第 1 章 集合与常用逻辑
第 1 节 集合
1.1.1 集合的概念与运算
【知识清单自查】
集合与元素
(1)集合中元素的三个特性： 、 、 .
(2)元素与集合的关系是 或 ，用符号 和 表示．
(3)集合的表示方法： 、 、 .
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N (或 N+) Z Q R
1.1.1.1 集合的概念
一、集合的概念与元素的特征
例 1 若集合 M = {a, b, c} 中的元素是 ABC 的三边长, 则 ABC 一定不是 ( ).
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形
【考点】集合中元素具有互异性
√ √ √
练 1.1 由实数 x, x,| 2x|, x2, 3( x2) , x3 所组成的集合, 最多可含有的元素个数为 ( ).
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【考点】集合的互异性, 指数运算及简单分类讨论
二、元素与集合的关系
例 2 已知集合 A= {a+1, a2 +4a 9, 2021}，若 4∈A，则实数 a 的值为 ( ).
A. 5 B. 1 C. 5 或 1 D. 5 或 1
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【考点】元素与集合的关系及元素的互异性
√
例 3 已知集合 A= {x|x=m+n 3,且m2 3n2 =1,m, n∈Z}.
√ √
(1) 判断 ( 2+ 6)2 是否为 A 中的元素；
(2) 设 c∈A，求证： c√ ∈A；
2+ 3
(3) 证明：若 x∈A，则 x+ 1 是偶数.
x
【考点】元素与集合的关系及代数变形
3.1 ( y |xyz|练 多选) 已知 x, y, z 为非零实数，代数式 x + + z| | | | | | + 的值所组成的集合是 M，x y z xyz
则下列判断正确的是 ( ).
A. 0∈/M B. 2∈M C. 4∈M D. 4∈M
【考点】元素与集合关系的判断及集合的互异性
练 3.2 已知集合 A= {x|x2 +2ax a< 0}, 且 1∈A, 实数 a 的取值范围为 .
【考点】元素与集合关系的判断
三、集合的表示方{法
例 4 集合 A= 6 ∈Z∣∣∣ }x∈N , 用列举法可以表示为 .3 x
【考点】描述法表示集合，一定要注意元素的限制
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练 4.1 集合 A= {x∈N | 6 ∈Z} , 用列举法可以表示为 .3 x
【考点】元素与集合关系的判断
例 5 给出下列说法, 其中正确的是 ( ).
A. 集合 {x∈N | x3 = x} 用列举法表示为 {0, 1}
B. 实数集可{以表示为 {x | x 为所有实数 } 或 {R}
x+ y=0, { }
C. 方程组 的解组成的集合为 x= 1 , y= 1
2 2
x y= 1
D. 方程 (x 2)2 +(y+3)2 =0 的所有解组成的集合为 {(2, 3)}
【考点】集合的表示方法
练 5.1 已知集合 P = {x|x=2k, k ∈Z},Q= {x|x=2k+1, k ∈Z},M = {x=4k+1, k ∈Z}, 若 a∈
P, b∈Q 则 ( ).
A. a+ b∈P B. a+ b∈Q
C. a+ b∈M D. a+ b不属于P Q,M中任意一个
【考点】元素与集合关系的判断
1.1.1.2 集合间的关系
【知识清单自查】
1. 集合间的基本关系
2. 集合子集的个数对于有限集合 A，其元素个数为 n，则集合 A 的子集个数为 2n，真子集个
数为 2n 1，非空真子集个数为 2n 2．
一、简单集合关系的判断
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关系 自然语言 符号语言 Venn 图
子集 集合 A 中所有元素都在集合 B 中 (即若 x∈A，则 x∈B)
真子集 集合 A 是集合 B 的子集，且集合 B 中至少有一个元素不在集合 A 中
集合相等 集合 A，B 中的元素相同或集合 A，B 互为子集
例 6 下列关系中表示正确的是 ( ).
A. { } {a, b} B. {(a, b)} {a, b} C. {b, a} {a, b} D. { } 0
【考点】集合间关系的判断
练 6.1 下面五个式子中: a {a}; {a}; {a}∈ {a, b} ; {a} {a};Sa∈{b, c, a} ,正确的有 .
【考点】元素与集合关系的判断
{ ∣∣
例 7 设集合 A= x ∣ } { ∣∣ }x= k+ 1 , k ∈Z , B= y ∣ y= k 1 , k ∈Z ,则它们之间最准确的关系是
4 2 4
( ).
A. A=B B. A B C. A B D. A B
【考点】集合间的关系的判断
练 7.1 若{ 集∣
A= x ∣ 合 } { ∣x={m ∣∣+ 1 ,m∈Z , B=} x ∣ x= n 1 ,6 2 3n∈Z}, C = x x= p + 1 , p∈Z , 则 A,B,C 之间的关系是 ( ).
2 6
A. A=B=C B. A B=C C. A B C D. B C A
【考点】集合间的关系的判断
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例 8 (多选) 满足 {0, 2, 4} A {0, 1, 2, 3, 4} 的集合 A 可以为 ( ).
A. {0, 2, 4} B. {0, 1, 2, 4} C. {0, 1, 3, 4} D. {0, 1, 2, 3, 4}
【考点】子集个数的判断
练 8.1
已知集合 A= {x | x2 7x+10=0, x∈R} , B= {x | 1
的集合 C 的个数为 .
【考点】子集个数的判断
二、根据集合间关系求参
例 9 (多选) 已知集合 A= {x|1的是 ( ).
A. 不存在实数 a 使得 A=B B. 当 a=4 时,A B
C. 当 0 a< 4 时,B A D. 存在实数 a 使得 B A
练 9.1 已知集合 A= {x | 1( ).
A. {a | a≥ 2021} B. {a | a> 2021} C. {a | a≥ 1} D. {a | a> 1}
例 10 { }
若含有三个实数的集合既可表示成 a, b , 1 ,又可表示成 {a2, a+ b, 0} ,则 a2022 b2023= .
a
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练 10.1 已知集合 A= {a, 0, 1},B= {c+ b, 1 , 1}, 且 A=B，则 a= ,b= ,c=
a+ b
.
例 11 (多选)已知 A= {x | x2 5x+4=0} , B= {x | ax 1=0} ,若 B A ,则实数 a的值可以是
( ).
A. 0 B. 1 C. 4 D. 1
4
练 11.1 已知集合 A= {x | x2 +4x=0} , B= {x | x2 +2(a+ 1) x+ a2 1=0} .
(1) 若 A 是 B 的子集, 求实数 a 的值;
(2) 若 B 是 A 的子集, 求实数 a 的取值范围.
例 12 已知集合 A= {x1 3 x< 4},B= {x|2m 1 x m+1}，若 B A, 求实数 m 的取值
范围.
三、能力提升
例 13 已知集合 S= {0, 1, 2, 3, 4, 5},A是 S 的一个子集,当 x∈A时,若 x 1∈/ A,且 x+1∈/ A,则
称 x 为 A 的一个” 孤立元素”, 那么无” 孤立元素” 且有 4 个元素的集合 S 的子集共有
个.
例 14 定义:若对任意m,n∈A(m,n可以相等),都有 1+mn =0,则集合B= {x|x= m+n ,m, n∈
1+mn
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A} 称为集合 A 的生成集.
(1) 求集合 A= {3, 4} 的生成集 B；
(2) 若集合 A= {a, 2} 的生成集为 B, 且 B 的子集个数为 4, 求实数 a 的值；
(3) 若集合 A= {x| 1练 14.1 设集合 Sn =1, 2, 3, ....n,X Sn, 把 X 的所有元素的乘积称为 X 的容量 (若 X 中只有一
个元素, 则该元素的数值即为它的容量, 规定空集的容量为 0). 若 X 的容量是奇 (偶) 数, 则称
X 为 Sn 的奇 (偶) 子集. 若 n=3, 则 Sn 的所有偶子集的容量之和为 .
