湖北省武汉市2024年中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．
1．（2024·武汉）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性。下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·武汉）小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（ ）
A．随机事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．确定性事件
3．（2024·武汉）如图是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·武汉）国家统计局2024年4月16日发布数据，今年第一季度国内生产总值接近300000亿元，同比增长5.3％，国家高质量发展取得新成效。将数据300000用科学记数法表示是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·武汉）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·武汉）如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水。下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·武汉）小美同学按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接，，．若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·武汉）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·武汉）如图，四边形内接于，，，，则的半径是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·武汉）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称。若点，，，……，，都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则的值是（ ）
A． B． C．0 D．1
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置。
11．（2024·武汉）中国是世界上最早使用负数的国家。负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上3记作，则零下2记作 ．
12．（2024·武汉）某反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而减小，写出一个满足条件的k的值是 ．
13．（2024·武汉）分式方程的解是 ．
14．（2024·武汉）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉。在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是 m．（参考数据：）
15．（2024·武汉）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点E，F，记正方形的面积为，正方形的面积为．若，则用含k的式子表示的值是 ．
16．（2024·武汉）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论：
①；
②若，则；
③若，则关于x的一元二次方程 无实数解；
④点，在抛物线上，若，，总有，则．
其中正确的是 （填写序号）．
三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．
17．（2024·武汉）求不等式组的整数解．
18．（2024·武汉）如图，在中，点E，F分别在边，上，．
（1）求证：；
（2）连接．请添加一个与线段相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由）
19．（2024·武汉）为加强体育锻炼，增强学生体质，某校在“阳光体育一小时”活动中组织九年级学生定点投篮技能测试，每人投篮4次，投中一次计1分．随机抽取m名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下的统计图表。
测试成绩频数分布表
成绩/分 频数
4 12
3 a
2 15
1 b
0 6
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出m，n的值和样本的众数；
（2）若该校九年级有900名学生参加测试，估计得分超过2分的学生人数．
20．（2024·武汉）如图，为等腰三角形，是底边的中点，腰与半圆相切于点，底边与半圆交于，两点．
（1）求证：与半圆相切；
（2）连接．若，，求的值．
21．（2024·武汉）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．
（1）在图（1）中，画射线交于点D，使平分的面积；
（2）在（1）的基础上，在射线上画点E，使；
（3）在图（2）中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转到点C，再画射线交于点G；
（4）在（3）的基础上，将线段绕点G旋转，画对应线段（点A与点M对应，点B与点N对应）．
22．（2024·武汉）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖。火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行。
某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程。如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为9时，自动引发火箭的第二级．
（1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6．
①直接写出a，b的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35，求这两个位置之间的距离．
