广东省佛山市顺德一中2025届高三九月月考数学试卷（含答案）

广东省佛山市顺德一中2025届高三九月月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，则( )
A. B. C. D.
2.设是纯虚数，若是实数，则( )
A. B. C. D.
3.某学校在高三年级中抽取名学生，调查他们课后完成作业的时间，并根据调查结果绘制了如下频率分布直方图．根据此直方图得出了下列结论，其中不正确的是( )
A. 所抽取的学生中有人在小时至小时之间完成作业
B. 该校高三年级全体学生中，估计完成作业的时间超过小时的学生概率为
C. 估计该校高三年级学生的平均做作业的时间超过小时
D. 估计该校高三年级有一半的学生做作业的时间在小时至小时之间
4.已知椭圆，则“”是“椭圆的离心率为”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知盒中装有个红球、个白球、个黑球，它们大小形状完全相同．甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( )
A. B. C. D.
6.函数的部分图象大致为( )
A. B. C. D.
7.已知曲线，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，在区间上的最小值恰为，则所有满足条件的的积属于区间( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
10.如图，一个质点在半径为的圆上以点为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈则该质点到轴的距离是关于运动时间的函数，则下列说法正确的是( )
A. 函数的最小正周期是 B. 函数的最小正周期是
C. D.
11.已知函数，若，且，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的单调递减区间为________．
13.已知，，，则与的夹角为________．
14.定义域为的函数满足，当时， 当时，恒成立，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，四边形是圆柱下底面的内接四边形，是圆柱底面的直径，是圆柱的一条母线，，，点在线段上，
求证：平面平面；
若，求直线与平面所成角的正弦值．
16.本小题分
已知在非钝角中，角，，的对边分别为，，，同时满足下列四个条件中的三个：；；；．
指出这三个条件，并说明理由；
求边长和三角形的面积．
17.本小题分
已知各项均不为的数列的前项和为，且，．
求的通项公式
若对于任意，成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数，．
讨论函数的单调性；
设函数在上有两个零点，求证：．
19.本小题分
双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数历史上著名的“悬链线问题”与之相关记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质：
定义域均为，且在上是增函数；
为奇函数，为偶函数；
常数是自然对数的底数，
利用上述性质解决以下问题：
求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；
已知，记函数，当时，总有，求的最小值．
参考答案
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15.解：证明：因为是圆柱的一条母线，所以底面，
又底面，所以，
因为是圆柱底面的直径，所以，
因为，平面，，所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
如图所示，以为原点，所在直线为轴，过且垂直于平面的直线为轴，
所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
因为，，，所以，
又，所以，
因为，，，所以，，
所以，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，则，
取，得，则，
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
16.解：该三角形同时满足，理由如下：
若非钝角同时满足，，或舍，
又，
，
，
这与为非钝角三角形相矛盾，故不能同时选，必选，
若选，，，
，，，
，
与为非钝角三角形相矛盾，
该三角形同时满足．
由余弦定理知，，
化简得，
，
．
17.解：当时，，
两式相减得
因为，故
所以的奇数项及偶数项均为公差为的等差数列
当时，由及，得
，
，
所以，
由知，即恒成立，
设，则
当，即，时，
当，即，时，
所以，
故，
所以
18.解：定义域．
若，，单调递增
若，令，．
当时，，单调递减当时，，单调递增
当时，，无解，不符合题意．
当时，，令，
设，．
若，，单调递减，，不符合题意
若，当时，，单调递减
时，，单调递增．
当时，注意到，
所以是在上有两个零点的必要条件，即，．
所以
因为，，所以．
19.解：由性质知，所以，
由性质知，，，
所以，即，
解得，．
因为函数，均为上的增函数，故函数为上的增函数，合乎题意．
函数，设，
由性质，在上是增函数知，
当时，
所以原函数即，，
，即，设，
，
，由对勾函数与反比例函数的性质可知，单调递减，
所以，即的最小值为，当且仅当时取到最小值．
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