1.1.1.3 集合的运算
【知识清单自查】
1. 集合的基本运算
运算 自然语言 符号语言 Venn 图
交集 由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合
并集 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合
补集 由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合
2
2.3常用结论
1并集的性质：A∪ =A；A∪A=A；A∪B=B ∪A；A∪B=A B A．
2交集的性质：A∩ = ；A∩A=A；A∩B=B ∩A；A∩B=A A B．
一、基础运算
例 15 设集合 A= {1, 2, 3},B= {x| 1A. {1} B. {1, 2} C. {0, 1, 2, 3} D. { 1, 0, 1, 2, 3}
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例 16 已知集合 A= {x| 6< 2 x< 2},B= {y|y= 3x, x∈A} 则 A∩B= ( ).
4
A. {x|3例 17 如图, U 是全集, M,P, S 是 U 的子集, 则阴影部分表示的集合是
( ).
A. (M ∩P )∩S( ) B. (M ∩P )∪S( )
C. (M ∩P )∩ US D. (M ∩P )∪ US
练 17.1 已知集合 A= {x | 2A. A∪B B. A∩B C. R (A∪B) D. R (A∩B)
练 17.2 已知集合 S= {s | s= 2n+1, n∈Z}, T = {t | t=4n+1, n∈Z} , 则 S∩ T = ( ).
A. B.
C. D. Z
A. B. S C. T D. Z
二、含参问题
例 18 集合 A= {x|m 1 x 5},若 A∪B=R,则实数 m的
取值范围为 .
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练 18.1 已知集合 A= {x | 1a} . 若 A∩B=A , 则实数 a 的取值范围是
( ).
A. {a | a≥ 2} B. {a | a≤ 1} C. {a | a≥ 1} D. {a | a≤ 2}
( )
练 18.2 已知集合 M = {x | x+m≥ 0}, N = {x | 2, 则实数 m 的取值范围是 ( ).
A. {m |m< 2} B. {m |m≤ 2}
C. {m |m≥ 2} D. {m |m≥ 2 或 m≤ 4}
例 19 设集合 A= {x∈RIlx al < 1},B= {X ∈R|Ix bl > 2},若 A∩B = ,则实数 a, b必满足
( ).
A. |a b|< 1 B. |a b|> 1 C. |a b| 1 D. |a b| 1
练 19.1 已知集合 A= {xlx< 2或x> 6},B= {x|m+1 x 2m}.
(1) 若 m=3, 求 A∪B, ( UA)∩ ( UB);
(2) 若 A∪B=B, 求实数 m 的取值范围.
2 3 4
练 19.2 在 1 A∩B=A, 2 A∩ ( UB)=A, 3 A∩B=0 这三个条件中任选一个, 补充到下面的横线
上, 求解下列问题:
已知集合 A= {x|a 1(1) 当 a=2 时, 求 A∪B;
(2) 若 , 求实数 a 的取值范围.
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1.1.1.4 易错题与综合题
例 20 已知集合 A= {m+2, 2m2 +m}, 若 3∈A, 则实数 m 的值为 .
例 21 已知集合 M = {(x, y)|(x+3)2 +(y 1)2 =0},N = { 3, 1}, 则 M 与 N 的关系是 ( ).
A. M =N B. M N C. N M D. M ∩N =
例 22 已知集合 M = {x| x 2 2 0},N = y|y=3x +1, x∈R, 则 M ∩N= ( ).(x 1)
A. B. {x|x 1} C. {x|x> 1} D. {x|x 0}
例 23 已知集合 A= {xlx a=0} ,B= {xlax=4}, 若 A∩B=B, 则实数 a 的值为 .
例 24 已知集合 A= {x | 1≤ x≤ 2}, B= {x | 2m 2} .
(1) 若 A∩B=B , 求实数 m 的取值范围;
(2) 若 B ∩C 中只有一个整数, 求实数 m 的取值范围.
例 25 已知全集 U =
R , 集合 A= {x | 1(≤ x≤) 3}, B= {x | 2(1) 求 A∩B,A∪ UB ;
(2) 若 B ∩C =C , 求实数 a 的取值范围.
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例 26 对于任意两个正整数 m,n , 定义某种运算“※”如下: 当 m,n 都为正偶数或都为正奇数
时, m ※n=m+n ; 当 m,n中一个为正偶数,另一个为正奇数时, m※n=mn . 在此定义下,集
合 M = {(m,n) |m ※n=8} 中的元素个数是 .
例 27 (多选) 用 C (A) 表示非空集合 A 中的元素个数, 定义 A B= |C (A) C (B)| . 已知集合
A= {x | x2 1=0} , B= {x | (ax2 +3x) (x2 + ax+2)=0} . 若 A B=1 , 则实数 a 的取值可
能是 ( ).
√ √
A. 2 2 B. 0 C. 1 D. 2 2
例 28 设 A 是非空数集, 若对任意 x, y ∈A , 都有 x+ y ∈A, xy ∈A , 则称 A 具有性质 P . 给出
以下命题:
若 A 具有性质 P , 则 A 可以是有限集;
若 A1, A2 具有性质 P , 且 A1 ∩A2 = , 则 A1∩ A2 具有性质 P ;
若 A1, A2 具有性质 P , 则 A1 ∪A2 具有性质 P ; 若 A 具有性质 P , 且 A =R , 则 RA 不
具有性质 P .
其中所有真命题的序号是 .
例 29 定义两种新运算“ ”与“ ”,满足如下运算法则: 对任意的 a, b∈R ,有 a b= ab, a b=
{ ∣a b∣ 2 . 已知全集 U = {x | x=(a b)+ (a b), 2x ∣ b) + 1x=2 (a b)+ a b, 1b
b∈Z}, B= {x | x2 3x+m=0} .
(1) 求全集 U 和集合 A . ( )
(2) 集合 A,B 是否能满足 UA ∩B= 若能, 求出实数 m 的取值范围; 若不能, 请说明理
由.
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例 30 给定整数 i, 若非空集合满足以下 3 个条件: 1 A N , 2 A = {1}, 3对任意的 x, y ∈N , 若
x+ y ∈A, 则 xy i∈A, 则称集合 A 为” 减 i 集”.
(1)P = {1, 2} 是否为” 减 0 集” 是否为” 减 1 集” 简要说明理由.
(2) 是否存在” 减 1 集” 若存在, 求出所有的” 减 1 集”; 若不存在, 说明理由.
1.1.1.5 节 综
1. ∣∣
合训练
集合 M = y ∣ y= 8 , x, y ∈ N 的元素个数是 ( ).
x+3
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
( )
2. 设 U =R , 已知两个非空集合 P,Q 满足 UP ∪Q=R , 则 ( ).
A. P ∩Q= B. P Q C. Q P D. P ∪Q=R
3. 已知集合 A= {x | x2 3x+2=0, x∈R} , B= {x | 0的集合 C 的个数为 ( ).
A. 16 B. 15 C. 14 D. 4
4. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载了这样一个“物不知数”的问题: “今有物不知数, 三
三数之剩二, 五五数之剩三, 七七数之剩二, 问物几何 ”, 此问题及其解题原理在世界上颇负
盛名, 中外数学家们称之为“孙子定理”“中国剩余定理”“大衍求一术”等. 对以上“物不知
数”的问题, 现有如下表示: 已知 A= {x | x=3n+2, n∈N } , B= {x | x=5n+3, n∈N } , C =
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{x | x=7n+2, n∈N } , 若 x∈A∩B ∩C , 则整数 x 的最小值为 ( ).
A. 128 B. 127 C. 37 D. 23
{ √ } ( )
5. 已知集合 A= x | y= 16 x2 , B= {x | x≥ a} ,若 RA ∩B=B ,则实数 a的取值范围是
( ).
A. {a | a≤ 4} B. {a | a≥ 4} C. {a | a> 4} D. {a | a≥ 4}
6. 若集合 I = {1, 2, 3, 4, 5}的两个非空子集 M 和 N 满足“M 中的最大数小于 N 中的最小数”,
则称集合对 (M,N) 为集合 I 中的一组“伙伴子集对”, 那么集合 I 中的“伙伴子集对”共有
( ).