（2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15．
23．（2024·武汉）
（1）问题背景如图（1），在矩形中，点E，F分别是，的中点，连接，，求证：．
（2）问题探究 如图（2），在四边形中，，，点E是的中点，点F在边上，，与交于点G，求证：．
（3）问题拓展 如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值．
24．（2024·武汉）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的右边），交y轴于点C．
（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）如图（1），连接，，过第三象限的抛物线上的点P作直线，交y轴于点Q．若平分线段，求点P的坐标；
（3）如图（2），点D与原点O关于点C对称，过原点的直线交抛物线于E，F两点（点E在x轴下方），线段交抛物线于另一点G，连接．若，求直线的解析式．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；．
D、不是轴对称图形，不符合题意；，
故答案为：C．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判定．
2．【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：两人同时出相同的手势，这个事件是随机事件，
故答案为：A．
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
3．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，该几何体下面是一个大长方形，上面叠着一个小长方形，
故答案为：B．
【分析】主视图是从物体的正面看到的视图，据此判定．
4．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值大于与小数点移动的位数相同．
5．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A. ，该选项错误，不符合题意；
B. ，该选项正确，符合题意；
C. ，该选项错误，不符合题意；
D. ，该选项错误，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，完全平方公式运算法则分别判断即可．
6．【答案】D
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：∵下层圆柱底面半径大，水面上升块，上层圆柱底面半径稍小，水面上升稍慢，再往上则水面上升更慢，
∴对应图象是第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓．
故答案为：D．
【分析】根据圆柱体的特征，分3段分析，即可求解．
7．【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：由尺规作图得：AB=BC=DC=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴
∵，
∴，
∴，
答案为：C．
【分析】根据作图得四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质，即可求解．
8．【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如图所示，
共有9种等可能的结果，至少一辆车向右转有5种结果，
∴至少一辆车向右转的概率是：，
故答案为：D．
【分析】先画树状图，用树状图法确定所有等可能的结果数量和符合题意的结果数量，然后用概率公式解答即可．
9．【答案】A
【知识点】圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：延长AB至点E，使BE=AD，连接BD，连接CO并延长交于点F，连接AF，如图所示，
∵四边形ABCD是的内接四边形，
∴
∴
∵
∴，
∴DB是的直径，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴BC=DC，
∵
∴
∴，，
∵
∴
又∵
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∵
∴
∵
∴
∴
故答案为：A．
【分析】延长AB至点E，使BE=AD，连接BD，连接CO并延长交于点F，连接AF，根据直径的性质证三角形DCB是等腰直角三角形，根据SAS证三角形ADC和EBC全等，得三角形ACE是等腰直角三角形，求得AC的长度，根据圆周角定理证∠AFC=60°，利用三角函数求解即可。
10．【答案】D
【知识点】函数自变量的取值范围；通过函数图象获取信息；探索规律-函数上点的规律
【解析】【解答】解：∵这20个点的横坐标，从0.1开始依次增加0.1，
∴，
∴点A1与A19关于点（1，0）对称，即y1+y19=0，
同理：y2+y18=0，y3+y17=0，...，y9+y11=0，
∵A10（1，0），即y10=0，
∴，
∵，
当时，，即，
∵关于点中心对称的点为，
即当时，，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据题意得出y1+y19=0，y2+y18=0，y3+y17=0，...，y9+y11=0，y10=0，，即可求解．
11．【答案】-2
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵零上记作，
∴零下记作．，
故答案为：．
【分析】一对具有相反意义的量中，规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
12．【答案】2（答案不唯一）
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵当时，y随x的增大而减小，
∴，
可以取2.
故填：2（答案不唯一）．
【分析】根据反比例函数的性质，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．直接根据反比例函数的性质写出符合条件的的值即可．
13．【答案】x=-3
