数的图象及性质解决一些简单的实际问题，进一步提高分析问题解决问题的能力.
难点：能够运用二次函数的图象及性质解决一些简单的实际问题，进一步提高分析问题解决问题的能力.
三、教学过程
(一)情景导入
有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面A B的宽为20m，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10m．
（1）建立直角坐标系，求点B、D的坐标。
（2）求此抛物线的解析式；
(二)变式训练
1.一自动喷灌设备的喷流情况如图所示，设水管AB在高出地面米的B处有一自动旋转的喷水头，一瞬间流出的水流是抛物线状，喷头B与水流最高点C的连线与水平地面成45°角，水流的最高点C比喷头B高出2米，求水流落点D到A点的距离.
2.如图一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线运行，已知篮框的中心离地面的距离为3.05米.
(1)球在空中运行的最大高度为多少
(2)如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25米，他距离篮框中心的水平距离是4米，请问能否准确落入篮框内？
(二)课下作业
1、小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分(如图)，
若命中篮圈中心，则他与篮底的距离是( )
A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m
2、某公园草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线形组成的，为牢固起见，每段护栏需按0.4m的间距加装不锈钢管的立柱（如图）．
（1）试在恰当的直角坐标系中求出与该抛物线对应的二次函数关系式．
（2）计算所需不锈钢管立柱的总长度．
3、某地区建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花型柱子OA，O恰好在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线形状如图①所示，建立右图②所示的直角坐标系，水流喷出的高度(m)与水平距离(m)之间关系式是．
(1)柱子OA的高度是多少米？
(2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？
(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米时，
才能使喷出的水流不至于落在池外？
4、如图所示是永州八景之一的愚溪桥，桥 ( http: / / www.21cnjy.com )身横跨愚溪，面临潇水，桥下冬暖夏凉，常有渔船停泊桥下避晒纳凉.已知主桥拱为抛物线型，在正常水位下测得主拱宽24m，最高点离水面8m，以水平线AB为x轴，AB的中点为原点建立坐标系.
①求此桥拱线所在抛物线的解析式.
②桥边有一浮在水面部分高4m，最宽处12m的河鱼餐船，试探索此船能否开到 桥下 说明理由.
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
C D
x
D
y
A(O)
C
B
3.05米
O
x
y
A
B
0.5m
A
O
图①
O
x
y
A
图②