A. 49 对 B. 64 对 C. 72 对 D. 98 对
7. (多选) 已知 ( RA ) ∩B= , 则下列选项中不成立的有 ( ).
A. A∩B=A B. A∩B=B C. A∪B=B D. A∪B=R
8. (多选) 对于集合 M = {a | a= x2 y2 , x∈Z, y ∈ Z} , 给出如下结论, 其中正确的有 ( ).
A. 如果 B= {b | b=2n+1, n∈N} , 那么 B M
B. 如果 C = {c | c=2n, n∈N} , 那么 C M
C. 如果 a1 ∈M,a2 ∈M , 那么 a1a2 ∈M
D. 如果 a1 ∈M,a2 ∈M , 那么 a1 + a2 ∈M
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9. 若非空集合 A= {x | 3≤ x< 1}, B= {x | x≤ a} , 且 A∪B= {x | x< 1} , 则实数 a 的取值范
围为 .
10. 某网店统计了连续三天售出商品的种类情况: 第一天售出 19 种商品, 第二天售出 13 种商品,
第三天售出 18 种商品; 前两天都售出的商品有 3 种, 后两天都售出的商品有 4 种. 则该网店
第一天售出但第二天未售出的商品有 种, 这三天售出的商品最少有 种.
11. 已知集合 A= {1, 2,m} , 其中 m 为实数, B= {a2 | a∈A} , C =A∪B , 若 C 中的所有元素之
和为 6, 则 C 中的所有元素之积为 .
2 3 4
12. 从 1 B= {x | 1 6}, 3 B= {x | x≥ 7}这三个条件中任选一个,补
充在下面问题中, 并解答.
问题: 已知集合 A= {x | a注: 若选择多个条件分别解答, 则按第一个解答计分.
13. 已知集合 A= {x | x2 4x+3=0} , B= {x | x2 2 (a+1) x+ a2 +2=0} .
(1) 若 A∩B=A , 求实数 a 的值;
(2) 若 A∪B=A , 求实数 a 的取值范围.
14. 已知集合 A= {x | 2≤ x≤ 8}, B= {x | 2≤ x≤ 6 m}, C = {x |m 1≤ x≤ 1+2m}, U =R.
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(1) 若 UA ∩B= , 求实数 m 的取值范围;
(2) 若 B ∩C = , 求实数 m 的取值范围.
15. 已知集合 U = {x | 1≤ x≤ 2 , x∈P}, A= {x | 0≤ x< 2, x∈P}, B= {x | a 1(1) 若 P =R , 求 UA 中最大元素 m 与 UB 中最小(元素 )n 的差 m n ;
(2) 若 P =Z , 求 AB 和 UA 中所有元素之和及 U AB .
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第 16 页 共 9 页第 1 章 集合与常用逻辑
第 1 节 集合
1.1.1 集合的概念与运算
【知识清单自查】
集合与元素
(1)集合中元素的三个特性： 、 、 .
(2)元素与集合的关系是 或 ，用符号 和 表示．
(3)集合的表示方法： 、 、 .
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N (或 N+) Z Q R
1.1.1.1 集合的概念
一、集合的概念与元素的特征
例 1 若集合 M = {a, b, c} 中的元素是 ABC 的三边长, 则 ABC 一定不是 ( ).
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形
【考点】集合中元素具有互异性
【解答】 D
√ √ √
练 1.1 由实数 x, x,|x|, x2, 2( x2) , 3 x3 所组成的集合, 最多可含有的元素个数为 ( ).
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【考点】集合的互异性, 指数运算及简单分类讨论
【解答】 B
二、元素与集合的关系
例 2 已知集合 A= {a+1, a2 +4a 9, 2021}，若 4∈A，则实数 a 的值为 ( ).
A. 5 B. 1 C. 5 或 1 D. 5 或 1
【考点】元素与集合的关系及元素的互异性
【解答】 B
√
例 3 已知集合 A= {x|x=m+n 3,且m2 3n2 =1,m, n∈Z}.
√ √
(1) 判断 ( 2+ 6)2 是否为 A 中的元素；
(2) 设 c∈A，求证： c√ ∈A；
2+ 3
(3) 证明：若 x∈A，则 x+ 1 是偶数.
x
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【考点】元素与集合的关系及代数变形
√ √ √ √
【解答】 (1) 因为 ( 2+ 6)2 =8+4 3, 此时 m=8, n=4, 不满足 m2 3n2 =1, 所以 ( 2+
√
6)2 不是集合 A 中元素.
√ √ √
(2) 因为 c∈A, 所以可设 c=m+n 3,m, n∈Z, 所以 c√ =(m+n 3)(2 3)= (2m
√ 2+ 3
3n)+ (2n m) 3，易验证 (2m 3n)2 3(2n m)2 =1，所以 c√ ∈A.
2+ 3
(3) 因为 x∈A, 所以 x+ 1 =2m，即 x+ 1 是偶数.
x x
y |xyz|
练 3.1 (多选) 已知 x, y, z 为非零实数，代数式 x| | +
z
| | + | | + 的值所组成的集合是 M，x y z xyz
则下列判断正确的是 ( ).
A. 0∈/M B. 2∈M C. 4∈M D. 4∈M
【考点】元素与集合关系的判断及集合的互异性
【解答】 CD
练 3.2 已知集合 A= {x|x2 +2ax a< 0}, 且 1∈A, 实数 a 的取值范围为 .
【考点】元{素
【解答】 a∣∣∣与集合}关系的判断a 1
3
三、集合的表示方{法 ∣∣ }
例 4 集合 A= 6 ∈Z∣ x∈N , 用列举法可以表示为 .
3 x
【考点】描述法表示集合，一定要注意元素的限制
【解答】 ∵ x∈N ,∴ 3 x∈Z . ∵ 6 ∈Z,∴ 3 x 是 6 的约数, ∴ 3 x= ±1,±2,±3 或 ±6 .3 x
3 x=1 , 得 x=2∈N ;
3 x= 1 , 得 x=4∈N ;
3 x=2 , 得 x=1∈N ;
3 x= 2 , 得 x=5∈N ;
3 x=3 , 得 x=0 , 与已知 x∈N 矛盾, 故 3 x =3
3 x= 3 , 得 x=6∈N ;
3 x=6 , 得 x= 3 , 与已知 x∈N 矛盾, 故 3 x =6 ;
3 x= 6 , 得 x=9∈N .
故 3 x 的值只能是 1, 1, 2, 2, 3, 6 ,
对应 6 的值依次为 6, 6, 3, 3, 2, 1 , 即 A= { 6, 3, 2, 1, 3, 6} .3 x
练 4.1 集合 A= {x∈N | 6 ∈Z} , 用列举法可以表示为 .3 x
【考点】元素与集合关系的判断
【解答】 {1, 2, 4, 5, 6, 9}
例 5 给出下列说法, 其中正确的是 ( ).
A. 集合 {x∈N | x3 = x} 用列举法表示为 {0, 1}
B. 实数集可{以表示为 {x | x 为所有实数 } 或 {R}
x+ y=0, { }
C. 方程组 的解组成的集合为 x= 1 , y= 1
x 2 2y= 1
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D. 方程 (x 2)2 +(y+3)2 =0 的所有解组成的集合为 {(2, 3)}
【考点】集合的表示方法
练 5.1 已知集合 P = {x|x=2k, k ∈Z},Q= {x|x=2k+1, k ∈Z},M = {x=4k+1, k ∈Z}, 若 a∈
P, b∈Q 则 ( ).
A. a+ b∈P B. a+ b∈Q
C. a+ b∈M D. a+ b不属于P Q,M中任意一个
【考点】元素与集合关系的判断
【解答】当 a∈P, b∈Q时，设 a=2k1, b=2k2 +1，则 a+ b=2(k1 + k2)+ 1，所以 a+ b∈Q，故
选 B.