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以（x-3）（x-1）得
x（x-1）=（x+1）（x-3）
解之：x=-3，
经检验x=-3是原方程的根.
故答案为：x=-3.
【分析】方程两边同时乘以（x-3）（x-1）将分式方程转化为整式方程，再求出整式方程的解，然后检验，可得方程的根.
14．【答案】51
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB，并BA的延长线于点D，如图所示，
由题意得：，
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：51．
【分析】过点C作CD⊥AB，并BA的延长线于点D，根据，求出，即可求解．
15．【答案】
【知识点】正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点E作交于点，如图所示，
设，设，
四边形PQMN是正方形
在和中，，
由题意可知，
正方形的面积，
正方形的面积
；
故答案为：.
【分析】过点E作EG⊥AN交AN于点G，设MN=a，设EG=1，根据正方形的性质和等腰三角形的判定得EG=MG，证明，利用相似三角形对应边成比例，表示出AG，MN的长度，最后利用勾股定理表示出正方形ABCD和MNPQ的面积，解即可．
16．【答案】②③④
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线经过（-1，1），（m，1）两点，且．
∴对称轴为直线：， ，
∵，
∴，故①错误，
∵，∴m-(-1)>0-(-1)，即m-(-1)>1，
∴（-1，1），（m，1）两点之间距离大于
又∵
∴时，
∴若，则，故②正确；
由①得，
∴，即，
当时，抛物线解析式为
设顶点纵坐标为：
∵抛物线经过（-1，1），
∴
∴
∴
∵，，对称轴为直线，
∴当时，t取得最大值为2，而，
∴关于x的一元二次方程 无解，故③正确；
由a<0可知抛物线开口向下，点，在抛物线上， ，，总有，
∵，
∴点离较远，
∴对称轴
解得：，故④正确．
故答案为：②③④．
【分析】根据对称性求出抛物线的对称轴，进面可得，即可判断①，根据（-1，1），（m，1)两点之间的距离大于1，即可判断②，根据抛物线经过(-1，1)得出c=b+2，代入顶点纵坐标，求得纵坐标的最大值，即可判断③，根据④可得抛物线的对称轴满足的不等式组，解不等式组，即可求解．
17．【答案】解：
解不等式①，得：
解不等式②，得：
∴不等式组的解集为：，
∴整数解为：-1，0，1
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，从中确定整数解．
18．【答案】（1）证明：在平行四边形ABCD中，，，，
∵，
∴，
即，
在与中，
，
∴；
（2）添加BE=AF（答案不唯一）
连接EF，如图所示．
∵四边形是平行四边形，
∴，即，
当BE=AF时，四边形ABEF是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，结合DF=BE，利用SAS证明；
（2）添加BE=AF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证明．
19．【答案】（1）解：m=15÷25%=60（人），
a=60×30%=18（人），
b=60-12-18-15-6=9（人），
∴，
∴，
∵分的人数为个，出现次数最多，
∴众数为分，
（2）解：（人）
答： 估计得分超过2分的学生有450人。
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）基本关系：总数=部分÷部分所占的百分比，根据成绩为2分的人数除以占比，求得m的值，根据成绩为3分的人数的占比，求得a=18，进而求得b=9，即可得出n的值；
（2）根据样本百分率估计总体的百率，据此求解。
20．【答案】（1）证明：连接、，作交于，如图
为等腰三角形，是底边的中点
，平分
与半圆相切于点
由
是半圆的切线；
（2）解：由（1）可知，
，
，
又，
在中，，
，
解得：
．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；切线的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接、，作交于，由等腰三角形三线合一的性质可证，再根据平分，结合与半圆相切于点，可推出，即可证明；
（2）由题意可得出，根据，中利用勾股定理可求除，从而得到，最后解直角三角形即可求得答案．
（1）证明：连接、，作交于，如图
为等腰三角形，是底边的中点
，平分
与半圆相切于点
由
是半圆的切线
（2）解：由（1）可知，
，
，
又，
在中，，
，
解得：
21．【答案】（1）解：作线段HI，使四边形CHBI是矩形，交于点D，做射线AD，点D即为所求作，如图所示：
（2）解：作OP∥BC，过点A作AR⊥OP于点Q，连接CQ交AD于点E，点E即为作求作，如图所示：
（3）解：在AC下方取点F，使，连接CF，连接并延长AF，AF交BC于点G，点F，G即为所求作，如图所示：
（4）解：作OP∥BC，交射线AG于点M，作ST∥AG，交BC于点N，连接MN，线段MN即为所求作，如图所示．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用网格的特征，作矩形，根据矩形的性质，对角线交于点D，做射线即可；
（2）根据网格的特征，作OP∥BC，过点A作AR⊥OP于点Q，连接CQ交AD于点E，即可；
（3）根据网格的特征，结合勾股定理，在AC下方取点F，使，是等腰直角三角形，连接CF， AF，AF交BC于点G，即可；
（4）利用网格的特征，作OP∥BC，交射线AG于点M，作ST∥AG，交BC于点N，连接MN即可．
22．【答案】（1）解：①，．
②直线的解析式为，抛物线的解析式为：，
∴
∵，
∴最大值
当时，有
解得：，
又∵时，
∴当时，有，
解得：
∴这两个位置之间的距离．
（2）
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】（1）①由题意，得：抛物线和直线均经过点
∴，
解得：，．
（2）解：当水平距离超过时，
火箭第二级的引发点为（9，81a+9），
∵直线经过点（9，81a+9）和（15，0）
∴，
解得：，
∴．
【分析】（1）①将（9，3.6）代入两个函数的解析式，即可求解；②将抛物线的一般式转化为顶点式，即可确定顶点坐标，得出，进而求得当时，对应的x的值，然后进行比较再计算即可；
