2024-2025学年高一数学北师大版必修第一册课时优化训练：对数函数（含解析）

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2024-2025学年高一数学北师大版必修第一册课时优化训练：对数函数
一、选择题
1．若函数是函数（，且）的反函数，且，则( ).
A. B. C. D.
2．已知，是上的减函数，那么实数a的取值范围是( ).
A. B. C. D.
3．函数在上为减函数，则实数a的取值范围是( ).
A. B. C. D.
4．在同一平面直角坐标系中，函数，的图象可能是( )
A. B.
C. D.
5．已知定义在R上的函数，，，，则a，b，c的大小关系为( )
A. B. C. D.
6．已知函数，若，，，则a，b，c的大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
7．函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
8．函数 的值域为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．对于函数定义域内的任意,当时,下述结论中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
10．已知函数a，b，c，d是互不相同的正数，且，则的取值范围可以是( )
A. B. C. D.
11．函数的图像一定过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
三、填空题
12．已知函数，其中，且，若存在实数m，n，使得时，函数的值域也为，则t的取值范围是_____________.
13．若函数的值域为R，则实数k的取值范围为_____________.
14．函数且的图象恒过的定点是_____________.
四、解答题
15．根据的图像，作出下列函数的图像：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
16．求函数，的最值．
17．设，且.
（1）求a的值及的定义域；
（2）求在区间上的值域.
18．已知不等式的解集为M，求函数，的值域.
19．求下列函数的定义域：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
参考答案
1．答案：A
解析：由题意知点在函数的反函数图象上，所以点在函数的图象上，所以，即，所以，则，所以.
2．答案：C
解析：是减函数，
且.
是减函数，
，.
又，是上的减函数，
，.
实数a的取值范围为.
3．答案：B
解析：若函数在上为减函数，则，解得.
4．答案：D
解析：选项A中两条曲线都不是函数的图象；选项B中，中，中，不符合；选项C中，中，中，不符合；选项D中，中，中，符合，故选D.
5．答案：D
解析：由题意，定义在R上的函数的定义域为R，关于原点对称，
且，所以函数为奇函数，
所以
又由当时，结合初等函数的性质，可得函数为单调递增函数，
又由对数的运算性质可得，
所以，即.
故选：D.
6．答案：B
解析：由题可知：的定义域为R，
且，则为偶函数，
，
当时，，在上单调递增．
又由
，
所以，，
故，故选B.
7．答案：D
解析：由得或，
设，则当时，为增函数，此时为增函数，则为增函数，
即的单调递增区间为，
故选：D．
8．答案：C
解析：
9．答案：CD
解析：对于A，函数的定义域为,故无意义，
A不正确；
对于B，当，时，，，B不正确；
对于C，，C正确·；
对于D，在上单调递增，则对任意的，，不妨设，都有，
，D正确.故选CD.
10．答案：CD
解析：画出函数的图像，的含义是平行于x轴的直线与函数的图像有4个交点.
如图所示，不妨记四个交点的横坐标分别为a，b，c，d，且，
由，得，且，
所以，即，
所以，从而得出.
由，结合图像可以得出，且.
所以，将此式看成关于c的函数，
因为，所以.故选CD.
11．答案：BCD
解析：的大致图像如图所示，所以一定过第二、三、四象限.故选BCD.
12．答案：
解析：由已知得（且）是增函数，，即，问题等价于关于k的方程有两个不相等的解，令，则关于u的一元二次方程在上有两个不相等的实根，，，即，解得.故t的取值范围是.
13．答案：
解析：设的值域为A，的定义域为B，易知，当时，，，则，函数的值域为R，符合题意；当时，依题意得，，因此，解得或，此时k的取值范围是.综上所述，实数k的取值范围为.
14．答案：
解析：因为函数图象恒过定点，所以令函数中，得，所以，所以函数图象恒过定点.
15．答案：（1）函数图像见解析；
（2）函数图像见解析；
（3）函数图像见解析；
（4）函数图像见解析；
解析：（1）作出函数关于纵轴对称的图像，连同函数的图像，就是该函数的图像，如下图所示：
（2）把函数的图像中纵轴下面的部分，做关于横轴对称，擦掉纵轴下面的部分，
函数图像如下图所示：
（3）作出函数关于纵轴对称的图像，连同函数的图像一起向右平移一个单位即可，如下图所示：
（4）把函数的图像中纵轴下面的部分，做关于横轴对称，擦掉纵轴下面的部分，然后再向右平移一个单位，如下图所示：
16．答案：；
解析：令，则，
当时，；当时，
17．答案：(1)定义域为.
(2).
解析：(1)，，，
则由，解得，
即，所以的定义域为.
(2)，
设，则，，当时，，
而，，，，，
所以在区间m上的值域为.
18．答案：
解析：不等式解得
令，则，
所以
所以函数的值域.
19．答案：（1）
（2）
（3）
（4）
解析： （1）
由对数的定义可知：
，所以该函数的定义域为：；
（2）
由对数的定义可知：
且，所以该函数的定义域为：；
（3）
由对数的定义和二次根式的性质可知：
，
所以该函数的定义域为：
（4）
由对数的定义、二次根式的性质、分式的性质可知：
且，所以该函数的定义域为：.
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