1.1.1.2 集合间的关系
【知识清单自查】
1. 集合间的基本关系
关系 自然语言 符号语言 Venn 图
子集 集合 A 中所有元素都在集合 B 中 (即若 x∈A，则 x∈B)
真子集 集合 A 是集合 B 的子集，且集合 B 中至少有一个元素不在集合 A 中
集合相等 集合 A，B 中的元素相同或集合 A，B 互为子集
2. 集合子集的个数对于有限集合 A，其元素个数为 n，则集合 A 的子集个数为 2n，真子集个
数为 2n 1，非空真子集个数为 2n 2．
一、简单集合关系的判断
例 6 下列关系中表示正确的是 ( ).
A. { } {a, b} B. {(a, b)} {a, b} C. {b, a} {a, b} D. { } 0
【考点】集合间关系的判断
【解答】 CD
练 6.1 下面五2个式子中: a {a}; {a}; {a}∈ {a, b} ; {a} {a}2;Sa∈{b, c, a} ,正确的有 .
【3考点】元素与集合关系的判断 3
【4解答】 1中, a 是集合 {a} 中的一个元素, 所以 a∈{4a} , 所以 1错误;
25中, 空集是任一集合的子集, 所以 2正5 确;
36中, {a} 是 {a, b} 的子集, 所以 {6a} {a , b} , 所以2 33错4 误5 6;
4中, 任何集合是其本身的子集, 所以 4 正确;
5中, a 是 {b, c{, a}∣∣∣的元素, 所以 5正}确. 故{答案∣ 为 1 2 3 4 5 . }例 7 设集合 A= x x= k+ 1 , k ∈Z ∣, B= y ∣ y= k 1 , k ∈Z ,则它们之间最准确的关系是
4 2 4
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( ).
A. A=B B. A B C. A B D. A B
【考点】集合间的关系的判断
【解答】由 A 可得 x= 4k+1 , 由 B 可得 x= 2k 1 , 归纳可得 A B，故选 C.
4 4
练 7.1 若{ 集∣∣ 合 { ∣ } }{ ∣A= x x=m+ 1 ,m∈Z , B= x ∣ x= n 1 ,6 2 3
n∈Z}, C = x ∣ x= p + 1 , p∈Z , 则 A,B,C 之间的关系是 ( ).
2 6
A. A=B=C B. A B=C C. A B C D. B C A
【考点】集合间的关系的判断
【解答】 B
例 8 (多选) 满足 {0, 2, 4} A {0, 1, 2, 3, 4} 的集合 A 可以为 ( ).
A. {0, 2, 4} B. {0, 1, 2, 4} C. {0, 1, 3, 4} D. {0, 1, 2, 3, 4}
【考点】子集个数的判断
【解答】由题意可知, 集合 A 包含集合 {0, 2, 4}, 同时又是集合 {0, 1, 2, 3, 4} 的真子集, 所以满
足题意的集合 A 为 {0, 2, 4} 或 {0, 1, 2, 4|} 或 {0, 2, 3, 4}. 故选 AC.
练 8.1
已知集合 A= {x | x2 7x+10=0, x∈R} , B= {x | 1的集合 C 的个数为 .
【考点】子集个数的判断
【解答】由题得 A= {2, 5},B= {2, 3, 4, 5}. 因为 A C B, 所以根据子集和真子集的定义, 集
合 C 必须含有元素 2,5, 所以 C = {2, 5} 或 {2, 5, 3} 或 {2, 5, 4}.
答案为 3.
二、根据集合间关系求参
例 9 (多选) 已知集合 A= {x|1的是 ( ).
A. 不存在实数 a 使得 A=B B. 当 a=4 时,A B
C. 当 0 a< 4 时,B A D. 存在实数 a 使得 B A
2a 3=1,【解答】若 A=B, 则 此方程组无解, 所以不存在实数 a 使得 A=B, 故 A 正a 2=2,
确.
当 a=4 时,B= , 不满足 A B, 故 B 错误.
若 B A, 则当 B = 时, 有 2a 3 a 2, 即 a 1; a< 1,
当 B= 时, 有 2a 3 1, 此不等式组无解, 所以若 B A, 则 a 1, 故 C 错误,D 正确.a 2 2
练 9.1 已知集合 A= {x | 1第 4 页 共 17 页
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( ).
A. {a | a≥ 2021} B. {a | a> 2021} C. {a | a≥ 1} D. {a | a> 1}
【解答】因为 A= {x | 1例 10 { }
若含有三个{实数的集}合既可表示成 a, b , 1 ,又可表示成 {a2, a+ b, 0} ,则 a2022 b2023= .a
【解答】由 a, b , 1 = {a2, a+ b, 0} 以及集合元素的性质可知 a= 0 且 a= 1 , 则 a= a2,∴ a=
a
a+ b,∴ b=0 , 则 a2 =1,∴ a= 1,∴ a2022 b2023 =( 1)2022 =1 .
练 10.1 已知集合 A= {a, 0, 1},B= {c+ b, 1 , 1}, 且 A=B，则 a= ,b= ,c=
a+ b
.
【解答】 a=1, b= 2, c=2
例 11 (多选)已知 A= {x | x2 5x+4=0} , B= {x | ax 1=0} ,若 B A ,则实数 a的值可以是
( ).
A. 0 B. 1 C. 4 D. 1
4
【解答】因为 A= {1, 4}, B A , 所以 B= 或 {1} 或 {4} 或 {1, 4} .
若 B= , 则 a=0 ; 若 B= {1} , 则 a=1 ;
若 B= {4} , 则 a= 1 ; 若 B= {1, 4} , 无解. 故选 ABD.
4
练 11.1 已知集合 A= {x | x2 +4x=0} , B= {x | x2 +2(a+ 1) x+ a2 1=0} .
(1) 若 A 是 B 的子集, 求实数 a 的值;
(2) 若 B 是 A 的子集, 求实数 a 的取值范围.
【解答】 (1) 由题意得 A= { 4, 0} .
若 A 是 B 的子集, 则 B=A= { 4, 0} , =4(a+1)2 4 (a2 1)> 0,
所以 4+0= 2 (a+1) , 4× 0= a2 1,
解得 a=1 .
(2) 若 B 为空集, 则 =4(a+1)2 4 (a2 1)= 8a+8< 0 , 解得 a< 1 ;
若 B 为单元素集合, 则 =4(a+1)2 4 (a2 1)= 8a+8=0 , 解得 a= 1 ,
将 a= 1 代入方程 x2 +2 (a+1) x+ a2 1=
0, 得 x2 =0 , 即 x=0, B= {0} , 符合要求;
若 B 为双元素集合, 则 B=A= { 4 ,
0} , 则由 (1) 可知 a=1 .
综上所述, 实数 a 的取值范围为 {a | a≤ 1 或 a=1} .
例 12 已知集合 A= {x1 3 x< 4},B= {x|2m 1 x m+1}，若 B A, 求实数 m 的取值
范围.
【解答】 (1) 当 B= 时, 有 m+1< 2m 1, 即 m> 2.
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让教学更有 效 精品试卷| 数学 m+1 2m 1,
(2) 当 B = 时, 12m 1 3 ，所以 1 m 2.m+1< 4
综上，m 1
三、能力提升
例 13 已知集合 S= {0, 1, 2, 3, 4, 5},A是 S 的一个子集,当 x∈A时,若 x 1∈/ A,且 x+1∈/ A,则
称 x 为 A 的一个” 孤立元素”, 那么无” 孤立元素” 且有 4 个元素的集合 S 的子集共有
个.
【解答】根据题意知无”孤立元素”且有 4个元素的集合 S的子集有 {0, 1, 2, 3},{0, 1, 3, 4},{0, 1, 4, 5},
{1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4, 5} 共 6 个.