（2）把点（9，81a+9）和（15，0）代入直线的解析式，求出a、b的值，即可求解．
23．【答案】（1）证明：∵在矩形ABCD中，AB=CD，∠C=∠EBF=90°，
∵，分别是，的中点
∴，
即，
∴；
（2）证明：取DB的中点H，连接EH和HC，如图所示：
∵是的中点，是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴
∴四边形EFCH是平行四边形，
∴
∴
又∵，H是DB的中点，
∴
∴
∴，
∴；
（3）解：。
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（3）过点F作FM⊥AD于点M，连接AF，如图所示，
∵∠C=∠ADC=90°，FM⊥AD，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
设，则，
在中，，
∵，由（2）
∴，
又∵是的中点，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴，，
在中，
∴
设，则
∴，
又∵
∴
∴
又∵
∴
∴
【分析】问题背景：根据矩形的性质，结合三角形的中位线定理，即可得证；
问题探究：取DB的中点H，连接EH和HC，得EH是的中位线，根据中位线定理，证明EFCH是平行四边形，利用平行四边形的性质，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出HB=HC，进而可得，等角对等边，即可得证；
问题拓展：过点F作FM⊥AD于点M，连接AF，证四边形CDMF是矩形，设AD=2a，根据勾股定理得出AF的长；根据（2）的结论，证明EF垂直平分AB，进而得出FA=FB，证明，进而证明， 进而根据相似三角形的性质，即可求解．
24．【答案】（1）解：由，
令x=0，，则
令y=0，
解得：
∵A在B的右边
∴，，
（2）解：设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（1，0），代入得，
解得：
∴直线AC的解析式为：
∵PQ∥AC，
∴设直线PQ的解析式为
∵P在第三象限的抛物线上
设，
∴
∴
∴
设PQ的中点为M，
由中点坐标公式，得
设直线的解析式为，
将代入得，
，
解得：
∴直线BC的解析式为，
∵BC平分线段PQ，
∴在直线上，
∴
解得：，（舍去）
当时，
∴；
（3）解：过点G作TS∥x轴，过点E、F分别作TS的垂线，垂足分别为T和S，如图所示，
∵ET⊥TS，FS⊥TS，
∴
∴
∴
∴
即
∵点与原点关于点对称，
∴D（0，-5），
设直线EF的解析式为，直线ED的解析式为
联立得：
整理，得，，
即
联立直线ED与抛物线解析式，得
整理，得，
即
设，，
∴，，，
∴
，
∵
∴，
将代入得：
∴，
∴，
∴直线DE解析式为．
【知识点】相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）分别令x=0求y，令y=0求x，即可求解；
（2）分别求得直线AC和BC的解析式，根据平行得出PQ的解析式，设点P的横坐标为t，用含t的代数式表示点 P和点Q的坐标，进而表示中点M的坐标，进而根据BC平分线段PQ，则PQ的中点M在直线BC上，将点M的坐标代入直线BC解析式，即可求解．
（3）过点G作TS∥x轴，过点E、F分别作TS的垂线，垂足分别为T和S，证明，得出，先求得点D的坐标，设直线EF的解析式为y1=k1x，直线ED的解析式为y2=k2x-5，联立抛物线解析式， 根据一元二次方程根与系数的关系，求解即可．
1 / 1湖北省武汉市2024年中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．
1．（2024·武汉）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性。下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；．
D、不是轴对称图形，不符合题意；，
故答案为：C．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判定．
2．（2024·武汉）小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（ ）
A．随机事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．确定性事件
【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：两人同时出相同的手势，这个事件是随机事件，
故答案为：A．
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
3．（2024·武汉）如图是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，该几何体下面是一个大长方形，上面叠着一个小长方形，
故答案为：B．
【分析】主视图是从物体的正面看到的视图，据此判定．
4．（2024·武汉）国家统计局2024年4月16日发布数据，今年第一季度国内生产总值接近300000亿元，同比增长5.3％，国家高质量发展取得新成效。将数据300000用科学记数法表示是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值大于与小数点移动的位数相同．
5．（2024·武汉）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A. ，该选项错误，不符合题意；
B. ，该选项正确，符合题意；
C. ，该选项错误，不符合题意；
D. ，该选项错误，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，完全平方公式运算法则分别判断即可．
6．（2024·武汉）如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水。下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：∵下层圆柱底面半径大，水面上升块，上层圆柱底面半径稍小，水面上升稍慢，再往上则水面上升更慢，
∴对应图象是第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓．
