山东省烟台市莱州一中2025届高三数学第一次质量检测数学试卷（含答案）

山东省莱州市莱州一中2025届高三数学第一次质量检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则等于( )
A. B. C. D.
2.已知实数，，，则下列命题中正确的是( )
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
3.函数的部分图象是( )
A. B.
C. D.
4.已知函数存在单调递减区间，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.若，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.在中，点是线段上的两个动点，且，则的最小值为 ．
A. B. C. D.
8.已知，且，对于任意均有，则 ( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量，，则( )
A. 若直线的一个方向向量为，则
B. 若向量是单位向量，则
C. 若向量满足，则
D. 当时，向量在向量上的投影向量的坐标为
10.下列选项中，与的值相等的是( )
A. B.
C. D.
11.定义在上的函数的导函数为，对于任意实数，都有，且满足，则
A. 函数为偶函数
B.
C. 不等式的解集为
D. 若方程有两个根，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设函数，则________．
13.若，则_________
14.已知函数，点是函数图象上不同的两个点，则为坐标原点的取值范围是________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，且．
求与的夹角；
若，求实数的值．
16.本小题分
已知，，且、．
求的值；
求的值．
17.本小题分
已知，函数．
若函数在上单调递增，求的取值范围；
讨论函数的单调区间．
18.本小题分
已知函数．
当时，求的极值；
当时，讨论的零点个数．
19.本小题分
已知函数
当时，求曲线在点处的切线方程；
若在定义域上存在极值，求的取值范围；
若恒成立，求．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为 ，
所以 ．
设 与 的夹角为 ，
则 ，又 ，所以 ，
故 与 的夹角为 ．
因为 ，所以 ，
即 ，即 ，
所以 ，即 ，解得 ．

16.解：原式
且，
，
则，
，
，
，，
，，
，
又，，
．
17.解：函数的导数为
函数在上单调递增，即在上恒成立，
，
即，
，
；
，
时，时，，当时，，或，
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增
时，时，，当时，，或，
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增
时，，
函数在区间上单调递减．

18.解：当时，，，
令，得，
令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得极小值，无极大值．
由题得，．
当时，，当时，，
又为上的增函数，且，所以仅有一个零点；
当时，，
由得，为减函数；
由得，为增函数，
所以．
因为，
所以在内有个零点．
令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，
因为，
所以当趋近于时，的值趋近于，
所以在内有个零点．
所以有两个零点
当时，由，得或，
若，即，
则当时，，单调递增；
当时，，单调递减
当时，，单调递增．
而，，
此时，仅有一个零点．
若，即．
则，为上的增函数，
因为，，
此时仅有一个零点．
若，即，
则当时，，单调递增；
当时，，单调递减
当时，，单调递增．
因为．
则，．
此时仅有个零点．
综上，当时，只有个零点；
当时，有两个零点．
19.解：当时，，，
又因为，，
所以切线方程为，即
，
所以当时恒成立，不符合题意．
当时，令，
则，
所以时，在定义域上单调递增，
，
因为，，所以，
当时，，所以在上存在极值点．
当时，，所以为的极值点．
当时，
因为，，故，
所以在上存在极值点，
综上所述，的取值范围是
由条件得，
设，，
则，令，
则，
当时，在时，，，所以，
在时，，，
所以，
所以为在上的唯一极小值点，，符合题意．
当时，易知，，
所以，即为增函数．
，
又因为，
所以存在使得，
当时，，为减函数，
所以，不符合题意．
当时，同有为增函数，
当时，，
，又因为，
所以存在，使得，
当时，，为增函数，
所以，不符合题意．
当时，易知，同时，
所以，为增函数，
又因为，
所以当时，，不符合题意．
综上所述，．
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