例 14 定义:若对任意m,n∈A(m,n可以相等),都有 1+mn =0,则集合B= {x|x= m+n ,m, n∈
1+mn
A} 称为集合 A 的生成集.
(1) 求集合 A= {3, 4} 的生成集 B；
(2) 若集合 A= {a, 2} 的生成集为 B, 且 B 的子集个数为 4, 求实数 a 的值；
(3) 若集合 A= {x| 1【解答】
练 14.1 设集合 Sn =1, 2, 3, ....n,X Sn, 把 X 的所有元素的乘积称为 X 的容量 (若 X 中只有一
个元素, 则该元素的数值即为它的容量, 规定空集的容量为 0). 若 X 的容量是奇 (偶) 数, 则称
X 为 Sn 的奇 (偶) 子集. 若 n=3, 则 Sn 的所有偶子集的容量之和为 .
【解答】
1.1.1.3 集合的运算
【知识清单自查】
1. 集合的基本运算
运算 自然语言 符号语言 Venn 图
交集 由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合
并集 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合
补集 由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合
2
2.3常用结论
1并集的性质：A∪ =A；A∪A=A；A∪B=B ∪A；A∪B=A B A．
2交集的性质：A∩ = ；A∩A=A；A∩B=B ∩A；A∩B=A A B．
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一、基础运算
例 15 设集合 A= {1, 2, 3},B= {x| 1A. {1} B. {1, 2} C. {0, 1, 2, 3} D. { 1, 0, 1, 2, 3}
【解答】因为 B= {x| 1例 16 已知集合 A= {x| 6< 2 x< 2},B= {y|y= 3x, x∈A} 则 A∩B= ( ).
4
A. {x|3【解答】由 6< 2 x< 2 可得 2所以 44
所以 A= {x | 4所以 A∩B= {x | 4例 17 如图, U 是全集, M,P, S 是 U 的子集, 则阴影部分表示的集合是
( ).
A. (M ∩P )∩S( ) B. (M ∩P )∪S( )
C. (M ∩P )∩ US D. (M ∩P )∪ US
【解答】由 6< 2 x< 2 可得 2所以 44
所以 A= {x | 4所以 A∩B= {x | 4练 17.1 已知集合 A= {x | 2A. A∪B B. A∩B C. R (A∪B) D. R (A∩B)
【解答】因为 A= {x | 2x< 1} , 所以 R (A∪B)= {x | x> 2} , R (A∩B)= {x | x≤ 2 或 x≥ 1} . 故选 D.
练 17.2 已知集合 S= {s | s= 2n+1, n∈Z}, T = {t | t=4n+1, n∈Z} , 则 S∩ T = ( ).
A. B.
C. D. Z
A. B. S C. T D. Z
【解答】由题意得, 集合 S= {· · · , 5 , 3, 1, 1, 3, 5, · · · }, T = {· · · , 3, 1, 5, 9 , · · · } , 所以
T S , 则 S ∩T =T . 故选 C.
二、含参问题
例 18 集合 A= {x|m 1 x 5},若 A∪B=R,则实数 m的
取值范围为 . m 1 2
【解答】因为 A= {xlm x练 18.1 已知集合 A= {x | 1a} . 若 A∩B=A , 则实数 a 的取值范围是
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( ).
A. {a | a≥ 2} B. {a | a≤ 1} C. {a | a≥ 1} D. {a | a≤ 2}
【解答】 A∩B=A , 所以 A B . 因为 A= {x |1a} , 所以结合数轴分析
可得 a≤ 1 , 故选 B. ( )
练 18.2 已知集合 M = {x | x+m≥ 0}, N = {x | 2, 则实数 m 的取值范围是 ( ).
A. {m |m< 2} B. {m |m≤ 2}
C. {m |m≥ 2} D. {m |m≥ 2 或 m≤ 4}
【解答(】因为) M = {x | x+m≥ 0}, U =R , 所以 UM = {x | x< m} , 又 N = {x | 2, 且 UM ∩N = , 所以 m≤ 2 , 得 m≥ 2 . 故选 C.
例 19 设集合 A= {x∈RIlx al < 1},B= {X ∈R|Ix bl > 2},若 A∩B = ,则实数 a, b必满足
( ).
A. |a b|< 1 B. |a b|> 1 C. |a b| 1 D. |a b| 1
【解答】由 |x a|< 1,可得 1由 Ix bl > 2, 可得 x b> 2 x b< 2, 即 x> b+2 或 x< b 2, 所以 B= {xlx< b 2 x>
b+2}. 因为 A∩B = , 所以结合数轴 (图略) 可知 a 1b+2, 即 a b< 1
或 a b> 1, 即 |a b|> 1.
故选 B.
练 19.1 已知集合 A= {xlx< 2或x> 6},B= {x|m+1 x 2m}.
(1) 若 m=3, 求 A∪B, ( UA)∩ ( UB);
(2) 若 A∪B=B, 求实数 m 的取值范围.
【解答】 (1) 若 m=3, 则 B= {×|14 x 6}, UB= {xlx2< 4或x> 6}.
因为A= {xlx< 2或x> 6},所以 UA= {x| 2 x 6}. 所以A∪B= {xlx< 2或x> 4},( UA)∩
( UB)= {x| 2 x< 4}. (2) 若 A∩B=B, 则 B A. 1当 B= 时,m+1> 2m, 即 m< 1,
此时满足2B A; 当 B3 = 时, 即 m 1 4时, 由 B A, 可得 2m< 2 或 m+1> 6, 所以 m> 5.
综上所述, 实数 m 的取值范围为 {m|m< 1或m> 5}.
练 19.2 在 1 A∩B=A, 2 A∩ ( UB)=A, 3 A∩B=0 这三个条件中任选一个, 补充到下面的横线
上, 求解下列问题:
已知集合 A= {x|a 1(1) 当 a=2 时, 求 A∪B;
(2) 若 , 求实数 a 的取值范围.
【解答】
1.1.1.4 易错题与综合题
例 20 已知集合 A= {m+2, 2m2 +m}, 若 3∈A, 则实数 m 的值为 .
【解答】由题可得 m+2=3 或 2m2 +m=3, 则 m=1 或 m= 3 . 当 m=1 时,m+2=2m2 +
2
m=3, 不满足集合中元素的互异性, 故舍去；
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当 m= 3 时,A= {1 , 3} 满足题意. 综上,m 的值为 3 .
2 2 2
例 21 已知集合 M = {(x, y)|(x+3)2 +(y 1)2 =0},N = { 3, 1}, 则 M 与 N 的关系是 ( ).
A. M =N B. M N C. N M D. M ∩N =
【解答】因为 M = {( 3, 1)} 是点集, 而 N = { 3, 1} 是数集, 所以两个集合没有公共元素, 故
选 D.
例 22 已知集合 M = {x| x 0},N = y|y=3x2 2 +1, x∈R, 则 M ∩N= ( ).(x 1)
A. B. {x|x 1} C. {x|x> 1} D. {x|x 0}
【解答】 C.
例 23 已知集合 A= {xlx a=0} ,B= {xlax=4}, 若 A∩B=B, 则实数 a 的值为 .
【解答】 C.
例 24 已知集合 A= {x | 1≤ x≤ 2}, B= {x | 2m 2} .
(1) 若 A∩B=B , 求实数 m 的取值范围;
(2) 若 B ∩C 中只有一个整数, 求实数 m 的取值范围.
【解答】 (1) 因为 A∩B=B ,{所以 B A .
2m< 1,
当 B = 时, 由 B A 得 解得 1 ≤m< 1 ; 当 B= 时, 2m≥ 1 , 解得
2 2
2m≥ 1,
m≥ 1 , 满足 B A .
2 }
综上, 实数 m 的取值范围是 {m |m≥ 1 .
2
(2) 因为 B ∩C 中只有{ 一∣∣个整数, 所以 B = , 且 3≤ 2m< 2 , 解得 3 ≤m< 1 , 所以实2数 m 的取值范围是 m 3 ≤ m< 1} .