故答案为：D．
【分析】根据圆柱体的特征，分3段分析，即可求解．
7．（2024·武汉）小美同学按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接，，．若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：由尺规作图得：AB=BC=DC=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴
∵，
∴，
∴，
答案为：C．
【分析】根据作图得四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质，即可求解．
8．（2024·武汉）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如图所示，
共有9种等可能的结果，至少一辆车向右转有5种结果，
∴至少一辆车向右转的概率是：，
故答案为：D．
【分析】先画树状图，用树状图法确定所有等可能的结果数量和符合题意的结果数量，然后用概率公式解答即可．
9．（2024·武汉）如图，四边形内接于，，，，则的半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：延长AB至点E，使BE=AD，连接BD，连接CO并延长交于点F，连接AF，如图所示，
∵四边形ABCD是的内接四边形，
∴
∴
∵
∴，
∴DB是的直径，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴BC=DC，
∵
∴
∴，，
∵
∴
又∵
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∵
∴
∵
∴
∴
故答案为：A．
【分析】延长AB至点E，使BE=AD，连接BD，连接CO并延长交于点F，连接AF，根据直径的性质证三角形DCB是等腰直角三角形，根据SAS证三角形ADC和EBC全等，得三角形ACE是等腰直角三角形，求得AC的长度，根据圆周角定理证∠AFC=60°，利用三角函数求解即可。
10．（2024·武汉）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称。若点，，，……，，都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则的值是（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【知识点】函数自变量的取值范围；通过函数图象获取信息；探索规律-函数上点的规律
【解析】【解答】解：∵这20个点的横坐标，从0.1开始依次增加0.1，
∴，
∴点A1与A19关于点（1，0）对称，即y1+y19=0，
同理：y2+y18=0，y3+y17=0，...，y9+y11=0，
∵A10（1，0），即y10=0，
∴，
∵，
当时，，即，
∵关于点中心对称的点为，
即当时，，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据题意得出y1+y19=0，y2+y18=0，y3+y17=0，...，y9+y11=0，y10=0，，即可求解．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置。
11．（2024·武汉）中国是世界上最早使用负数的国家。负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上3记作，则零下2记作 ．
【答案】-2
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵零上记作，
∴零下记作．，
故答案为：．
【分析】一对具有相反意义的量中，规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
12．（2024·武汉）某反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而减小，写出一个满足条件的k的值是 ．
【答案】2（答案不唯一）
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵当时，y随x的增大而减小，
∴，
可以取2.
故填：2（答案不唯一）．
【分析】根据反比例函数的性质，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．直接根据反比例函数的性质写出符合条件的的值即可．
13．（2024·武汉）分式方程的解是 ．
【答案】x=-3
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以（x-3）（x-1）得
x（x-1）=（x+1）（x-3）
解之：x=-3，
经检验x=-3是原方程的根.
故答案为：x=-3.
【分析】方程两边同时乘以（x-3）（x-1）将分式方程转化为整式方程，再求出整式方程的解，然后检验，可得方程的根.
14．（2024·武汉）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉。在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是 m．（参考数据：）
【答案】51
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB，并BA的延长线于点D，如图所示，
由题意得：，
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：51．
【分析】过点C作CD⊥AB，并BA的延长线于点D，根据，求出，即可求解．
15．（2024·武汉）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点E，F，记正方形的面积为，正方形的面积为．若，则用含k的式子表示的值是 ．
【答案】
【知识点】正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点E作交于点，如图所示，
设，设，
四边形PQMN是正方形
在和中，，
由题意可知，
正方形的面积，
正方形的面积
；
故答案为：.
【分析】过点E作EG⊥AN交AN于点G，设MN=a，设EG=1，根据正方形的性质和等腰三角形的判定得EG=MG，证明，利用相似三角形对应边成比例，表示出AG，MN的长度，最后利用勾股定理表示出正方形ABCD和MNPQ的面积，解即可．
16．（2024·武汉）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论：
①；
②若，则；
③若，则关于x的一元二次方程 无实数解；
④点，在抛物线上，若，，总有，则．
其中正确的是 （填写序号）．
【答案】②③④
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线经过（-1，1），（m，1）两点，且．
∴对称轴为直线：， ，
∵，
∴，故①错误，
∵，∴m-(-1)>0-(-1)，即m-(-1)>1，
∴（-1，1），（m，1）两点之间距离大于
又∵
∴时，
∴若，则，故②正确；
由①得，
∴，即，
当时，抛物线解析式为
设顶点纵坐标为：
∵抛物线经过（-1，1），
∴
∴
∴
∵，，对称轴为直线，
∴当时，t取得最大值为2，而，
∴关于x的一元二次方程 无解，故③正确；
由a<0可知抛物线开口向下，点，在抛物线上， ，，总有，
∵，
∴点离较远，
∴对称轴
解得：，故④正确．
故答案为：②③④．
【分析】根据对称性求出抛物线的对称轴，进面可得，即可判断①，根据（-1，1），（m，1)两点之间的距离大于1，即可判断②，根据抛物线经过(-1，1)得出c=b+2，代入顶点纵坐标，求得纵坐标的最大值，即可判断③，根据④可得抛物线的对称轴满足的不等式组，解不等式组，即可求解．
三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．
17．（2024·武汉）求不等式组的整数解．
【答案】解：
解不等式①，得：
解不等式②，得：
∴不等式组的解集为：，
∴整数解为：-1，0，1
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，从中确定整数解．
18．（2024·武汉）如图，在中，点E，F分别在边，上，．
（1）求证：；
（2）连接．请添加一个与线段相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由）
【答案】（1）证明：在平行四边形ABCD中，，，，
∵，
∴，
即，
在与中，
，
∴；
（2）添加BE=AF（答案不唯一）
连接EF，如图所示．
∵四边形是平行四边形，
∴，即，
当BE=AF时，四边形ABEF是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，结合DF=BE，利用SAS证明；
（2）添加BE=AF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证明．
19．（2024·武汉）为加强体育锻炼，增强学生体质，某校在“阳光体育一小时”活动中组织九年级学生定点投篮技能测试，每人投篮4次，投中一次计1分．随机抽取m名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下的统计图表。
测试成绩频数分布表
成绩/分 频数
4 12
3 a
2 15
1 b
0 6
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出m，n的值和样本的众数；
（2）若该校九年级有900名学生参加测试，估计得分超过2分的学生人数．
【答案】（1）解：m=15÷25%=60（人），
a=60×30%=18（人），
b=60-12-18-15-6=9（人），
∴，
∴，
∵分的人数为个，出现次数最多，
∴众数为分，
（2）解：（人）
答： 估计得分超过2分的学生有450人。
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）基本关系：总数=部分÷部分所占的百分比，根据成绩为2分的人数除以占比，求得m的值，根据成绩为3分的人数的占比，求得a=18，进而求得b=9，即可得出n的值；
（2）根据样本百分率估计总体的百率，据此求解。
20．（2024·武汉）如图，为等腰三角形，是底边的中点，腰与半圆相切于点，底边与半圆交于，两点．
（1）求证：与半圆相切；
（2）连接．若，，求的值．
【答案】（1）证明：连接、，作交于，如图
为等腰三角形，是底边的中点
，平分
与半圆相切于点
由
是半圆的切线；
（2）解：由（1）可知，
，
，
又，
在中，，
，
解得：
．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；切线的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接、，作交于，由等腰三角形三线合一的性质可证，再根据平分，结合与半圆相切于点，可推出，即可证明；
（2）由题意可得出，根据，中利用勾股定理可求除，从而得到，最后解直角三角形即可求得答案．
（1）证明：连接、，作交于，如图
为等腰三角形，是底边的中点
，平分
与半圆相切于点
由
是半圆的切线
（2）解：由（1）可知，
，
，
又，
在中，，
，
解得：
21．（2024·武汉）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．
（1）在图（1）中，画射线交于点D，使平分的面积；
（2）在（1）的基础上，在射线上画点E，使；
（3）在图（2）中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转到点C，再画射线交于点G；
（4）在（3）的基础上，将线段绕点G旋转，画对应线段（点A与点M对应，点B与点N对应）．
【答案】（1）解：作线段HI，使四边形CHBI是矩形，交于点D，做射线AD，点D即为所求作，如图所示：
（2）解：作OP∥BC，过点A作AR⊥OP于点Q，连接CQ交AD于点E，点E即为作求作，如图所示：
（3）解：在AC下方取点F，使，连接CF，连接并延长AF，AF交BC于点G，点F，G即为所求作，如图所示：
（4）解：作OP∥BC，交射线AG于点M，作ST∥AG，交BC于点N，连接MN，线段MN即为所求作，如图所示．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用网格的特征，作矩形，根据矩形的性质，对角线交于点D，做射线即可；
（2）根据网格的特征，作OP∥BC，过点A作AR⊥OP于点Q，连接CQ交AD于点E，即可；
（3）根据网格的特征，结合勾股定理，在AC下方取点F，使，是等腰直角三角形，连接CF， AF，AF交BC于点G，即可；