2
例 25 已知全集 U =
R , 集合 A= {x | 1(≤ x≤) 3}, B= {x | 2(1) 求 A∩B,A∪ UB ;
(2) 若 B ∩C =C , 求实数 a 的取值范围. ( )
【解答】 (1)A∩B= {x | 2.
(2) 由 B ∩C =C 可得 C{ B .
a> 2,
由题可得 C = , 所以 解得 2a+1< 4,
例 26 对于任意两个正整数 m,n , 定义某种运算“※”如下: 当 m,n 都为正偶数或都为正奇数
时, m ※n=m+n ; 当 m,n中一个为正偶数,另一个为正奇数时, m※n=mn . 在此定义下,集
合 M = {(m,n) |m ※n=8} 中的元素个数是 .
【解答】 当 m,n 都为正偶数时, 符合条件的 (m,n) 有 (2, 6) , (4, 4) , (6, 2) , 共 3 个;
当 m,n 都为正奇数时, 符合条件的 (m , n) 有 (1, 7) , (3, 5) , (5, 3) , (7, 1) , 共 4 个; 当 m,n
中一个为正偶数, 一个为正奇数时, 符合条件的 (m,n) 有 (1, 8) , (8, 1) , 共 2 个. 所以集合 M
的元素个数是 3+4+2= 9.
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例 27 (多选) 用 C (A) 表示非空集合 A 中的元素个数, 定义 A B= |C (A) C (B)| . 已知集合
A= {x | x2 1=0} , B= {x | (ax2 +3x) (x2 + ax+2)=0} . 若 A B=1 , 则实数 a 的取值可
能是 ( ).
√ √
A. 2 2 B. 0 C. 1 D. 2 2
【解答】根据题意, 已知 A= {1 , 1} , 则 C (A)= 2 .
又由 A B=1 得 C (B)= 1 或 3, 即方程 (ax2 +3x) (x2 + ax+2)=0 有 1 个根或 3 个根.
由 (ax2 +3x) (x2 + ax+2)=0 , 可得 ax2 +3x= 微偏谷变量 2=0 .
左 ax +3x =0 , 则 x=0 或 ax+3=0 ,
当 a=0 时, B= {0}, C (B)= 1 , 符合题意.
当 a =0 时, ax2 +3x=0 对应的根为 0
和 3 ,
a
x2 + ax+2=0 有两个相等的实根且不为 0
√
和 3 , 则 = a2 8=0 , 得 a=±2 2 ,
a √ √ √
当 a=2 2 时, B= 0 , 2,
3 2
, 则 C (B)= 3 , 符合题意;√ √ √ 4
当 a= 2 2 时, B= 0, 2, 3 2 , 则 C (B)= 3 , 符合题意.
4
x2 + ax+2=0 有两个不相等的实根, 且其中一根为 3 , 则 a=±3 ,
a
当 a=3 时, B= {0, 1, 2} , 则 C (B)= 3 , 符合题意;
当 a= 3 时, B= {0, 1, 2} , 则 C (B)= 3 , 符合题意.
√
综上, 实数 a 可取的值为 0,±3,±2 2 , 故选 ABD.
例 28 设 A 是非空数集, 若对任意 x, y ∈A , 都有 x+ y ∈A, xy ∈A , 则称 A 具有性质 P . 给出
以下命题:
若 A 具有性质 P , 则 A 可以是有限集;
若 A1, A2 具有性质 P , 且 A1 ∩A2 = , 则 A1∩ A2 具有性质 P ;
若 A1, A2 具有性质 P , 则 A1 ∪A2 具有性质 P ; 若 A 具有性质 P , 且 A =R , 则 RA 不
具有性质 P . 2
其中所3有真命题的序号是 .
【解答】对于 1 , 取集合 A= {0} , 则 A 具有性质 P , 故 A 可以是有限集, 故 为真命题.
对于 2 ,取 x, y ∈ (A1 ∩A2) ,则 x∈A1, x∈ A2, y ∈A1, y ∈A2 ,又 A1, A2 具有性质 P , ∴ x+ y ∈
A1, xy4∈A1, x+ y ∈A2, xy ∈A2,∴ x+ y ∈ (A1 ∩A2) , xy ∈ (A1 ∩A2) ,∴A1 ∩A2 具有性质 P , 故
为真命题.
对于 3 5,取 A1 = {x | x=2k, k ∈Z}, A2 = {x | x=3k, k ∈Z} ,则 2∈ (A1 ∪A2) , 3∈ (A1 ∪A2) ,但
2+3=5∈/ (A1 ∪A2) , 故 为假命题.
对于 4 , 若 A 具有性质 P , 且 A =R , 假设 RA 也具有性质 P , 设 0∈A , 在 RA 中任取
一个 x, x= 0 , 若 x∈ RA , 由于 RA 具有性质 P , 则 x+( x)= 0∈ RA , 与 0∈A 矛盾,
故 x∈(A . )由于 A 具有性质 P, RA 也具有性质 P,∴ ( x)2 ∈A, x2 ∈ RA , 而 ( x)2 = x2 ,
与 A∩ RA = 矛盾, 故当 0∈A 且 A 具有性质 P 时, RA 不具有性质 P . 同理当 0∈ RA
时, 也可以推出矛盾, 故 为真命题.
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故答案为 1 2 4 .
例 29 定义两种新运算“ ”与“ ”,满足如下运算法则: 对任意的 a, b∈R ,有 a b= ab, a b=
{ ∣a b∣ 2 . 已知全集 U = {x | x=(a b)+ (a b), 2b
b∈Z}, B= {x | x2 3x+m=0} .
(1) 求全集 U 和集合 A . ( )
(2) 集合 A,B 是否能满足 UA ∩B= 若能, 求出实数 m 的取值范围; 若不能, 请说明理
由.
【解答】 (1) 全集 U 中 x=(a b)+ (a b)= ab+ a b2 , 当 a= 1 时, b=0 或 b= -1, 此时(a+b) +1
x= 1 或 x=1 ;
2
当 a=0 时{, b=0 ,}此时 x=0 .
所以 U = 1 , 0, 1 .
2
集合 A 中 x=2 (a b)+ a b =2ab+ [ a b{ } 2 ] , 当 a=0 时, b=1 , 此时b b (a+ b) + 1
x= 1 , 所以 A= 1 .
2 2 ( )
(2) 因为 UA= {0, 1} , 所以当 UA ∩ B= 时, B= 或 B=A .
当 B= 时, 方程无实根, =( 3)2 4m< 0, 解得 m> 9 ;
4
当 B=A 时 , 方(程有)两个相(等的)实根, 为2
1 1 3× 1 +m=0, , 所以 2 22 ( 3)2 4m=0,
此时 m 的值不存在. { ∣ } 2 3 4
综上, ∣实数 m 的取值范围是 m ∣m> 9 .
4
例 30 给定整数 i, 若非空集合满足以下 3 个条件: 1 A N , 2 A = {1}, 3对任意的 x, y ∈N , 若
x+ y ∈A, 则 xy i∈A, 则称集合 A 为” 减 i 集”.
(1)P = {1, 2} 是否为” 减 0 集” 是否为” 减 1 集” 简要说明理由.
(2) 是否存在” 减 1 集” 若存在, 求出所有的” 减 1 集”; 若不存在, 说明理由.
【解答】 (1) 因为 P N ,P = {1}2, 1+1=2∈P, 1× 1 0∈P , 所以 P 是” 减 0 集”. 因为 P
N ,P = {1}, , 1+1=2∈P, 1× 1 1∈/ P , 所以 P 不是” 减 1 集”.
(2) 存在” 减 1 集”A. 理由如下. 1若 1∈A, 则 A 中除了 1, 必然还含有其他元素. 假设 2∈A,
则 1+1∈A, 而 1xl 1∈/ A, 与 A 是” 减 1 集” 矛盾, 因此 2∈/ A. 假设 3∈A, 则 1+2∈A, 又
1×2 1∈A,因此 3∈A. 因此有 A= {1, 3}. 假设 4∈A,则 1+3∈A,而 1×3 1∈/ A,与 A是”
减3 1 集” 矛盾, 因此 4∈/ A. 假设 5∈A, 则 1+4∈A, 1× 4 1∈A, 2+3=5, 2x3 1∈A, 因此
5∈A. 因此有 A= {1, 3, 5}. 以此类推, 可得 A= {1, 3, 5, · · · , 2n 1, · · · }, (n∈N ).
2若 1∈/ A, 则设 A 中最小元素为 m, 则 1+ (m 1)∈A, 1× (m 1) 1=m 2∈A, 这与 m
是 A 中最小元素矛盾，故不存在满足题意的 A.
综上, 满足题意的所有” 减 1 集” 为 {1, 3},{1, 3, 5},{1, 3, 5, 7},· · ·
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1.1.1.5 节 综∣∣合训练1. 集合 M = y ∣ y= 8 , x, y ∈ N 的元素个数是 ( ).
x+3
A. 2 { ∣∣B. 4 } C. 6 D. 8
【解答】因为 M = y ∣ y= 8 , x, y ∈N ,x+3
所以当 x=0 时, y= 8 = 8 ∈/ N ; 当 x=1
0+3 3
时, y= 8 =2∈N ; 当 x=2 时, y= 8 =
1+3 2+3
8 ∈/ N ; 当 x=3 时, y= 8 = 4 ∈/ N ; 当 x=4
5 3+3 3
时, y= 8 = 8 ∈/ N ; 当 x=5 时, y= 8 =
4+3 7 5+3
1∈N ; 当 x≥ 6 时, y= 8 {< ∣∣∣1 , 且 y =0 , 所x+3以 y ∈/ N . 综上所述, M = y y= 8 , x, y ∈x+3
N= {2, 1} , 元素个数是 2 . 故选 A. ( )
2. 设 U =R , 已知两个非空集合 P,Q 满足 UP ∪Q=R , 则 ( ).
A. P ∩Q=( ) B. P Q( ) C. Q P D. P ∪Q=R
【解答】由 UP ∪Q=R 可知 UP ( UQ ), 所以 P Q . 故选 B.
3. 已知集合 A= {x | x2 3x+2=0, x∈R} , B= {x | 0的集合 C 的个数为 ( ).
A. 16 B. 15 C. 14 D. 4
【解答】A= {x | x2 3x+2=0, x∈R}= {1, 2}, B= {x | 0为 A C B , 所以 C 中一定含有 1,2 两个元素, 且元素个数为 2 个以上, 因此只需要求出集
合 {3, 4, 5, 6} 的子集再减去 即可, 即集合 C 的个数为 24 1=15 . 故选 B.
4. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载了这样一个“物不知数”的问题: “今有物不知数, 三
三数之剩二, 五五数之剩三, 七七数之剩二, 问物几何 ”, 此问题及其解题原理在世界上颇负
盛名, 中外数学家们称之为“孙子定理”“中国剩余定理”“大衍求一术”等. 对以上“物不知
数”的问题, 现有如下表示: 已知 A= {x | x=3n+2, n∈N } , B= {x | x=5n+3, n∈N } , C =
{x | x=7n+2, n∈N } , 若 x∈A∩B ∩C , 则整数 x 的最小值为 ( ).
A. 128 B. 127 C. 37 D. 23
【解答】 A= {5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, · · · } , B= {8, 13, 18, 23, · · · }, C = {9, 16, 23, · · · } , 故整数 x
的最小值为 23.{故选 D.√ } ( )
5. 已知集合 A= x | y= 16 x2 , B= {x | x≥ a} ,若 RA ∩B=B ,则实数 a的取值范围是
( ).
A. {a | a≤ 4} B. {a | a≥ 4} C. {a | a> 4}( ) D. {a | a≥ 4}
【解答】集合 A= {x | 4≤ x≤ 4}, B= {x | x≥ a} , 若 RA ∩B=B , 则 B RA . 因为
RA= {x | x< 4 , 或 x> 4} , 所以 a> 4 . 故选 C.
6. 若集合 I = {1, 2, 3, 4, 5}的两个非空子集 M 和 N 满足“M 中的最大数小于 N 中的最小数”,
则称集合对 (M,N) 为集合 I 中的一组“伙伴子集对”, 那么集合 I 中的“伙伴子集对”共有
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( ).
A. 49 对 B. 64 对 C. 72 对 D. 98 对
【解答】集合M 中最大数为 1,即M = {1}时, N ∈{{2}, {3}, {4}, {5}, {2, 3}, {2 , 4}, {2, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}, {2, 3, 4}, {2,
3, 5}, {2, 4, 5}, {3, 4, 5}, {2, 3, 4, 5}} , 则共有 1× 15=15 (对); 当集合 M 中最大数为 2, 即 M ∈
{{2}, {1, 2}} 时, N ∈{{3}, {4}, {5}, {3 , 4}, {3, 5}, {4, 5}, {3, 4, 5}} , 则共有 2× 7= 14 (对); 当
集合M 中最大数为 3,即M ∈ {{3}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}时, N ∈{{4} , {5}, {4, 5}} ,则共有
4× 3=12 (对);当集合M 中最大数为 4,即M ∈{{4}, {1, 4}, {2, 4} , {3, 4}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3
, 4}} 时, N = {5} , 则共有 8× 1=8 (对). 所以集合 I 中的“伙伴子集对”共有 15+14+12+
8=49 (对). 故选 A.
7. (多选) 已知 ( RA ) ∩B= , 则下列选项中不成立的有 ( ).
A. A∩B=A B. A∩B=B C. A∪B=B D. A∪B=R )
【解答】对于 A , 由 A∩B=A 得 A B , 不妨设 A= {x | x> 1}, B= {x | x> 0} , 则 ( RA ∩
B= {x | 0, 故 B 成立; 对于 C , 由 A∪ B=B 得 A B , 由选项 A 知 RA ∩B= , 故 C 不成立; 对
于 D, A∪B=R , 不妨设 A= {x | x≤ 1}, B= {x | x> 0} , 显然 ( RA ) ∩ B= {x | x> 1} = ,
故 D 不成立. 故选 ACD.
8. (多选) 对于集合 M = {a | a= x2 y2 , x∈Z, y ∈ Z} , 给出如下结论, 其中正确的有 ( ).
A. 如果 B= {b | b=2n+1, n∈N} , 那么 B M
B. 如果 C = {c | c=2n, n∈N} , 那么 C M
C. 如果 a1 ∈M,a2 ∈M , 那么 a1a2 ∈M
D. 如果 a1 ∈M,a2 ∈M , 那么 a1 + a2 ∈M
【解答】对于 A, b=2n+1, n∈N , 总有 b=2n+1= (n+1)2 n2 , 由于 n+1, n∈N ,
故 B M , 故 A 正确; 对于 B , 可举例说明, 当 n=1 时, c=2n=2 , 而当 x∈Z, y ∈Z 时,
x2 y2 =2 , 所以 C M , 故 B 错误; 对于 C , 若 a1 ∈ M,a2 ∈M , 不妨设 a 21 = x1 y21, a2 =
x2 y22 2 , x1, y1, x 2 22, y2 ∈Z , 则 a1a2 =(x1 y1) (x22 y2
2
2)= (x1x2 + y1y2) (x y + x y )
2
1 2 2 1 , 其中
x1x2 + y1y2, x1y2 + x2y1 ∈Z , 所以 a1a2 ∈M , 故 C 正确; 对于 D , 若 a1 ∈M,a2 ∈M , 不妨设
a1 = x
2 2
1 y1, a2 = x22 y22 ,则 a1 + a2 = x21 y21 + x2 22 y2 =(x1 + x2)
2 (y 21 + y2) 2x1x2+ 2y1y2
, 所以 a1 + a2 ∈/M , 故 D 错误. 故选 AC.