（4）利用网格的特征，作OP∥BC，交射线AG于点M，作ST∥AG，交BC于点N，连接MN即可．
22．（2024·武汉）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖。火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行。
某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程。如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为9时，自动引发火箭的第二级．
（1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6．
①直接写出a，b的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35，求这两个位置之间的距离．
（2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15．
【答案】（1）解：①，．
②直线的解析式为，抛物线的解析式为：，
∴
∵，
∴最大值
当时，有
解得：，
又∵时，
∴当时，有，
解得：
∴这两个位置之间的距离．
（2）
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】（1）①由题意，得：抛物线和直线均经过点
∴，
解得：，．
（2）解：当水平距离超过时，
火箭第二级的引发点为（9，81a+9），
∵直线经过点（9，81a+9）和（15，0）
∴，
解得：，
∴．
【分析】（1）①将（9，3.6）代入两个函数的解析式，即可求解；②将抛物线的一般式转化为顶点式，即可确定顶点坐标，得出，进而求得当时，对应的x的值，然后进行比较再计算即可；
（2）把点（9，81a+9）和（15，0）代入直线的解析式，求出a、b的值，即可求解．
23．（2024·武汉）
（1）问题背景如图（1），在矩形中，点E，F分别是，的中点，连接，，求证：．
（2）问题探究 如图（2），在四边形中，，，点E是的中点，点F在边上，，与交于点G，求证：．
（3）问题拓展 如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值．
【答案】（1）证明：∵在矩形ABCD中，AB=CD，∠C=∠EBF=90°，
∵，分别是，的中点
∴，
即，
∴；
（2）证明：取DB的中点H，连接EH和HC，如图所示：
∵是的中点，是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴
∴四边形EFCH是平行四边形，
∴
∴
又∵，H是DB的中点，
∴
∴
∴，
∴；
（3）解：。
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（3）过点F作FM⊥AD于点M，连接AF，如图所示，
∵∠C=∠ADC=90°，FM⊥AD，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
设，则，
在中，，
∵，由（2）
∴，
又∵是的中点，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴，，
在中，
∴
设，则
∴，
又∵
∴
∴
又∵
∴
∴
【分析】问题背景：根据矩形的性质，结合三角形的中位线定理，即可得证；
问题探究：取DB的中点H，连接EH和HC，得EH是的中位线，根据中位线定理，证明EFCH是平行四边形，利用平行四边形的性质，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出HB=HC，进而可得，等角对等边，即可得证；
问题拓展：过点F作FM⊥AD于点M，连接AF，证四边形CDMF是矩形，设AD=2a，根据勾股定理得出AF的长；根据（2）的结论，证明EF垂直平分AB，进而得出FA=FB，证明，进而证明， 进而根据相似三角形的性质，即可求解．
24．（2024·武汉）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的右边），交y轴于点C．
（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）如图（1），连接，，过第三象限的抛物线上的点P作直线，交y轴于点Q．若平分线段，求点P的坐标；
（3）如图（2），点D与原点O关于点C对称，过原点的直线交抛物线于E，F两点（点E在x轴下方），线段交抛物线于另一点G，连接．若，求直线的解析式．
【答案】（1）解：由，
令x=0，，则
令y=0，
解得：
∵A在B的右边
∴，，
（2）解：设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（1，0），代入得，
解得：
∴直线AC的解析式为：
∵PQ∥AC，
∴设直线PQ的解析式为
∵P在第三象限的抛物线上
设，
∴
∴
∴
设PQ的中点为M，
由中点坐标公式，得
设直线的解析式为，
将代入得，
，
解得：
∴直线BC的解析式为，
∵BC平分线段PQ，
∴在直线上，
∴
解得：，（舍去）
当时，
∴；
（3）解：过点G作TS∥x轴，过点E、F分别作TS的垂线，垂足分别为T和S，如图所示，
∵ET⊥TS，FS⊥TS，
∴
∴
∴
∴
即
∵点与原点关于点对称，
∴D（0，-5），
设直线EF的解析式为，直线ED的解析式为
联立得：
整理，得，，
即
联立直线ED与抛物线解析式，得
整理，得，
即
设，，
∴，，，
∴
，
∵
∴，
将代入得：
∴，
∴，
∴直线DE解析式为．
【知识点】相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）分别令x=0求y，令y=0求x，即可求解；
（2）分别求得直线AC和BC的解析式，根据平行得出PQ的解析式，设点P的横坐标为t，用含t的代数式表示点 P和点Q的坐标，进而表示中点M的坐标，进而根据BC平分线段PQ，则PQ的中点M在直线BC上，将点M的坐标代入直线BC解析式，即可求解．
（3）过点G作TS∥x轴，过点E、F分别作TS的垂线，垂足分别为T和S，证明，得出，先求得点D的坐标，设直线EF的解析式为y1=k1x，直线ED的解析式为y2=k2x-5，联立抛物线解析式， 根据一元二次方程根与系数的关系，求解即可．
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