9. 若非空集合 A= {x | 3≤ x< 1}, B= {x | x≤ a} , 且 A∪B= {x | x< 1} , 则实数 a 的取值范
围为 .
【解答】因为 A= {x | 3≤ x< 1}, B= {x | x≤ a}, A∪B= {x | x< 1} , 所以 3≤ a< 1 . 故实
数 a 的取值范围为 {a | 3≤ a< 1} .
10. 某网店统计了连续三天售出商品的种类情况: 第一天售出 19 种商品, 第二天售出 13 种商品,
第三天售出 18 种商品; 前两天都售出的商品有 3 种, 后两天都售出的商品有 4 种. 则该网店
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第一天售出但第二天未售出的商品有 种, 这三天售出的商品最少有 种.
【解答】由题意知第一天售出但第二天未售出的商品有 19 3=16 (种). 前两天售出的商品有
19+13 3=29 (种), 第三天售出但第二天未售出的商品有 18 4= 14 (种). 当这 14 种商品
都在第一天售出但第二天未售出的 16 种商品中, 即第三天没有售出新的商品种类时, 这三天
售出的商品种类最少有 29 种.
11. 已知集合 A= {1, 2,m} , 其中 m 为实数, B= {a2 | a∈A} , C =A∪B , 若 C 中的所有元素之
和为 6, 则 C 中的所有元素之积为 .
【解答】因为 B= {a2 | a∈A} , A= {1, 2 , m} ,所以 1∈B, 4∈B,m2 ∈B ,所以 1∈C , 2∈C, 4∈
C,m∈C,m2 ∈C . 若m2 =1 ,则m= 1或m=1 (舍),此时 C = {1, 2, 4 , 1} ,满足 C 中所有
√ √
元素之和为 6, 故 C 中的所有元素之积为 -8 ; 若 m2 =2 , 则 m= ± 2 , 此时 C = {1, 2, 4, 2}
√
或 {1, 2, 4 , 2} , 这与 C 中的所有元素之和为 6 矛盾; 若 m2 =4 , 则 m= 2 或 m=2 (舍),
此时 C = {1, 2, 4, 2} , 这与 C 中的所有元素之和为 6 矛盾; 若 m2 =m , 则 m=0 或 m=
1 (舍) , 此时 C = {1, 2, 4, 0} , 这与 C 中的所有元素之和为 6 矛盾; 若 m=4 , 则 m2 =16 , 此
时 C = {1, 2, 4, 16} , 这与 C 中的所有元素之和为 6 矛盾; 若 m2 = 1, 2, 4,m , 且 m =4 , 则
C = {1, 2, 4,m,m2} , 则 1+2+4+m+ m2 =6 , 即 1+m+m2 =0 , 此方程无解. 综上所述, C
2 3 4
中的所有元素之积为 8.
12. 从 1 B= {x | 1 6}, 3 B= {x | x≥ 7}这三个条件中任选一个,补
充在下面问题中, 并解答.
问题: 已知集合 A= {2x | a注: 若选择多个条件分别解答, 则按第一个解答计分.
【解答】若选择条件 1 .
当 A= 时, 满足 A∩B= , 此时 10 a≤ a , 解得 a≥ 5 ;
{当 A = 时, 因为 A∩B= , 所以
a< 5,
解得4≤ a< 5.
a≥ 4 或103 a≤ 1,
综上所述, 实数 a 的取值范围为 {a | a≥ 4} .
若选择条件 2 .
当 A= 时, 满足 A∩B= , 此时 10 a≤ a 解得 a≥ 5 ;
当 A = 时, 因为 RB{= {x | x> 6} , 所以 B= {x | x≤ 6}.
a< 5,
因为 A∩B= , 所以 a 无解.
4 a≥ 6,
综上所述, 实数 a 的取值范围为 {a | a≥ 5} .
若选择条件 3 .
当 A= 时, 满足 A∩B= , 此时 {10 a≤ a , 解得 a≥ 5 ;
a< 5,
当 A= 时, 因为 A∩B= , 所以 解得3≤ a< 5.
10 a≤ 7,
综上所述, 实数 a 的取值范围为 {a | a≥ 3} .
13. 已知集合 A= {x | x2 4x+3=0} , B= {x | x2 2 (a+1) x+ a2 +2=0} .
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(1) 若 A∩B=A , 求实数 a 的值;
(2) 若 A∪B=A , 求实数 a 的取值范围.
【解答】 (1) 因为 A∩B=A , 所以 A B . 又 A= {x |
x2 4x+3=0}= {1, 3},{B= {x | x2 2(a+
1+3=2 (a+1) ,
1)x+ a2 +2=0} , 所以 解
1× 3= a2 +2,
得 a=1 . (4 分)
(2) 因为 A∪B=A , 所以 B A , 所以 B 可
能为 , {1}, {3}, {1, 3} .
当 B= 时, =4(a+1)2 4 (a2 +2)< 0 ,
解得 a< 1 ;
2 {
1+1=2 (a+1) ,
当 B= {1} 时, { a 无解;1× 1= a2 +2,
3+3=2 (a+1) ,
当 B= {3} 时, { a 无解;3× 3= a2 +2,
1+3=2 (a+1) ,
当 B= {1, 3} 时, 解得 a=1 .
1× 3= a2 +2,
综上所述, 实数 a 的取值范围是 a< 1 或 a=1 .
2
14. 已知集(合 A)= {x | 2≤ x≤ 8}, B= {x | 2≤ x≤ 6 m}, C = {x |m 1≤ x≤ 1+2m}, U =R.
(1) 若 UA ∩B= , 求实数 m 的取值范围;
(2) 若 B ∩C = , 求实数 m 的取值范围.
【解(答】)(1) 因为 A= {x | 2≤ x≤ 8} , 所以 UA= {x | x< 2 , 或 x> 8} .
又 UA ∩B= , B= {x | 2≤ x≤ 6 m} ,
所以当 B= 时, 6 {m< 2 , 即 m> 4 , 满足
6 m≥ 2,
条件. 当 B= 时, 解得 2≤ m≤ 4 .
6 m≤ 8,
综上所述, 实数 m 的取值范围是 {m |m≥ 2} . (5 分)
(2) 因{为 B ∩C = , 所以 B = , 且 C = ,
6 m≥ 2,
则有 解得 2{≤m≤ 4 .m 1≤ 1+2m,
1+2m≥ 2,
又 B ∩C = , 所以 m 还需满足 { ∣
1
} 解得 ≤m≤
7 .
≤ 2 2m 1 6 m,
综上所述, 实数 m 的取值范围为 m ∣ 1 ≤ m≤ 7 .
2 2
15. 已知集合 U = {x | 1≤ x≤ 2 , x∈P}, A= {x | 0≤ x< 2, x∈P}, B= {x | a 1(1) 若 P =R , 求 UA 中最大元素 m 与 UB 中最小(元素 )n 的差 m n ;
(2) 若 P =Z , 求 AB 和 UA 中所有元素之和及 U AB .
【解答】(1)若 P =R ,则 U = {x | 1≤ x≤ 2}, A= {x | 0≤ x< 2}, B= {x | a第 15 页 共 17 页
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1}, 则 UA= {x | 1≤ x< 0 , 或 x=2}, UB= {x | 1≤ x≤ a , 或 1, n= 1 . 则 m n=2 ( 1)= 3 . (4 分) (2) 若 P =Z , 则 U = {x | 1≤ x≤ 2, x∈ Z}=
{ 1, 0, 1, 2}, A= {x | 0≤ x< 2, x∈ Z}= {0, 1} .
若 0x≤ 1, x∈Z}= {0, 1} , 故 AB= , UA=
{ 1, 2}, AB(和 )UA 中所有元素之和为
2 1=1. U AB = { 1, 0, 1, 2} .
若 1和 UA 中所有元素之和为 2 1=1. U AB = { 1, 1, 2} . ( )
综上所述, 当 0 1第 16 页 共 17 页
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